giáo án ôn tập Toán TNTHPT hay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM
________________________
TÀI LIỆU
ÔN THI TN THPT
MÔN:TOÁN
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn - Phan Thanh Xuyên
Thẩm định: Võ Xuân Cát
Kon Tum, tháng 2 năm 2011
1
PHẦN I : ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn
• Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình nâng cao.
• Các bài tập có dấu * là phần bài tập cho chương trình nâng cao và một số bài tập nâng
cao. Học sinh học chương trình chuẩn có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức.
• Các bài tập còn lại là những bài tập cơ bản dùng chung cho cả hai chương trình nâng
cao và chuẩn.
CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Ứng dụng đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Định lý về tính đơn điệu của hàm số.
- Phương pháp tìm các khoảng đồng biến,
nghịch biến của một hàm số.

- Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến
của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu
của đạo hàm của hàm số đó.
- Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để
chứng minh được một số bất đẳng thức đơn
giản; giải phương trình, bất phương trình.
Bài tập:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a)
4 2
1 1
3
4 2
y x x
= − +
b)
1
1
1
y x
x
= − + +
−
c)
2
2 3
2
x x
y
x
− −
=
−
d)
2
2y x x= −
e)
2

( 1)( 2)y x x
= − +
f)
2
1
4
y
x
=
−
Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a)
2 1y x x= −
b)
2
3
x
x
y
e
−
=

c)
2
6y x x= − −
d)
(ln 2)y x x
= −
Bài 3: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

a)
3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m
= + + + − +
b)
2
(3 2) 3
2
x m x
y
x
+ − −
=
−

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan sin , 0;
2
x x x
π
 
> ∈
 ÷
 
b)
2

cos 1 ( 0)
2
x
x x> − ∀ ≠
2
c)
3
sin ( 0)
6
x
x x x> − ∀ >
d)
1 1 ( 0)
2
x
x x+ < + ∀ >
Bài 5*: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
1 1 ( 0)
2 8
x x
x x+ − < + ∀ >
.
b)
sin tan 2 , 0;
2
x x x x
π
 

+ > ∀ ∈
 ÷
 
.
Bài 6*: Chứng minh rằng phương trình
3
3 0x x m− + =
(
m
là tham số) không thể có hai nghiệm
thực trên đoạn
[ ]
0;1
.
Hướng dẫn :
- Lập bảng biến thiên của hàm số
3
3y x x m= − +
trên R.
- Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên đoạn
[ ]
0;1
Bài 7*:
Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 2
1 2
x y
y x


+ − =


+ − =


b)
3 3
6 6
3 3
1
x y y x
x y
+ = +


+ =


Hướng dẫn :
- Dùng tính chất : f là hàm đơn điệu

( ) ( )f u f v u v= ⇔ =
Suy ra: x = y
Bài 8*: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 3 4x x+ > − +
b)
3
3 1 3 1x x x+ + ≤ + −

Hướng dẫn :
- Dùng tính chất : f là hàm đơn điệu

( ) ( )f u f v u v≥ ⇔ ≥
( f đồng biến )

( ) ( )f u f v u v≥ ⇔ ≤
( f nghịch biến )
____________________________
2. Cực trị của hàm số.
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Định nghĩa cực trị của hàm số
- Hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có
cực trị.
- Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số.
- Biết cách tìm cực trị của hàm số.
- Xác định được giá trị của tham số để hàm số
đạt cực trị tại điểm đã cho.
Bài tập:
Bài 1:
Tìm cực trị của các hàm số sau:
3
a)
4 2
2 3y x x
= − +
b)
2
2 1

1
x x
y
x
+ +
=
+
c)
2
3 4y x x
= − + +
d)
2
(1 )y x x= −

e)
3y x x
= −
f)
( 2)y x x
= +

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
ln
x
y
x
=
b)

2
4y x x= −
c)
cos siny x x
= −
d)
2
1
4
x
y
x
+
=
+
e)
[ ]
2sin cos2 , 0;y x x x
π
= + ∈
f)
sin 2 2y x x
= − +
Bài 3: Xác định
m
để hàm số
3 2
2
5
3

y x mx m x
 
= − + − +
 ÷
 
có cực trị tại
1x =
. Khi đó hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu tại
1x
=
.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
2y ax bx= + +
. Xác định a và b biết hàm số đạt cực tiểu bằng -2 khi x = 2.
Bài 5: Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số
3 2
( )f x x ax bx c= + + +
đạt cực trị bằng 0 tại
điểm
2x = −
và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0).
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
, hàm số
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m

− + + +
=
−
luôn luôn có
cực đại, cực tiểu.
Bài 7*: Với giá trị nào của k, hàm số
2
2 1y x k x= − + +
có cực tiểu.
Hướng dẫn :
Dùng qui tắc 2 của cực trị.
Bài 8*: Cho họ đường cong
( )
m
C
:
3 2 2 3
3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + − + −
(
m
là tham số).
Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của
( )
m
C
.
Giải :
Họ đường cong
( )
m

C
có 2 điểm cực trị
⇔
y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt.

2 2
3 6 3( 1) 0x mx m⇔ + + − =
có 2 nghiệm phân biệt.
Điều trên xảy ra
m
∀ ∈
¡
, vì
∆
'

2 2
( 1) 1.m m= − − =
Biến đổi hàm số đã cho sang dạng: y = y’
( )
2( ) (1)
3 3
m
x m
x m C
 
+ − +
 ÷
 
Gọi

1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y
là hai điểm cực trị của
( )
m
C
.
Từ (1)
1 1
2 2
2( )
(2)
2( )
y x m
y x m
= − +

⇒

= − +

Từ (2) suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của
( )
m
C
là
2( ).y x m= − +
Bài 9*: Cho họ đường cong
( )
m

C
:
2 2
2 5 4
2
x mx m m
y
x
− + − −
=
−
với
m
là tham số. Viết phương
trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của họ đường cong đó.
Giải :
4
Ta có:
2 2 2
2 5 4
2( 1)
2 2
x mx m m m m
y x m
x x
− + − − −
= = − − +
− −

2 2 2

,
2 2
( 2) ( )
1 .
( 2) ( 2)
m m x m m
y
x x
− − − −
= − =
− −
Họ đường cong
( )
m
C
có 2 điểm cực trị
⇔
phương trình
2 2
( 2) ( ) 0x m m− − − =
có 2 nghiệm
phân biệt khác 2.

