GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG LƯỢNG GIÁC

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 1
…
…




H

H
À
À
M
M


S
S
Ố
Ố


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á

Á
C
C


&
&


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N

N
H
H


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C




…

…


§
§
0
0
.
.


C
C
Ô
Ô
N
N
G
G


T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C

L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C
.
.


1) CÔNG THỨC CƠ BẢN:
 
2 2
2 2
2 2

sin cos
sin cos 1; tan ; cot
cos 2 sin
1 1
tan .cot 1; 1 tan ; 1 cot
cos sin


k k
  
       
 
   
 
 
      
 
 
    

2) CUNG LIÊN KẾT:
a) Cung đối:
cos( ) cos ; sin( ) sin ; tan( ) tan ; cot( ) cot
x x x x x x x x
          
b) Cung bù:
sin( ) sin ; cos( ) cos ; tan( ) tan ; cot( ) cot
x x x x x x x x
   
          

c) Cung hơn kém :
tan( ) tan ; cot( ) cot ; sin( ) sin ; cos( ) cos
x x x x x x x x
   
         
d) Cung phụ:
sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
   
       
       
       
       

e) Cung hơn kém
2

:
sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
   
       
          
       
       

3) CÔNG THỨC CỘNG:





   
   
sin sin cos sin cos ; sin sin cos sin cos
cos cos cos sin sin ; cos cos cos sin sin
tan tan tan tan
tan ; tan
1 tan tan 1 tan tan
a b a b b a a b a b b a
a b a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
     
     
 
   
 


4) CÔNG THỨC NHÂN:
3
2 2 2 2 3
2
sin 2 2sin .cos ; cos3 4cos 3cos ;
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ; sin3 3sin 4sin ;
2 tan
tan 2 ;

1 tan



a a a a a a
a a a a a a a a
a
a
a
  
       


3
2
3tan tan
tan3 =
1 3tan

a a
a
a



5) CÔNG THỨC HẠ BẬC:
2 3
2 3
1 cos2 3sin sin3
sin ; sin

2 4
1 cos2 3cos cos3
cos ; cos
2 4

a a a
a a
a a a
a a
 
 
 
 

6) CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG:
 
 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b

   
    
   

1
1

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C

1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.

. Trang 2
7) CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH:
sin sin 2sin cos ; sin sin 2cos sin
2 2 2 2
cos cos 2cos cos ; cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin( ) sin( )
tan tan ; tan tan
cos .cos cos cos
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
   
   
   
    
 
   

8) CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI THEO
tan
2
a
t  :
2
2 2 2

2 1 2
sin ; cos ; tan
1 1 1
t t t
a a a
t t t

  
  

9) CÔNG THỨC RÚT GỌN:
sin cos 2 sin( ) 2 cos( );
4 4
sin cos 2 sin( ); cos sin 2 cos( )
4 4
x x x x
x x x x x x
 
 
    
     

§
§
1
1
.
.

H
H
À
À
M
M


S
S
Ố
Ố


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I

Á
Á
C
C
.
.


1) HÀM SỐ
sin
y x

:
a) Định nghĩa:
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x (rad) với số thực sinx được gọi là hàm số sin, ký hiệu y = sinx.
Ta viết: sin: R  R
x

y = sinx
 Hàm số
sin
y x

có tập xác định D = R.
 Vì –1  sinx  1 xR nên hàm số
sin
y x

có tập giá trị T = [–1; 1].
b) Tính chất:


sin
y x

là hàm số lẻ. Thật vậy, ta có xR  –xR và (–x) = sin(–x) = –sinx = –(x).

sin
y x

là hàm số tuần hoàn theo chu kỳ 2. Thật vậy, với T = k2 (kZ), ta có (x + k2) R và
(x + k2) = sin(x + k2) = sinx = (x).
Hàm số

(x) xác định trên D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số thực T

0 sao cho x

T

D và

(x + T)
=

(x). Số dương nhỏ nhất trong các số T thoả tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm số y =

(x).
c) Sự biến thiên:
 Khi x tăng từ
2



đến
2

thì y tăng theo từ –1 đến 1, ta nói hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
 
 
 
  
 
 
, kZ.
 Khi x tăng từ
2

đến
3
2

thì giảm từ 1 đến –1, ta nói hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
 
 

 
 
 
 
, kZ.
d) Đồ thị:

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C

1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.

. Trang 3
2) HÀM SỐ
cos
y x


a) Định nghĩa:
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x (rad) với số thực cosx được gọi là hàm số cosin, ký hiệu
y = sinx. Ta viết: cos: R  R
x

y = cosx
 Hàm số
cos
y x

có tập xác định D = R.
 Vì –1  cosx  1 xR nên hàm số
cos
y x

có tập giá trị T = [–1; 1].
b) Tính chất:

cos
y x

là hàm số chẵn. Thật vậy, ta có xR  –xR và (–x) = cos(–x) = cosx = (x).

cos

y x

là hàm số tuần hoàn theo chu kỳ 2. Thật vậy, với T = k2 (kZ), ta có (x + k2) R và
(x + k2) = cos(x + k2) = cosx = (x).
c) Sự biến thiên:
 Khi x tăng từ – đến 0 thì y tăng theo từ –1 đến 1, ta nói hàm số đồng biến trên mỗi khoảng


2 ; 2
k k
  
 
, kZ.
 Khi x tăng từ 0 đến  thì giảm từ 1 đến –1, ta nói hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng


2 ; 2
k k
  

, kZ.
d) Đồ thị:

Vì
sin cos
2
x x

 
 

 
 
nên đồ thị là đồ thị hàm số
sin
y x

được tịnh tiến sang trái một đoạn
2

.
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị (C) của hàm số y =

(x) và a là số dương tùy ý.
 Tịnh tiến (C) sang trái a đơn vị thì được được đồ thị hàm số mới y =

(x + a).
 Tịnh tiến (C) sang phải a đơn vị thì được được đồ thị hàm số mới y =

(x – a).
 Tịnh tiến (C) lên trên a đơn vị thì được được đồ thị hàm số mới y =

(x) + a.
 Tịnh tiến (C) xuống dưới a đơn vị thì được được đồ thị hàm số mới y =

(x) – a.
3) HÀM SỐ
tan
y x

:

a) Định nghĩa:
cosx  0  x 
2

+ k, (k  Z) được số thực tanx =
sin
cos
x
x
. Đặt D = R \ /
2
k k Z


 
 
 
 
.
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi xD với số thực tanx được gọi là hàm số tang, ký hiệu y = tanx. Ta viết:
tan: D  R
x

y = tanx
 Vậy hàm số
tan
y x

có tập xác định \ ,
2

D R k k Z


 
  
 
 

b) Tính chất:

tan
y x

là hàm số lẻ. Thật vậy, ta có xD  –xD và (–x) = tan(–x) = –tanx = –(x).

tan
y x

là hàm số tuần hoàn theo chu kỳ . Thật vậy, với T = k (kZ), ta có (x + k) R và
(x + k) = tan(x + k) = tanx = (x).
c) Sự biến thiên:
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;
2 2
k k
 
 
 
  
 
 

, kZ.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L

L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
d) Đồ thị:

Đồ thị nhận các đường thẳng
,
2

x k k Z


  
làm tiệm cận đứng.
4) HÀM SỐ
cot
y x

:
a) Định nghĩa:
sinx  0  x  k, (k  Z) được số thực cotx =
cos
sin
x
x
. Đặt D = R \


,
k k Z


.
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi xD với số thực cotx được gọi là hàm số cotang, ký hiệu y = cotx. Ta
viết: cot: D  R
x

y = cotx
 Vậy hàm số

cot
y x

có tập xác định


\ ,
D R k k Z

 

b) Tính chất:

cot
y x

là hàm số lẻ. Thật vậy, ta có xD  –xD và (–x) = cot(–x) = –cotx = –(x).

cot
y x

là hàm số tuần hoàn theo chu kỳ . Thật vậy, với T = k (kZ), ta có (x + k) R và
(x + k) = cot(x + k) = cotx = (x).
c) Sự biến thiên:
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng


;
k k
  

 , kZ.
d) Đồ thị:

Đồ thị nhận các đường thẳng ,
x k k Z

 
làm tiệm cận đứng.
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P


1) Tìm tập xác định của hàm số sau:
a)
1 cos
sin
x
y

x


; b)
1 sin
cos
x
y
x


; c)
sin 1
1 2cos
x
y
x



;
d)
tan .cot
y x x

; e)
1 sin
y x
 
; f)

