Chuyên đề Khỏa sát hàm số

Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y
′
. Tìm các điểm mà tại đó y
′
= 0 hoặc y
′
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
′
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch
biến của hàm số.
VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
593
23
+−−= xxxy
• D=R
•
963'

2
−−= xxy
Cho



=
−=
⇒=−−⇔=
3
1
09630'
2
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số đồng biến:
)1;( −−∞
và
);3( +∞
Hàm số nghịch biến:
)3;1(−
b)
733
23
++−= xxxy
• D=R
•
363'

2
+−= xxy
Cho
103630'
2
=⇒=+−⇔= xxxy
• BBT
• Vậy: hàm số ln đồng biến trên D
c)
12
24
−−= xxy
• D=R
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
1
•
xxy 44'
3
−=
Cho



=
=
⇒=−⇔=
1
0
0440'
2

3
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số tăng :
)0;1(−
và
);1( +∞
Hàm số giảm:
)1;( −−∞
và
)1;0(
d)
122
34
++−= xxxy
• D=R
•
264'
23
+−= xxy
Cho




−=
=
⇒=+−⇔=

2
1
0
02640'
23
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số tăng :
);
2
1
( +∞−

Hàm số giảm:
)
2
1
;( −−∞
e)
1
1
−
+
=
x
x
y
• D=

}1{\R
•
0
)1(
2
'
2
<
−
−
=
x
y
• BBT
• Vậy: hàm số luôn giảm trên D
f)
1
22
2
−
+−
=
x
xx
y
• D=
}1{\R
•
2
2

)1(
2
'
−
−
=
x
xx
y
Cho



=
=
⇒=−⇔=
2
0
020'
2
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số giảm:
)1;0(
và
)2;1(
Hàm số tăng:
)0;(−∞

và
);2( +∞
g)
2
4 xy −=
•
]2;2[−∈D
•
2
4
'
x
x
y
−
−
=
Cho
00' =⇔= xy
• BBT
• Vậy: hàm số giảm: (0;2)
Hàm số tăng:
)0;2(−

h)
xxy −= 4
•
]4;(−∞∈D
•
x

x
x
x
xy
−
−
=
−
−−=
42
38
42
4'
Cho
4
3
8
0380' <=⇒=−⇔= xxy
• BBT
• Vậy: hàm số tăng:
)
3
8
;(−∞
Hàm số giảm:
)4;
3
8
(

GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
2
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
2
2 4 5y x x= − + +
b)
2
5
4 4
x
y x= + −
c)
2
4 3y x x= − +

d)
3 2
2 2y x x x= − + −
e)
2
(4 )( 1)y x x= − −
f)
3 2
3 4 1y x x x= − + −
g)
4 2
1
2 1

4
y x x= − −
h)
4 2
2 3y x x= − − +
i)
4 2
1 1
2
10 10
y x x= + −
k)
2 1
5
x
y
x
−
=
+
l)
1
2
x
y
x
−
=
−
m)

1
1
1
y
x
= −
−
n)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
o)
1
3
1
y x
x
= − + −
−
p)
2
4 15 9
3
x x

y
x
− +
=

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
4 3 2
6 8 3 1y x x x= − + − −
b)
2
2
1
4
x
y
x
−
=
−
c)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=

+ +

d)
2
2 1x
y
x
−
=
e)
2
3 2
x
y
x x
=
− +
f)
3 2 2y x x= + + −

g)
2 1 3y x x= − − −
h)
2
2y x x= −
i)
2
2y x x= −
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)

Cho hàm số
( , )y f x m=
, m là tham số, có tập xác đònh D.
•
Hàm số f đồng biến trên D
⇔
y
′

≥
0,
∀
x
∈
D.
•
Hàm số f nghòch biến trên D
⇔
y
′

≤
0,
∀
x
∈
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y

′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
' = + +
thì:
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔


>




≤


∆
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<




≤


∆
3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +
:
•
Nếu
∆
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
•
Nếu
∆
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
−
)
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
3
•
Nếu
∆
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x

2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +
với số 0:
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


<

∆
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


>

∆
•

1 2
0 0x x P< < ⇔ <
5) Để hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x
1
; x
2
) bằng
d thì ta thực hiện các bước sau:
•
Tính y

′
.
•
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
0
0
a

≠

>

∆
(1)
•
Biến đổi
1 2
x x d− =
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x d+ − =
(2)
•
Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
VD1: Định m để hàm số ln đồng biến
a)
mmxxxy +++=

