BÀI TẬP HÀM SỐ PHỨC
I.số phức và các phép toán
1,Tính các giá trị các căn số sau:
1.
3
A 1 i 3= +
2.
4
B 1 i= −
3.
3
D 1 i= − +
2, Chứng minh rằng:
1.
zzzz arg11 +−≤−
2. nếu
Rez 0>
,
Rea 0>
thì
a z
a z
−
+
< 1
3. Nếu
1 2
z z 1= =
và
1,2
z 1≠±
thì
1 2
1 2
z z
1 z z
+
∈
+
¡
4. Tìm
ϕi
Re(arctan e )
với
ϕ
nhọn.
3)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn
a)
R constω = =
b)
argz const=
trong đó
+)
2
x z 1ω = + −
+)
1
z
eω =
4)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn
2
Re ln(x z 1) const
+ − =
II, Tích phân hàm biến phức:
1.
C
I z zdz=
∫Ñ
trong đó C là đường
z
= 1 và Imz > 0
2.
C
z
I dz
z
=
∫Ñ
trong đó C là biên của đường 1<
z
<2 và Imz >
2
3.
C
dz
I
1
z
2
=
−
∫Ñ
trong đó C là biên của đường
11 =−z
4.
2
C
zdz
I
z 9
=
+
∫Ñ
trong đó C là đường
21
=−
z
;
z
= 4
5. I =
dz
z
zz
C
∫
−
++
2
3
)1(
12
trong đó C là đường
z
= 2
6.
3 2
C
cosz
I dz
(z 1) (z 5)
=
− −
∫Ñ
trong đó C là đường
24
=−
z
7.
2
C
(z 1)
I dz
z 2z 3 2i 3
−
=
− + −
∫
Ñ
trong đó C là biên của đường
24
=+
z
8.
2 3
C
dz
I
(z 1)
=
−
∫
Ñ
với C trong các trường hợp sau:
1.
Rz =−1
,R<2
2.
Rz =+1
, R<2
3.
Rz =
, R< 1
2.2 Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng
1.
( )
( )
3
2
f z z +1 tanz=
2.
( )
2
f z z sinz=
3.
( )
( )
8
z
f z
z sinz
=
−
4.
3
z
z
f (z)
1 z e
=
+ −
5.
sin z tan z
f (z) e e= −
III, Chuỗi Laurent
3.1.Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra:
1.
2
z 2
W
z 5z 6
−
=
+ +
trong miền
1 z 1 2< − <
3
2.
1
W
(z 2)(z 3)
=
− −
trong miền
2 z 3
< <
3.
2z 1
W
(z 1)(z 2)
+
=
− +
trong miền
z 1<
;
1 z 3< <
;
2 z< < ∞
<
∞
4.
2
2
z 2z 5
W
(z 5)(z 2)
− +
=
+ −
trong lân cận của z = 2 ;
1 z 2
< <
3.2.Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z
0
của các hàm số sau:
1.
2
z 1
W
sin z
−
=
với z
0
= 0
2.
z
z
e 1
W
e 1
+
=
−
với z
0
= 0 ;
i
π
2±
IV, Thặng dư và ứng dụng
Tìm và phân loại các điểm bất thường,qua đó tìm thặng dư tại đó của các hàm:
1.
=
3
6
sin z
W
z
2.
+
=
− +
2z 1
W
(z 1)(z 2)
3.
− +
=
+ −
2
2
z 2z 5
W
(z 5)(z 2)
4.
−
=
+ +
2
z 2
W
z 5z 6
5.
=
− −
1
W
(z 2)(z 3)
6.
=
2
1
W
sin 2z
4.2. Dùng thặng dư tính các tích phân sau:
1.
= =
∫Ñ
2
z
C
2
I e dz trong®ã C lµ® êng z 1
z
2.
−
= =
∫Ñ
6
C
z sin z
I dz trong®ã C lµ ® êng z 1
z
4
3.
+
= − + + =
∫Ñ
2
3
z 1
C
I (z z 1)e dz trong®ã C lµ ® êng z 1 1
4.
+
= + =
∫Ñ
2
2
z 1
C
I (z 2)e dz trong®ã C lµ ® êng z 2
5.