1 cos
y x
 
;
g)
cot
6
y x

 
 
 
 
; h)
tan
3
y x

 
 
 
 
; i)
tan 2
3
y x

 
 
 

 
;
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:

L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
j)
1 sin
1 cos
x

y
x



; k)
1 cos
1 cos
x
y
x



; l)
cos 2
sin 1
x
y
x



;
m)
1
cos
1
x
y

x



; n)
2
1
1 sin
y
x


; o)
3sin 1
tan
x
y
x

 ;
 Hướng dẫn:
 
sin cos
tan \ ,
2
cot \ ,
và có tập xác đònh
có tập xác đònh
có tập xác đònh
y x y x D R

y x D R k k Z
y x D R k k Z



  
 
   
 
 
  

a) Hàm số có nghĩa khi sinx  0  x  0 + k. Tập xác định


\ ,
D R k k Z

 

b) Hàm số có nghĩa khi cosx  0  x 
2
k


 . Tập xác định
\ ,
2
D R k k Z



 
  
 
 

c) 1 – 2cosx  0  cosx 
1
2
 x 
2
3
k


  . Tập xác định \ 2 ,
3
D R k k Z


 
   
 
 

d)
cos 0
2
sin 0
2

x
x k
k
x
x k






 


 
 





. Tập xác định \ ,
2
D R k k Z

 
 
 
 

e)
1 sin 0 sin 1
x x
   
đúng x. Tập xác định D = R.
f)
1 cos 0 cos 1
x x
    
đúng x. Tập xác định D = R.
g)
sin 0
6 6 6
x x k x k
  
 
 
        
 
 
. Tập xác định
\ ,
6
D R k k Z


 
   
 
 

h)
5
cos 0
3 3 2 6
x x k x k
   
 
 
        
 
 
. Tập xác định
5
\ ,
6
D R k k Z


 
  
 
 

i)
cos 2 0 2
3 3 2 12 2
k
x x k x
    


 
        
 
 
. Tập xác định
\ ,
12 2
k
D R k Z
 
 
  
 
 

j)
1 cos 0 cos 1 2
x x x k
 
       
. Tập xác định


\ 2 ,
D R k k Z
 
  
k)
1 cos 0 cos 1 2

x x x k

     
. Tập xác định


\ 2 ,
D R k k Z

 
l)
sin 1 0 sin 1 2
2
x x x k


       . Tập xác định \ 2 ,
2
D R k k Z


 
  
 
 

m)
1 0 1
x x
   

. Tập xác định
(1; )
D
 

n)
2 2
1 sin 0 sin 1 sin 1
2
x x x x k


          . Tập xác định
\ ,
2
D R k k Z


 
  
 
 

o)
sin 0
sin
0
cos 0
cos 2
2

x k
x
x
k
x
x
x k









   
 

 



. Tập xác định \ ,
2
D R k k Z

 
 
 

 

2) Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
a)
sin cos
y x x
 
; b)
2
sin cos tan
y x x x
  ; c)
tan sin 2
y x x
 

d)
2
cos sin
y x x
 
; e)
tan
y x

; f)
cot sin
y x x

;

g)
cos sin2
y x x
 
; h)
cot (1 cos )
y x x
 
; i)
2
2sin cos
y x x
 
;
 Hướng dẫn:
( ) ( ): ( )
( ) ( ): ( )
và là hàm chẵn.
và là hàm lẻ.
Đồ thò hàm chẵn đối xứng qua trục tung Oy.
Đồ thò hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O.
x D x D f x f x f x
x D x D f x f x f x
      
       

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư

Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
a) Tập xác định D = R nên xR  –xR và (–x) = sin(–x) + cos(–x) = –sinx + cosx  (x) do đó
hàm số không chẵn, không lẻ.
b) Hàm số có tập xác định \ ,
2
D R k k Z


 
  
 

 
là tập đối xứng nên xD  –xD và
(–x) =
2 2
sin( )cos ( ) tan( ) (sin cos tan )
x x x x x x
       = –(x) do đó (x) là hàm lẻ.
c) Hàm số có tập xác định \ ,
2
D R k k Z


 
  
 
 
là tập đối xứng nên xD  –xD và
(–x) =
tan( ) sin2( ) tan sin 2 (tan sin 2 )
x x x x x x
        
= –(x) do đó (x) là hàm lẻ.
d) Tập xác định D = R nên xR  –xR và (–x) =
2 2
cos ( ) sin cos sin
x x x x
    
= (x) do đó
(x) là hàm chẵn.
e) Hàm chẵn. f) Hàm chẵn. g) Hàm chẵn. h) Hàm lẻ. i) Hàm chẵn.

3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các hàm số sau:
a)
2 cos 1
y x
 
; b)
3 2sin
y x
 
; c)
1 3sin 2
y x
 
;
d)
2cos 3
3
y x

 
  
 
 
; e)
3sin 1
4
y x

 
  

 
 
; f)
cos 3 sin3
6
y x x

 
  
 
 
;
g)
2 1 cos
y x
   
; h)
2
1 sin( ) 1
y x
  
; i)
3 2 3 cos 2
y x
  
;
j)
1 3cos4 sin4
y x x
 

; k)
2
8sin 3cos2 1
y x x
  
; l)
1 cos . sin
y x x
 
;
m)
3 3
cos sin sin cos
y x x x x
 
; n)
4 4
cos 1 sin
y x x
  
; o)
3 3
cos3 sin sin3 cos 1
y x x x x
  

 Hướng dẫn:
a) Ta có
0 cos 1 0 2 cos 2 1 2 cos 1 3
x x x

        
hay 1  y  3  Min y = 1, Max y = 3.
b) Ta có
1 sin 1 2 2sin 2 1 3 2sin 5
x x x
           
hay 1  y  5  Min y = 1, Max y = 5.
c) Ta có
1 sin 2 1 2 1 3sin 2 4
x x
       
hay –2  y  4  Min y = –2, Max y = 4.
d)
1 cos 1 1 2cos 3 5
3 3
x x
 
   
        
   
   
hay 1  y  5  Min y = 1, Max y = 5.
e)
1 sin 1 4 3sin 1 3
4 4
x x
 
   
         
   

   
hay –4  y  3  Min y = –4, Max y = 3
f)
3 1
cos3 sin3 cos 3
2 2 6
y x x x

 
   
 
 
 –1  y  1  Min y = –1, Max y = 1.
g) Ta có
0 1 cos 2 2 2 1 cos 2 2
x x             Min y = –2, Max y =
2 2
 
.
h)
2 2
1 sin( ) 1 1 1 sin( ) 1 2 1
x x
         
 Min y = –1, Max y =
1 2
 
.
i)
2 3 cos2 2 1 3 2 3 cos2 3 2

x x          Min y = 1, Max y =
3 2

.
j)
3
1 sin8
2
y x
 
,
1 3 5
1 sin8
2 2 2
x
   
 Min y =
1
2

, Max y =
5
2
.
k)
2 2
8sin 3cos2 1 2sin 4
y x x x
    
 4  y  6  Min y = 4, Max y = 6.

l)
0 sin 1
0 cos . sin 1 0 1 cos . sin 1
0 cos 1
x
x x x x
x
  

      

 


 Min y = 0, Max y = 1.
m)
2 2
1 1
sin cos (cos sin ) .2sin 2 cos2 sin 4
4 4
x x x x x x x
    –
1
4
 y 
1
4
 Min y = –
1
4

, Max y =
1
4

n)
2 2
cos sin 1 cos2 1
y x x x
    
 0  y  2  Min y = 0, Max y = 2.
o)
1 1 3 3
cos3 (3sin sin 3 ) sin 3 (3cos cos3 ) (cos3 sin sin3
cos ) 1 s 1
4 4 4 4
in4
y x x x x x x x x x x x
        

Ta có
1 3 7
sin 4 1
4 4 4
x
  

1 7
4 4
y
 

 Min y =
1
4
, Max y =
7
4
.
4) Cho hàm số
( ) cos
2
x
y f x 
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á

Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h

á
á
p
p
.
. Trang 7
a) Chứng minh rằng với mỗi số ngun k, (x + k4) = (x) với mọi x.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [–2; 2].
c) Vẽ đồ thị (C) của hàm số
( ) cos
2
x
y f x  .
d) Dựa vào đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị hàm số cos
2 4
x
y

 
 
 
 