23
3
• D=R
•
mxxy ++= 63'
2
Hàm số ln đồng biến



>=
≤∆
⇔≥⇔
01
0'
0'
a
y
3039
≥⇒≤−⇒
mm
• Vậy: với
3≥m
thì hs ln đồng biến trên D.
b)
2)2()12(
23
−−+−−= xmxmmxy
• D=R
•

2)12(23'
2
−+−−= mxmmxy
Hàm số ln đồng biến



>=
≤∆
⇔≥⇔
03
0'
0'
ma
y



>
≤−−+−
⇔
0
0)2(3144
2
m
mmmm



>

≤+
⇔
0
0)1(
2
m
m
0
>⇔
m
• Vậy: với
0>m
thì hs ln đồng biến trên D.
c)
mx
mx
y
+
+
=
4
• D=
}{\ mR −
•
2
2
)(
4
'
mx

m
y
+
−
=
Hàm số ln đồng biến



>
−<
⇒>−⇔>⇔
2
2
040'
2
m
m
my
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
4
• Vậy: với



>
−<
2
2
m

m
thì hs luôn đồng biến trên D.
VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến:
xm
mxx
y
−
++
=
3
2
• D=
}{\ mR
•
2
22
)(
32
'
mx
mmxx
y
+
+++−
=
Hàm số luôn nghịch biến



<−=

≤∆
⇔<⇔
01
0'
0'
a
y
03
22
≤++⇒ mm
(điều không thể)
• Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D.
VD3: Định m để hàm số
mxmxxy 4)1(3
23
+−++=
nghịch biến trong ( - 1; 1)
• D=R
•
163'
2
−++= mxxy
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
0'≤⇔ y
và
21
11 xx <<−<





<
<−
⇔
0)1(
0)1(
af
af



<−++
<−+−
⇔
0)163(3
0)163(3
m
m



−<
<
⇔
8
4
m
m
8−<⇒ m
• Vậy:

8−<m
thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).
VD4: Định m để hàm số
xmmxmxy )232()1(
223
++−−+=
tăng trên
);2( +∞
• D=R
•
)232()1(23'
22
++−−+= mmxmxy
Hàm số tăng trên
);2( +∞
0'≤⇔ y
và
2
21
≤< xx


















<
≥
>∆
≤∆
⇔
2
2
0)2(
0'
0'
S
af

















<
−−
≥++−
>++
≤++
⇔
2
2.3
)1(2
0)62(3
0177
0177
2
2
2
m
mm
mm
mm





−>

≤≤−
⇔
5
2
2
3
m
m
2
2
3
≤≤−⇒ m
• Vậy:
2
2
3
≤≤− m
thì hs tăng trên
);2( +∞
VD5: Định m để hàm số
mmxxxy +++=
23
3
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
• D=R
•
mxxy ++= 63'
2
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
5

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
0'≤⇔ y
và
1
21
=− xx

4
3
144
3
14
039
2
=⇒



=−
<
⇒



=−
>−
⇔ m
m
m
PS

m
• Vậy:
4
3
=m
thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a)
3
5 13y x x= + +
b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x= − + +
c)
2 1
2
x
y
x
−
=
+

d)

2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
+
e)
3 sin(3 1)y x x= − +
f)
2
2 1x mx
y
x m
− −
=
−
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a)
5 cot( 1)y x x= − + −
b)
cosy x x= −
c)
sin cos 2 2y x x x= − −

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác
đònh) của nó:

a)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
c)
x m
y
x m
+
=
−
d)
4mx
y
x m
+
=
+
e)
2
2 1x mx
y
x m
− −
=

−
f)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
Bài 4. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
3y x x mx m= + + +
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b)
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= − + − +
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.

Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + − + +
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)
mx
y m
x m
4
( 2)
+
= ≠ ±
+
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
d)
x m
y
x m
+
=
−

đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
e)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
6
f)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
− − +
=
+
nghòch biến trên khoảng
1
;
2
 
− +∞

 ÷
 
.
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.
•
Xét dấu f
′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
•
Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
′
(x) thì ta đặt h(x) = f
′
(x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h
′
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
VD 1: chứng minh

0,sin >∀< xxx
0sin <−⇔ xx
. Đặt
xxxf −= sin)(
•
( )
0,01cos)(' >∀<−= xxxf
( )
0,0sin0)( >∀<−⇒<⇒ xxxxf
đpcm.
VD 2: chứng minh
0,
6
sin
3
>∀−> x
x
xx
0
6
sin
3
>+−⇔
x
xx
. Đặt
6
sin)(
3
x

xxxf +−=
•
2
1cos)('
2
x
xxf +−=
•
0sin)('' >+−= xxxf
(chứng minh trên)
( )
0,0
6
sin0)(0)('
3
>∀>+−⇒>⇒>⇒ x
x
xxxfxf
đpcm.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin , 0
6
x
x x x với x− < < >
b)
2 1
sin tan , 0

