Giáo án phụ đạo Toán 11 đầy đủ chi tiết

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN

NGUYỄN VĂN XÁ



GIÁO ÁN PHỤ ðẠO

MÔN TOÁN









LỚP 11



















2011
2011 2011
2011

 2012
2012 2012
2012






Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

1

1


PHỤ ðẠO TOÁN 11

PHẦN I. ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

CHƯƠNG MỘT
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác ñịnh của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0
≥

2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1
− ≤ ≤ ≤ ≤

3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π

= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +

4)
os 0 ; osx= 1 x = 2 ; osx= -1 x = 2
2
c x x k c k c k
π
π π π π
= ⇔ = + ⇔ ⇔ +

5) Hàm số y = tanx xác ñịnh khi
2
x k
π
π
≠ +

Hàm số y = cotx xác ñịnh khi
x k
π
≠

Bài 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+

3) y = sin
4
x
+
4) y =
cos
2
3 2
x x
− +

5) y =
2
os2x
c
6) y =
2 sinx
−
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
)
9) y = cot(2x -
)
3
π

10) y =
1 1
sinx 2 osx
c
−

II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[
]
2
sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXð
D
; Kiểm tra
,
x D x D x
∈
⇒
− ∈ ∀

Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch½n,kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

2

2

4) y =
1
2
tan

2
x 5) y = sin
x
+ x
2
6) y = cos
3
x

III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx ñồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 
 

Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
+ π + π
 
 

Hàm số y = cosx ñồng biến trên mỗi khoảng
(
)
2 ; 2
k k
−π + π π

Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
2 ; 2
k k
π π + π

Hàm số y = tanx ñồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 
 

Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
;
k k

π π + π

Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên
;
6 3
π π
 
−
 
 
2) y = cosx trên khoảng
2 3
;
3 2
π π
 
 
 

3) y = cotx trên khoảng
3
;
4 2
π π
 
− −
 
 
4) y = cosx trên ñoạn

13 29
;
3 6
π π
 
 
 

5) y = tanx trên ñoạn
121 239
;
3 6
π π
 
−
 
 
6) y = sin2x trên ñoạn
3
;
4 4
π π
 
−
 
 

7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6

π π
 
−
 
 
8) y =sin(x +
3
π
) trên ñoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 

Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số

Khoảng

Hàm số
3
;
2
π
 
π
 

 

;
3 3
π π
 
−
 
 

23 25
;
4 4
π π
 
 
 

362 481
;
3 4
π π
 
− −
 
 

y = sinx
y = cosx
y = tanx

y = cotx
Chú ý Hsố y = f(x) ñồng biến trên K
⇒
y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0




Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên ñoạn
[
]
;
−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π
 
+
 
 
trên ñoạn
2
;
3 3
π π

 
−
 
 

IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1
− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )

3
c
π

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

3

3

4) y =
2
1 os(4x )
c+
- 2 5) y =
2 sinx 3
+
6) y = 5cos
4
x
π
+

7) y =
2
sin 4sinx + 3
x −
8) y =
2

4 3 os 3 1
c x
− +

Chú ý : Hàm số y = f(x) ñồng biến trên ñoạn
[
]
;
a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a
= =

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên ñoạn
[
]
;
a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;

ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b
= =

Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên ñoạn
;
2 3
π π
 
− −
 
 
2) y = cosx trên ñoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 

3) y = sinx trên ñoạn
;0
2
π
 
−

 
 
4) y = cos
π
x trên ñoạn
1 3
;
4 2
 
 
 

B.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
1. Phương trình lượng giác cơ bản
u v k2 u v k2
1)sinu sin v (k ). 2)cosu cosv (k ).
u v k2 u v k2
u v k
u v k
3)tan u tan v (k,n ). 4)cot u cot v (k
,n ).
u n
u n
2
= + π = + π
 
= ⇔ ∈ = ⇔ ∈
 
= π − + π = − + π
 

= + π

= + π


= ⇔ ∈ = ⇔ ∈
 
π
≠ π
≠ + π






Các tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t
1)sinu 0 u k (k ).
2)sin u 1 u k2 (k ).
2
3)sinu 1 u k2 (k ). 4)cosu 0 u k
(k ).

2 2
5)cosu 1 u k2 (k ). 6)cosu 1
π
= ⇔ = π ∈ = ⇔ = + π ∈
π π
= − ⇔ = − + π ∈ = ⇔ = + π ∈
= ⇔ = π ∈ = − ⇔



u k2 (k ).
= π + π ∈


Học sinh cần nhớ bẳng các giá trị lượng giác của các góc ñặc biệt.
2. Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác
a) Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác
– Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), hoặc cosf(x), hoặc tanf(x), hoặc cotf(x).
– Phương pháp: ðưa về phương trình lượng giác cơ bản.
b) Phương trình lượng giác bậc nhất với hai hàm số lượng giác
– Phương trình bậc nhất với sin và cosin:
+ Dạng: a.sinu + b.cosu = c.
+ ðiều kiện ñể phương trình có nghiệm: a
2
+ b
2

2
c .
≥

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta ñưa về phương trình cơ bản.
+ Xét
a 0,b 0
≠ ≠
ta có thể giải theo các cách sau
Cách 1 Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
và ñặ
t
2 2 2 2
b a
sin ,cos ,
a b a b
α= α=
+ +

ta
ñư
a ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng c
ơ
b

ả
n
2 2
c
sin(u ) .
a b
+ α =
+

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

4

4

Cách 2 Chia hai vế phương trình cho a và ñặt
b
tan .
a
α =

Cách 3
Xét
u k2 .
= π + π
V
ới
u k2
≠ π + π

ta ñặt
u
t tan
2
=
, ñưa PT ñã cho về dạng
2
(b c)t 2at c b 0.
+ − + − =
Giải ra tìm t, rồi tìm ra u, từ ñó tìm nghiệm của phương trình.
Chú ý Với phương trình
a.sin u b.cosu c.sin v d.cosv
+ = +
mà
2 2 2 2
a b c d 0
+ = + >
ta chia
hai vế của phương trình cho
2 2
a b
+
và ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình c
ơ
b

ả
n. V
ớ
i ph
ươ
ng trình d
ạ
ng
a.sinu + b.cosu = 0 ta có th
ể

ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n c
ủ
a tanu ho
ặ
c cotu.
–

Ph
ươ
ng trình b

ậ
c nh
ấ
t v
ớ
i tang và cotang:
+ D
ạ
ng: a.tanu + b.cotu + c = 0.
+ Ph
ươ
ng pháp:
ñặ
t t = tanu.
–

Các ph
ươ
ng trình d
ạ
ng a.X + b.Y = 0 v
ớ
i X là sinu ho
ặ
c cosu, còn Y là tanu ho
ặ
c cotu,
ta th
ườ
ng

ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích, ho
ặ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
ñố
i v
ớ
i sin ho
ặ
c cosin.
3. Phương trình bậc hai với một hay nhiều hàm số lượng giác
a) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
–

D
ạ
ng: a.X
2
+ b.X + c = 0, v
ớ
i X là sin ho
ặ

c cosin ho
ặ
c tang ho
ặ
c cotang.
–

Ph
ươ
ng pháp:
ðặ
t t = X, n
ế
u X là sin ho
ặ
c cosin thì có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1 t 1.
− ≤ ≤

b) Phương trình bậc hai với sin và cosin
–

Ph
ươ

ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t b
ậ
c hai
ñố
i v
ớ
i sin và cosin

+ D
ạ
ng

2 2
a.sin u b.sin u.cosu c.cos u d.
+ + =

+ Ph
ươ
ng trình này còn
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình
ñẳ

ng c
ấ
p b
ậ
c hai v
ớ
i sin và cosin.

+ Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

Cách 1
Tìm cách
ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích.
Cách 2
Dùng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c

ñể

ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t
ñố
i v
ớ
i sin và cosin.
Cách 3
Xét cosu = 0. Xét
cosu 0
≠
, chia hai v
ề
ph
ươ
ng trình cho cos
2
u và
ñặ
t t = tanu.
Chú ý

V
ớ
i ph
ươ
ng trình a.sin
3
u + b.sin
2
u.cosu + c.sinu.cos
2
u + d.cos
3
u + e.sinu + f.cosu = 0 ta
làm t
ươ
ng t
ự
nh
ư
cách 3 nói trên.
–

PT
ñố
i x
ứ
ng
ñố
i v
ớ

i sin và cosin có d
ạ
ng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = 0. Ta
ñặ
t
2
t 1
t sinu cosu t 2, sinu.cosu .
2
−
= + ⇒ ≤ =

– Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường ñặt
t sinu cosu
= −
2
1 t
t 2, sin u.cosu .
2
−
⇒ ≤ =

4. Các phương trình lượng giác khác
• Ta có thể biến ñổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích. Muốn vậy cần nắm
vững các công thức lượng giác, các hằng ñẳng thức, các phương pháp ñặt nhân tử chung …
Chúng ta lưu ý một số kĩ thuật sau:
☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x … ta có thể
ñặt nhân tử chung là sinx.
☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x … ta có thể
ñặt nhân tử chung là cosx.

Ph ủo Toỏn 11
Nguyn Vn Xỏ T Toỏn Trũng THPT Yờn Phong s 2 Bc Ninh

5

5

Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha
2 2 2 2
x x
cos ,cot ,sin x,tan x
2 2
ta cú th


ủ
t
nhõn t

chung l 1 + cosx.


N

u trong ph

ng trỡnh l

ng giỏc cú ch

a
2 2 2 2
x x
sin ,tan ,sin x,tan x
2 2
ta cú th


ủ
t
nhõn t

chung l 1 cosx.


N

u trong ph

ng trỡnh l

ng giỏc cú ch

a
2 2 2 2
x x
cos x,cot x,sin ( ),cos ( )
2 4 4 2

+

ta
cú th ủt nhõn t chung l 1 + sinx.
Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha
2 2 2 2
x x
cos x,cot x,sin ( ),cos ( )
4 2 2 4

+
ta
cú th ủt nhõn t chung l 1 sinx.
Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx,
tanx + cotx ta cú th ủt nhõn t chung l sinx + cosx.
Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha cos2x, cot2x, 1 sin2x, 1 tanx, 1 cotx,
tanx cotx ta cú th ủt nhõn t chung l sinx cosx.
Ta cú th dựng cỏc cụng thc h bc, nhõn ủụi, bin tng thnh tớch, bin tớch thnh tng
ủ bin ủi cỏc phng trỡnh lng giỏc v dng quen thuc ủó bit cỏch gii. Cú th dựng bt
ủng thc ủ gii phng trỡnh lng giỏc. Nhiu phng trỡnh lng giỏc cn chỳ ý ủn ủiu
kin xỏc ủnh.
Bi tp.
Bi 1. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1.
2sincos3 = xx
, 2.
1sin3cos = xx

3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=

, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++

xx

5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx =
, 6.
tan 3cot 4(sin 3cos )
x x x x
= +

7.
3(1 cos2 )
cos
2sin
x
x
x

=
8.
2
1

sin 2 sin
2
x x
+ =

Baứi 2. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1. 2cos
2
x +5sinx 4 = 0 , 2. 2cos2x 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos =

7.
2
3

3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4
x x
+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7
x x
+ =

Baứi 3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1) 2sin
2
x 5sinx.cosx cos
2
x = - 2 2) 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3) 4sin

2
x +3
3
sin2x 2cos
2
x = 4 4) 6sinx 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
Phụ đạo Tốn 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh

6

6

5)
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x
+ − =
6) cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
Bài 4. Giải các phương trình sau :
1) 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2) sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3) 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4) sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,

4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
x
cos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 6. Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos =
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin

2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
x
cos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3

π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x 8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tan

3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
Bài 7. Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 . 2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
4/ sin
3
x + cos

3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
Ph ủo Toỏn 11
Nguyn Vn Xỏ T Toỏn Trũng THPT Yờn Phong s 2 Bc Ninh

7

7

6/ 3cos
4
x sin
2
2x + sin
4
x = 0 ẹS :x =
3

+ k v x=
4

+
2

k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x 3 = 0 . 8/ 6sinx 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
Baứi 8. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
1/ cos
3
x + sin
3

x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++ xx
x
x

7/ tanx + tan
2

x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos
3
x sin
3
x = sin 2x
10/ cos
3
x sin
3
x = - 1 11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).

Baứi 9. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx 4cosx 2/ sin 2x cos 2x = 3sinx +cosx
2
3/ sin
2
x + sin
2
3x 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 2sinx 6/ cos3x 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6

x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x cos
2
x = 1 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos
1
sincos
=

+

11/ sin
2
)
4
2
(


x
tan
2
x cos
2
2
x
= 0 12/ cotx tanx + 4sinx =
x
sin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)

2
sin
2
1
3sin3cos
(sin5 +=
+
+
+ x
x
xx
x
16/ sin
2
3x cos
2
4x = sin
2
5x cos
2
6x
17 / cos3x 4cos2x +3cosx 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x

x

+ =

19/ tanx +cosx cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 20/ cotx 1 =
2
cos2 1
sin sin2
1 tan 2
x
x x
x
+
+

Baứi 10. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
2 2
1)sin (x ) cos (3x ).
4 2

= +

x
2)tan(2x )tan( ) 1.
2 2

+ =

2
1
3)sin2x sin x .
2
+ =

3 2 2 2 4
4)8sin xcosx 3sin x 2sin xcos x cos x 1.
+ + =

5)sin6xcos7x sin8x cos5x.
=

6)2sin xcos2x 1 2cos2x sinx 0.
+ =

2 2 2 2
7)sin x sin 2x sin 3x sin 4x.
+ = +

8) 2sinx 1 2 3sin x.
=

9)2x sin x 0.
=

3 3

10)cos x sin x cos2x.
+ =

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

8

8

5 1
11)sin( cos x) .
3 2
π
π =

x 3x x 3x 1
12)cosxcos cos sin xsin sin .
2 2 2 2 2
− =

13)tan2x 3tan x.
=

14)2cot 2x 3cot3x tan2x.
− =

2
15)tan2x cotx 8cos x.
+ =

2
16)2cos 4x sin10x 1.
+ =

2 2 2
4x 3x 5x 3x
17)cos sin 2sin cos .
3 2 6 2
+ + =
4 6
18)cos2x 4sin x 8cos x.
+ =

4 4
3 cos6x
19)sin x cos x .
4
−
+ =

20)sin3x cos2x 2 0.
+ + =

2 2
21)sin 2x 1 cos 3x.
+ =

2 2
22)(cos2x cos4x) 4 cos 3x.