,
cos
2
x
y  ,
cos 1
2
x

y
 
.
 Hướng dẫn:
( )
( )
( )
( )
Nếu (C) là đồ thò hàm số thì:
Đồ thò là (C) được tònh tiến sang phải a đơn vò
Đồ thò là (C) được tònh tiến sang trái a đơn vò
Đồ thò là (C) đư
y f x
y f x a
y f x a
y f x a

 
 
 
( )
( )
ợc tònh tiến lên trên a đơn vò
Đồ thò là (C) được tònh tiến xuống dưới a đơn vò
Đồ thò là phần (C) trên trục hoàn
h và phần đối xứng dưới trục hoàn
h.
y f x a
y f x
 



a)
4
( 4 ) cos cos 2 cos ( )
2 2 2
x k x x
f x k k f x

 

   
     
   
   
x.
b) Bảng biến thiên:

c) Đồ thị:

d) Ta có ( ) cos
2
x
f x
 

 
 
nên ( ) cos
2 2 4

x
f x
 
 
  
 
 
nên đồ thị (
1
C
) của hàm số cos
2 4
x
y

 
 
 
 
là đồ
thị hàm số ( ) cos
2
x
f x
 

 
 
(C) được tịnh tiến sang phải
2


đơn vị.
 Đồ thị (
2
C
) của hàm số
cos
2
x
y  là phần (C) ở trên trục hồnh và phần đối xứng dưới trục hồnh.
 Đồ thị (
3
C
) của hàm số
cos 1
2
x
y
 
là (C) tịnh tiến xuống dưới 1 đơn vị.

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N

G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
§
§
2
2
.
.


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ

Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G

G
G
I
I
Á
Á
C
C


C
C
Ơ
Ơ


B
B
Ả
Ả
N
N
.
.


1) sin
x a


:
 Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu |a|  1 thì đặt
sin
a


. Phương trình trở thành
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k
 

  
 

  

  


Khi  không phải là cung lượng giác đặc biệt để
sin
a


, khi đó ta ký hiệu

arcsin
a


.
Vậy
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a k
x a k Z
x a k

 
 

  

  





Chý ý:

( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ( )
( ) ( ) 2
f x g x k

f x g x k Z
f x g x k

 
 

  

  


 Nếu
0
sin
a

 thì
0 0
0
0 0
.360
sin sin ( )
.360
x k
x k Z
x k


 


 
  

  





Các trường hợp đặc biệt: (kZ)
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k





  
   
     

2)
cos
x a


:
 Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu |a|  1 thì đặt
cos
a


. Phương trình trở thành
2
cos cos ( )
2
x k
x k Z
x k
 

 
 

  

  


Khi  không phải là cung lượng giác đặc biệt để
cos
a



, khi đó ta ký hiệu
arccos
a


.
Vậy
arccos 2
cos ( )
arccos 2
x a k
x a k Z
x a k


 

  

  





Chý ý:

( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( )
( ) ( ) 2

f x g x k
f x g x k Z
f x g x k


 

  

  


 Nếu
0
cos
a

 thì
0 0
0
0 0
.360
cos cos ( )
.360
x k
x k Z
x k





 
  

  





Các trường hợp đặc biệt: (kZ)
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k



 
   
  
    

3) tan
x a

:

 Điều kiện ,
2
x k k Z


  
.
 Đặt
tan
a


. Phương trình trở thành
tan tan ( )
x x k k Z
  
    
Khi  không phải là cung lượng giác đặc biệt để
tan
a


, khi đó ta ký hiệu
arctan
a


.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L

L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
Vậy
tan arctan ( )
x a x a k k Z

    



Chý ý:

tan ( ) tan ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x k k Z

    
 Nếu
0
tan
a


thì
0 0 0
tan tan .180 ( )
x x k k Z
 
    

4)
cot
x a

:
 Điều kiện ,
x k k Z

 
.
 Đặt

cot
a


. Phương trình trở thành
cot cot ( )
x x k k Z
  
    
Khi  không phải là cung lượng giác đặc biệt để
cot
a


, khi đó ta ký hiệu
arccot
a


.
Vậy
cot arccot ( )
x a x a k k Z

    




Chý ý:


cot ( ) cot ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x k k Z

    

 Nếu
0
cot
a

 thì
0 0 0
cot cot .180 ( )
x x k k Z
 
    
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P

P


1) Giải phương trình:
a)
sin3 1
x

; b)
2
sin 0
3 3
x

 
 
 
 
; c)
sin 2 1 0
4
x

 
  
 
 
;
d)
1

sin( 2)
3
x
 
; e)
 
0
3
sin 2 20
2
x    ; f)
1
sin
5 2
x


 
 
 
 
;
g)
2 sin 3 1 0
4
x

 
  
 

 
; h)
sin3 sin
x x

; i)
sin 3 cos 4
4 2
x x
 
   
  
   
   

j)
sin 3 cos
4
x x

 
 
 
 
; k)
sin cos 0
x x
 
; l)
sin cos 0

x x
 
.
 Hướng dẫn:
a)
2
sin3 1 3 2
2 6 3
x x k x k
  

      
;
b)
2 2 3
sin 0
3 3 3 3 2 2
x x
k x k
   

 
       
 
 
;
c)
3
sin 2 1 2 2
4 4 2 8

x x k x k
   
 
 
          
 
 
;
d)
1 1
2 arcsin 2 arcsin 2 2
1
3 3
sin( 2)
1 13
2 arcsin 2 arcsin 2 2
3 3
x k x k
x
x k x k
 
   
 
     
 
   
 
 
       
 

 

e)
   
0 0
0 0 0
0 0
40 .180
3
sin 2 20 sin 2 20 sin( 60 )
2
110 .180
x k
x x
x k

  
       

 


f)
11
2 10
1
5 6 6
sin sin sin
29
5 2 5 6

2 10
5 6 6
x
k x k
x x
x
k x k
  
 
  
  
  

 
     
 
 
     
      
 
     

     
 
    
 
 

g)
2

3 2
2
6 3
4 4
2 sin 3 1 0 sin 3
2
4 4 2
3 2
4 4 3 3
x k
x k
x x
x k x k
 
 

 
   
 


 
  


   
       


   

   


     





THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C

1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p

p
.
. Trang 10
h)
3 2
sin3 sin
3 2
4 2
x k
x x k
x x
x x k
x k


 
 


 


  


  
 



i)
23 4 2
4
4
sin 3 cos 4 sin 3 sin4
3 2
4 2 4
3 4 2
28 7
4
x kx x k
x x x x
x kx x k



  
 

 

   

     
       

     
     

    


 

j)
3
3 2
16 2
4 2
sin 3 cos sin 3 sin
34 4 2
3 2
4 2 8
x k
x x k
x x x x
x x k x k
 
 

  
  
 


 
   


     
       



     
     


      





k) sin cos 0 2 sin 0 sin 0
4 4 4 4
x x x x x k x k
   
 
   
             
   
   

l)
sin cos 0 2 sin 0 sin 0
4 4 4 4
x x x x x k x k
   
 
   
              

   
   

Chú ý: Phương trình
sin cos 0 tan 1
4
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k
x x x x k




      
        

2) Giải phương trình:
a)
cos 0
3
x

 
 
 
 
; b)
cos 1 0
3

x


 
 
 
 
; c)
2 cos 2 2 0
6
x

 
  
 
 
;
d)
3
cos2
2
x  ; e)
2
cos
2 2
x
  ; f)
 
3
cos

2
x  
g)
3 1
cos
2 4 2
x

 
  
 
 
; h)
1
cos 2
4 5
x

 
 
 
 
; i)
 
0
1
cos 3 45
2
x
 

;
j)
cos sin 3
3 2
x x
 
   
  
   
   
; k)
cos sin 0
x x
 
; l)
2
1
cos 2
4
x

.
 Hướng dẫn:
a)
5
cos 0
3 3 2 6
x x k x k
   
 

 
        
 
 
;
b)
cos 1 2 6
3 3
x x
k x k
 
  
 
 
     
 
 
;
c)
7
cos 2 1 2 2
6 6 12
x x k x k
  
  
 
         
 
 
;

d)
3
cos2 cos2 cos 2 2
2 6 6 12
x x x k x k
  
 
          
e)
2 3 3 3
cos cos cos 2 4
2 2 2 4 2 4 2
x x x
k x k
  
 
           
f)
 
3 5 5
cos cos cos 2
2 6 6
x x x k
 

        
g)
3 2 11 4
2
3 1 3 2

2 4 3 18 3
cos cos cos
3 2 5 4
2 4 2 2 4 3
2
2 4 3 18 3
x
k x k
x x
x
k x k
   

  
   

 
    
 
     
       
 
     
     
 
      
 
 

THPT Tân Bình – Bình Dương.