3 3 2
x x x với x+ > < <
π
c)
tan , 0
2
x x với x< < <
π
d)
sin tan 2 , 0
2
x x x với x+ > < <
π
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan
, 0
tan 2
a a
với a b
b b
< < < <
π
b)
sin sin , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
c)
tan tan , 0

2
a a b b với a b− < − < < <
π
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
sin , 0
2
x
x với x> < <
π
π
b)
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x với x− < < − + >
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
7
c)
x x x với xsin cos 1, 0
2
π
+ > < <
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1 , 0
x
e x với x> + >

b)
ln(1 ) , 0x x với x+ < >
c)
1
ln(1 ) ln , 0
1
x x với x
x
+ − > >
+
d)
( )
2 2
1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ +
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan55 1,4>
b)
0
1 7
sin20
3 20
< <
c)
2 3
log 3 log 4>
HD: a)
0 0 0
tan55 tan(45 10 )= +

. Xét hàm số
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
.
b) Xét hàm số
3
( ) 3 4f x x x= −
.
f(x) đồng biến trong khoảng
1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
và
0
1 7
,sin20 ,
3 20
∈

1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
.
c) Xét hàm số
( ) log ( 1)
x
f x x= +
với x > 1.
BÀI 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x
0
∈ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0

) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trò của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò

1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm
trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f′ (x
0
) = 0 và
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f′′ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an

8
b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
•
Tìm f
′
(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
•
Xét dấu f
′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
•
Tính f
′

(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
•
Tính f
′′
(x) và f
′′
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
′′
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
′′
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
VD 1: tìm cực trị của hàm số sau:

593
23
+−−= xxxy
• D=R
•
963'
2
−−= xxy
Cho



=
−=
⇒=−−⇔=
3
1
09630'
2
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số đạt cực đại tại (-1;10)
Hàm số đạt cực tiểu tại (3;-22)
 Cũng bài trên thầy sẽ làm theo dấu hiệu II.
Các e tính thêm
66'' −= xy
.

⇒<−=− 012)1(''y
hs đạt cực đại tại x=-1
⇒>= 012)3(''y
hs đạt cực tiểu tại x=-1
 Vậy với dấu hiệu II ta sẽ bỏ qua bước BBT ( thường dùng cho nhưng bài lượng giác)
 Qua ví dụ này ta thấy rằng bài tốn cực trị các bước làm như đơn điệu chỉ thêm vào
phần giá trị của y. VẬY các em lấy VD của phần bài 1 tập tìm cực trị nhé.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
2 3
3 2y x x= −
b)
3 2
2 2 1y x x x= − + −
c)
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
d)
4
2
3
2
x
y x= − +
e)
4 2

4 5y x x= − +
f)
4
2
3
2 2
x
y x= − + +
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
9
g)
2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+
h)
2
3 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+

i)
2
2 15
3
x x
y
x
− −
=
−
Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3 4
( 2) ( 1)y x x= − +
b)
2
2
4 2 1
2 3
x x
y
x x
+ −
=
+ −
c)
2
2
3 4 4
1

x x
y
x x
+ +
=
+ +
d)
2
4y x x= −
e)
2
2 5y x x= − +
f)
2
2y x x x= + −
Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3
2
1y x= +
b)
3
2
2 1
x
y
x
=
+
c)

4
x x
y e e
−
= +
d)
2
5 5 2lny x x x
= − + +
e)
2
4siny x x= −
f)
2
ln(1 )y x x= − +
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
′
(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x

0
.
Chú ý:
•
Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
+
3 2
0 0 0 0
( )y x ax bx cx d= + + +
+
0 0
( )y x Ax B= +
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
′
.
•
Hàm số

2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
=
( )
( )
P x
Q x
(aa
′≠
0) có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai
nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x

0
) bằng hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
hoặc
0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=
•
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
•
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et.

