Phương trình lượng giác-LTĐH

Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác
1


A/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản
2 2
sin cos 1
x x
 

tan .cot 1
x x


sin
tan
cos
x
x
x


2
2
1
1 tan
cos
x
x
 

cos
cot
sin
x
x
x


2
2
1
1 cot
sin
x
x
 

2. Các cung liên kết:
sin( ) sin
x x
  

tan( ) tan
x x
  

os
( ) cos
c x x

 

cot( ) cot
x x
  


sin( ) sin
x x

 

tan( ) tan
x x

  

os
( ) cos
c x x

  

cot( ) cot
x x

  


sin cos

2
x x

 
 
 
 

tan cot
2
x x

 
 
 
 

cos sin
2
x x

 
 
 
 

cot tan
2
x x


 
 
 
 


sin( ) sin
x x

  

tan( ) tan
x x

 

os
( ) cos
c x x

  

cot( ) cot
x x

 


sin cos
2

x x

 
 
 
 

tan cot
2
x x

 
  
 
 

cos sin
2
x x

 
  
 
 

cot tan
2
x x

 

  
 
 

3. Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos sin
x y x y x y
  

cos( ) cos cos sin sin
x y x y x y
 


tan tan
tan( )
1 tan tan
x y
x y
x y

 


4. Công thức nhân đôi, hạ bậc
sin2 2sin cos
x x x


2

2 tan
tan2
1 tan
x
x
x



2
1 cos2
sin
2
x
x





2 2
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
x x x
x
x
 

 
 

2
1 cos2
cos
2
x
x




5. Công thức nhân ba, hạ bậc:
3
sin3 3sin 4cos
x x x
 

3
3sin sin3
sin
4
x x
x



3
cos3 4cos 3cos

x x x
 

3
3cos cos3
cos
4
x x
x



6. Công thức biểu diễn
sin ,cos ,tan
x x x
theo
tan
2
x
t 
:
2
2
sin
1
t
x
t



2
2
1
cos
1
t
x
t




2
2
tan
1
t
x
t



7. Công thức biến đổi:
a. Tổng thành tích:


cos cos 2 cos cos
2 2
cos cos 2sin sin

2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( ) sin( )
* tan tan * cot cot
cos cos sin sin
sin( )
* tan tan * cot -
cos cos
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y x
x y
 
 
 
  
 

 
 
 
 
   

 
sin( )
cot
sin sin
y x
y
x y




Đặc biệt:
2
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
1 sin2 (sin cos )
x x x x
x x x x
x x x
 
 
   

    
   
   
   
    
   
   
  

b. Tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
 
   
 
 
    
 
 
   

 

9. Một số công thức đặc biệt:
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
  
6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x
  

1 tan
tan
1 tan 4
x
x
x

 

 
 

 

4 4
sin cos cos2
x x x
 

6 6
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
  

1 tan
tan
1 tan 4
x
x
x

 

 
 

 



Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác

2
B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình cơ bản:
*
2
sin sin ( )
2
x k
x k
x k
 

  

 
  

  



Đặc biệt:

sin 1 2
2
x x k


   

sin 1 2
2
x x k


     

sin 0
x x k

  

*
2
cos cos ( )
2
x k
x k
x k
 

 

 
  

  



Đặc biệt:

cos 1 2
x x k

  

cos 1 2
x x k
 
    

cos 0
2
x x k


   
*
tan tan ( )
x x k k
  
    


*

cot cot ( )
x x k k
  

    


2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:
Dạng:
1
1 1 0
sin sin sin 0
n n
n n
a x a x a x a


    
, trong đó
sin
x
có thể là
cos
x
,
tan
x
hoặc
cot
x
.
Cách giải:
Đặt
sin

t x

, khi đó phương trình đã cho trở thành:
1
1 1 0
0
n n
n n
a t a t a t a


    

Chú ý:
Nếu
sin
t x

hoặc
cos
t x

thì ta có điều kiện
1;1
t
 
 
 

3. Phương trình bậc nhất theo
sin
x
và
cos
x
:
Dạng:
sin cos
a x b x c
 
, với điều kiện
0
ab


Điều kiện của pt có nghiệm là:
2 2 2
a b c
 

Cách giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho
2 2
a b

và sau đó đưa
về phương trình lượng giác cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với
sin

x
và
cos
x
:
Dạng:
2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d
  

Cách giải:
- Kiểm tra xem
cos 0
x

có thỏa mãn pt hay không?
- Nếu không thỏa mãn, ta chia cả hai vế của pt cho
2
cos
x
ta
được pt:
2 2
tan tan (1 tan )
a x b x c d x
   