2
0 0 1.m m m
⇔ − > ⇔ < <
(*)
Với điều kiện (*). Gọi
1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y

là hai điểm cực trị của
( )
m
C
, khi đó
1 2
, x x
là hai
nghiệm của
,
0.y =

Ta có:
2 2
1
2
1 1
1 0 2
( 2) 2
m m m m
x
x x
− −
− = ⇔ − =
− −
.
Khi đó:
2
1 1 1 1 1
1

2( 1) 2( 1) ( 2) 2 2 .
2
m m
y x m x m x x m
x
−
= − − + = − − + − = −
−
(1)
Tương tự:
2 2
2 2y x m= −
(2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của
( )
m
C
là
2 2y x m= −
.
Bài 10*: Cho hàm số
2
2 (3 2)
1
x mx m
y
x
− + −
=
−

, với
m
là tham số. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox.
Hướng dẫn :
Điều kiện của bài toán xảy ra khi và chỉ khi:

,
( ) 0y x =
có hai nghiệm phân biệt khác 1 và
( ) 0y x
=
vô nghiệm.
____________________________
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Các khái niệm giá trị lớn nhất (GTLN), giá
trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một tập
hợp số.
- Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên một tập hợp số.
- Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất
phương trình.

Bài tập:

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
5
a)
4
2
2 3
4
x
y x= − +
trên đoạn
[ ]
1 ;2−
. b)
2
2 3y x x
= − + +

c)
2
4y x x= + −
d)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−

trên khoảng
(1; )+∞

e)
2
ln(1 2 )y x x= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−
f)
1
4 1
x
y
x
= +
−
trên đoạn
[ ]
2;4
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a)
2
1y x x= −
b)
1
2
1
y x
x

= + +
+
trên nửa khoảng
[
)
1;+∞
c)
2siny x x
= +
trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
d)
2sin sin 2y x x
= +
trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 
e)
2

(3 ) 1y x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;2
f)
( )
ln 2y x x
= −
trên đoạn
2
1;e
 
 

Bài 3: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m
2
. Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi
nhỏ nhất.
Bài 4: Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn có bán kính R thì hình vuông
là hình có chu vi lớn nhất.
Bài 5: Tìm kích thước hình trụ có thể tích V cho trước và có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Bài 6*: Tìm các giá trị của
m
để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2 2
4 0x x m− − − =
b)
2
2

4
1 0
1
x m
x
+ − − =
−

c)
1
4 .2 3 2 0
x x
m m
+
− + − =
d)
3
2 1 .
2 1
x
x m
x
= − +
−

Hướng dẫn :
a)
2 2
4 0x x m− − − =
(1)

Đặt
2 2 2
4 (0 t 2) 4t x x t= − ≤ ≤ ⇒ = −
Phương trình (1) trở thành:
2
4 0t t m
− − + − =
2
4m t t⇔ = − − +
Xét hàm số:
2
( ) 4 (0 t 2)f t t t= − − + ≤ ≤
Tìm được:
[ ]
2 ( ) 4, t 0;2f t− ≤ ≤ ∀ ∈
Vậy phương trình có nghiệm khi:
2 4 m
− ≤ ≤
b) Đặt
2
1 (0 t 1)t x= − < ≤
c) Đặt
2 ( 0)
x
t t= >
d) Biến đổi phương trình đã cho trở thành:
1

2 1
x

m
x
+
=
−

Xét hàm số
1
( )
2 1
x
f x
x
+
=
−
với
1
;
2
x
 
∈ +∞
 ÷
 
.
Bài 7*: Tìm các giá trị của
m
để các bất phương trình sau có nghiệm:
a)

1x m x> + −
b)
3 1mx x m− − ≤ +
c)
2
2 ( 3)(1 ) 2m x x x x− + − ≥ +
d)
2
4 2
4log log 4x m x
− >
với
[ ]
1;4x∈

Hướng dẫn :
6

a) Phương trình đã cho được viết:
1x x m− − >
Ta xét hàm số f(x) =
1x x− −

f(x ) có tập xác định :
[
)
1;D = +∞


'

( )f x
=
1 1 1
0 ( 1)
2 2 1 2 ( 1)
x x
x
x x x x
− −
− = < ∀ ≥
− −
Từ bảng biến thiên ta có :
0 ( ) 1, f x x D
< ≤ ∀ ∈
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi: m < 1.
b) Đặt
3 ( 0)t x t
= − ≥
c) Đặt
2
( 3)(1 ) 4 ( 1) (0 2)t x x x t
= + − = − + ≤ ≤
d) Bất phương trình được viết lại:
2
2 2
log log 2x x m
− − >
Đặt
2
logt x=

Vì
[ ]
1;4x ∈
0 2t
⇒ ≤ ≤
________________________________
4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Các khái niệm đường tiệm cận đứng, đường
tiệm cận ngang, đường tiệm cận xiên của đồ
thị.
- Sử dụng kiến thức về giới hạn tìm được:
+ Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang,
+ Tiệm cận xiên, tiệm cận của đồ thị hàm
số vô tỉ.