 Nhận x=A làm cực đại



<
=
⇔
0)(''
0)('
Ay
Ay
 Nhận x=A làm cực tiểu



>
=
⇔
0)(''
0)('
Ay
Ay
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
10
VD1: CMR hs sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
3223
)1(33 mxmmxxy −−+−=
• D=R
•

)1(363'
22
−+−= mmxxy
Cho
0)1(3630'
22
=−+−⇔= mmxxy
⇒>+−=∆ 0999'
22
mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm.
b)
mx
mxmmx
y
−
+−−+
=
1)1(
422
• D=
}{\ mR
•
2
22
2
4222
)(
12
)(

)1()1(2
'
mx
mmxx
mx
mmmmxx
y
−
−+−
=
−
+−−−−−
=
Cho
0120'
22
=−+−⇔= mmxxy
⇒>+−=∆ 01'
22
mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm.
VD2: tìm m để hs
53)2(
23
−+++= mxxxmy
có cực đại, cực tiểu
• D=R
•
mxxmy +++= 6)2(3'
2

hs có cực đại, cực tiểu
0'=⇔ y
có 2 nghiệm phân biệt



<<−
−≠
⇔



>+−−
−≠
⇔



>+−
−≠
⇔



>∆
−≠
⇔
13
2
0963

2
0)2(39
2
0'
2
2
m
m
mm
m
mm
mm
• Vậy:



<<−
−≠
13
2
m
m
thì hs có cực đại, cực tiểu.
VD3: tìm m để hs
1
2
2
−
++
=

x
mxx
y
không có cực trị
• D=
}1{\R
•
2
2
)1(
22
'
−
−−−
=
x
mxx
y
hs không có cực trị
0'=⇔ y
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
30210' −≤⇒≤++⇒≤∆⇔ mm
• Vậy:
3
−≤
m
thì hs không có cực trị.
VD4: tìm m để hs
233
23

+++= xxmxy
đạt cực đại tại x =1.
• D=R
•
363'
2
++= xmxy
•
66'' += mxy
hs đạt cực đại tại x =1
3
0)1(''
0)1('
−=⇒



<
=
⇔ m
y
y
• Vậy:
3
−=
m
thì hs đạt cực đại tại x =1.
VD5: Tìm a, b để hs
xbxaxy ++=
23

đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.
• D=R
•
123'
2
++= bxaxy
•
baxy 26'' +=
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
11
hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2







−=
=
⇒







>
=

<
=
⇔
4
3
6
1
0)2(''
0)2('
0)1(''
0)1('
b
a
y
y
y
y
• Vậy:
6
1
=a
;
4
3
−=b
thì hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.
VD6: Cho hs
133
23
++−= mxxxy

.Gọi
);(),;(
2211
yxNyxM
là hai điểm cực trị.
CMR:
)1)((2
212121
−−=− xxxxyy
• D=R
•
mxxy 363'
2
+−=
Cho
03630'
2
=+−⇔= mxxy
Theo định lý Vi-ét thì
2
21
=+ xx
và
mxx =
21
.
•
)1.)((2 )363(363
21212
2

21
2
121
−−==+−−+−=− xxxxmxxmxxyy
. Đpcm
 Các em nè, qua VD trên ta thấy rằng ứng dụng Vi-ét là rất lớn, ngoài ra còn
dạng so sánh α nữa. Vì vậy nếu các em hiểu sâu so sánh α thì mọi đề thi đại học được giải
quyết rất nhanh.
 Thầy xin nhắc lại kiến thức Vi-ét và so sánh α một lần nữa.
 Vi-ét:
a
b
xxS −=+=
21
và
a
c
xxP ==
21
.
PSxx 2
22
2
2
1
−=+
;
P
PS
x

x
x
x
2
2
1
2
2
1
−
=+
;
P
S
xx
=+
21
11
;
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2

P
PS
x
x
x
x
−
=+
)3(
23
2
3
1
PSSxx −=+
;
2224
2
4
1
2)2( PPSxx −−=+
;
PSdxxd 4
22
21
−=⇒−=
 So sánh α:

0)(
21
<⇔<<

αα
afxx







<
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(
0
21
S
afxx







>
>

>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(
0
21
S
afxx



≤
≤
⇔≤<≤
0)(
0)(
21
β
α
βα
af
af
xx










<
>
>∆
<
⇔<<<
β
β
α
βα
2
0)(
0
0)(
21
S
af
af
xx

VD7: Cho
3223
)1(33 mxmmxxy −−+−=
. Tìm m để hàm số có cực trị trái dấu nhau.
• D=R
•
)1(363'

22
−+−= mmxxy
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
12
Cho
0)1(3630'
22
=−+−⇔= mmxxy
⇒>+−=∆ 0999'
22
mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
• Hàm số có cực trị trái dấu nhau
21
0 xx <<⇔
110)1(90)0(3
2
<<−⇒<−⇒<⇔ mmf
• Vậy
11 <<− m
thì hàm số có cực trị trái dấu nhau.
VD8: Cho hàm số
mxxmxy −++−= 9)1(3
23
. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21

, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
• D=R
•
.9)1(63'
2
++−= xmxy
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i
21
, xx

⇔
ph¬ng tr×nh
0'=y
cã hai nghiÖm pb lµ
21
, xx


⇔
Pt
03)1(2
2
=++− xmx
cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ
21

, xx
.