− = +

5 8
23)2sin x 3cos x 5.
+ =

1
24) 3sin x cosx .
cosx
+ =

4 4
10 10
2 2 2
sin x cos x
25)sin x cos x .
cos 2x 2sin xcos x
+
+ =
+

26)sinx 3cosx 2sin4x.
− =

27)cos2x 3sin3x 3sin 2x cos3x.
+ = −

28)sin x sin2x sin3x sin4x 0.
+ + + =

2 2 2 2
29)sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2.
+ + + =

cosx cos5x
30) 8sin xsin3x.
cos3x cosx
− =

31) sin x cosx sin x cosx 2.
− + + =

x
32)tan cosx sin2x 0.
2
+ =

3 1 3 1
33) 1.
sin x cosx
− +
+ =

2 3
34)sin x sin x cos x 0.
+ + =

1 tanx
35) 1 sin2x.
1 tan x

+
= +
−

2
2
x
2cos
2
36)tan x .
1 sin x
=
−

37)sin6x sin8x sin16x sin18x 16sin3x 0.
+ + + + =

38)3(cot x cosx) 5(tan x sin x) 2.
− − − =

3
39)2cos13x 3(cos3x cos5x) 8cosxcos 4x.
+ + =

2
40) sin x sin x sin x cosx 1.
+ + + =

41)sin x sin 2x 3(cosx cos2x).
+ = +

42)2sin xcos2x sin2x cos2x sin 4xcosx.
+ =

23 sin x
43)tan( x) 2.
2 1 cosx
π
− + =
+

44)sin2x cos2x 3sin x cosx 2 0.
+ + − − =

4 4
sin x cos x cot2x 1
45) .
5sin 2x 2 8sin2x
+
= −

2
4
4
(2 sin 2x)sin3x
46)tan x 1 .
cos x
−
+ =

2
1
47) sin x.
8cos x
=

48)3 tan x(tan x 2sin x) 6cosx 0.
− + + =

2cos4x
49)cot x tanx .
sin 2x
= +

3 3
2 3 2
50)cos3xcos x sin3xsin x .
8
+
− =

51)2sin(2x ) 4sin x 1 0.
6
π
− + + =

3 3 2
52)cos x sin x 2sin x 1.
+ + =

3 2
53)4sin x 4sin x 3sin 2x 6cosx 0.
+ + + =

2 2 2
54)(2sin x 1)tan 2x 3(2cos x 1) 0.
− + − =

55)cos2x (1 2cosx)(sinx cosx) 0.
+ + − =

56)
11 11
sin x cos x 2 cos(x )
4
π
− = +
57)
1
2tan x cot x 2sin 2x .
sin 2x
+ = +

58)

2
cos (x ) 1 cos(2x )
2 2
4 2
3 cos4x 4

4 2 ln16.ln(sin2x ) 2sin2x( sin xcos x 1).
2 3
π π
− + +
−
− = + + −

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

9

9

59)
2
3
(2sin x 3)(4sin x 6sin x 3) 1 3 6sin x 4.
− − + = + −

60)3sin5x 2cos5x 3.
− =


61)
sinx cosx
1
e e cos(x ).(2 2 sin 2x) cos2x.
4 2
π

− = + + + +

4 4
x x
62)sin2x cos sin .
2 4
= −

63)cos( 5x) sin x 2cos3x.
2
π
+ + =

2
64)cos4xcos(2x 5 ) sin 2xcos( 4x) sin 4x.
2 2
π
+ π − − =

2 2 2 2
65)cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0.
+ − − =

0 0 0
66)tan(120 3x) tan(140 x) 2sin(80 2x).
+ − − = +

67)sin 2x cos2x 2 cos3x.
+ =

2 2 2 2
x x x x x x
68)tan sin tan cos cot cot sin x 4.
2 2 2 2 2 2
+ + + + =

69)tan( cosx) cot( sinx).
π = π
0 0 0 0
1
70)cos(22 x)cos(82 x) cos(112 x)cos(172 x) (si
nx cosx).
2
− − + − − = +
2 0 2 0 0 0
1
71)sin (x 45 ) sin (x 30 ) sin15 cos(2x 15 ) sin6x.
2
+ − − − + =

8 8
41
72)sin 2x cos 2x .
128
+ =

2
sin2x 2cos x 1
73) cosx.
cosx cos3x sin3x sin x

+ −
=
− + −

2 2
74) 1 4cos x 3 4sin x 4.
+ + + =

5
75)12cosx 5sin x 8 0.
5sin x 12cosx 14
+ + + =
+ + +

4 3 4 3
76)cos x sin x sin x cos x.
+ = +

2 2
77)cos 3x cos x 1.
− =

78)cosx cos2x sin x.
+ =

3 3
79)sin x cos x 1 sin2x.
+ = +

80)sin x cosx sin xcosx 1.

+ + = −

2 2
81)sin x sin x cosx sinxcosx cos x.
+ + + = −

1
82)sin xsin 2xsin3x sin4x.
4
=

2 2
83)2tan x 3tan x 2cot x 3cot x 2 0.
+ + + + =

84)cosx tan3x sin5x.
=

1 1
85) sin3x sin5x.
3 5
=

2
2
1 1
86)sin x sin x .
sin x
sin x
− = −

87)1 sin x cosx sin 2x 2cos2x 0.
+ − − + =

88)4sin3x sin5x 2sin xcos2x 0.
+ − =

4
89)8cos x 4cos2x sin4x 4.
− + =

6 6
1
90)sin x cos x sin4x 0.
2
+ + =




CHƯƠNG HAI
TỔ HỢP - XÁC SUẤT


A. Lí thuyết
I. Quy tắc ñếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B.
Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi ñó,
công việc ñược thực hiện theo n + m cách.
Bản chất :
n(A B) n(A) n(B) n(A B).

    

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

10

10

2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công ñoạn A và B. Công ñoạn A có thể thực
hiện bởi n cách; công ñoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi ñó, công việc ñược thực hiện
bởi n.m cách.
Bản chất :
n(A B) n(A).n(B).
 

II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. ðịnh nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử ñó theo một thứ tự ñịnh
trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. ðịnh lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. ðịnh nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k
∈

mà
1 k n
≤ ≤
. Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi ñem sắp xếp k phần tử ñó theo một thứ tự ñịnh trước, ta ñược một phép
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. ðịnh lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. ðịnh nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k
∈

mà
1 k n
≤ ≤
. Một tập hợp con của A có

k phần tử ñược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. ðịnh lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
(
)
(
)
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
.
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
(
)
* k n k k k k 1
n n n n 1 n 1
Cho a, k : C C (1) 0 k n ; C C C (2) (1 k n).
− −
− −
∈ = ≤ ≤ = + ≤ ≤

Chứng minh:
a) Chứng minh công thức (1):
Cách 1: Ta có
( ) ( )
k n k
n n
n! n!
C C .
k! n k ! n k !(n (n k))!
−
= = =
− − − −

Cách 2:
k
n
C
là số
t
ậ
p con có k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p A có n ph

ầ
n t
ử
. M
ỗ
i t
ậ
p con B c
ủ
a A và B có k
ph
ầ
n t
ử
thì t
ậ
p A\B là t
ậ
p con có n – k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A. Có bao nhiêu t
ậ
p con B thì có b
ấ
y nhiêu
t

ậ
p con A\B. Mà s
ố
t
ậ
p con có n – k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A là
n k
n
C .
−
V
ậ
y ph
ả
i có
k n k
n n
C C (1)
−
=
.
Cách 3: Ta có khai tri
ể
n nh

ị
th
ứ
c
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b ,
−
=
+ =
∑

ở

ñ
ó s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
k
b
là
k n k k

n
C a b
−
.
M
ặ
t khác ta có
( )
n
n
n k n k k
n
k 0
a b (b a) C b a ,
−
=
+ = + =
∑
và s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
k
b
là
n k k n k
n

C b a .
− −
. Hai s
ố

h
ạ
ng ch
ứ
a
k
b

ở
hai cách khai tri
ể
n
ñ
ó ph
ả
i
ñồ
ng nh
ấ
t v
ớ
i nhau, t
ứ
c là
k n k

n n
C C .
−
=

b) Ch
ứ
ng minh công th
ứ
c (2):
k k 1 k
n 1 n 1 n
(n 1)! (n 1)! n!
Cách 1: C C C .
k!(n k 1)! (k 1)!(n k)! k!(n k)!
−
− −
− −
+ = + = =
− − − − −

Cách 2: Cho t
ậ
p A g
ồ
m n ph
ầ
n t
ử
, trong

ñ
ó có ph
ầ
n t
ử
a. S
ố
t
ậ
p con có k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A là
k
n
C .