Bài tập:
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
1 3
x
y
x
=
−
b)
2
1
1

y
x
= +
−

c)
3
2 1
1
x
y
x
−
=
+
d)
2
1
2 3
y
x x
=
+ −
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
3
1
1
y

x
= +
−
b)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
c)
2
1
4
x
y
x
+
=
−
d)
2
2
1
3 4
x x
y
x x

+ +
=
− −
Bài 3*: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
1
2 1
1
y x
x
= − +
−
b)
2
1y x x= + −
c)
3
3
1y x x= − +
d)
2
1y x x
= − +
7
Bài 4*: Cho đường cong (C
m
):
2
x x m
y

x m
− + +
=
+
.
a) Xác định
m
để (C
m
) có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).
b) Gọi
( )
1
C
là đồ thị của hàm số khi
m
= 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ
điểm
M
tùy ý thuộc
( )
1
C
đến hai tiệm cận của
( )
1
C
không đổi.
Bài 5*: Biện luận theo
m

các đường tiệm cận của các họ đường cong sau:
a)
2
2
1
x mx m
y
x
+ − −
=
+
b)
3
2
1
3 2
mx
y
x x
−
=
− +
_____________________________
5. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Giao điểm của hai đồ thị. Sự tiếp xúc của hai đồ thị.
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các kiến thức để giải một số bài toán liên
quan đến đồ thị của hàm số (Phương trình
tiếp tuyến,biện luận số nghiệm số của phương
trình bằng đồ thị, biện luận vị trí tương đối

của đường cong và đường thẳng, ).
- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

3 2
4 2
(a 0)
(a 0)
(c 0, ad-bc 0)
y ax bx cx d
y ax bx c
ax b
y
cx d
= + + + ≠
= + + ≠
+
= ≠ ≠
+

2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
( am
≠
0)
- Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị

tại điểm thuộc đồ thị của hàm số, tiếp tuyến đi
qua một điểm.
- Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương
trình.
- Viết được phương trình tiếp tuyến chung
của hai đường cong tại điểm chung.
- Biện luận vị trí tương đối của đường cong và
đường thẳng.
Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số
3
3 1y x x= − + +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng
9y x= −
.
c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình
3
3 0x x m− + =
.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
4 4y x x x= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ O lại cắt (C) tại điểm A khác O. Tìm tọa độ điểm A.
c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) với đường thẳng

y kx=
.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
.
8
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Định
m
để phương trình
3
2
3 2 0x x m
− + − =
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(
1−
;
2−
) và có hệ số góc k. Định k để (d) cắt (C) tại 3
điểm phân biệt A, M, N.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
y x mx= − +
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
= 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

c) Tìm
m
để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5: Cho hàm số
4 2
( 1)y x mx m= + − +
có đồ thị
( )
m
C
(m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
=
2−
.
b) Chứng minh rằng khi
m
thay đổi,
( )
m
C
luôn đi qua 2 điểm cố định
1 2
,M M
phân biệt.
c) Tìm các giá trị của
m
để các tiếp tuyến của
( )

m
C
tại
1 2
, M M
vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho hàm số
4
2
5
2 2
x
y mx= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
= 3.
b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A có hoành độ
1x =
. Chứng tỏ rằng (d ) lại cắt (C)
tại một điểm khác A.
c) Biện luận theo
m
cực trị của hàm số đã cho.
Bài 7: Cho hàm số
4 2
2 1 2 ( )
m
y x mx m C
= − + + −

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
= 2.
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ
3y = −
.
c) Xác định
m
sao cho
( )
m
C
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có các hoành độ lập
thành một cấp số cộng.
Bài 8: Cho hàm số
3
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
, đường thẳng (d):
2y x m= +

luôn cắt (C) tại 2
điểm phân biệt M, N.
c) Xác định
m
sao cho đoạn MN ngắn nhất.
Bài 9: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
+
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua
(0;1)A
và có hệ số góc
m
. Biện luận theo
m
số giao điểm
của (C) và (d).
d) Gọi I là tâm đối xứng của (C). Tìm điểm
( )M C∈
sao cho đoạn IM ngắn nhất.
Bài 10: Cho hàm số
( 2) 3m x

y
x m
− +
=
+
có đồ thị
( )
m
C
.
a) Tùy theo các giá trị của
m
, khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b) Khi
m
= 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
c) Định k để phương trình
1 3 0k x x
+ + − =
có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 11: Cho hàm số
1
2
1
y
x
= −
+
.
9

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm trên (C) các điểm có tọa độ là
những số nguyên.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ nhất.
c) Tìm trên (C) những điểm có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ
nhất.
Bài 12*: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua
( 2;0)A
−
.
c) Cho đường thẳng (d): y = m. Định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB⊥
(
O
là gốc tọa độ).
Bài 13*: Cho hàm số
1
1

y x
x
= − −
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C).
c) Cho đường thẳng (d):
2y x m= +
. Với giá trị nào của
m
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt A, B.
d) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB khi
m
biến thiên.
Bài 14*: Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
2

0x m x m− + =
.
c) Tìm hai điểm
, ( )A B C∈
và đối xứng nhau qua đường thẳng (d ):
1y x= −
.
Bài 15*: Cho hàm số
2
2 1
( )
1
m
x mx m
y C
mx
+ + −
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.
b) Xác định
m
sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của
( )
m
C

đi qua gốc tọa độ.
c) Biện luận theo tham số
h
số nghiệm của phương trình:

cos2 2(1 )cos 3 2 0 ( )t h t h t
π π
+ − + − = − < <
.
______________________________
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
10
1. Lũy thừa. Lôgarit
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Các khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên
của một số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và
lũy thừa với số mũ thực của một số thực
dương.
- Các tính chất của lũy thừa với số mũ
nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa
với số mũ thực.
- Khái niệm lôgarit cơ số a
( 0; 1)a a> ≠
của
một số dương.
- Các tính chất của lôgarit.
- Các khái niệm về lôgarit thập phân và
lôgarit tự nhiên.
- Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn
giản biểu thức, so sánh những biểu thức có

chứa lũy thừa.
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số
biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào
các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức
chứa lôgarit.
Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 1 2