−−<
+−>
⇔>−+=∆⇔
31
31
03)1('
2
m
m
m

)1(
• Theo ®Þnh lý Viet ta cã
.3);1(2
2121
=+=+ xxmxx
Khi ®ã
( ) ( )
41214442
2
21
2
2121

≤−+⇔≤−+⇔≤− mxxxxxx

)2(134)1(
2
≤≤−⇔≤+⇔ mm
Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ
313 −−<≤− m
vµ
.131 ≤<+− m
VD9: Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực
tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
• D=R
• y’ = - 3x
2
+ 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.
Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0.
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vectơ
3
(2 ;4 )AB m m=

uuur
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
(8; 1)u = −
r
.
Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔
I d
AB d
∈


⊥

⇔
3
8(2 3 1) 74 0
. 0
m m m
AB u

+ − − − =


=


uuur r
⇔ m = 2
VD10: Cho hàm số
3 2 2 3

3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − +
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
• D=R
•
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m= − + −
Để hàm số có cực trị thì PT
,
0y =
có 2 nghiệm phân biệt

2 2
2 1 0x mx m⇔ − + − =
có 2 nhiệm phân biệt

1 0, m⇔ ∆ = > ∀

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-
2m)
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
13
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2

m
OA OB m m
m

= − +
= ⇔ + + = ⇔

= − −


• Vậy có 2 giá trị của m là
3 2 2m = − −
và
3 2 2m = − +
VD11: Cho hs
1)2(6)1(32
23
−−+−+= xmxmxy
. Lập phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm cực đại và cực tiểu.
• D=R
•
xmxmxy )2(6)1(66'
2
−+−+=
Hs có 2 điểm cực trị
0'=⇔ y
có 2 nghiệm phân biệt
3
≠⇒

m

• Ta có
33)3(
6
1
63
1
'.
22
−+−−−






−+= mmxm
m
xyy
33)3(
22
−+−−−=⇒ mmxmy
là đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
VD12: Cho hs
1
2
2
−
++

=
x
mxx
y
.
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu.
b) Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu sao cho
4=−
CTCĐ
yy
GIẢI:
a) D=
}1{\R
•
2
2
)1(
22
'
−
−−−
=
x
mxx
y
Hs có 2 điểm cực trị
0'=⇔ y
có 2 nghiệm phân biệt
3
−>⇒

m

• Ta có
mxy
v
u
y +=⇒= 2
'
'
là đường thẳng qua 2 điểm cực trị
b) YCBT
4)(2
21
=−=− xxyy
CTCĐ
43
2
=−⇔ PS
24634 −=⇒=++⇔ mm
(thỏa đk)
VD13: Cho hàm số
3 2
1 1
y x (m 1)x 3(m 2)x
3 3
= − − + − +
.Với giá trị nào của m thì hàm số có
cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu x
1
, x

2
thỏa x
1
+ 2x
2
= 1.
GIẢI:
TXĐ: D = R.
2
y' mx 2(m 1)x 3(m 2)= − − + −
. Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có 2
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
2 2
m 0
m 0 m 0
2 6 2 6
' (m 1) 3m(m 2) 0 2m 4m 1 0
m (*)
2 2
≠

≠ ≠
 

⇔ ⇔ ⇔
  

− −
∆ = − − − > − + + >
< <
 


Theo định lí Viet và theo đề bài, ta có:
1 2
1 2
1 2
2(m 1)
x x (1)
m
3(m 2)
x .x (2)
m
x 2x 1 (3)
−

+ =


−

=


+ =




. Từ (1) và (3), ta có:
1 2
3m 4 2 m
x ,x
m m
− −
= =
.
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
14
Thế vào (2), ta được:
3m 4 2 m 3(m 2)
(m 0)
m m m
− − −
  