L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
h)
1 1 1 1
cos 2 2 arccos 2 arccos
4 5 4 5 8 2 5
x x k x k
  
 

 
          
 
 

i)
   
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
3 45 60 .360 5 .120
1
cos 3 45 cos 3 45 cos60
2
3 45 60 .360 35 .120
x k x k
x x
x k x k
 
    
      
 
      
 

j)
3 2
3 6
cos sin 3 cos cos3
3 2 3

3 2
3
12 2
x x k
x k
x x x x
x x k
x k
 


  

 



  
 


     
       


     
     
 
     
 




k) cos sin 0 2 cos 0 cos 0
4 4 4 2 4
x x x x x k x k
    
 
   
              
   
   

l)
2
cos2 cos
1 1
3 6
cos 2 cos2
2
4 2
cos2 cos
3 3
x x k
x x
x x k
 

 


 
   
 
     
 
 
   
 
 

3) Giải phương trình:
a)
 
0
3
tan 15
3
x   ; b)


cot 3 1 3
x
  
; c)
0
cot 20 3
4
x
 
 

 
 
;
d)
1
tan
5 4
x

 
 
 
 
; e)
tan tan2
4
x x

 
 
 
 
; f)
tan cot 2 0
4
x x

 
  
 

 
;
g)
cos2 tan 0
x x

; h)
.tan 1
tan3
x x

; i)
2
1 tan 0
x
 
.
 Hướng dẫn:
a) Điều kiện
0 0 0 0 0
15 90 .180 75 .180
x k x k     
   
0 0 0 0 0 0 0 0
3
tan 15 tan 15 tan30 15 30 .180 45 .180
3
x x x k x k           
b) Điều kiện
1

3 1
3 3
x k x k


    
   
1
cot 3 1 3 cot 3 1 cot 3 1
6 6 3 18 3
x x x k x k
   

 
               
 
 

c) Điều kiện
0 0 0 0
20 .180 80 .720
4
x
k x k     
0 0 0 0 0 0 0 0
cot 20 3 cot 20 cot30 20 30 .180 40 .720
4 4 4
x x x
k x k
   

           
   
   

d) Điều kiện
3
5 2 10
x k x k
  
 
     

1 1 1
tan arctan arctan
5 4 5 4 5 4
x x k x k
  
 
 
          
 
 

e) Điều kiện
4 2 4
4 2
2
2 4 2
x l x l
x h

x h x h
  
 
 
  

 
     
 
 
   
 
 
   
 
 

tan tan 2 2
4 4 12 3
x x x x k x k
   

 
        
 
 
.
Với
3 1
2 1 3 1,

12 3 4 2 2
laáy
h
k h k h m k m m Z
   

          
.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C

1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p

.
. Trang 12
f) Điều kiện
4
2
x l
x h




  







:
cot cot 2 0 2
4 4 4
x x x x k x k
  
 
 
         
 
 
thỏa điều kiện.

g) Điều kiện
2
x k


  :
cos2 0 2 2
cos2 tan 0
tan 0
x x l
x x x k
x x h



 
 
    
 
 
 

h) Điều kiện
3
6 3
2
2 2
x l
x l
x h

x h
 







  

 

 
 
   
 
 

1
.tan 1 tan3 tan3 tan 3
tan 2 2 8 4
tan3
x x x x x x x k x k
x
   

 
            
 

 

i) Điều kiện
2
x k


 
. Ta có
2 2 2
1 tan 0 tan 1
4
x x x k


        
.
Phương trình có nghiệm khi
1
0 ( ) *
4 4
k k k Z k N


        .
Khi đó nghiệm phương trình là
 
*
4
x k k N



     .
4) Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:
a)
1
sin 2
2
x
 
với 0 < x < ; b)
3
cos( 5)
2
x   với – < x < ;
c)
0
tan(2 15 ) 1
x
 
với
0 0
180 90
x  
; d)
1
cot3
3
x   với
0

2
x

  
;
e)
2
sin 2
6 5
x

 
 
 
 
với
3 6
x
 
  
; f)
2
cos
2 3
x
 với 2 < x < 4;
 Hướng dẫn:
a)
0 0 2 2
x x

 
    
nên
2 / 6 /12
1
sin 2
2 7 / 6 7 /12
2
x x
x
x x
 
 
   
 
   
 
 
 

b)
5 5 5
x x
   
         
nên
5 / 6 2 5 11 / 6
3
cos( 5)
5 / 6 2 5 13 / 6

2
x x
x
x x
  
  
    
 
   
 
     
 

c)
0 0 0 0 0
180 90 375 2 15 165
x x        nên
d)
3
0 3 0
2 2
x x
 
      
nên
3 / 3 /9
1
cot3
3 / 3 4 / 9
3

x x
x
x x
 
  
   
 
   
 
    
 

e)
3 6
x
 
  
 2
2 6 2
x
  
   
nên
2 2 1 2
sin 2 2 arcsin arcsin
6 5 6 5 2 5 12
x x x
  
 
       

 
 

f)
2 4 2
2
x
x
   
     nên
2 2 2
cos 2 arccos 4 2arccos
2 3 2 3 3
x x
x
 
      
5) Tìm tập xác định của hàm số sau:
a)
1 cos
2sin 2
x
y
x



; b)
sin( 2)
cos2 cos

x
y
x x



;
c)
tan
1 tan
x
y
x


; d)
1
3cot 2 1
y
x


;
e)
2cos
sin cos
x
y
x x



; f)
sin
3 tan 1
x
y
x


;
g)
cot
1 cot
x
y
x


; h)
tan2
2 2sin
x
y
x


;
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L

Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
 Hướng dẫn:
a)
2
2
4
2sin 2 0 sin
32
2
4

x k
x x
x k





  


     


  


.
Tập xác định:
3
\ 2 ; 2
4 4
D R k k Z k k Z
 
 
 
      
 
 

b)
2
2 2
2
cos2 cos 0 cos2 cos
2
2 2
3
3
x k
x x k
x x x x x k
x x k
x k







 


       
 
  






Tập xác định:
2
\ ,
3
D R k k Z

 
 
 
 

c)
/ 2
/ 4
x k
x k
 
 
 


  

. Tập xác định: \ ;
2 4
D R k k Z k k Z
 
 

 
     
 
 

d)
2
/ 2
/ 6 / 2
cot2 1/ 3
x k
x k
x k
x


 






 
  
 



. Tập xác định: \ ;

6 2 2
D R k k Z k k Z
  
 
    
 
 

e)
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
 

 
       
 
 
. Tập xác định:
\
4
D R k k Z


 
  
 
 

f)

/ 2
/ 2
/ 6
tan 1/ 3
x k
x k
x k
x
 
 
 
 

 



 
 




. Tập xác định: \ ;
2 6
D R k k Z k k Z
 
 
 
    

 
 

g)
cot 1 / 4
x k x k
x x k
 
 
 
 

 
  
 
. Tập xác định: \ ;
4
D R k k Z k k Z

 
 
   
 
 

h)
/ 4 / 2
2 / 2
/ 4 2
4 2

sin 2 / 2
3 / 4 2
x k
x k
x k x k
x
x k
 
 
 
 
 
 

 

 
     
 




 

. Tập xác định: \
4 2
D R k k Z
 
 

  
 
 

6) Giải phương trình:
a)
2sin 4 sin3 cos3
x x x
 
; b)
3 3
cos3 cos sin3 sin 1
x x x x
 
;
c)
sin 2 (cot tan 2 ) 1
x x x
  
; d)
2 2 cos (sin cos ) 2 cos2 sin 2
x x x x x
   
;
e)
3 2
2tan cot
3 sin 2
x x
x

   ; f)
2
tan sin
3 4cos
tan sin 2
x x x
x x



;
g)
3
2
cos 2
3 sin 4
cos ( )
4
x
x
x

 

; h)
sin3 cos3
3cos sin
1 2sin 2
x x
x x

x

 

.
 Hướng dẫn:
a)
2 sin 4 sin3 cos3 2 sin 4 sin3 cos3 sin4 sin(3 )
4
x x x x x x x x

       
24 3 2
4
4
5 2
4 3 2
28 7
4
x kx x k
x kx x k



 

 

   


 


    