N
ế
u B là t
ậ
p con g
ồ
m k ph
ầ
n t
ử

c
ủ
a A thì x
ả
y ra các kh
ả
n
ă
g sau:
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

11

11

- Tập B không chứa phần tử a, thì B là tập con gồm k phần tử của tập A\{a}, có
k
n 1
C
−
tậ
p B
nh
ư
th
ế
.
- T
ậ

p B có ch
ứ
a a, t
ứ
c là B\{a} là t
ậ
p con có k – 1 ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p A\{a}, có
k 1
n 1
C
−
−
t
ậ
p B nh
ư

th
ế
. Theo phân tích này thì có
k k 1
n 1 n 1

C C
−
− −
+
t
ậ
p con có k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A. V
ậ
y
k k 1 k
n 1 n 1 n
C C C .
−
− −
+ =

Cách 3: Ta có
n 0 1 k k n n
n n n n
(1 x) C C x C x C x (*).
+ = + + + + +
M
ặ
t khác

n n 1
(1 x) (1 x)(1 x)
−
+ = + + =

0 1 k 1 k 1 k k n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
(1 x)(C C x C x C x C x ) (**).
− − − −
− − − − −
= + + + + + + +
Ở
khai tri
ể
n (*) s
ố

h
ạ
ng ch
ứ
a
k
x
là
k k
n
C x
, còn
ở khai triển ( **) số hạng chứa

k
x
là
k k k 1 k 1
n 1 n 1
C x x.C x
− −
− −
+ =

k 1 k k
n 1 n 1
(C C )x .
−
− −
= +
ðồng nhất hệ số của
k
x
ở hai khai triển này ta ñược
k k 1 k
n 1 n 1 n
C C C .
−
− −
+ =

III. Khai triển nhị thức Newton
( )
n

n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑

Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách ñếu số hạng ñầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát:
k n k k
k 1 n
T C a b .
−
+
=

–
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =

–
( ) ( )

k n
0 1 2 3 k n 0 2 4 1 3 5 n 1
n n n n n n n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0; C C C C C C 2 .
−
− + − + + − + + − = + + + = + + + =

Chú ý: 
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.

( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=

+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
 Học sinh cần chú ý thêm tới tam giác Pascal.
IV. Xác suất.
n(A)
P(a) ; 0 P(A) 1; P( ) 0; P( ) 1; P(A) 1 P(A);
P(A B) P(A) P(B) P(A.B);
n( )
= ≤ ≤ ∅ = Ω = = − ∪ = + −
Ω
A, B ñộc lập
P(A B) P(A).P(B).
⇔ ∩ =

B. Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc ñếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm ñược tiến hành theo phương án A hoặc
B ñể chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công ñoạn A và B ñể chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị ñể mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác
nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập
{
}
A 0;1;2;3;4
=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong
số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập
{

}
A 1,2,3,4,5
=
hỏi có thể lập ñược bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất
hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

12

12

Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp ñặt của n phần tử có thứ tự: P
n
= n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn ñịnh xếp nam, nữ ngồi
riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp ñặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp ñặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =

−

Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 ñiểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai
ñiểm trong các ñiểm ñó?
Bài 6: Từ tập
{
}
A 0,1,2,3,4,5
=
có thể lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp ñặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−

Bài 7: Cho 7 ñiểm phân biệt không tồn tại ba ñiểm thẳng hàng. Từ 7 ñiểm trên có thể lập ñược
bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm
*
n ∈

trong phương trình chứa
k k

n n n
P ,A ,C

Phương pháp giải:
Dùng các công th
ứ
c:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
k k
n n n
n! n!
P n! n 1 ; A n n 1 n k 1 1 k n ; C 0 k n
n k ! k! n k !
= ≥ = − − + = ≤ ≤ = ≤ ≤
− −

Bài 8:
Tìm
*
n ∈

, n
ế
u có:
( ) ( )
3 3 3

n
n n n 1
n 1
2P
a) A 1 b)6n 6 C C . 2
P
+
−
= − + ≥
.
Dạng 6: Tìm phần tử ñặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Phương pháp giải:
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c khai tri
ể
n c
ủ
a nh
ị
th
ứ
c Newton:
( )

n
n
k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C a b C b
− − − −
=
+ = = + + + + + +
∑
(khai tri
ể
n theo l
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a a t
ă
ng,
b gi
ả
m) (
Chú ý:
( )
n
n
k k n k
n

k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
khai tri
ể
n theo l
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a a gi
ả
m d
ầ
n, b t
ă
ng d
ầ
n)
Bài 9:
Tìm s
ố
h
ạ
ng ch
ứ

a x
3
và h
ệ
s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t trong khai tri
ể
n (11 + x)
13
.
Bài 10:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ

ng trong các khai tri
ể
n sau

1)

H
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
4
x
trong khai tri
ể
n
12
x 3
3 x
 



−





 
và
(
)
10
2 3
1 x x x+ + +
.
2)

H
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
8

x
trong khai tri
ể
n
12
5
3
1
x
x
 


+





 
và
8
2
1 x (1 x)
 
+ −
 
 
.
3)

H
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
7 2 3
x .y .z.t
trong khai tri
ể
n
13
(x y z t)
+ + +
.
4)

H
ệ
s
ố
c

ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
3
x
trong khai tri
ể
n
2 10
(x x 2)
− +
.
5)

H
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch

ứ
a
4
x
trong khai tri
ể
n
2 10
(1 x 3x )
+ +
.
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

13

13

6) Hệ số của
3
x
trong khai triển:
3 4 5 50
S(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)
= + + + + + + + +
.
7) Hệ số của
3
x
trong khai triển

3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)
= + + + + + + + +
.
8) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
10 10
(1 x) (x 1)
+ +
.
Bài 11: Trong khai triển
10
3
3
2 x
x
 
−
 
 
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
Bài 12: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
( )
8
2
1 x 1 x
 

+ −
 

Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
(
)
10
1 2x .
+
Bài 14:
Tìm s
ố
h
ạ
ng trong các khai tri
ể
n sau
1)

S
ố
h
ạ
ng th
ứ
13 trong khai tri
ể
n
25
(3 x)

−

2)

S
ố
h
ạ
ng th
ứ
18 trong khai tri
ể
n
2 25
(2 x )
−

3)

S
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a x trong khai tri
ể
n
12
1

x
x
 


+





 
và
12
28
3
15
x x x
−
 




+







 
.
4)

S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a a, b và có s
ố
m
ũ
b
ằ
ng nhau trong khai tri
ể
n
21
3
3
a b
b
a
 




+





 
.
Dạng 7: Tìm tổng hoặc chứng minh ñẳng thức, bất ñẳng thức có chứa
k k
n n n
P ,A ,C

Phương pháp giải:
T
ừ

ñề
bài, ta liên k
ế
t v
ớ
i m
ộ
t nh
ị
th
ứ
c khai tri
ể

n và cho x giá tr
ị
thích h
ợ
p,
t
ừ

ñ
ó suy ra k
ế
t qu
ả
.
Bài 15: 1)
Tính t
ổ
ng:
( ) ( )
k n
0 1 2 n 0 1 2 k n
1 n n n n 2 n n n n n
S C C C C ; S C C C 1 C 1 C ;
= + + + + = − + − + − + + −

( )
n
0 2 4 2n 1 3 2n 1 0 1 2 2 3 3 n
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n n n n n n
S C C C C ; S C C C T C 2C 2 C 2 C 2 C .