= ≠
 ÷ ÷
  

2
2
m
3m 8m 4 0
3
m 2

=


⇔ − + = ⇔

=

(thỏa(*)). Vậy giá trị cần tìm là:
2
m m 2
3
= ∨ =
VD14: Cho hàm sớ
4 2 4
y x 2mx 2m m= − + +
. Tìm m để hàm sớ có cực đại và cực tiểu, đờng
thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành mợt tam giác đều.
Giải: TXĐ: D = R.
3
y' 4x 4mx= −
. y’= 0
2
x 0
x m(*)
=

⇔

=

. Hàm sớ có cực đại và cực tiểu thì
y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
⇔

phương trình (*)
có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔
m > 0. Khi đó:
4
4 2
x 0 y m 2m
y' 0
x m y m m 2m

= ⇒ = +
= ⇔

= ± ⇒ = − +


. Đờ thị hàm sớ có mợt điểm cực đại là
4
A(0,m 2m)+
và hai điểm cực tiểu là
4 2 4 2
B( m,m m 2m);C( m;m m 2m)− − + − +
.
Các điểm A, B, C lập thành mợt tam giác đêu
AB AC
AB BC
=

⇔


=


2 2 4 3
AB BC m m 4m m(m 3) 0⇔ = ⇔ + = ⇔ − =
. Vậy
3
m 3 (m 0)= >
VD15: Cho hàm sớ
4 2
y kx (k 1)x 1 2k= + − + −
. Xác định các giá trị của tham sớ k để đồ thị
hàm sớ chỉ có mợt điểm cực trị.
Giải: TXĐ: D = R.
3
y' 4kx 2(k 1)x= + −
.
2
x 0
y' 0
2kx k 1 0(*)
=

= ⇔

+ − =

. Hàm sớ chỉ có mợt
cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có mợt nghiệm duy nhất và y’ đởi dấu khi x đi qua nghiệm đó
⇔

phương trình (*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm x = 0.
k 0
k 0
k 0 k 1
k 0
k 0 k 1
' 2k(k 1) 0
=

=


⇔ ⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥
≠



< ∨ ≥



∆ = − − ≤


. Vậy giá trị cần tìm là
k 0 k 1≤ ∨ ≥
.
VD16: Cho hàm sớ
4 2
1 3

y x mx
2 2
= − +
. Xác định m để đờ thị của hàm sớ có cực tiểu mà
khơng có cực đại.
Giải: TXĐ: D = R.
3
y' 2x 2mx= −
.
2
x 0
y' 0
x m(*)
=

= ⇔

=

. Hàm sớ có cực tiểu mà khơng có
cực đại
y' 0⇔ =
có mợt nghiệm duy nhất và y’ đởi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm
đó
⇔
phương trình (*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0
⇔
m 0
≤
BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
c)
2 2 4
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=
−
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
15
Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
3 2

( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2.
d)
4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại
1
.
2
x =
e)
2
2 2x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
2 2
( 1) 4 2

1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1
x x m
y
x
− +
=
−
có một giá trò cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
b)
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
c)
2
5
3
x mx

y
x
− + +
=
−
d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
3 2
y ax bx cx d= + + +
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3
b)
4 2
y ax bx c= + +
có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x =
3

.
c)
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
−
đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.
d)
2
ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=

+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
.
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2

sao cho:
1 2
8x x− ≥
.
c)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
2 1x x+ =
.
Bài 6. Tìm m để hàm số :
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
16
a)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=

− +
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực
tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
c)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả
4M m− =
.
d)
2
2 3 2

2
x x m
y
x
+ + −
=
+
có
12
CĐ CT
y y− <
.
Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
3 2
4y x mx= − + −
có hai điểm cực trò là A, B và
2
2
900
729
m
AB =
.
b)
4 2
4y x mx x m= − + +
có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
c)

2
2x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
x mx
y
x
+
=
−
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
e)
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=
−
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường

thẳng y = 2x.
f)
2
2 3x x m
y
x m
+ + +
=
−
có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân
giác thứ nhất.
c)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường
thẳng (d):
3 2 8 0x y− + =
.
d)
2 2
(2 1) 1

1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d):
2 3 1 0x y− − =
.
Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
17
b)
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y

x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c)
2 2 2
( 1) 4mx m x m m
y
x m
− + + +
=
−
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất
và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành
(tung).
Bài 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a)

3 2
2 1y x x x= − − +
b)
2 3
3 2y x x= −
c)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
d)
2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
e
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−
Bài 11. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò của đồ thò hàm số:

a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
2
6x mx
y
x m
+ −
=
−

c)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
Bài 12. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song

với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c)
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc
với đường thẳng y = 3x – 7.
d)
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (∆):
1 5
2 2
y x= −
.
BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D ⊂ R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D