2
( )tan tan ( ) 0

a d x b x c d
     

Đặt
tan
t x

, khi đó pt trở thành:
2
( ) 0
a d t bt c d
    

Chú ý: Khi
cos 0
x

thì ta có:
2
sin 1
x


5. Phương trình đối xứng:
Dạng:
(sin cos ) sin cos 0
a x x b x x c
   

Cách giải:

- Đặt
sin cos
t x x
 
, với
2; 2
t
 
 
 
. Khi đó ta có:
2 2
1
1 2sin cos sin cos ( 1)
2
t x x x x t
     

- Thay vào pt đã cho ta được pt bậc hai đối với ẩn
t





Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác
3


A02: Tìm n

o
thuộc (0;2 ) của PT:
5 3

 
  
 
  
cos3x sin3x
sinx cos2x
1 2sin2x

B02: GPT:
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.
  
D02: Tìm n
o
thuộc [0;14] của PT:
cos3 4cos2 3cos 4 0.
x x x
   

DB1: Xđ m để PT sau có ít nhất một n
o
thuộc đoạn [0;/2]:



4 4

2 sin x cos cos4 2sin2 0
x x x m
    

DB2: GPT:
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin2
x x
x
x x

 

DB3: GPT:


2
2 sin 2x sin3x
4
tan x 1
4
cos x

 
DB4: GPT:
x
2
tanx cosx cos x sinx 1 tanxtan

2
 
   
 
 

DB5: Cho PT:
2sinx cosx 1
a
sin x 2cosx 3
 

 
(2) (a là tham số).
a) GPT (2) khi a=1/3. b) Tìm a để PT (2) có nghiệm.
DB6: Giải phương trình:
1
sinx
2
8cos x

CĐ-A02: GPT:


sin cosx 1.
 

CĐ-A02: Giải phương trình:
1 sin x cosx 0
  

CĐ-A02: Giải phương trình:
1
2cos2x 8cosx 7 .
cosx
  
CĐ-A02: GPT
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0.
cosx
  


A03: Giải phương trình:
cos2x 1
2
cot x 1 sin x sin 2x.
1 tan x 2
   


B03: Giải phương trình:
2
cot x tan x 4 sin 2x .
sin2x
  

D03: Giải phương trình
x

x
2 2 2
sin tan x cos 0.
2
2 4

 
  
 
 

DB1: Giải phương trình:


3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0
   

DB2: Giải phương trình:


2
cos 2x cos x 2tan x 1 2
  

DB3: Giải phương trình:
6 2
3cos4x 8cos x 2cos x 3 0
   

DB4: Giải phương trình:

 
x
2
2 3 cosx 2sin
2 4
1.
2cosx 1

 
  
 
 



DB5: Giải phương trình
 
 
2
cos x cosx 1
2 1 sin x .
sin x cosx

 


DB6: Giải phương trình
2cos4x
cot x tan x .
sin 2x

 

CĐ03: Giải phương trình:


2
3cosx 1 sinx cos2x 2 sin x sin x 1
   

B04: Giải phương trình
 
2
5sin x 2 3 1 sin x tan x.
  

D04: Giải phương trình




2cosx 1 2sin x cosx sin2x sinx.
   
ĐH ĐDưỡng-04: GPT:




2sin x 1 2cosx sin x sin2x cosx.
   
CĐ04: Giải phương trình:

cos3x 2cos2x 1 2sinxsin2x
  

CĐSPHP-04: Giải phương trình:
cos x cos x cos x
3 6 4
  
     
    
     
     

CĐMGTW1-04: Giải phương trình:
3
3cos2x 4cos x cos3x 0.
  

CĐMGTW1-04: Giải phương trình:
1 cosx cos2x sin x sin2x.
   

CĐ-A-04: Giải phương trình:
3 3
sin x cos x sinx cosx.
  

CĐXD-A-04: Cho phương trình:
6 6
cos x sin x
m tan 2x

2 2
cos x sin x



(1)
a) GPT khi m=13/8. b) Định m để PT (1) vô nghiệm.
CĐ-04: Giải phương trình:
 
2 4
cos xsin x cos2x 2cosx sin x cosx 1
   

CĐ-04: Giải phương trình:
2
sin4x.sin2x sin9x.sin3x cos x
 
CĐ-A-05: Giải phương trình:
2 2
cos 3xcos2x cos x 0.
 

B-05: Giải phương trình
1 sinx cosx sin2x cos2x 0
    


Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác
4

CĐSP Bninh: Giải phương trình
2 2
2sin x 2sin x tan x.
4

 
  
 
 

CĐSP NB:
2 2
4cos x 2cos 2x 1 cos4x
  
CĐSP HN: Giải phương trình:
3 3
cos x sin x sinx cosx.
  