= =
∫Ñ
2
Z
C
I ze dz trong®ã C lµ ® êng z 1
6.
+∞
−∞
=
− +
∫
2
xcosxdx
I
x 2x 10
7.
+∞
−∞
=
− +
∫
2
xsinxdx
I
x 2x 10
8.
+∞
−∞
=
+ +
∫
2
xsin xdx
I
x 4x 20
9.
+∞
−∞
=
− −
∫
2
sin xdx
I
(x 4)(x 1)
v, phép biến đổi z
5.1 Tìm các biến đổi z của các dãy sau
1.
−
+ ≥
÷ ÷
=
<
n n 1
n
1 1
víi n 0
x
4 4
0 víi n 0
2.
≥−
÷
=
<−
n
n
3
víi n 2
x
4
0 víi n 2
3.
≥−
÷
=
<−
n
n
3
n víi n 2
x
4
0 víi n 2
5
4.
+ ≥
÷
=
<
n
n
3
n n víi n 0
x
4
0 víi n 0
5.
+ ≥
=
<
2 n
n
n 3 n víi n 0
x
0 víi n 0
6.
+
≥
=
<
2
n
n
n 1
víi n 0
x
3
0 víi n 0
7.
+ ≥
=
<
n
n
n4 n víi n 0
x
0 víi n 0
8.
+ ≥
÷
=
<
n
n
3
n víi n 0
x
4
0 víi n 0
5.2.Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau:
1.
= >
− +
2
z
f(z) víi z 4
z 6z 8
2.
= >
− +
2
z
f(z) víi z 4
z 5z 4
3.
= >
− +
2
z
f(z) víi z 4
(z 1) (z 3)
4.
= >
+ +
2
z
f(z) víi z 4
(z 1) (z 3)
5.
= >
− +
2
z
f(z) víi z 2
4z 2 3z 1
6.
= >
−
2
z
f(z) víi z 2
(4z 3)
7.
+
= >
+ +
2
2
z 1
f(z) víi z 3
(z 1) (z 2)
8.
+
= >
+ −
2
z 1
f(z) víi z 3
(z 2) (z 1)
6
VI, phép biến đổi Laplace
6.1.Tìm ảnh của các hàm gốc sau
1.
( ) ( )
2t
f t t 1 e= +
2.
f (t) sin t=
3.
( )
2t
f t te cos2t
−
=
4.
( ) ( )
f t 2t 1 cos2t.sint = +
5.
( ) ( )
2t
f t 2t 1 e cos2t = +
6.
< <
= − < <
>
t khi 0 t 1
f(t) 2 t khi 1 t 2
0 khi t 2
7.
+ < <
=
>
2
t 1 khi 1 t 2
f(t)
0 khi t 2
8.
λ −α
= − α η − α
(t )
f(t) e sin(t ) (t )
9.
≤ <
= − ≤ <
≥
2
t khi 0 t 1
f(t) 2t 1 khi 1 t 3
5 khi t 3
10.
≤ <
= − ≤ <
≥
2
3t khi 0 t 4
f(t) 2t 3 khi 4 t 6
4 khi t 6
11.
−
= − +
∫
t
2 u
0
x(t) (u u e )du
12.
= −
∫
t
2u
0
x(t) cos(t u)e du
6.2. Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau:
1.
+
=
+ +
3 2
2p 3
F(p)
p 4p 5p
7
2.
=
− +
2
1
F(p)
(p 1) (p 2)
3.
=
−
3 3
1
F(p)
p (p 1)
4.
− −
=
+ −
2
2
5p 15p 11
F(p)
(p 1)(p 2)
5.
−
=
+
p
3
2
e
F(p)
p(p 1)
6.
−
=
+
p
2
2
e
F(p)
p 9
7.
+
=
+ +
2
4p 12
F(p)
p 8p 16
8.
+
=
+ +
2
3p 19
F(p)
2p 8p 19
9.
−
=
− + +
2
p 1
F(p)
(p 3)(p 2p 2)
10.
−
=
3p
2
2
e
F(p)
p
11.