−
= + + + + = + + + = − + − + + −;

2)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i
n ,n 1,x 0
∈ > >

thì
n
(1 x) 1 nx.
+ > +

3)
Ch
ứ
ng minh v
ớ
i m, n, r
*
∈

thì: a)
r

k r
n k n r 1
k 0
C C .
+ + +
=
=
∑
b)
m 1 m
n 1 n
m
C C (m n).
n
−
−
= ≤
c)
r
k r k r
n m m n
k 0
C C C (r n, r m).
−
+
=
= < <
∑
d)
n

k n 1
n
k 1
kC n.2 .
−
=
=
∑
e)
m m n
m n n m 1 n m 1
C C C .
+ + − + −
= +

f)
m 1 m m m m
n 1 n n 1 m 1 m
C C C C C (m n).
+
+ − +
= + + + + < g)
r m m r m
n r n n m
C .C C .C (n r m).
−
−
= ≥ ≥
4)
Ch

ứ
ng minh v
ớ
i
n
∈

thì: a)
n 5 2
2 n 11n 28;
+
> + +
b)
n 3
3 (n 4)(n 6).
+
> + +

Dạng 8. Tính xác suất.
Bài 16 : Hai hộp chứa các quả cầu, hộp I chứa 3 quả ñỏ và 2 quả xanh, hộp II chứa 4 quả ñỏ
và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả, tính xác suất ñể :
a) Cả 2 quả là ñỏ ; b) Hai quả cùng màu ; c) Hai quả khác màu.
Bài 17 : Cho hai biến cố A, B có
P(A B)
a.
P(A) P(B)
∪
=
+
Chứng minh :

P(A B) 1
a) 1 a. b) a 1.
P(A) P(B) 2
∩
= − ≤ ≤
+

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

14

14


CHƯƠNG BA
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN



A. DÃY SỐ
I. Phương pháp qui nạp toán học
Bài tập
1) Chứng minh với mọi số nguywn dương n ta luôn có
2 2 2
2 2 2 3 3 3 3
n(4n 1) n (n 1)
a)1 3 (2n 1) . b)1 2 3 n .
3 4
− +

+ + + − = + + + + =

2) Cho số nguyên dương n. Cho n số thực
1 2 n
a ,a , ,a
thoả mãn Chứng minh
rằng
1 2 n 1 2 n
(1 a )(1 a ) (1 a ) 1 (a a a ).
+ + + ≥ + + + +

3) Tính tổng T
1
= 1.3 + 2.4 + + n(n+2) ; T
2
= 1.2.3 + 2.3.4 + + (n-1).n(n + 1) ; với
n *.
∈


II. Dãy số
1) Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên
,

hàm số
n
u :A
n u(n) u
→
=

ñược gọi là một dãy số, và kí hiệu là
n
(u )
hoặc
{
}
n
u
. Thông thường ta hay chọn A sao cho
phần tử nhỏ nhất của A là 1. Dãy (u
n
) gọi là dãy sỗ hữu hạn (hoặc dãy số vô hạn) nếu A là tập
hợp gồm hữu hạn (vô hạn) phần tử. Số u
n
ñược gọi là số hạng tổng quát của dãy (u
n
).
2) Dãy số (u
n
) ñược gọi là dãy số tăng (tăng không nghiệm ngặt, giảm, giảm không
nghiêm ngặt) nếu
n n 1
u u
+
<
(tương ứng
n n 1

u u
+
≤
,
n n 1
u u
+
>
,
n n 1
u u
+
≥
) với mọi
n A.
∈

3) Dãy số (u
n
) ñược gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho
n k n
u u , n A.
+
= ∀ ∈
Số k nhỏ nhất thoả mãn tính chất này ñược gọi là chu kì của dãy tuần hoàn
(u
n
). Nếu k = 1 thì ta ñược một dãy hằng (tất cả các số hạng bằng nhau).
4) Dãy số (u
n

) ñược gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho
n
u M
≤
với mọi
n A.
∈
Dãy số (u
n
) ñược gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho
n
u m
≥
với mọi
n A.
∈
Dãy số (u
n
) ñược gọi là bị chặn (hoặc giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dưới, tức là tồn tại số thực M, m sao cho
n
m u M
≤ ≤
với mọi
n A,
∈
hoặc tồn tại số thực C sao
cho
n
u C, n A.

≤ ∀ ∈
Dãy số hữu hạn hoặc tuần hoàn thì luôn bị chặn.
VD1. Cho các số dương
1 2 13
a ,a , ,a
thoả mãn
1 2 13
a a a 13.
+ + + ≥
Chứng minh dãy (u
n
) cho
bởi
n n n
n 1 2 13
u a a a , n *,
= + + + ∀ ∈

là dãy tăng không nghiêm ngặt.
HD. Với mọi số dương a và số nguyên dương n ta có
n
(a 1)(a 1) 0
− − ≥
nên
n 1 n
a a a 1.
+
− ≥ −
Từ
ñó suy ra

n 1 n 1 n 1 n n n
n 1 n 1 2 13 1 2 13 1 2 13
u u (a a a ) (a a a ) a a a 13 0, n *,
+ + +
+
− = + + + − + + + ≥ + + + − ≥ ∀ ∈


hay
n 1 n
u u , n *.
+
≥ ∀ ∈

Vậy (u
n
) là dãy số tăng không nghiêm ngặt.
Phụ đạo Tốn 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh

15

15

VD2. Chứng minh dãy số (u
n
) có u
1
= 1,
n

n 1
1
u , n 2,3,4
3 u
−
−
= ∀ =
+
là dãy giảm và bị chặn.
HD. * Trước hết ta chứng minh
n
3 5
u , n *.
2
− +
> ∀ ∈

Thật vậy, với n = 1 thì
1
3 5
u 1 .
2
− +
= >

Giả sử
k
3 5
u .
2

− +
>
Khi đó
k k 1
k k
3 5 1 2 3 5 1 3 5
3 u u .
2 3 u 2 3 u 2
3 5
+
+ − − − +
+ > ⇒ < = ⇒ = >
+ +
+
Theo
ngun lí qui nạp tốn học, ta có
n
3 5
u , n *,
2
− +
> ∀ ∈

tức là (u
n
) bị chặn dưới bởi
3 5
.
2
− +

* Bây giờ ta xét hiệu
2
n n
n n 1 n n
n n
u 3u 11 3 5
u u u 0, n *, do u , n *.
3 u 3 u 2
+
+ + − +
− = + = > ∀ ∈ > ∀ ∈
+ +


Vậy (u
n
) là dãy số giảm.
* Vì (u
n
) giảm nên
1 2 n n 1
1 u u u u
+
= > > > > >
suy ra (u
n
) bị chặn trên bởi 1. Vậy (u
n
) là dãy

số bị chặn.
Nhận xét. Ta có kết luận tương tự đối với dãy số (u
n
) cho bởi u
1
=
α
,
n
n 1
a
u , n 2,3,4
b cu
−
−
= ∀ =
+
, với a, b, c dương,
2
2
b b 4ac
b 4ac 0, .
2c
− + −
− > α >