3 3 3
1 3 1

4 4 4
(a > 0)
a a a
a a a
−
−
 
+
 ÷
 
 
+
 ÷
 
b)
1 1

1
2 (2 )
2 2
y y
x x
− −
−
 
   
+ +
 
 ÷  ÷
   
 
c)
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
a b
b a
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
d)

1 9 1 3

4 4 2 2
1 5 1 1

4 4 2 2
a a b b
a a b b
−
−
− −
−
− +

Bài 2: So sánh các cặp số sau:
a)
3 2
4 à 4v
− −
b)
3
4
5 à 7v
c)
1,4 2
1 1
à
2 2
v
   

 ÷  ÷
   
d)
3 5
10 à 20v
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
1

2
1 1

2 2
(1 ) 1

1
x x
A x x
x
−
−
 
− −
 ÷
 
= + +
+
với
0x >
.

b)
1
2
2
1
1
2
1
2( ) .( ) . 1
4
a b
B a b ab
b a
−
 
 
 
= + + −
 ÷
 
 
 
với
0ab >
.
c)
2
2
2 1
1

a x
C
x x
−
=
+ −
với
1
và 0, 0.
2
a b
x a b
b a
 
= + < <
 ÷
 

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau :
a)
( )
1 3 2
4
log log 4.log 3
b)
2 8
1
log 3 3log 5
2
4

−

11
c)
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
d)
3 2
2ln 3log
ln log
a
a
a e
a e
+ − −

d)
7
5
1
log 2 .log7
log 7

 
+
 ÷
 
e)
7 25
ln(3 2 2) 4ln( 2 1) ln( 2 1)
16 8
+ − + − −
Bài 5: Tính:
a)
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
A = − −
. b)
2 2
3 3
1
log 24 log 72
2
1
log 18 log 72
3
B
−
=
−

Bài 6:
a) Cho
10 2
log 2 ; b = log 7a =
. Tính
10
log 56
theo a và b.
b) Cho
2 3 7
log 3 ; log 5 ; log 2a b c= = =
. Tính
140
log 63
theo a, b, c.
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
18 2 18 2
log 6 log 6 2log 6.log 6+ =
b)
log .log
log
log log
a b
ab
a b
c c
c
c c
=

+
(a, b, c > 0 và
1c
≠
)
Bài 8: Chứng minh rằng: Nếu x, y > 0 , x
2
+ 4y
2
= 12xy thì lg( x + 2y)
−
2lg2 =
1
2
(lgx + lgy).
Bài 9*: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a= + + − −
.
b)
( )
log log 2. log log . log
n p n np n
B p n p p p= + + −
.
Bài 10*:
Cho

8
1
1 log
8
a
b
−
=
;
8
1
1 log
8
b
c
−
=
(a, b, c >0 và khác 8). Chứng minh rằng:
8
1
1 log
8
c
a
−
=
.
Bài 11*:
a) Cho
6 12

log 15 ; b = log 18a =
. Tính
25
log 24
theo a và b.
b) Cho
7 12
log 12 ; log 24 .a b= =
Tính
54
log 168
theo a và b.
Bài 12*: Cho
12 24
log 18 , log 54a b= =
. Chứng minh rằng:
5( ) 1ab a b
+ − =
.
Bài 13*:

Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông,
trong đó
1c b− ≠
và
1c b+ ≠
. Chứng minh rằng:
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a

+ − + −
+ =
.
____________________________
2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Các khái niệm và tính chất của hàm số lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy
thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
- Dạng của đồ thị của các hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ,
hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai
biểu thức chứa mũ và lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số
mũ, hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số lũy thừa,
mũ và lôgarit.
12
Bài tập:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

( )
2
3
a) log 6y x x
= + −

3

3
b) log
2
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
c)
log( 1 2)y x
= + −
d)
2
log ( 3) 1y x= − −
e)
2
1
log ( 1) 2
y
x
=
+ −
f)
1
3
log (3 9)

x
y
−
= −
Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
log( 3 2)y x x= − +
b)
2
ln( 1)y x x= + +
c)
2 2
.ln 1y x x
= +
d)
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
e)
2
1
2

x
x
y e= −
f)
(1 ln )lny x x
= +
Bài 3:
a) Chứng minh rằng hàm số
2 2
3
x x
y
−
−
=
đồng biến trên
¡
.
b) Chứng minh rằng hàm số
1 1
2 2
log log ( 1)y x x= − +
nghịch biến trên tập các số thực dương.
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số:
a)
2
ln (2 1)y x= +

b)
cos

log 3
x
y e x= + −
c)
1
2
log (4 1)
x
y
−
= −
d)
2 1
ln
1
x
y
x
+
=
−
Bài 5: Cho hàm số y = e
x
sinx. Giải phương trình: y’’
−
y’
−
e
x
= 0.