CĐ GTVT-04: GPT:
1
cos3x.sin2x cos4x.sin x sin3x 1 cosx
2
   

CĐGTVTIII-04: GPT:
  
2
2sin x 1 2cos2x 2sinx 3 4sin x 1.
    

CĐKTKT-A-04: Gải phương trình:
cosx.cos7x cos3x.cos5x


CĐ-A-04: Giải phương trình:
sin x sin2x
3
cosx cos2x




CĐKTKT TB-04: Giải phương trình:
sin x sin 2x sin3x 0.
  

CĐCN IV-04: Giải phương trình:
3cos4x sin 4x 2cos3x 0.
  

D-05: Giải phương trình:
3
4 4
cos x sin x cos x sin 3x 0
4 4 2
 
   
     
   
   

A-05: GPT: cos
2
3x.cos2x-cos
2
x = 0
A-06: GPT:


6 6
2 sin cos sin cos
0
2 2sin
 


x x x x
x

B-06: GPT:
cot sin 1 tan tan 4
2
 
  
 
 
x
x x x
D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0
2 2

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos )sin 1 sin 2
2
B07: GPT: 2sin 2 sin7 1 sin
2
D07: GPT: sin cos 3cos 2
2 2
    
  
 
  
 
 
x x x x x
x x x
x x
x

A08: Giải phương trình:
1 1 7
4sin x
3
sinx 4
sin x
2

 
  
 

 

 

 
 

B08: Giải phương trình:
3 3 2 2
sin 3 cos sin .cos 3sin .cos
x x x x x x
  
D08: Giải phương trình:
2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cos
x x x x
   

A09: Giải phương trình:
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x


 

B09: Giải phương trình:
3
sin cos .sin2 3 cos3 2(cos4 sin )
x x x x x x
   

D09: Giải phương trình:
3 cos5 2sin3 .cos2 sin 0
x x x x
  


A10: Giải phương trình:
(1 sin cos2 )sin
4
1
cos
1 tan
2
x x x
x
x

 
  
 
 



B10: Giải phương trình:
(sin2 cos2 )cos 2 cos2 sin 0
x x x x x
   

D10: Giải phương trình:

sin2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
    

A11: Giải phương trình:
2
1 sin2 cos2
2 sin .sin2
1 cot
x x
x x
x
 



B11: Giải phương trình:
sin2 .cos sin .cos cos2 sin cos
x x x x x x x
   

D11: Giải phương trình:
sin2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  



VD1: Giải phương trình:
3
2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
 
   
    
   
   

VD2: Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
  

VD3: Giải phương trình:
1 1
sin2 sin 2cot 2
2sin sin2
x x x
x x
   
VD14: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
4
1 3 7
4cos – cos2  cos4 cos
2 4 2

x
x x x
  

VD15: Gi¶i ph¬ng tr×nh:


 
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos

 

x x
x
x x

VD16: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 2
1 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2

 
   
 
 
x x x
x x

Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác
5

VD4: Giải phương trình:
3sin2 2sin
2
sin2 .cos
x x
x x



VD5: Giải phương trình:
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )
   
x x x x

VD6: Tìm nghiệm trên khoảng
0;
2

 
 
 
của phương trình:
2
4sin 3 sin 2 1 2
2 2
2

x 3
x cos x-
4
 

     
    
     
     

VD7: Giải phương trình:
sin .tan2 3(sin 3 tan2 ) 3 3
  x x x x
VD8: Giải phương trình:
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8

 x x x x
VD9: Giải phương trình:
9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
VD10: Tìm nghiệm của pt:
2 3
cos sin 2
  
x cos x x
thoả
mãn:
1 3

 
x

VD11: Giải phương trình:
(sin 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
  


x x x
x

VD12: Giải phương trình:
s 4sin 2 1
  
inx cosx x

VD13: Giải phương trình:
2 2
cos 3 cos2 – cos 0
x x x



VD17: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3 3
sin .sin3 cos cos3 1
8
tan tan

6 3
 

 
   
 
   
   
x x x x
x x

VD18: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3 3
sin .(1 cot ) cos (1 tan ) 2sin 2
   
x x x x x

VD19: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin 3 sin 2 sin
4 4
 
   
  
   
   
x x x
VD20: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1
cos3 cos2 cos
2
  

x x x
VD21: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
tan tan .sin3 sin sin 2
6 3
 
   
   
   
   
x x x x x

VD22: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
   
x x x
x x

VD23: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 sin
4
(1 sin 2 ) 1 tan
cos

 

 
 
  

x
x x
x

VD24: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
6 6
2 2
sin cos 1
tan2
4cos sin



x x
x
x x

VD25: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3 3
2
cos cos3 sin sin 3
4
 x x x x