Bài tập
1) Cho dãy số
n
(u )

thoả mãn điều kiện
n
0 u 1
< <
và
n 1
n
1
u 1
4u
+
< −
với mọi
n *.
∈

Chứng
minh
n
(u )
là dãy số giảm.
2) Xác định số hạng tổng qt, tính đơn điệu và bị chặn của dãy
n
(u )
cho bởi :
1
1
n 1
n 1 n
n

u 2
u 5
a) ( n *); b) ( n *).
1
u 2
u u 3n 2
u
+
+
=

=


∀ ∈ ∀ ∈
 
= −
= + −





3) Xét tính bị chặn của dãy số
n
(u )
có
1 2 n 2 n 1 n
u 1;u 2;u u 2u , n 1,2,
+ +

= = − = − ∀ =

4) Cho dãy số
n
(u )
có
1 2 n 2 n 1 n
u 2;u 5;u 5u 6u , n 1,2,
+ +
= = = − ∀ =
Chứng minh rằng
n n
n
u 2 3
= +
v
ớ
i m
ọ
i n và tìm s
ố
d
ư
khi chia
2010 2011
u u
×
cho 2011.
5) Cho dãy s
ố

n
(u )
có
n
1 n 1 n 1
u 1;u u (n 1).2 , n 1,2,
+ +
= = + + ∀ =
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
n
n
u 1 (n 1).2
= + − .
6) Xác
đị
nh s
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng qt c
ủ
a dãy s
ố

n
(u )
có
1 n 1 n
1
u 1;u u 1, n 1,2,
2
+
= = + ∀ =

7) Xác định số hạng tổng qt của dãy số
n
(u )
có
a)
1 2 n 2 n 1 n
u 0;u 1;u u u , n 1,2,
+ +
= = = + ∀ =
b)
1 2 n 2 n 1 n
u 1;u 3;u u u , n 1,2,
+ +
= = = + ∀ =

B. CẤP SỐ CỘNG
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không
đỗi gọi là công sai.

Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u
n+1
= u
n
+ d (n = 1, 2, ).
Phụ đạo Tốn 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh

16

16

Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng
nhau.
Để chỉ rằng dãy số (u
n
) là một cấp số cộng,ta kí hiệu
÷
u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u
n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1

và công sai d
được cho bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối
cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức
là
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
(k
≥
2).
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
ta có hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d

[ ]
dnu
n
S
n
)1(2
2
1
−+=

• S
n
tính theo u
1
và u
n

)(
2
1 nn
uu
n
S +=

Bài tập
Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

, 8,5,2/
÷
a

tìm u
15
.

, 32,4,32/ −+÷b
tìm u
20
. ĐS:
15 20
a / u 44 b / u 40 18 3
= = −

Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Bài 3: Cho cấp số cộng:



=+
=−+
26
10
64
352
uu
uuu
. Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4: Tìm CSC có 5 số hạng có tổng là 25,ø tổng các bình phương của chúng là 165.
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng
là 1140.
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp

số cộng với công sai là 25.
Bài 7: Cho cấp số cộng
÷
u
1
, u
2
, u
3
, Biết u
1
+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u
13
+ u
16
= 147.
Tính u
1
+ u
6
+ u
11
+ u
16

.
Bài 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a
13
= 80. Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đó.
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối
và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 10: cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = -3. Tính a
10
.
Bài 11: Tính u
1
, d trong các cấp số cộng sau đây:
Phụ đạo Tốn 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh

17

17

4
3 5 5 3 10
13 9 4 9
6
S 9
u u 14 u 19 u u 31
1/ 2 / 3/ 4 / .
45
S 129 u 35 2u u 7
S
2
=

+ = = + = −
  

   
= = − =
=
  



ĐS: 1/ u
1
=
13
53
và d =

39
38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4. 3/ u
1
= 0 và d =
2
3
;
Bài 12 : Cho CSC (u
n
) có u
3
= -15, u
14
= 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 13 : Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
= 17, d = 3. Tính u
20
và S
20.

ĐS: u
20
= 74, S
20

= 910.

Bài 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10
= 10, d = -4. Tính u
1
và S
10
.
ĐS: u
1
= 46, S
10
= 280
Bài 15: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
6
= 17 và u
11
= -1. Tính d và S
11
.
ĐS: d =
5
18
−
và S

11
= 187
Bài 16: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
4
= 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên.
ĐS: S
20
= 1350
Bài 17: Cho cấp số cộng có
n
S
là tổng của n số hạng đầu tiên. Biết m, n là hai số ngun
dương phân biệt thoả mãn
n m
S S .
=
Chứng minh
m n
S 0.
+
=

Bài 18: Một cấp số cộng có
2
n
S n .

= Tính
n
u
và d.
Bài 19:
Ba góc trong m
ộ
t tam giác vng l
ậ
p thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Tìm s
ố

đ
o c
ủ
a hai góc
nh
ọ
n trong tam giác
đ
ó.
Bài 20:
T
ổ

ng c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
3 và s
ố
h
ạ
ng th
ứ
9 c
ủ
a m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng b
ằ
ng 8. Tính t
ổ
ng 11
s

ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên c
ủ
a c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng
đ
ó.
C. CẤP SỐ NHÂN
1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số
hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số
không đỗi gọi là công bội.
Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ).
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u

1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu


u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1−n
q
(q

0
≠
).
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối
đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề
bên nó, tức là:
11
.
+−
=
kkk
uuu

)2(
≥
k
.
Phụ đạo Tốn 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh

18

18

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Đònh lí: Ta có:
1
1
1

−
−
=
q
q
uS
n
n
(q
≠
1)
Bài tập
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 và u
6
= 1
2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S
6
= 2730. Tìm u
1
, u
6
.
Bài 2: Tìm u
1

và q của cấp số nhân có a) u
3
= 18 và u
6
= -486. b) u
3
=12, u
5
=48.
Bài 3: Tìm u
1
và q của cấp số nhân biết: a)



=−
=−
144
72
35
24
uu
uu
. b)



=++
=++
351

13
654
321
uuu
uuu
.
Bài 4: Tìm u và q của cấp số nhân (u
n
) biết:
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
u u u u 15
.
u u u u 85
+ + + =



+ + + =



Bài 5: Tìm cấp số nhân (u
n
) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng
cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 6: Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2 2

(b c) (c a) (d b) (a d) .
− + − + − = −
b)
2 2 2
(a b c)(a b c) a b c .
+ + − + = + +

Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và
số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Bài 8: Một cấp số cộng và cấp số nhân có các số hạng đều dương. Biết các số hạng thứ
nhất và thứ hai của chúng bằng nhau. Chứng minh mọi số hạng của cấp số cộng khơng lớn
hơn số hạng tương ứng của cấp số nhân.
Bài 9: Cho dãy số
n
(u )
có
n
1 n 1
n
2u 3
u 0,u , n *.
u 4
+
+
= = ∀ ∈
+

ðặt
n
n

n
u 1
x .
u 3
−
=
+
Chứng minh
n
(x )

là cấp số nhân. Tìm cơng thức tính
n n
x ,u
theo n.
Bài 10: Cho dãy số
n
(u )
có
n
1 n 1
(n 1)u
1
u ,u , n *.
3 3n
+
+
= = ∀ ∈

ðặt

n
n
u
v .
n
=
Chứng minh
n
(v )
là cấp số nhân. Tìm cơng thức tính
n n
v ,u
theo n.
Bài 11: Cho dãy
n
(u )
có
1 2 n 2 n 1 n
u 0,u 1, 3u 2u u , n 1,2,3,
+ +
= = = + ∀ =
ðặt
n n 1 n
v u u .
+
= −