M f x
x D f x M

≤ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

≥ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

2. Tính chất:
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
18
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b

f x f b f x f a= =
.
b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= =
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
•
Tính f
′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x) và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1

, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).
•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
•
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
{ }
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x= =

{ }
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x= =

VD1: Tìm GTLN-GTNN của hs:
593
23
+−−= xxxy
• D=R
•
963'
2
−−= xxy
Cho



=
−=
⇒=−−⇔=
3
1
09630'
2
x
x
xxy
• BBT
Vậy: khơng có Maxy, Miny
VD2: Tìm GTLN-GTNN của hs:
122
34
++−= xxxy
• D=R

•
264'
23
+−= xxy
Cho




−=
=
⇒=+−⇔=
2
1
0
02640'
23
x
x
xxy
• BBT
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
19
Vậy: Min y =
2
1
16
5
−=⇔ x

 Qua vd trên Max và Min rất để tìm chỉ cần tìm CĐ-CT mà thôi.
 Đối với hs có MXĐ trên đoạn thì ta không dùng đến BBT nữa.
VD3: Tìm GTLN-GTNN của hs:
52
24
+−= xxy
,
]3;2[−∈x
•
]3;2[−∈D
(hoặc D=R xét
]3;2[−∈x
)
•
xxy 44'
3
−=
Cho



±=
=
⇒=−⇔=
1
0
0)1(40'
2
x
x

xxy
.68)3(;13)2(;4)1(;4)1(;5)0( ==−==−= yyyyy
Vậy:
368
]3;2[
=⇔=
−∈
xyMax
x
và
14
]3;2[
±=⇔=
−∈
xyMin
x
VD4: Tìm GTLN-GTNN của hs:
255
345
++−= xxxy
,
]2;1[−∈x
•
]2;1[−∈D
(hoặc D=R xét
]2;1[−∈x
)
•
234
15205' xxxy +−=

Cho





−∉=
=
=
⇒=+−⇔=
]2;1[3
1
0
0152050'
234
x
x
x
xxxy
.6)2(;9)1(;3)1(;2)0( −=−=−== yyyy
Vậy:
13
]2;1[
=⇔=
−∈
xyMax
x
và
19
]2;1[

−=⇔−=
−∈
xyMin
x
VD5: Tìm GTLN-GTNN của hs:
1
32
2
−
++
=
x
xx
y
,
]3;1(∈x
•
]3;1(∈D
(hoặc D=
}1{\R
xét
]3;1(∈x
)
•
2
2
)1(
52
'
−

−−
=
x
xx
y
Cho
610520'
2
±=⇒=−−⇔= xxxy
• BBT
Vậy:
39
]3;1(
=⇔=
∈
xyMin
x
và
yMax
x ]3;1(∈
không tồn tại.
VD6: Tìm GTLN-GTNN của hs:
2
4 xy −=
•
]2;2[−∈D

•
2
4

'
x
x
y
−
−
=
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
20
Cho
00' =⇔= xy
.0)2(;0)2(;2)0( ==−= yyy
Vậy:
02
]2;2[
=⇔=
−∈
xyMax
x
và
20
]2;2[
±=⇔=
−∈
xyMin
x
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
21
Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
VD7: Tìm GTLN-GTNN của hs:

1sinsin
1sin
2
++
+
=
xx
x
y
• Đặt
1,sin ≤= txt
•
1
1
2
++
+
=
tt
t
y
;
]1;1[−∈t
•
22
2
)1(
2
'
++

−−
=
tt
tt
y
Cho



−∉−=
=
⇒=−−⇔=
]1;1[2
0
020'
2
t
t
tty
.
3
2
)1(;0)1(;1)0( ==−= yyy
Vậy:
01
]1;1[
=⇔=
−−∈
xyMax
t

và
10
]1;1[
−=⇔=
−∈
xyMin
x
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 3y x x= + +
b)
3 4
4 3y x x= −
c)
4 2
2 2y x x= + −
d)
2
2y x x= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x
−
=

− +
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
g)
2
1
( 0)y x x
x
= + >
h)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +
i)

