Giáo án tự chon đại số và giải tích 11 phần lượng giác

Giáo án tự chọn: Đại số và giải tích 11 – Chương I
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TIẾT 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Ngày 6 tháng 9 năm 2008
I. MỤC TIÊU:
- Giúp học sinh ôn tập các kiến thức về hàm số lượng giác và một số cong thức lượng giác đơn giản.
- Rèn luyên kỹ năng giải một số bài toán về các tính chất của hàm số lượng giác.
II. CHUẨN BỊ: Giáo án, ôn bài ở nhà…
III. PHƯƠNG PHÁP: Đàm thoại + giảng giải,…
A. Kiến thức cần nhớ
1.
Cung đối nhau
cos(-
α
) = cos
α
; sin(-
α
) = -sin
α
; tan(-
α
) = -tan
α
; cot(-
α
) = cot(-
α
)

 Cung bù nhau
sin
)(
απ
−
= sin
α
cos
)(
απ
−
= -cos
α
tan
)(
απ
−
= -tan
α
cot
)(
απ
−
= -cot
α
 Cung hơn kém
π
sin
)(
απ

+
= - sin
α
cos
)(
απ
+
= -cos
α
tan
)(
απ
+
= tan
α
cot
)(
απ
+
= cot
α
 Cung phụ nhau
sin
)
2
(
α
π
−
= cos

α
cos
)
2
(
α
π
−
= sin
α
tan
)
2
(
α
π
−
= cot
α
cot
)
2
(
α
π
−
= tan
α
 Công thức cộng
cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb; sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa

tan(a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan
−
+
 Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina cosa
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a; tan2a =
a
a
2
tan1
tan2
−
 Công thức hạ bậc
cos
2
a =
2
2cos1 a
+

; sin
2
a =
2
2cos1 a
−
; tan
2
a =
a
a
2cos1
2cos1
+
−
 Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb =
[ ]
)cos()cos(
2
1
baba
++−
; sina sinb =
[ ]
)cos()cos(
2
1
baba
+−−

sina cosb =
[ ]
)sin()sin(
2
1
baba
++−
 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos
2
vu
+
cos
2
vu
−
; cosu - cosv = -2sin
2
vu
+
sin
2
vu
−
sinu + sinv = 2sin
2
vu
+
cos
2

vu
−
; sinu - sinv = 2cos
2
vu
+
sin
2
vu
−
2. Hàm số sin
• Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1
≤
sinx
≤
1,
Rx
∈∀
.
• Là hàm số lẻ.
• Tuần hoàn với chu kì 2
π
.
Võ Hữu Hà - Giáo viên Trường THPT Cẩm Xuyên
1
Giáo án tự chọn: Đại số và giải tích 11 – Chương I
• Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:
+ sinx = 0
⇔
x = k

π
, k
∈
Z
+ sinx = 1
⇔
x =
π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
+ sinx = -1
⇔
x = -
π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
3. Hàm số côsin
• Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1

≤
cosx
≤
1,
Rx
∈∀
.
• Là hàm số chẵn.
• Tuần hoàn với chu kì 2
π
.
• Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:
4. Hàm số tang
• Hàm số y = tanx =
x
x
cos
sin
có tập xác định là D= R\






∈+
Zkk ,
2
π
π

• Là hàm số lẻ.
• Tuần hoàn với chu kì
π
.
• Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:
+ tanx = 0
⇔
x = k
π
, k
∈
Z
+ tanx = 1
⇔
x =
π
π
k
+
4
, k
∈
Z
+ tanx = -1
⇔
x = -
π
π
k

+
4
, k
∈
Z
5. Hàm số côtang
• Hàm số y = cotx =
x
x
sin
cos
có tập xác định là D= R\
{ }
Zkk
∈
,
π

• Là hàm số lẻ.
• Tuần hoàn với chu kì
π
.
• Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:
+ cotx = 0
⇔
x =
π
π
k
+