Bài 6: Chứng minh rằng:
a) Hàm số
1
ln
1
y
x
=
+
thỏa mãn hệ thức
,
1
y
xy e+ =
.
b) Hàm số
2
cos
x
y e x=
thỏa mãn hệ thức
,, ,
4 5 0y y y
− + =
.
Bài 7*: Tìm các giới hạn sau:
a)
3
0
1

lim
2
x
x
e
x
→
−
b)
1
lim
x
x
xe x
→+∞
 
−
 ÷
 
c)
0
ln(3 1)
lim
x
x
x
→
+
d)
0

ln(3 1) ln(2 1)
lim
x
x x
x
→
+ − +
e)
0
ln(1 3 )
lim
sin 2
x
x
x
→
+
f)
2
0
1
lim
sin
x
x
e
x
→
−

Bài 8*: Cho hàm số
( 1)
log( 2)
m x m
y
mx m
+ −
=
− +
(
m
là tham số).
a) Tìm tập xác định của hàm số khi
1
2
m = −
.
b) Tìm các giá trị của
m
để hàm số xác định với mọi
1x ≥
.
13
Bài 9*: Cho hàm số
3 2 2
( ) 4 6 cos2 3 sin 2 .sin6 ln(2 )f x x x a x a a a a= − + + −
. Xét dấu của f
’
1
2

 
 ÷
 
.
Bài 10*: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
sin
(2 1)
x
y x= +
b)
2 3 2
3
2
1
. sin cos
1
x
y x x x
x
−
=
+
c)
2
3 4
( 2)
( 1) ( 3)
x
y

x x
+
=
+ +
d)
( )
1 cos
ln
x
y x
+
=

Hướng dẫn :
- Lấy đạo hàm của
ln y
______________________________
3. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Các phương pháp giải phương trình, bất
phương trình mũ ( đưa về lũy thừa cùng cơ
số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính
chất của hàm số).
- Các phương pháp giải phương trình, bất
phương trình lôgarit ( đưa về lôgarit cùng cơ
số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất
của hàm số).
- Giải được phương trình, bất phương trình
mũ bằng các phương pháp: đưa về lũy thừa
cùng cơ số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử

dụng tính chất của hàm số.
- Giải được phương trình, bất phương trình
lôgarit bằng các phương pháp: đưa về lôgarit
cùng cơ số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng
tính chất của hàm số.
- Giải được một số hệ phương trình mũ,
lôgarit đơn giản.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
2
3 2
2 4
x x− +
=
b)
−
 
=
 ÷
 
2
1
1
2
2
x
x
c)
2

2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 ÷
 
d)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
4 2 6 0
x x
+ − =
b) 25
x
+ 6.5

x
+5 = 0
c) 2
2x+2

−
9.2
x
+ 2 = 0 d) 3
x+2
+ 3
2
−
x
= 0
e) 4.9
x
+ 12
x
−
3.16
x
= 0 f)
( ) ( )
+ + − =
7 48 7 48 14
x x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) log
2

[x(x
−
1)] = 1 b) log
2
x + log
2
(x
−
1) = 1
c) 2(log
3
x)
2
+ log
3
9x
−
5 = 0 d)
2 2
1 2
1
4 log 2 logx x
+ =
+ −
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) log
3
x +log
9
x +log

27
x =11 b)
2 5
1 2log 5 log ( 2)
x
x
+
+ = +
14
c)
− + =
1 1
3 3
log x log x 2 0
d) log
2
(2
x
+1).log
2
(2
x+1
+2) = 2
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
3
2 4
x x− +
<

b)
2
2 3
7 9
9 7
x −
 
≥
 ÷
 
c)
16 4 6 0
x x
− − ≤
d)
3
3
3 2
x
x
<
−
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
a)
1
3
log ( 1) 2x + ≥ −
b)
− ≤
4

3
log log 4
2
x
x

c)
2
0,2 0,2
log log 6 0x x− − ≥
d)
ln(3 2) 2
x
e x− ≤

e)
2
2 2
log log 4 4 0x x
+ − ≥
f)
4
2
1 log 1
1 log 4
x
x
−
≤
+

Bài 7*: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
1 3
3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥
b)
4 16
3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
c)
1
1 1
3 5 3 1
x x+
≤
+ −
d)
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−

Bài 8*: Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 1
2 8
1
0,5
8
x y
x y
−
− +

=


=


b)
3
3 .2 972
log ( ) 2
x y
x y

=


− =



c)
5
ln ln ln6
.
x y
x y
e e e
+ =


=

d)
2 2
1 1
3 3
10
log log 1
x y
x y

+ =


+ = −



e)
2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2log 3
y
y y
x
x x
+

− =


= +


f)
2
1 log
64
y
y x
x
= +


=


Bài 9*: Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
log( ) 1 log8
log( ) log( ) log3
x y
x y x y

+ = +

+ − − =

b)
log log
log4 log3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y

=


=


c)
2 2 2
2
log log log

log ( ) log .log 0
x y xy
x y x y

= +


− + =


d)
3 3
log log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 12
xy
xy
x y x y

= +


+ − − =


_____________________________
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1. Nguyên hàm, tích phân
15

Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
- Các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
- Khái niệm về diện tích hình thang cong.
- Định nghĩa tích phân của một hàm số liên
tục bằng công thức Niu - tơn – Lai- bơ - nit.
- Các tính chất của tích phân.
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số
tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên
hàm.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và
nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm.
- Tính được các tích phân của một số hàm số
tương đối đơn giản bằng định nghĩa.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và
tích phân từng phần để tính tích phân.
Bài tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
( ) 3 2f x x x
x
= − +
b)
3
1 1
( )f x
x x
= −

c)
( ) 3sin 2cos2f x x x
= −
d)

( ) sin 5 .cos3f x x x
=

2 2
1
e) ( )
sin .cos
f x
x x
=
( )
f ) ( ) 1 cos sinf x x x
= −
2
1 cos2
g) ( )
cos
x
f x
x
−
=
1
h) ( )
( 1)

f x
x x
=
−
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
+
+ +
∫
2
2 1
1
x
dx
x x
b)
2
(ln )x
dx
x
∫
c)
2
1x
xe dx
+
∫
d)
2
1

x
dx
x−
∫
e)
2 3
3
1x x dx+
∫
f)
3
2 2
(1 )
x
dx
x−
∫
g)
( )
2
ln x
dx
x
∫
h)
1
x x
dx
e e
−