 

b)
3 3
cos3 cos sin3 sin 1
x x x x
 

1 1
cos3 (3cos cos3 ) sin3 (3sin sin3 ) 1
4 4
x x x x x x
   


2 2
3cos3 cos 3sin3 sin cos 3 sin 3 4
x x x x x x
   

3cos2 cos6 4
x x
 

3 3

3cos2 4cos 2 3cos2 4 cos 2 1 cos2 1 2 2
x x x x x x k x k
 
          

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1

1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
c) Điều kiện

cos2 0
4 2
sin 0
x
x k
x
x k
 



 



 





;
sin 2 (cot tan 2 ) 1
x x x
  

cos sin 2
sin 2 ( ) 1
sin cos2
x x

x
x x
   

cos2 cos sin 2 sin cos
sin 2 1 sin 2 1 tan 2 cot 1
cos2 sin cos2 sin
x x x x x
x x x x
x x x x

       

tan 2 tan tan 2 tan( )
3 3
x x x x x k
 

         thỏa điều kiện.
d)
2 2 cos (sin cos ) 2 cos2 sin 2
x x x x x
   

2
2 2 cos sin 2 2 cos 2 cos2 sin2
x x x x x
   



2 sin 2 2(1 cos2 ) 2 cos2 sin 2 ( 2 1)sin 2 ( 2 1)cos2 0
x x x x x x
         

sin 2 0
4 8 2
x x k
  
 
     
 
 

e) Điều kiện
cos 0 / 2
sin 0
2
x x k
x k
x x k
 


  
 
  
 
 
 
;

3 2
2tan cot
3 sin 2
x x
x
   
sin cos 3 2 2 3 2
tan tan
cos sin 3 sin 2 sin 2 3 sin 2
x x
x x
x x x x x
       
 tan tan
6 6
x x k
 

    thỏa điều kiện.
f) Điều kiện
cos 0 / 2
cos 0
sin 0
tan sin
2
cos 1 2
x x k
x
x x k x k
x x

x x k
 



  
 


 
     
  


 
 
 
.
2
tan sin
3 4cos
tan sin 2
x x x
x x




 
2

sin sin cos 1 cos
3 4cos 3 2 1 cos
sin sin cos 2 1 cos
x x x x x
x
x x x x
 
   
 


1 2
3 2(1 cos ) cos 2
2 3
x x x k


         thỏa điều kiện.
g) Điều kiện cos 0
4 4 2 4
x x k x k
   
 
 
        
 
 
;
3
2

cos 2
3 sin 4
cos ( )
4
x
x
x

 



2 2 3
3
2
2(cos sin )
3 sin 4 2(cos sin ) (cos sin ) 3 sin 4
(sin cos )
x x
x x x x x x
x x

      


2 2 2
2(cos sin )(cos sin ) 3 sin 4 2cos2 (1 sin 2 ) 3 sin 4
x x x x x x x x
       

3
cos2
2 12
x x k


     
h) Điều kiện
1
sin 2
2 12
x x k


      và
7
12
x k


  ;
sin3 cos3
3cos sin
1 2sin 2
x x
x x
x

 



3 3
3sin 4cos 4cos 3cos
3cos sin
1 2sin 2
x x x x
x x
x
  
 



2 2
(sin cos ) 3 4(sin sin cos cos )
3cos sin
1 2sin 2
x x x x x
x x
x
 
   
 
 


(sin cos ) 3cos sin
x x x x
    
 sin cos 0 sin( ) 0

4 4
x x x x k
 

        


THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C

1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.

. Trang 15
§
§
3
3
.
.


M
M
Ộ
Ộ
T
T


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ

Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G

G
G
I
I
Á
Á
C
C


K
K
H
H
Á
Á
C
C
.
.


1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX & COSX:



Dạng:
sin cos
a x b x c

 
trong đó a, b không đồng thời bằng 0.



Cách giải:
 Chia hai vế cho
2 2
a b

, ta được
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  

 Đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b














hoặc ngược lại, phương trình trở thành
 
2 2 2 2
sin cos sin cos sin
c c
x x x
a b a b
  
    
 

 Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là
2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
   


.



Ví dụ: Giải phương trình
sin 3 cos 2
x x 
1 3 2 2
sin 3 cos 2 sin cos sin cos sin cos
2 2 2 3 3 2
x x x x x x
 
        
7
2
12
sin sin
13
3 4
2
12
x k
x
x k


 




 

 
  

 
 

 



2) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:



Dạng:
2
0
at bt c
  
trong đó a, b, c là các hệ số thực a  0 còn t là một hàm số lượng giác.



Cách giải:

2
sin sin 0

a x b x c
  
. Đặt t = sinx, điều kiện | t |  1.

2
cos cos 0
a x b x c
  
. Đặt t = sinx, điều kiện | t |  1.

2
tan tan 0
a x b x c
  
. Điều kiện
2
x k


  , đặt t = tanx.

2
cot cot 0
a x b x c
  
. Điều kiện
x k


, đặt t = cotx.




Ví dụ: Giải phương trình
a)
2
2sin 5sin 3 0
x x
  
; b)
tan 2cot 1
x x
  
.
Giải:
a)
2
1
2
sin
6
2sin 5sin 3 0
2
5
sin 3
2
6
(loaïi)
x k
x

x x
x
x k





 




    



 
 




b) Điều kiện
cos 0
sin 0
2
x
x k
x




 



;
2
2
tan 2cot 1 tan 1 tan tan 2 0
tan
x x x x x
x
          

tan 1
4
tan 2
arctan( 2)
x
x k
x
x k





 






 

  


3) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX & COSX:



Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0
a x b x x c x d
   
.



Cách giải:
 Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình không.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư

Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H

H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 16
 Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được
2 2
tan tan (1 tan ) 0
a x b x c d x
    

 Giải phương trình bậc hai theo tanx.




Ví dụ: Giải phương trình
2 2
2sin 5sin cos cos 2 0
x x x x
   

Giải: Khi cosx = 0 thì sinx = 1 nên
2
2sin 2 0
x
 
. Vậy cosx = 0 không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế của phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2 2 2
tan 1
4
2tan 5tan 1 2(1 tan ) 0 4tan 5tan 1 0
1
1
tan
arctan
4
4

x
x k
x x x x x
x
x k





 



          




 




4) PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:



Dạng:
0

. 0
0
A
A B
B


 







Cách giải: Dùng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc … để xuất hiện nhân tử
chung.



Ví dụ: Giải phương trình
2 2 2
sin sin 3 2sin 2
x x x
 
Giải:
   
2 2 2
1 1
sin sin 3 2sin 2 1 cos2 1 cos6 1 cos4

2 2
x x x x x x
        


cos6 cos 2 2cos4 0 2cos4 cos2 2cos4 0 2cos4 cos2 1 0
x x x x x x x x
        

cos4 0
8 4
cos2 1
x
x k
x
x k
 



 










B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P


1) Giải phương trình:
a)
2
sin sin 0
x x
 
; b)
2
2cos 3cos 1 0
x x
  
;
c)

2
sin 2cos 2 0
2 2
x x
  
; d)
2
8cos 2sin 7 0
x x
  
;
e)
2
2tan 3tan 1 0
x x
  
; f)
tan 2cot 1 0
x x
  
;
 Hướng dẫn:
a)
2
sin 0
sin sin 0
sin 1
2
2
x k

x
x x
x
x k








   



 



b)
2
2
cos 1
2cos 3cos 1 0
1
2
cos
3
2

x k
x
x x
x k
x







    

  

 

c)
2 2
sin 2cos 2 0 cos 2cos 3 0 cos 3 cos 1 4
2 2 2 2 2 2
(loaïi);
x x x x x x
x k

            
d)
2 2
sin 0.5

8cos 2sin 7 0 8sin 2sin 1 0
sin 0.25
x
x x x x
x


       

 


5
2 ; 2 ; arcsin( 0.25) 2 ; arcsin( 0.25) 2 .
6 6
x k x k x k x k
 
    
          

e)
2
tan 1 / 4
2tan 3tan 1 0
tan 0.5 arctan( 0.5)
x x k
x x
x x k
 


    
 
    
 
    
 
thỏa điều kiện
2
x k


  .
f)
2
tan 2cot 1 0 tan tan 2 0 ; arctan( 2)
4
x x x x x k x k

 
             thỏa điều kiện
2
x k


  và
x k



THPT Tân Bình – Bình Dương.