2
, k
∈
Z
+ cotx = 1
⇔
x =
π
π
k
+
4
, k
∈
Z
+ cotx = -1
⇔
x = -
π
π
k
+
4
, k
∈
Z
B. Ví dụ và bài tập
VD1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = sin(2x + 1); b. y = cos
x

1
; c. y = tan(x +
2
π
); d. y = cot(2x -
3
2
π
)
Giải
a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R.
b. Hàm số y = cos
x
1
xác định khi x
≠
0. Vậy tập xác định của hàm số y = cos
x
1
là D = R\
{ }
0
.
c. Hàm số y = tan(x +
2
π
) xác định khi x +
2
π
≠

2
π
+ k
π

⇔
x
≠
k
π
. Vậy tập xác định của hàm số là D = R\
{ }
Zkk
∈
,
π
.
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = sin
x
b. y =
x
x
sin
cos1
+
c. y =
x
x
cos3

tan
+
; d. y =
1sin
cot
−
x
x
e. y = cot(
)
3
5
3
π
+
x
Võ Hữu Hà - Giáo viên Trường THPT Cẩm Xuyên
2
Giáo án tự chọn: Đại số và giải tích 11 – Chương I
f. y =
5cos
1sin
+
+
x
x
; g. y =
1sin
3cos
+

+
x
x
h. y = tan(
x3
3
2
−
π
) i. y = sin
1
1
2
−
x
; k. y =
x
x
3sin
3tan
+
l. y = cos
1
2
−
x
x
m. y =
xcos1
+

; n. y =
xx 3coscos
1
−
p. y = tanx + cotx q. y =
x
x
cos1
cos1
+
−
VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx b. y =
4
cos32
2
x
+
c. y =
53sin2
+
x
Giải
a. Vì -1
≤
sinx
≤
1 nên -2
≤
2sinx

≤
2 do đó 1
≤
3 + 2sinx
≤
5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1
⇔
x = -
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
b. Vì 0
≤

cos
2
x
≤
1 nên 2
≤
2 + 3cos
2
x
≤
5 do đó
2
1
≤
4
cos32
2
x
+
≤
4
5
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
4
5
, đạt được khi cosx =
±
1
⇔

x =
π
k
, k
∈
Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
2
1
, đạt được khi cosx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
c. Vì -1
≤
sin3x
≤
1 nên 3
≤
2sin3x +5
≤
7 do đó
3

≤
52sin3x
+
≤
7
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
7
, đạt được khi sin3x = 1
⇔
3x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
⇔
x =
36
ππ
k
+
, k
∈
Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
3

, đạt được khi sin3x = -1
⇔
3x = -
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
⇔
x = -
36
ππ
k
+
, k
∈
Z.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y =
xcos25
−
b. y = 1- 2sin
2
2x c. y = 4 - 3
xcos
; d. y =
x

2
sin21
3
+
e. y =
3
cos52
2
x
−
f. y =
xsin2
2
−
; g. y = 1 – sin2x h. y = 3sin(x-
4
π
) -1 i. y = -2 +
xcos1
−
k. y = 2cos
1
−
x
l. y = 3
xsin
+ 1 m. y = 2- 3cosx
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
• f(x) là hàm số chẵn trên D




=−
∈−∈∀
⇔
)()( xfxf
DxthìDx
; f(x) là hàm số lẻ trên D



−=−
∈−∈∀
⇔
)()( xfxf
DxthìDx
Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = sin2x b. y = -2 +3cosx c. y = cosx – sinx
d. y = tanx.sinx e. y = cos
2
x + sin
x
f. y = cotx.
xsin
TIẾT 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Ngày tháng năm 2008
I. MỤC TIÊU:
- Giúp học sinh ôn tập các kiến thức về phương trình lượng giác.

