ĐÁP ÁN ĐỀ THI GVG MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 2011 -2012

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ


ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI GIAÓ VIÊN GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
(Thời gian làm bài 120 phút)


Câu I: (6,0 Điểm)
Xem :Trang 131, 132 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (Thực hiện chương trình SGK 11)


Câu II: (4,0 Điểm)
Cho phương trình : cos4x + 6sinxcosx - m = 0 (1)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm x







4
;0


- Đặt t = sin2x với x








4
;0

thì 2x







2
;0

nên sin2x = t
 
1;0
.
- Phương trình (1) có nghiệm x








4
;0


phương trình : f(t) = -2t
2
+ 3t + 1 = m (2)
có nghiệm t
 
1;0

- Ta có f ’(t) = -4t +3 = 0 khi t =
4
3
 
1;0
. Có f(0) = 1 , f(
8
17
)
4
3

, f(1) = 2
Suy ra : Để phương trình (1) có nghiệm x








4
;0

thì :
8
17
1  m


Câu III: (6,0 Điểm)
a) Chứng minh theo yêu cầu đề ra
b) Yêu cầu : Nêu các câu hỏi đủ để gợi ý , hướng dẫn cho HS tìm tòi ra lời giải bài toán ,
các câu hỏi có hiệu quả sư phạm .


Câu IV : (4,0 Điểm)

a) Giải phương trình :
61224
3
 xx
(*)
Điều kiện x

12
Đặt
tx 12
Điều kiện 0

t
.Ta có :
3
2
3
3
36)12(3624 txx 
.
Viết phương trình thành :
xx  126)12(36
3
Tức là
tt  636
3
2

Lập phương hai vế (Không cần đk) được pt tương đương :
(6 – t)(6 + t) = (6 – t)
3

 
0)3013)(6(0)6()6()6(
22
 tttttt

Có ba giá trị : t
1
= 3 ; t
2
= 6 và t

3
= 10 (đều thỏa mãn t
0
)
Ta có tuyển ba phương trình :

















88
24
3
1012
612
312
x
x

x
x
x
x

Như vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : x = 3 , x = -24 và x = - 88


b) Giải hệ phương trình :
21
21
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    


    



Ta có :

21

21
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    


    


 (Lấy hiệu hai phương trình làm phương trình (2) )
 
+

(1)
2
+ 1 = 3
1
+ 1 (1)



+


(1)
2
+ 1 

(1)
2
+ 1 = 3
1
3
1
(2)


Đánh giá hai vế pt (2) – suy ra x = y.
Vậy hpt trở thành: 
(1) +

(1)
2
+ 1 = 3
1
(1)
=  (2)


 
t +

(t
2

+ 1 = 3
t
(1)
1 = 1 =  (2)


-Đặt t = x – 1 thì pt (1) trở thành: 3

=


2
+ 1 +   f(t) = 3




2
+ 1  = 0 (1)
Xét hàm số f(t) = 3




2
+ 1  ,với t R .
- Ta có :
f ’(t) = 3
t
.ln3 -




2
+1
– 1 = 3
t
.ln3 –
+


2
+1


2
+1
= 3
t
.ln3 –
3
t


2
+1
=
3

(



2
+1log
3
)


2
+1
> 0 .
Vậy hàm số f(t) = 3




2
+ 1  đồng biến với mọi t R.Thấy pt (1) có nghiệm t = 0
Suy ra t = 0 là nghiệm duy nhất của pt (1) do đó hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất: (1 ; 1)

HẾT