4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
+ +
= >
+

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1y x x x= + − +
trên [–1; 5] b)
3
3y x x= −
trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3y x x= − +
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x= − +
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x

y
x
−
=
−
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1

x x
y
x x
− +
=
+ −
trên [0; 1]
i)
2
100y x= −
trên [–6; 8] k)
2 4y x x= + + −
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
b)
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +

c)
2
2sin cos 1y x x= − +
d)
cos2 2sin 1y x x= − −
e)
3 3
sin cosy x x= +
f)
2
4 2
1
1
x
y
x x
−
=
− +
g)
2 2
4 2 5 2 3y x x x x= − + + − +
h)
2 2
4 4 3y x x x x= − + + − +
 Ta chưa hết phần Max-Min đâu vì dạng tốn này còn những ứng dụng từ các cơng cụ khác nữa. các
em muốn phần này đầy đủ thì đọc chun đề về Bất đẳng thức của thày thì các em sẽ hiểu sâu hơn.
 Giới thiệu sơ sơ về BĐT
VD1: Giả sử
{ }

( ; ; )/ 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + =
. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
.
Giải:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷
+ + +
 
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
22
Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z

 
+ + + + = + + ≥
 ÷
+ + +
 
⇒
P
≤

3
4
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D
P =
.
VD2: Cho D =
5
( ; )/ 0, 0,
4
x y x y x y
 
> > + =

 
 
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
4 1
4
S
x y
= +
.
Giải:
( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

⇔

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥

 ÷
 
⇒
S
≥
5. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.
VD3: Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 1x y x y x y> > + <
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
− − +
.
Giải:
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y

P x y
x y x y
= + + + + + + −
− − +
=
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + −
− − +
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
⇔

1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥
− − +
⇒

P
≥

5
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
VD4: Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 4x y x y x y> > + ≥
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x
y
+ +
= +
.
Giải:

2
1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x
y
 
+
= + + + + +
 ÷
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
(2)
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =

(3)
⇒
P
≥

9
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.
BÀI4: TIỆM CẬN
1. Đònh nghóa:
• Đường thẳng
0
x x=
đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau được thoả mãn:
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
;

0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
• Đường thẳng
0
y y=
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an

23
Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
các điều kiện sau được thoả mãn:
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
;
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
• Đường thẳng
, 0y ax b a= + ≠
đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
;
[ ]

lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
= =
là hàm số phân thức hữu tỷ.
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thò có tiệm cận đứng
0
x x=
.
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công
thức sau:
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x

a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
VD1 : Tìm các đường tiệm cận của các hs sau:
a)
1
2
−
+
=
x
x
y
• D=
}1{\R
•
1lim
1
=⇒+∞=

+
→
xy
x
là đường tiệm cận đứng.
•
11lim =⇒=
+∞→
yy
x
là đường tiệm cận ngang.
b)
1
1
2
1
33
2
−
+−=
−
+−
=
x
x
x
xx
y
• D=
}1{\R

•
1lim
1
=⇒+∞=
+
→
xy
x
là đường tiệm cận đứng.
•
[ ]
20
1
1
lim)2(lim −=⇒=






−
=−−
+∞→+∞→
xy
x
xy
xx
là đường tiệm cận xiên
.c)

x
x
y
1
2
+
=
• D=
}0{\R
•
0lim
0
=⇒+∞=
+
→
xy
x
là đường tiệm cận đứng.
•
11lim =⇒=
+∞→
yy
x
là đường tiệm cận ngang.
•
11lim −=⇒−=
−∞→
yy
x
là đường tiệm cận ngang.

•
⇒==
+∞→−∞→
0lim;0lim
x
y
x
y
xx
khơng có tiệm cận xiên.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2 5
1
x
y
x
−
=
−
b)
10 3
1 2
x
y
x
+
=
−

c)
2 3
2
x
y
x
+
=
−
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
24
Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
d)
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+
e)
2
( 2)
1
x
y
x
−

=
−
f)
2
7 4 5
2 3
x x
y
x
+ +
=
−
BÀI 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4 5
x
y
x x
=
− +
b)
2
2
9
x
y
x
+
=

−
c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=
−
d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
e)
3
2
1
1
x x
y

x
+ +
=
+
f)
4
3
4
1
x x
y
x
− +
=
−
BÀI 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4y x x= −
b)
2
4 2
9
x
y
x
+
=
−
c)

2
1
4 3
y
x x
=
− +
d)
1
1
x
y x
x
−
=
+
e)
3
2 3
3y x x= −
f)
2
3 2
2
x x
y
x
− +
=
−

BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
• Tìm tập xác đònh của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm số.
• Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y′′.
– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ (trong
trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ
qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
:
• Tập xác đònh D = R.
• Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
• Các dạng đồ thò:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
⇔ ’ = b
2
– 3ac > 0

GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
y
x0
I
y
x0
I
25