+
=
+ −
4 2
p 1
F(p)
p 2p 2
12.
=
+ +
2 2
1
F(p)
(p p 1)
6.3.ứng dung phép biến đổi Laplace,tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân sau:
1.
−
′′ ′
+ + = +
t 2t
x 3x 2x e e
với
′
= = −x(0) 2;x (0) 3
2.
′′ ′
− + =
t
2
4x 4x x e
với
′
= =x(0) 1;x (0) 0
3.
′′ ′
+ + =x 2x 3x t cost
với
′
= − =x(0) 1 / 4;x (0) 0
4.
−
′′ ′
− + = −
2t
x 4x 4x (t 1)e
với
′
= =x(0) 2;x (0) 0
8
5.
′′ ′
+ =
2
x 2x 6t
với
′
= = −x(0) 0;x (0) 3 / 2
6.
′′ ′
− = − +x 7x (14t 15)
với
′
= =x(0) 1;x (0) 2
7.
′′ ′
+ + = + +
2
x 2x 3x 3 7t 3t
với
′
= − =x(0) 1 x (0)
8.
′′ ′
+ + = +
2
x 3x 2x 2t 1
với
′
= = −x(0) 4;x (0) 3
6.4 Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tính
1.
+∞
−
=
∫
2 t
0
I t e sin2tdt
2.
+∞
−
=
∫
t
0
e sin3t
I dt
t
3.
+∞
−
=
∫
0
cos6t cos4t
I dt
t
4.
+∞
− −
−
=
∫
3t 6t
0
e e
I dt
t
VII,Phép biến đổi Fourier:
7.1.Tìm biến đổi Fourier của các dãy số và hàm số sau:
1.
−
+ ≥
÷ ÷
=
<
n n 1
n
1 1
khi n 0
x
4 4
0 khi n 0
2.
≥−
÷
=
<−
n
n
3
khi n 2
x
4
0 khi n 2
3.
≥−
÷
=
<−
n
n
3
n khi n 2
x
4
0 khi n 2
4.
+ ≥
÷
=
<
n
n
n
3 n
khi n 0
x
4
2
0 khi n 0
9
5.
− −
+ ≥
=
<
2 n n
n
n 3 2 khi n 0
x
0 khi n 0
6.
+
≥
=
<
2
n
n
n 1
khi n 0
x
3
0 khi n 0
7.
≥
÷
=
<
n
n
1
n khi n 0
x
4
0 khi n 0
8.
+ ≥
÷
=
<
n
n
n
1 3
khi n 0
x
4
3
0 khi n 0
9.
− − ≤ ≤
=
∉
1 2t 1 khi 0 t 1
f(t)
0 khi t (0,1)
10.
− − ≤ ≤
=
∉
1 t 1 khi 0 t 2
f(t)
0 khi t (0,2)
11.
( )
− ≤ <
− < ≤
=
− − − ≤ < −
>
t khi 1 t 1
2 t khi 1 t 2
x t
t 2 khi 2 t 1
0 khi t 2
12.
( )
+ − ≤ < −
<
=
− + ≤ <
>
t 1 khi 1 t 0,5
1 khi t 0,5
x t
t 1 khi 0,5 t 1
0 khi t 1
13. Tìm hàm
f(t)
chẵn thỏa mãn
+∞
− α ≤ α <
α =
α >
∫
0
1 víi 0 1
f(u)cos udu
0 víi 1
qua đó tính
+∞
∫
2
2
0
sin u
du
u
14. Chứng minh
+∞
−
π
=
+
∫
x
2
0
cosax
da e
2
a 1
10
15. Từ biến đổi Fourier của
−x
f(x)=e
với
≥
x 0
.Tính
+∞
+
∫
2
0
xsin mx
I= dx
x 1
16. Tìm hàm
f(t)
lẻ thỏa mãn đẳng thức sau
+∞
≤ <
= < ≤
>
∫
0
1 khi 0 t 1
f(u)sin(ut)du 2 khi 1 t 2
0 khi t 2
17. Tìm biến đổi Fourier theo cosin và sin của
≤ <
=
≥
1 khi 0 x 1
f(x)
0 khi x 1
11