L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 17
2) Giải phương trình:
a)
2 2
2sin sin cos 3cos 0
x x x x
  
; b)

2 2
3sin 4sin cos 5cos 2
x x x x
  
;
c)
2 2
sin sin2 2cos 1/ 2
x x x   ; d)
2 2
2cos 3 3sin2 4sin 4
x x x
   
;
e)
2 2
2sin 3 3sin cos cos 4
x x x x
  
; f)
2 2
3sin 4sin 2 (8 3 9)cos 0
x x x
   
;
g)
2 2
3sin 5 3sin cos 6cos 0
x x x x
  

; h)
2 2
sin (1 3)sin cos 3 cos 0
x x x x
   
;
i)
2 2
2sin sin cos 5cos 1
x x x x
  
; j)
2 2
4sin 3sin cos (4 3)cos 4
x x x x
   

 Hướng dẫn:
a) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2
2tan tan 3 0
x x
  

tan 1 / 4

tan 1.5 arctan( 1.5)
x x k
x x k
 

  
 
 
 
    
 

b) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2 2
3tan 4tan 5 2(1 tan )
x x x
   

2
tan 1 / 4
tan 4tan 3 0
tan 3 arctan3
x x k
x x
x x k

 

  
 
     
 
  
 

c) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2 2
1
tan 2tan 2 (1 tan )
2
x x x
   
2
tan 1 / 4
tan 4tan 5 0
tan 5 arctan( 5)
x x k
x x
x x k
 


  
 
     
 
    
 

d) Khi cosx = 0  sinx = 1 thỏa phương trình
2
4sin 4
x
  
nên
2
x k


  là một họ nghiệm.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2 2
2 6 3 tan 4tan 4(1 tan )
x x x
    

6 3 tan 6 tan tan
6 6

x x x k
 

     

Vậy phương trình có các nghiệm là
2
x k


  ,
6
x k


  , kZ.
e) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2
2tan 3 3 tan 5 0
x x
  

Phương trình này vô nghiệm nên phương trình ban đầu vô nghiệm.
f) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho

2
cos
x
, ta được
2
3tan 8tan 8 3 9 0
x x
   

tan 3
3
8
tan 3
arctan( 8 / 3 3)
3
x
x k
x
x k



 
 
  
 
 
 
  
   

 
 

g) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2
3tan 5 3 tan 6 0
x x
  

tan 2 3
arctan 2 3
3
tan
6
3
x
x k
x k
x







 


 


  
 





h) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2
tan (1 3) tan 3 0
x x
   

tan 1
4
tan 3
3
x k
x

x
x k





  

 

 


 


  



THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N

G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
i) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2 2
2tan tan 5 1 tan
x x x
   
2
tan 2 arctan 2
tan tan 6 0
tan 3 arctan( 3)
x x k

x x
x x k


  
 
     
 
    
 

j) Khi cosx = 0  sinx = 1 thỏa
2
4sin 4
x

nên
2
x k


  là một họ nghiệm của phương trình.
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, ta được
2 2
4tan 3tan 4 3 4(1 tan )
x x x

    
3tan 3 tan tan
6 6
x x x k
 

      .
Vậy phương trình có các nghiệm là
2
x k


  ,
6
x k


  , kZ.
3) Giải phương trình:
a)
cos 3 sin 2
x x  ; b)
3sin3 4cos3 5
x x
 
;
c)
2sin 2cos 2 0
x x
  

; d)
5cos2 12sin2 13 0
x x
  
.
 Hướng dẫn:
a)
2
1 3 2
12
cos 3sin 2 cos sin cos cos
72 2 2 3 4
2
12
x k
x x x x x
x k


 



  

 
        

 
 


  



b)
3 4 2
3sin3 4cos3 5 sin3 cos3 1 sin(3 ) 1
5 5 3 6 3
x x x x x x k
  

            ,
3
cos
5

 

 
 

c)
7
2
2 1
12
2sin 2cos 2 0 sin cos sin
2 4 2
2

12
x k
x x x x x
x k






 

 
         

 
 

  



d)
5 12
5cos 2 12sin 2 13 cos2 sin 2 1 sin(2 ) 1
13 13 4 2
x x x x x x k
 
 
            ,

5
sin
13

 

 
 

4) Giải phương trình:
a)
3
3sin 3cos12 1 4sin 4
4
x x x
  
; b)
sin5 cos3 3(sin3 cos5 )
x x x x
  
;
c)
 
6 6
3 3
4 sin cos sin 4 1
2
x x x
  
; d)

1 3
8sin
sin cos
x
x x
 
;
e)


4 2 4 2
3 cos 3sin sin 4cos cos 4sin
x x x x x x
    

 Hướng dẫn:
a)
3
3sin4 4sin 4 3cos12 1
x x x
  

1 3 1
sin12 3 cos12 1 sin12 cos12
2 2 2
x x x x
    

12 / 2 2 / 24 / 6
sin 12 sin

12 7 / 6 2 7 / 72 / 6
3 6
x k x k
x
x k x k
   
 
   
   
 
 
   
 
 
   
 
 

b)
sin5 cos3 3(sin3 cos5 )
x x x x
  

1 3 1 3
sin5 cos5 cos3 sin3
2 2 2 2
x x x x
   
12
sin 5 sin 3

3 6
16 4
x k
x x
x k


 
 

  

   
   

   
   

 



c)
 
6 6 2
3 3 3 3 3
4 sin cos sin 4 1 4 1 sin 2 sin 4 1
2 4 2
x x x x x
 

       
 
 

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1

1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 19
3 3 3 1 3 1 2
(1 cos4 ) sin 4 3 cos4 sin 4 cos 4 cos

2 2 2 2 2 3 3
x x x x x
 
   
           
   
   


 
;
4 2 12 2
x k x k k Z
   
     
d) Điều kiện
cos 0 / 2
sin 0
2
x x k
x k
x x k
 


  
 
  
 
 

 
:
1 3
8sin cos 3sin 8sin sin cos cos 3sin 4sin 2 sin
sin cos
x x x x x x x x x x
x x
       

 
1 3
cos 3sin 2 cos3 cos cos sin cos3 cos cos3
2 2 3
x x x x x x x x x

 
         
 
 


 
;
6 12 2
x k x k k Z
  

     
e)



4 2 4 2
3 cos 3sin sin 4sin 1 cos 4cos 1
x x x x x x
      

2 2
3(cos 3sin ) 2 sin 2 cos 3(cos 3sin ) 3 cos 3sin 1
x x x x x x x x
          

2
2
1 3 1 1
cos sin cos
3
2 2 2 3 2
2
x k
x x x
x k





 
 

     

 

 



5) Giải phương trình:
a)
sin 2 6cos 0
x x
 
; b)
2
4sin sin 4 2
x x
 
;
c)
sin sin 2 sin3 0
x x x
  
; d)
cos cos2 cos3 0
x x x
  
;
e)
sin 2sin5 cos
x x x
 

; f)
2sin2 2sin4 0
x x
 

 Hướng dẫn:
a) sin 2 6cos 0 2sin cos 6cos 0 2cos (sin 3) 0 cos 0
2
x x x x x x x x x k


            
b)
2
4sin sin 4 2 2(1 cos2 ) 2sin2 cos2 2 cos2 (1 sin2 ) 0
x x x x x x x
        

2
cos2 0
2 4 2
sin 2 1
4 2
2 2
2 4
x k x k
x
x k
x
x k x k

  

 
 
 
 
   
 


     
 

 

 
     
 
 

c)
sin3 sin sin 2 0 2sin 2 cos sin2 0 sin 2 (2cos 1) 0
x x x x x x x x
        

sin 2 0
2 2
; 2 ; 2
1
2 3 3

cos
2
x
x k x k x k
x
  
 



       

 


d)
cos3 cos cos2 0 2cos2 cos cos2 0 cos2 (2cos 1) 0
x x x x x x x x
        


cos2 0
; 2 .
1
2 3
cos
2
x
x k x k
x

 
 



     




e)
sin cos 2 sin5 sin sin5
4
x x x x x

 
    
 
 

16 2
8 3
x k
x k
 
 

 




 



f)
2sin 2 2 sin 4 0 2sin 2 2 2 sin 2 cos 2 0 2sin 2 (1 2 cos2 )
0
x x x x x x x
       


sin 2 0
2sin 2 0
2
2
1 2 cos2 0
cos2
3 /8
2
x
x
x k
x
x
x k

 









 



 
 

  




THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G

G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
6) Giải phương trình:
a)
sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3
x x x x x x
    