Chứng minh
n
(v )

là cấp số nhân và tính
n
u
theo n.
Bài 12: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 100 số hạng và số hạng đầu
tiên là 1, cơng bội là 0,5.
Bài 13: Tính tổng tất cảc các số hạng của một cấp số nhân biết số hạng đầu bằng 18, số
hạng thứ hai là 54, số hạng cuối là 39366.
Bài 14: Viết số 1,014301430143 ở dạng phân số.
Bài 15: Số hạng thứ hai, số hạng đầu, số hạng thứ ba của một cấp số cộng với cơng sai
khác 0 theo thứ tự đó lại lập thành một cấp số nhân. Tìm cơng bội của cấp số nhân đó.
Bài 16: Tìm hai số thực x và y sao cho ba số
2
1; x 1; xy x 2y 1
− + + −
lập thành cấp số
nhân, ba số
(x 1) 2y; x y; 2 y x 2
− − − −
lập thành cấp số cộng.
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

19

19


CHƯƠNG BỐN
GIỚI HẠN

A. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nhớ
1. Ôn lại nội dung ñịnh lí 1 và ñịnh lí 2 về giới hạn của hàm số
2. Nêu một số giới hạn cơ bản ñã chứng minh ñược:
•
CC
xx
=
→
0
lim
;
CC
x
=
±∞→
lim
( Với c=conts)
• Nếu hàm số f(x) xác ñịnh tại ñiểm
0
x
thì
)0
()(lim
0
xfxf
xx
=

→

•
0
1
lim =
±∞→
x
x
;
0lim =
±∞→
k
x
x
c
với k nguyên dương,c là hằng số
3. Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau;

)943(lim
2
1
++=
→
xxA
x

5
3
12

lim
2
−
+
=
→
x
x
B
x


)1942(lim
23
−++=
−∞→
xxxC
x

2
2
1
lim
1
−
+
=
−
→
x

x
D
x


2
2
1
lim
1
−
+
=
+
→
x
x
E
x

)1942(lim
23
−++=
+∞→
xxxF
x


32
32

lim
2
3
+−
−
=
+






→
x
x
G
x

x
x
H
x
1
lim
0
+
=
−
→

4.Bài tập:
Tính giới hạn của các hàm số sau;

)745(lim
23
1
+++=
→
xxxA
x

1
13
lim
1
−
+
=
+
→
x
x
B
x


)12(lim
3

++=
+∞→
xxC
x

)14(lim
24
−+=
−∞→
xxD
x

E =
)173(lim
24
−+−
−∞→
xx
x

)12(lim
3
−+−=
+∞→
xxF
x

II. Các dạng toán ñiển hình
*GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI HAI HAY NHIỀU BIỂU THỨC
*Kiến thức cần nhớ:

1. Ôn lại giới hạn bên phải,bên trái của hàm số tại một ñiểm
2. Ôn lại cách tìm giới hạn của hàm số :



≥
<
=
02
01
)(
)(
)(
xxkhixf
xxkhixf
xf

B1: Tính các giới hạn:
1
)(lim Lxf
o
xx
=
−
→
và
2
)(lim
0
Lxf

xx
=
+
→

B2:
• Nếu L
1
=L
2
=L thì
Lxf
xx
=
→
)(lim
0

• ðể hàm số có giới hạn tai
0
x
thì :L
1
=L
2
=const.
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

20

20

3. Ví dụ: Tính giới hạn của hàm số:




−≥−
−<+
=
11
123
)()
2
xkhix
xkhix
xfa
tại x=-1



≥−
<+
=
21
21
)()
2
xkhix

xkhix
xfb

4. Bài tập ñề nghị:
Tính các giới hạn sau:




≥−
<
=
01
0
)()
xkhix
xkhix
xfa
tại x=0




≥−
<+
=
113
11
)()
2

xkhix
xkhix
xfb

*TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
0
0

+) Phương pháp chung:
Khử dạng vô ñịnh
0
0
bằng cách làm xuất hiện nhân tử chung:
+,Khử nhân tử chung ñể ñưa về dạng xác ñịnh
+,ðưa về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc ñã biết rõ kết quả hoặc cách giải.
+)Các dạng bài tập:
• Dạng
(
)
)(
lim
0
xg
xf
xx→
( khi x
→
x
0
thì f(x)

→
0 và g(x)
→
0)
*Ví dụ áp dụng:
Tính các giới hạn sau:
a)
3
2
1
lim
2
1
−+
−
→
x
x
x
x
=
)3)(1(
1
lim
1
+−
−
→
xx
x

x
=
)3(
1
lim
1
+
→
x
x
=
4
1

b)
4
8
lim
2
3
1
−
−
→
x
x
x

HD: Phân tích x
3

-8 theo hằng ñẳng thức a
3
- b
3

Phân tích x
2
- 4 theo hằng ñẳng thức a
2
- b
2


4
8
lim
2
3
1
−
−
→
x
x
x
=
)2)(2(
)42)(2(
lim
2

1
+−
++−
→
xx
xxx
x
= 3
*Bài tập:
a.
2
232
lim
23
2
−
−−−
→
x
xxx
x
b.
15
7
2
10133
lim
2
2
5

−−
−−
→
x
x
xx
x

c)

3 2
1
1
lim
1
x
x x x
x
→
− + −
−

• Khử dạng vô ñịnh
0
0
trong trường hợp biểu thức f(x) hoặc g(x) có chứa căn
*) Phương pháp :
- sử dụng biểu thức liên hợp ñể khử dạng
0
0

- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng ñã biết cách giải
Lưu ý : Liên hợp của biểu thức
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

21

21


3
3
3
3
lµ 4) a lµ
lµ a a
a lµ a
a lµ
3
2 2
3
2 2
1) a b a b b a a.b b
2) a b a b 5) b b
6) b b
3) b a a.b b
    
   
 

  
lµ

*Ví dụ áp dụng: Tìm các giới hạn sau:
a.
1
11
lim
2
1
+
−−+
−→
x
xx
x

Hướng dẫn: Nhân liên hợp với biểu thức:
11
2
−++ xx


b)
1
1
lim
3
1
−

−
→
x
x
x
(nhân liên hợp với biểu thức
1
3
3
2
++ xx
)
c)
8
7
2
lim
2
3
8
−−
+
−→
x
x
x
x
(nhân liên hợp với biểu thức
42
3

3
2
++ xx
)
*Bài tập ñề nghị: Tính các giới hạn sau:


2
0
1 1
)lim
→
+ − + +
x
x x x
a
x


3
1
2 7 4
)lim
4 3
→
+ + −
− +
x
x x
b

x x


2
2
)lim
4 1 3
→
− +
+ −
x
x x
c
x

3
2
1
1
) lim
3 2
→−
+
+ −
x
x
d
x

3

0
1 1
)lim
3
→
− −
x
x
e
x


* TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
∞
∞

* Phương pháp tính giới hạn dạng
∞
∞
của hàm hữu tỷ f(x) tại vô cực
- Khai triển và sắp sếp tử và mẫu thức theo lũy thừa giảm dần của x
- Tìm giới hạn L ( có thể là vô cực ) của thương với tử và mẫu tương ứng
là các số hạng có bậc cao nhất ở tử và mẫu thức trong phân thức khai triển
- Kết luận
Lxf
x
=
∞→
)(lim

Ví dụ : Tính
5
)32(
lim
3
3
+
+
−∞→
x
x
x

* Khử dạng vô ñịnh
∞
∞
trong trường hợp biểu thức f(x) có chứa căn
Ví dụ : Tìm
−∞→x
lim
1
2
3
2
6
+
−
x
xx