−
∫
i)
(1 )
dx
x x−
∫
k)
3
cos
sin
x
dx
x
∫
Bài 3: Tính các nguyên hàm sau:
a)
(1 2 )
x
x e dx−
∫
b)
(2 1)lnx xdx−
∫
c)
2
sinx xdx
∫
d)
2

cos2x xdx
∫
e)
2
lnx xdx
∫
f)
( )
2
ln 1x x dx+ +
∫
Bài 4:
a) Chứng minh rằng hàm số
4 4
( ) sin cosF x x x
= +
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) =
sin 4x−
trên
¡
.
16
b) Tìm một nguyên hàm
( )F x
của hàm số
( )f x
s 2inx cos x
= +
biết

1
3 2
F
π
 
= −
 ÷
 
.
Bài 5 : Tính các tích phân sau:
a)
7
23
0
. 1x x dx+
∫
b)
1
5
0
( 1)x x dx−
∫
c)
1
1 ln
e
x
dx
x
+

∫
d)
4
2
1
x
e dx
x
+
∫
e)
4
3
0
cos xdx
π
∫
f)
1
0
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫

g)
−
+
∫
3
0
2
1
x
dx
x
2
2
0
h)
4
dx
x+
∫
i)
4
4
6
0
sin
cos
x
dx
x

π
∫
k)
3
2
0
5 6x x dx
− +
∫
2
2
0
cos
l)
sin 5sin 6
xdx
x x
π
− +
∫

1
3 2
0
m) . 1x x dx−
∫
Bài 6 : Tính các tích phân sau:
a)
2
2

1
ln(1 )x
dx
x
+
∫
b)
1
(2 1)ln
e
x xdx−
∫

4
2
0
c)
cos
x
dx
x
π
∫

1
2
0
d)
( 1)
x

xe
dx
x +
∫

e)
1
0
ln(2 1)x x dx+
∫
f)
1
2
0
( 2 )
x
x x e dx
−
−
∫
g)
2
0
sinx xdx
π
∫
h)
3
2
4

ln(sin )
cos
x
dx
x
π
π
∫
Bài 7* : Tính các tích phân sau:
a)
2
0
1
1 cos
dx
x
π
+
∫
b)
1
0
1 2
x
dx
+
∫
c)
π
2

0
sin 2
1 3cos
x
dx
x
+
∫
d)
3
6
0
tan
cos2
x
dx
x
π
∫
e)
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
+

∫
f)
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
+
+
− +
∫
17
Bài 8*: Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
sin
cos
x x
dx
x
π
∫
b)

2
2
0
1
1
x
dx
x
+
−
∫

c)
3
2
0
sin .
cos . 3 sin
x dx
x x
π
+
∫
d)
4
0
sin cos
sin 2 cos2
x x
dx

x x
π
+
∫
( Đặt
4
x t
π
= −
)
e)
1
2
2
0
( 1)
( 1)
x
x e
dx
x
+
+
∫
f)
3
6
sin .sin
6
dx

x x
π
π
π
 
+
 ÷
 
∫
g)
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
h)
3
2
0
tan
cos 1 cos
x
dx
x x
π
+
∫
________________________________

2. Ứng dụng của tích phân
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Các công thức tính diện tích hình phẳng, thể
tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích
phân.
- Tính được diện tích một số hình phẳng, thể
tích một số khối tròn xoay nhờ tích phân.
Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
6 5y x x= − −
,
1y x= −
.
b)
3
, 8, 0.y x y x= − = =

c)
2 2
4, 2 , 3, 2y x y x x x x
= − = − − = − = −
.
d)
2
, , 1 ( 0, 1).
4
x
y y x y x y

= = = ≥ ≤

Bài 2 : Cho (P):
2
2 3y x x= − −
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (P) và trục hoành.
b) (P), trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm A( 4;5).
Bài 3 : Cho (P):
2
4 3y x x= − + −
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (P) và hai trục tọa độ.
b) (P), trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm A( 3;0).
c) (P) và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm A( 3;0) và B(0; -3).
Bài 4 : Cho đường cong (C):
2 2
1
x
y
x
+
=
−
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (C) và hai trục tọa độ.
b) (C) , trục tung, tiệm cận ngang và đường thẳng
2x
= −
.

18
Bài 5 : Cho (P) :
2
3
2 2
x
y x= − − +
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) (P) và đường thẳng
3
2
y =
.
b) (P), tiếp tuyến của (P) tại điểm
(1;0)A
và đường thẳng
2y =
.
Bài 6 : Tính diện tích của hình elip giới hạn bởi đường elip (E):
2 2
1
9 4
x y
+ =
.
Bài 7 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho khi
quay hình phẳng quanh trục hoành.
a) y = 0 , y = 2x – x
2
.

b) y = sin
2
x, y = 0, x = 0 , x = π.
c)
1
2 2
x
y x e=
, x = 1, x = 2, y = 0.
d) y = lnx, x = 1, x = 2, y = 0.
Bài 8 : Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P):
2
1y x= +
và (d):
2 4y x= +
. Tính thể tích
khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 9*: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho sau
khi quay hình phẳng quanh trục tung.
a)
( 1) 2, 0, 0, 3.x y x y y
+ = = = =
b)
2
0, 2, 0.x y y x− = = =
c)
2 3
, 0, 1.y x y x= = =
Bài 10*: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (P):
2