; b)
2
2 sin 2 1 4sin 2 sin
2
x
x x
  
;
c)
1 1 2
sin 2 cos2 sin 4
x x x
  ; d)

cos2
sin cos
1 sin 2
x
x x
x
 

;
e)
1 cos2 sin 2
cos 1 cos2
x x
x x



; f)
 
sin 2 cot3 sin 2 2cos5 0
2
x x x x


 
    
 
 
;
g)

2
tan cos4 2
x x
 
; h)
2
(2sin 1)(3cos4 2sin 4) 4cos 3
x x x x
    
.
 Hướng dẫn:
a) 2sin2 cos sin 2 2cos2 cos cos2 sin 2 (2cos 1) cos2 (
2cos 1)
x x x x x x x x x x
      

(2cos 1)(sin 2 cos2 ) 0
x x x
  
1
2
cos
2
2cos 1 0
2
3
sin 2 cos2 0
2 sin 2 0
4
8 2

x
x k
x
x x
x
x k



 


 
  


 


  


 
 



 
 
 




 


b)
2
2 sin 2 1 4sin 2 sin 2 2 sin cos 1 2(1 cos ) 2 sin
2
x
x x x x x x
       
2 2 sin cos 2 sin 2cos 1 0 2sin (2cos 1) 2cos 1 0
x x x x x x x
         

cos 1/ 2
5
(2cos 1)( 2 sin 1) 0 2 ; 2 ; 2
3 4 4
sin 2 / 2
x
x x x k x k x k
x
  
  


             


 


c) Điều kiện sin4x  0:
1 1 2
sin 2 cos2 1 2sin 2 1
sin 2 cos2 sin 4 4
x x x
x x x

 
       
 
 


2 2
sin 2 sin
4 4
2 2
2
x k
x
x k

 





 

  
 

 
 

không thỏa điều kiện. Vậy phương trình vô nghiệm.
d) Điều kiện sin2x  1:
2 2
2
cos2 cos sin
sin cos sin cos
1 sin 2 (cos sin )
x x x
x x x x
x x x

    
 

 
sin cos 0
sin cos 1
sin cos sin cos 1 0
cos sin 1
cos sin cos sin
x x

x x
x x x x
x x
x x x x
 


 
       
 

 
 
 


2sin 0 sin 0
4
4 4
2
2 cos 1 cos cos
2
4 4 4
2
x k
x x
x k
x x
x k


 


  



 
  
   

   
   
 

   
 
   

 
   

   
    
  

   
 

đều thỏa điều kiện.

e) Điều kiện cosx  0 và cos2x  1:
2
2
1 cos2 sin 2 2cos 2sin cos 1
1
cos 1 cos2 cos 2sin 2sin
x x x x x
x x x x x

    


2
1
6
sin 2
52
2
6
x k
x
x k





 

  



 


đều thỏa điều kiện.
f) sin3x  0:
 
cos3
sin 2 cot3 sin 2 2 cos5 0 cos2 sin2 2 cos5 0
2 sin3
x
x x x x x x x
x


 
        
 
 

cos3 cos 2 sin3 sin 2 2 cos5 sin 3 0 cos5 2 cos5 sin3 0
x x x x x x x x x
      

 
cos5 0
2 2
cos5 1 2 sin3 0 ; ;
10 5 12 3 4 3

sin3 sin
4
x
x x x k x k x k
x
     




          




THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G

I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P

P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 21
g) Điều kiện cosx  0:
2
2 2
2
sin 1 cos2
tan cos4 2 cos4 2 2cos 2 1 2
cos 1 cos2
x x
x x x x
x x

        


2 3 2
1 cos2 (1 cos2 )(1 2cos 2 ) 2cos 2 2cos 2 2cos2 0
x x x x x x
        

 
2

cos2 cos 2 cos2 1 0 cos2 0
4 2
x x x x x k
 
         thỏa điều kiện.
h)
2
(2sin 1)(3cos4 2sin 4) 4cos 3
x x x x
     

2 2
6sin cos4 4sin 8sin 3cos4 2sin 4 4cos 3 0
x x x x x x x
       

6sin cos4 6sin 3cos4 3 0 2sin (cos4 1) cos4 1 0
x x x x x x x
         

  
cos4 1
7
cos4 1 2sin 1 0 ; 2 ; 2
1
2 6 6
sin
2
x
x x x k x k x k

x
  
 



          

 


…
…






…
…


Ô
Ô
N
N


T

T
Ậ
Ậ
P
P


&
&


K
K
I
I
Ể
Ể
M
M


T
T
R
R
A
A


C

C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


I
I
.
.


1) Tìm tập xác định của hàm số:
a) tan 2
5
y x

 
 
 
 
; b)
2 cos

1 sin
x
y
x



;
c)
1 sin 2
cot 2
x
y
x

 ; d)
1 cos
1 tan
x
y
x



;
 Hướng dẫn:
a) Hàm số xác định khi
3 3
2 2
5 2 10 20 2

x k x k x k
    
 
        
Tập xác định
3
\ ,
20 2
D R k k Z
 
 
  
 
 

b) Vì 2 + cosx > 0 x và 1 + sinx  0 x nên hàm số xác định khi
1 sin 0 sin 1 2
2
x x x k


        
Tập xác định \ 2 ,
2
D R k k Z


 
   
 

 

c) Hàm số xác định khi sin2x  0 và cos2x  0 
2
2
4
2
2
4 2
x l
x l
x k
x h
x h




 






 
  
 
 
 

 




Tập xác định \ ,
4
D R k k Z

 
 
 
 

d) Hàm số xác định khi cosx  0 và tanx  1 
2
4
x k
x k





 




 




Tập xác định
\ ;
2 4
D R k k k Z
 
 
 
   
 
 

2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2sin 3
2 5
x
y

 
  
 
 
; b)
2
1 2 3 cos
y x
   ;

c)
4 4
cos 2 sin
y x x
   ; d)
3sin cos
y x x
 
.
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C

C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á

p
p
.
. Trang 22
a) Ta có
1 sin 1 5 2sin 3 1 5 1
2 5 2 5
hay
x x
y
 
   
              
   
   
. Do đó
Min y = – 5 khi
7
sin 1 2 4
2 5 2 5 2 5
x x
k x k
   
 
 
           
 
 

Max y = –1 khi

3
sin 1 2 4
2 5 2 5 2 5
x x
k x k
   
 
 
        
 
 

b) Ta có
2 2
0 cos 1 3 1 2 3 cos 1 2 3 3 1 2 3
hay x x y             . Do đó
Min y = –3 khi
2
cos 1 2
cos 1
cos 1 2
x x k
x k
x x k


 
 
 
   

 
   
 

Max y =
1 2 3
 khi cos 0
2
x x k


   
c) Ta có




4 4 2 2 2 2
cos 2 sin cos sin cos sin 2 cos2 2
y x x x x x x x
        
.
Ta có
1 cos2 1 3 cos2 2 1 3 1
hay
x x y
            

Min y = –3 khi cos2 1 2 2
2

x x k x k

  
       
Max y = –1 khi
cos2 1 2 2
x x k x k
 
    

d) Ta có
3 1
3sin cos 2 sin cos 2 sin cos sin cos 2sin
2 2 6 6 6
y x x x x x x x
  
 
   
       
 
   
 
   
 

Ta có
1 sin 1 2 2sin 2 2 2
6 6
hay
x x y

 
   
           
   
   

Min y = –2 khi
sin 1 2 2
6 6 2 3
x x k x k
   
 
 
           
 
 

Max y = –1 khi
2
sin 1 2 2
6 6 2 3
x x k x k
   
 
 
        
 
 

3) Giải phương trình:

a)
3sin
0
1 cos
x
x


; b)
sin 3 cos
0
3 2sin
x x
x



;
c)
3 3
sin cos cos
x x x
 
; d)
2 2
4sin 2sin 2 2cos 1
x x x
  
;
e)

sin sin3 sin5
0
cos cos3 cos5
x x x
x x x
 

 
; f)
2 2
1
cos 2 sin
2
x x
 
;
g)
2 2 2
sin sin 3 2sin 2
x x x
 
; h)
sin cos 4sin cos 1 0
x x x x
   
;
i) cos4 2 sin 2
4
x x


 
 
 
 
; j)
3 3
cos sin cos sin
x x x x
  
.
 Hướng dẫn:
a) Điều kiện
cos 1 2
x x l
 
    

3sin
0 sin 0
1 cos
x
x x h
x

    