*Bài tập :
Bài tập 1 : Tìm
+∞→x
lim
x
x
−
−
4
62
Bài tập 2 : Tìm
+∞→x
lim
1
2
3
2
6
+
−
x
xx
*Khử dạng vô ñịnh
)(
∞
−
∞
của ña thức f bậc n tại vô cực
*) Phương pháp :
Phụ ñạo Toán 11

Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

22

22

- ðặt x
n
làm nhân tử chung (n là bậc cao nhất)
- áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích
*) Bài tập áp dụng
Ví dụ 1 : cho p(x) = x
7
– x
3
– x
2
– 1 . Tìm
)(lim xp
x +∞→
và
)(lim xp
x −∞→

Ví dụ 2 : Tính
)1(lim
24
−+−
+∞→
xxx

x

*) Bài tập ñề nghị : Tính các giới hạn sau :

2
3 2
3 2
) lim 2 5
) lim ( 2 3 5)
) lim (2 3 5)
x
x
x
a x x
b x x
c x x x
→−∞
→−∞
→+∞
− +
− + −
− + −

*)Khử dạng vô ñịnh
)(
∞
−
∞
trong trường hợp biểu thức f(x) có chứa căn
*) Phương pháp :

- sử dụng biểu thức liên hợp ñể viết f(x) dưới dạng thương
- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng
∞
∞
ñã biết cách giải
Lưu ý : Liên hợp của biểu thức
3
3
3
3
lµ 4) a lµ
lµ a a
a lµ a
a lµ
3
2 2
3
2 2
1) a b a b b a a.b b
2) a b a b 5) b b
6) b b
3) b a a.b b
    
   
 
  
lµ

*) Bài tập áp dụng :
VD1 : Cho hàm số f(x) =

xxx −+− 1
2
. Tìm
)(lim xf
x +∞→

VD2 : Tìm
+∞→x
lim
)1( xx −+

*) Bài tập ñề nghị : Tìm giới hạn sau :
x
a) lim

)1(
2
xx −+
;
x
b) lim

)1213( −−− xx
.
*GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (dạng
0
0
)
1.VD1: Tính các giới hạn sau:
a)

x
x
x
sin
lim
0→
= 1 b)
)(
)(sin
lim
0)(
xF
xF
xF →
= 1 c)
bx
ax
x
sin
sin
lim
0→
=
bx
ax
x 0
lim
→
.
bx

bx
ax
ax
sin
sin
=
b
a

2.Bài tập áp dụng: Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x
2
2sin
lim
0→
b)
x
x
x
5sin
lim
0→
c)
x
x
x
5

sin
3sin
lim
0→
d)
x
x
x
2sin
lim
0→
; e)
x
x
x
sin
7sin
lim
0→
;
f)
x
x
x
5tan
lim
0→
g)
2
0

2cos1
lim
x
x
x
−
→
; h)
bx
ax
x
cos
1
cos1
lim
0
−
−
→

B. HÀM SỐ LIÊN TỤC
*Liên tục: Hàm số f(x) xác ñịnh trên khoảng (a ; b) và
0
( ; )
x a b
∈

+) f(x) liên tục tại ñiểm x
0
khi và chỉ khi

0
0
( ) ( )
x x
Lim f x f x
→
=

Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

23

23

+) f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi ñiểm thuộc (a ; b)
+)f(x) liên tục trên ñoạn [a ; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và

( ); ( );
x b
x a
Lim f a Lim f b
+
→
→
= =

*Gián ñoạn: f(x)gián ñoạn tại x
0
nếu không thoả mãn một trong những ñiều kiện sau

+) x
0
không thuộc tập xác ñịnh của f(x)
+) Không tồn tại
0
lim ( )
x x
f x
→
hoặc
0
lim ( )
x x
f x
→
= ±∞

+)
0
0 0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
≠

*Tính chất của hàm số liên tục:
+) Tổng, hiệu, tích, thương(mẫu khác 0)của các hàm số liên tục tại một ñiểm thì liên tục tại
ñiểm ñó.
+) Hàm ña thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên TXð của nó

+) ñồ thị của hàm số liên tục trên khoảng (a ; b) là một ñường nét liền trên khoảng này.
+) f(x) liên tục trên ñoạn [a ; b] nếu
( ) ( )
f a f b
≠
thì mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn
tại ít nhất một ñiểm
( ; )
c a b
∈
sao cho: f(c) = M.
1.Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0

Phương pháp:
+)
0
0
( ) ( )
x x
Lim f x f x
→
=
⇒
f(x) liên tục tại x
0
( hay f liên tục tại x
0
)
+)

0
0
( ) ( )
x x
Lim f x f x
→
≠
⇒
f(x) gián ñoạn tại x
0
( hay f gián ñoạn tại x
0
)
*Ví dụ áp dụng:
VD1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại ñiểm x
0
khi biết:
a)
2
3
1
( )
3 2
2
x
f x
x x

−


=
+ +


−


b)
8 3
1
( )
1
6
x
x
f x

+ −


−
=





VD2: Cho hàm số
3 2
3 2

6 27
( )
3 3
ax+3
x x
f x
x x x

− −

=
+ + +




ðịnh a ñể hàm số f(x) liên tục tại x
0
= -3.
2.Xét tính liên tục của hàn số f(x) trên một khoảng, một ñoạn
Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa
Ví dụ áp dụng: chứng minh rằng hàm số:
2
( ) 4
f x x
= −
liên tục trên ñoạn: [-2 ; 2]
3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x
0

Phương pháp:
+) Dùng hệ quả của ñịnh lí 2
+) f(x) liên tục trên [a; b]
+) f(a) . f(b) < 0
0 0
( ; ): ( ) 0
x a b f x
∃ ∈ =

khi x
≠
-1
khi x=-1
và x
0
=-1
khi x
≠
1
khi x=1
và x
0
=1
khi x
≠
-3
khi x=3
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

24

24

Ví dụ: Chứng minh phương trình x
3
+ 2x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1).
Bài tập:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
( ) ( )
( )

−

− ≤ −
≠ −
 
= − = −
+
 
−



− −



=


− ≥


2
2
3
2
x 4
4 3x víi x 2
víi x 2
a)f x t¹i x= 2. b)f x t¹i x = 2.
x 2
x víi x > 2
4 víi x = 2
x víi x < 0
c)f x t¹i x = 0.
1 x víi x 0

Bài 2: Tìm số thực a sao cho hàm số
( )
2
x víi x < 1
f x
2ax 3 víi x 1

=

− ≥

liên tục trên R.

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số

1
3
−
+
x
x
, nếu
1
≠
x

f(x)=
2 nếu x= -1
tại ñiểm x=-1
Bài 4 :Xét tính liên tục của hàm số

3
32
2
−
−−
x
xx
, nếu
3
≠
x

f(x)=
5 , nếu x=3
trên tập xác ñịnh của nó.
Bài 5: Chứng minh PT 4x
4
+ 2x
2
– x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( - 1 ; 1).




CHƯƠNG NĂM
ðẠO HÀM


A. ðỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ðẠO HÀM
*CÁC QUI TẮC TÍNH ðẠO HÀM
*Kiến thức cần nắm:
+,ðạo hàm của hàm hằng: (c)’ = 0
+, Hàm số y = x
n
(
, 1
n N n
∈ >
) có ñạo hàm tại mọi x
R
∈
: (

1
)
n n
x nx
−
=

+,hàm số y =
x
có ñạo hàm tại mọi ñiểm x > 0 và
1
( )'
2
x
x
=
( x > 0)

* Bài tập áp dụng:
1.Tính ñạo hàm của các hằng số sau: 0 , 1 , 2, -3,
7
,
2
−
,
3
4
,
π