2y x x= −
và trục hoành. Tính thể
tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Oy.
Bài 11*: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
3 10, 1, ( 0)y x y y x x= − + = = >
. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 12*: Xác định
0a >
sao cho diện tích S giới hạn bởi hai đường
2 2
4
4 2
1
a ax x
y
a
− −
=
+
và
2
4
1
x
y
a
=
+

có giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
Bài 13*: Cho (P):
2
2y x=
và A là điểm trên (P) có hoành độ
1x =
. (D) là đường thẳng song
song với tiếp tuyến tại A của (P), (D) cắt (P) tại M, N. Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) và (D).
______________________________
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
1. Dạng đại số của số phức. Biễu diễn hình học của số phức. Các phép toán.
Căn bậc hai. Giải phương trình bậc hai.
19
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Dạng đại số của số phức.
- Biểu diễn hình học của số phức, môđun của
số phức, số phức liên hợp.
- Khái niệm căn bậc hai của số phức.
- Cách giải phương trình bậc hai với hệ số
thực và có nghiệm phức.
- Công thức tính nghiệm của phương trình
bậc hai với hệ số phức.
- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ,
nhân và chia số phức.
- Biết tính căn bậc hai của số phức.
- Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc
hai với hệ số thực ( khi
0
∆ <

).
- Giải được phương trình bậc hai với hệ số
phức.
Bài tập:
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2 4 )(3 5 ) (4 3 )i i i
+ − + −
b)
2
(1 2 ) (2 3 )(3 2 )i i i− − − +
c)
3 4
5 3
2
i
i
i
−
+ −
+
d) (4 + 5i)

1 2i
i
−
 
 ÷
 
- 2i

e)
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
f)
2
1
1 4
(3 2 )
i
i
+ −
−
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a)
(3 4 ) ( 2 )(4 )i z i i i
+ = + +
b)
3 (2 ) (1 ) 4z i iz i
− = + +
c) (
z
+ i)

5
3 4
i
i
 
 ÷
+
 

= 1- i d)
3
1
2
z i
i
i
−
+ =
+
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a)
2
4 8 0x x− + =
b)
2
6 12 0x x
+ + =

c)
3

8 0x
− =
d)
4
16 0x + =
e)
4 2
2 3 5 0x x
+ − =
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2 7
(1 ) 4 (2 )i i i i− − − +
b)
2
1 3
.(1 )
2 2
i
i
 
− + +
 ÷
 
c)
2
1
2 (4 )
1
i

i i
i
−
 
− −
 ÷
+
 
d)
3 2
1
i i
i i
− +
−
+
Bài 5: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biễu diễn các số phức z thỏa mãn từng
điều kiện sau:
a)
1 2z i
− + =
b)
3 4 z z i= − +

c)
1
z i−
là số ảo. d)
1
z i

z i
−
=
+
Bài 6: Tìm các số thực
,x y
sao cho:
a)
3 2 1 (2 )x yi y x i
+ = + + −
b)
2 1 ( 2 5)x y x y i
+ − = + −
Bài 7:
a) Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
3 3 63 ( 3)( )z z z z z az b+ + − = − + +
.
b) Giải phương trình
3 2
3 3 63 0z z z
+ + − =
.
Bài 8*: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
, 9, 3 4 , 5 12 , 7 24i i i i− − + − +
.
Bài 9*: Cho z
1
, z
2

là hai nghiệm phương trình
2
(3 ) 2(1 2 ) 4 3 0i z i z i+ − + + − =
. Tính
2 2
1 2
z z
+
.
20
Bài 10
*
: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a)
2
(3 4 ) 5 1 0.z i z i− + + − =

b)
2
(4 ) 5(1 ) 0z i z i− + + + =
.
c)
2
4 3
1 0
2
z
z z z− + + + =
. ( Đặt ẩn phụ
1

w z
z
= −
)
d)
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + − =
. ( Đặt ẩn phụ
2
3 6t z z= + +
)
Bài 11*:
a) Giải phương trình:
2 2
( ) (3 ) 4 3 0.z i z i z i
 
+ − + + + =
 
b) Tìm số phức
B
để phương trình bậc hai
2
3 0z Bz i+ + =
có tổng bình phương hai nghiệm
bằng 8.
Bài 12*: Giải hệ phương trình hai ẩn phức sau:
1 2
2 2
1 2
4

5 2
z z i
z z i
+ = +


+ = −

Bài 13*: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
1
3
z
z
−
=
−
và
2
2
z i
z i
−
=
+
.
____________________________
2. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Dạng lượng giác của số phức.

- Định lý về nhân và chia các số phức dưới
dạng lượng giác.
- Công thức Moa-vrơ và ứng dụng.
- Biết cách nhân, chia các số phức dưới
dạng lượng giác.
- Biết cách biểu diễn
cos3 , sin3
α α
, qua
cos
α
và
sin
α
.
Bài tập:
Bài 1*: Viết sang dạng lượng giác các số phức sau:
a)
−
2 +
2 3i
b)
1 3
1
i
i
+
−
c)
( )

3
1 3 (1 )i i− +
d)
( )
3
cos sin 1 3
3 3
i i
π π
 
− +
 ÷
 

e)
3
cos sin
4 4
i
π π
−
f)
sin cos
8 8
i
π π
− −
Bài 2*: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
( )

( )
6
4
1 3i i
− +
b)
10
9
(1 )
( 3 )
i
i
+
+
c)
3
1 3
1
i
i
i
 
+
+
 ÷
−
 
d)
( )
7

5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +
 ÷
 
Bài 3*: Cho
( ) ( )
6 2 6 2 .z i= + + −

21
a) Viết
2
z
dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a) suy ra dạng lượng giác của
z
.
Bài 4*: Giải phương trình
2
(cos sin ) sin .cos 0z i z i
α α α α
− + + =
, trong đó
α
là số thực cho
trước.