. Kết hợp với điều kiện  nghiệm phương trình là
2
x k



, kZ.
b) Điều kiện
2
3
3
sin sin sin
22 3
2
3
x l
x x
x l






 


   


 



sin 3 cos

0 sin 3cos 0 tan 3
3
3 2sin
x x
x x x x h
x



        

. Kết hợp điều kiện, nghiệm
của phương trình là
2
2
3
x k


   .
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G

G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n

h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 23
c)
3 3 3 2 2
sin cos cos sin cos (1 cos ) 0 sin (sin cos ) 0
x x x x x x x x x
        

sin 0
tan 1
4
x k
x
x
x k









 



 



d) Với cosx = 0 không là nghiệm, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
, phương trình trở thành
2 2 2
4tan 4tan 2 1 tan 3tan 4tan 1 0
x x x x x
       

tan 1
4
1
1
tan
arctan
3

3
x k
x
x
x k




  
 




 

  

  
  

 


e)
sin5 sin sin3 2sin3 cos2 sin3 sin3 (2cos2 1)
0 0 0
cos5 cos cos3 2cos3 cos2 cos3 cos3 (2cos2 1)
x x x x x x x x

x x x x x x x x
   
    
   
(*)
Điều kiện
cos3 0
6 3
1
6 3
cos2
2
6
x
x k
x k
x
x k
 
 




 


 
   
 


 
  




(*)  sin3x = 0 
3
x k

 thỏa điều kiện.
f)
2 2 2 2
1 1 cos2 1
cos 2 sin cos 2 2cos 2 cos2 0
2 2 2
x
x x x x x

       

cos2 0
4 2
1
cos2
2
6
x
x k

x
x k
 




 



 




  




g)
1 cos 2 1 cos6 2(1 cos4 )
2cos 4 cos6 cos2 2cos4 2cos4 cos2
2 2 2
x x x
x x x x x x
  
      
cos4 0

2cos4 (cos2 1) 0
8 4
cos2 1
x
x k
x x
x
x k
 



 


    







h)
sin cos 4sin cos 1 0
x x x x
   
.
Đặt t = sinx + cosx, điều kiện
2

t  
2 2
1 2sin cos 4sin cos 2( 1)
t x x x x t
    

Phương trình trở thành
2 2
2( 1) 1 0 2 3 0 1
t t t t t
          
(nhận)
3
;
2
t

(loại)
Với t = –1  sinx +cosx = – 1 
2
2 sin 1 sin sin
2
4 4 4
2
x k
x x
x k


  

 

  
     

       
     

     
 


i)
2 2
cos4 2 sin 2 cos4 sin2 cos2 cos 2 sin 2 (cos2 sin 2 ) 0
4
x x x x x x x x x

 
         
 
 

tan 2 1
cos2 sin 2 0
(cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 1) 0
2 cos 2 1
cos2 sin2 1
4
x

x x
x x x x
x
x x

 

 


      
 


 
 

 

 


; ;
8 2 4
x k x k x k
  
 
       

j)

3 3 2 2
cos sin (cos sin )(cos sin )
x x x x x x
   

3 3 3 3 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin (2sin sin cos co
s ) 0
x x x x x x x x x x x x x
         

 sinx = 0  k. (
2 2 2
2sin sin cos cos 0 2 tan tan 1 0
x x x x x x
      
vô nghiệm).
THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G

G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 24
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P


N
N
Â

Â
N
N
G
G


C
C
A
A
O
O


&
&


C
C
Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ề

Ề


T
T
H
H
I
I


Đ
Đ
H
H


–
–


C
C
Đ
Đ
.
.


1) Giải phương trình:

2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
x x x x
  

1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x
   
  

 cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = 0  2cos5xcosx + 2cos5xcos3x = 0
 2cos5x(cos3x + cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

k
x
x k
x
l
x x k x k l n
x
x k x n

 

  

 
 


 
 









        








   







2) Giải phương trình:


6 6 8 8
cos sin 2 cos sin
x x x x
  

8 6 6 8 6 2 6 2
2cos cos sin 2sin cos (2cos 1) sin (1 2sin )
x x x x x x x x
      

6 6 2 2 4 2 2 4
cos2 (cos sin ) 0 cos2 (cos sin )(sin sin cos cos ) 0
x x x x x x x x x x
      


4 2 2 4
cos2 .cos2 (sin sin cos cos ) 0
x x x x x x
  

 cos2x = 0 

2 ,( )
2 4 2
k
x k x k
  

     


3) Giải phương trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2sin sin3 6 2 cos 1 0
x x x x
   

3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin3 2
(1 cos2 )(cos2 cos 4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2
2(cos2 cos2 cos4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )
2
2 2
cos2 .cos 2 cos2
4 2 8
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x

x x x x x
x x x x

    
  
      
     
       
,( )
k k




4) Giải phương trình:
8 8
17
sin cos
32
x x 
4 4
4 2
1 cos2 1 cos2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
 
   
      

   
   

Đặt
2
cos 2
t x
 , với t[0; 1], ta có
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0
13
4 4
2
t
t t t t
t



       


 



Vì t[0;1], nên

2
1 1 cos4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x

    

 cos4x = 0 
4 ,( )
2 8 4
x k x k k
  

     


5) Giải phương trình:
3
2sin cos2 cos 0
x x x
  


2 2 2 2
2sin (1 cos ) 2cos 1 cos 0 2sin (1 cos ) 2(1 cos ) cos 1
0
x x x x x x x x
           

 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)

x x k k
x x x x

   



   



Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
| | 2
t 
, khi đó phương trình (*) trở thành
2
2 1 1 0
t t
   

THPT Tân Bình – Bình Dương.
L
L
Ư
Ư

Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C


1
1
1
1.
Gv:
L
L
ê
ê


H

H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 25

2
2 0
t t
 
0
sin cos ,( )
2 ( )
4
loaïi
t

x x x n n
t




        

 



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
x n


   ;
2 , ( , )

x k n k

 


6) Giải phương trình:
3 2
cos cos 2sin 2 0
x x x
   

 
2 2
cos (cos 1) 2sin 2 0 (1 sin )(cos 1) 2(1 sin ) 0
(1 sin ) (1 sin )(1 cos ) 2 0 (1 sin )(sin cos sin cos 1
) 0
1 sin 0 (1)
sin cos sin cos 1 0 (2)
x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x
         
           
 



   


(1) có nghiệm
2
2
x k


 
(2): Đặt t = sinx +cosx (| t | 
2

) 
2
1 2sin cos
t x x
 
. Phương trình trở thành:
2
2
1
2
2 3 0 ; 1 sin cos 1 sin
3
4 2
2
2
(loaïi)
x k
t
t t t x x x
t
x k








 


           
 


 
 
 



ĐS:
2 ; 2
2
x k x k

 
  
.
7) Giải phương trình:
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )
x x x x
   


2 2 2
cos sin 5 4(sin cos ) 2cos sin 2cos
x x x x x x x
     

2 2 2
cos sin 2sin cos 4(sin cos ) 5 0 (sin cos ) 4(sin cos
) 5 0
x x x x x x x x x x
            

sin cos 1
sin cos 5 (
loaïi)
x x
x x
 



  

2
2 sin 1 sin sin ( )
2
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k


  
 


 
   

       
   

   
 


8) Giải phương trình: 2cos3x +
3
sinx + cosx = 0

3 sin cos 2cos3 0
x x x
  
 sin
3

sinx + cos
3

cosx = – cos3x.  cos
cos3
3
x x

 
 

 
 

cos
cos( 3 )
3
x x


 
  
 
 

3 2
( )
3
k
x
k
x k
 



 





 



 x =
3 2
k
 
 (kZ)
9) Giải phương trình:
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x

 
 cos3x(3cosx + cos3x) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2
2



 
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x


    
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
 
     
.
10) Giải phương trình:
2
2cos 2 3sin cos 1 3(sin 3 cos )
x x x x x
   

2
(sin 3cos ) 3(sin 3cos ) 0
x x x x
    

sin 3cos 0 sin 3 cos 3
x x x x
     

tan 3
3
x x k


      
11) Giải phương trình:

1 1
s sin 2 2
2sin sin 2
in2 cot
x x x
x x
   
ĐK: sinx ≠ 0, cosx ≠ 0
1 1
s sin 2 2
2sin sin 2
in2 cot
x x x
x x
   
s sin 2 .sin cos 1 2 2
2
in 2 cos
x x x x x
    