Võ Hữu Hà - Giáo viên Trường THPT Cẩm Xuyên
3
Giáo án tự chọn: Đại số và giải tích 11 – Chương I
- Rèn luyên kỹ năng giải một số phương trình lượng giác cơ bản.
II. CHUẨN BỊ: Giáo án, ôn bài ở nhà…
III. PHƯƠNG PHÁP: Đàm thoại + giảng giải,…
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình sinx = a (1)
• Nếu
a
>1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
• Nếu
a
≤
1: gọi
α
là cung thoả mãn sin
α
= a. Khi đó
sinx = a
⇔
sinx = sin
α
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx

∈



+−=
+=
παπ
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện -
2
π
≤
α
≤
2
π
và sin
α
= a thì ta viết
α
= arcsina. Khi đó nghiệm của
phương trình (1) là

)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax

kax
∈



+−=
+=
ππ
π
Phương trình sinx = sin
0
β
)(
360180
360
000
00
Zk
kx
kx
∈




+−=
+=
⇔
β
β

Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cosx = a (2)
• Nếu
a
>1 thì phương trình (2) vô nghiệm.
• Nếu
a
≤
1: gọi
α
là cung thoả mãn cos
α
= a. Khi đó
cosx = a
⇔
cosx = cos
α
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=
+=

πα
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện 0
≤
α
≤
π
và cos
α
= a thì ta viết
α
= arccosa. Khi đó nghiệm của
phương trình (2) là

)(
2cos
2cos
Zk
kaarcx
kaarcx
∈



+−=
+=
π
π

Phương trình cosx = cos
0
β
)(
360
360
00
00
Zk
kx
kx
∈




+−=
+=
⇔
β
β
3. Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện
Zkkx
∈+≠
,
2
π
π
Gọi

α
là cung thoả mãn tan
α
= a. Khi đó
tanx = a
α
tantan
=⇔
x
)(, Zkkx
∈+=⇔
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện -
2
π
<
α
<
2
π
và tan
α
= a thì ta viết
α
= arctana. Lúc đó nghiệm của phương
trình (3) là:
x = arctana + k
π

, (
Zk
∈
)
Phương trình tanx = tan
0
β
)(180
00
Zkkx
∈+=⇔
β
4. Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện
Zkkx
∈≠
,
π
Gọi
α
là cung thoả mãn cot
α
= a. Khi đó
cotx = a
α
cotcot
=⇔
x
)(, Zkkx
∈+=⇔

πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện 0<
α
<
π
và cot
α
= a thì ta viết
α
= arccota. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:
x = arccota + k
π
, (
Zk
∈
)
Phương trình cotx = cot
0
β
)(180
00
Zkkx
∈+=⇔
β
B. Ví dụ và bài tập
Võ Hữu Hà - Giáo viên Trường THPT Cẩm Xuyên
4
Giáo án tự chọn: Đại số và giải tích 11 – Chương I

VD1: Giải các phương trình sau:
a. sinx =
2
3
b. sin2x =
4
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2
1
−
d. tan(x – 60
0
) =
3
1
e. cot(x -
3
π
)= 5 f. cos(x -75
0
) = -1
*g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0
Giải
a. sinx =
2
3

3
sinsin
π
=⇔
x

Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
⇔
π
π
π
π
π
2
3
2
3

Zk
kx
kx
∈






+=
+=
⇔
π
π
π
π
2
3
2
2
3
Vậy nghiệm của phương trình sinx =
2
3
là:
Zk
kx
kx
∈







+=
+=
π
π
π
π
2
3
2
2
3
b. sin2x =
4
1

Zk
kx
kx
∈







+−=
+=
⇔
ππ
π
2
4
1
arcsin2
2
4
1
arcsin2

Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
⇔
π
π

π
4
1
arcsin
2
1
2
4
1
arcsin
2
1
Vậy nghiệm của PT sin2x =
4
1
là:
Zk
kx
kx
∈






+−=
+=
π
π

π
4
1
arcsin
2
1
2
4
1
arcsin
2
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2
1
−

⇔
cos(2x +
4
π
)= cos
3
2
π

Zk
kx
kx
∈






+−=+
+=+
⇔
π
ππ
π
ππ
2
3
2
4
2
2
3
2
4
2

Zk
kx

kx
∈






+−=
+=
⇔
π
π
π
π
24
11
24
5
Võ Hữu Hà - Giáo viên Trường THPT Cẩm Xuyên
5