Bài 5*: Với số nguyên dương n nào, số phức
n
3
1 3
i
i
 
−
 ÷
−
 
là số thực, là số ảo?
Bài 6*: Chứng minh rằng:
100 98 96
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 )i i i i
+ = + − +
Bài 7*: Xét các số phức :
1
1 2 3
2
6 2, 2 2 ,
z
z i z i z
z
= − = − − =
.
a) Viết
1 2 3
, , z z z
dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a), hãy tính
7
cos
12
π
và
7
sin
12
π
.
Bài 8*: Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp
sau :
a)
3z =
và một acgumen của
iz
là
5
4
π
.
b)
1
3
z =
và một acgumen của
1
z
i

+
là
3
4
π
−
.
Bài 9*: Tìm số phức z sao cho
3
1
z i
z i
+
=
+
và
1z +
có một acgumen bằng
6
π
−
.
________________________________
PHẦN II : HÌNH HỌC
Biên soạn: Phan Thanh Xuyên
• Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình nâng cao.
• Các bài tập có dấu * là phần bài tập cho chương trình nâng cao và một số bài tập nâng
cao. Học sinh học chương trình cơ bản có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức.
22
• Các bài tập còn lại là những bài tập cơ bản dùng chung cho cả hai chương trình nâng

cao và cơ bản.
CHỦ ĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Khối đa diện : Khối lăng trụ, khối chóp.
- Khối tứ diện đều, khối lập phương
- Thể tích khối hộp chữ nhật.
- Công thức thể tích khối lăng trụ và khối
chóp, thể tích khối đa diện đặc biệt.
- Vẽ được hình.
- Vận dụng được các kiến thức đã học của hình
không gian trong giải toán.
- Tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ (đáy
là tam giác, tứ giác).
- Xác định tỉ số thể tích của hai khối đa diện.
Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = 1; OB = 2; OC = 3.
1) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
2) Gọi I là trung điểm AC, tính khoảng cách từ O tới BI.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với
đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết rằng AB = a, BC =
2a
,
SA =
3a
.
1) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ADE).
2) Hãy tính thể tích hình chóp S.ADE theo.
3) Tính khoảng cách giữa SB với AC.
Bài 3: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh đáy là
3a

.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên của
hình chóp tạo với mặt phẳng đáy góc
0
60
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên
cạnh AD sao cho AM = 3MD.
1) Tính thể tích khối chóp M.AB’C.
2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên
cạnh AD sao cho AM = 3MD.
1) Tính thể tích khối chóp M.AB’C
2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Bài 7*: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB,
SC,
SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết AB = a,
SB' 2
SB 3
=
. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 8*: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh
đáy BC = a
2
và AA’= a. Tính thể tích của khối tứ diện AA’B’C.
23
Bài 9*: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A,
·

0
ABC 60
=
, AB = a (a > 0),
H là trung điểm AB, SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SHC) là
0
30
.
1) Tính độ dài đường cao hình chóp S.ABC.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 10*: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC = 2a và
·
BAC = α
, đỉnh A’ của đáy trên cách đều ba điểm A, B, C và cạnh bên tạo với mặt đáy góc
0
60
.
1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và
α
.
2) Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với AA’. Tính diện tích của thiết diện tạo
bởi mặt phẳng (P) với lăng trụ ABC.A’B’C’.
________________________________
CHỦ ĐỀ 2: MẶT CẦU, MẶT TRÒN XOAY
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Mặt tròn xoay, mặt nón, mặt cầu.
- Giao của mặt nón với mặt phẳng, giao của
mặt trụ với mặt phẳng,
- Diện tích xung quanh của hình nón. Mặt trụ,

diện tích xung quanh của hình trụ.
- Công thức thể tích khối trụ, khối nón, khối
cầu.
- Tính được diện tích xung quanh của mặt
tròn xoay, mặt nón, mặt trụ.
- Tính được thể tích của khối nón khối trụ.
- Xác định được giao của mặt nón với mặt
phẳng. Mặt trụ, giao của mặt trụ với mặt
phẳng.
Bài tập:
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
1) Tính diện tích xung quanh của hình trụ .
2) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện.
Bài 2: Một hình nón có chiều cao bằng a góc ở đỉnh là
0
90
. Tính diện tích xung quanh, thể tích
khối nón đó.
Bài 3 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
1) Tìm chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD).
2) Tính diện tích hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và có độ dài đường
cao bằng độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ A.
Bài 4 : Một hình nón có đường cao bằng 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
1) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó .
2) Một thiết diện đi qua đỉnh, cách tâm của đáy là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó .
Bài 5 : Một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là
R 3
.
1) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.

2) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục
của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. O là tâm của
hình vuông ABCD và
·
0
60SAO =
.
24
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 7 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B, AB = a, cạnh SA
vuông góc với đáy. Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là a.
1) Tính SA và thể tích khối chóp S.ABC .
2) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình chóp S.ABC và mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp S.ABC.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và (SAB) bằng
0
30
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2) Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 9*: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = a,
(SBC)
⊥
(ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc
0

60
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 10*: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC vuông tại A, AC = b, góc
·
0
ACB 30
=
.
Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ một góc
0
60 .
1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo b.
2) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.
_________________________________
CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Kiến thức cơ bản Kĩ năng cần đạt được
- Hệ tọa độ trong không gian.
- Tọa độ của vectơ, của điểm.
- Tích vô hướng.
- Phương trình mặt cầu.
- Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng.
- Tìm tọa độ của điểm và của vectơ.
- Vận dụng được biểu thức tọa độ của các phép
toán vectơ.
- Vận dụng được các công thức của tích vô
hướng trong giải toán.
- Viết được phương trình mặt cầu.
- Vận dụng được các ứng dụng của tích có

hướng.
Bài tập:
Bài 1 : Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
1) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, tính chu vi và diện tích tam giác
ABC.
2) Tìm D để ABCD là hình bình hành.
3) Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ A và số đo góc A.
4) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) không đi qua gốc tọa độ.
Bài 2: Trong không gian cho các điểm
(4,6,5), (2;7; 1), ( 2;5;0)A B C
− −
.
1) Chứng minh rằng A, B, C lập thành tam giác vuông .
25