he doi xung loai 2

1
CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II


1. Dạng 1:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
f(x, y) = 0
f(y, x) = 0
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải chung

Cách giải 1
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai
phương trình của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
3
3
x2xy (1)
y2yx (2)
⎧

⎪
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪
⎪
⎩
.
Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
33 22
x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0−+−=⇔− +++=


2
2
y3y
(x y) x 3 0 y x
24
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎟
⎜
⇔− + + +=⇔=
⎟

⎜
⎢⎥
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦

Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:
3
xx0x0+=⇔=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x0
y0
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
⎧

⎪
++ −=
⎪
⎪
⎨
⎪
++ − =
⎪
⎪
⎩

Giải
Điều kiện:
3
x4
2
3
x4
2
⎧
⎪
⎪
−≤ ≤
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
−≤ ≤
⎪

⎪
⎩
.
Trừ (1) và (2) ta được:
()()
2x3 2y3 4y 4x 0+− + + −− − =
(2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x)
0
2x3 2y3 4y 4x
+− + −−−
⇔+=
++ + −+ −


21
(x y) 0 x y
2x3 2y3 4y 4x
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⇔− + =⇔=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + −+ −
.

Thay x = y vào (1), ta được:
2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16++ −= ⇔ ++ + − =

Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006
For Evaluation Only.

2

2
2
9x 0
11
22x 5x129x x3x
9x 38x 33 0
9
⎧
−≥
⎪
⎪
⇔− ++=−⇔ ⇔=∨=
⎨
⎪
−+=
⎪
⎩
(nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
x

x3
9
y3 11
y
9
⎧
⎪
⎪
=
⎧
⎪
=
⎪
⎪
⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩
=
⎪
⎪
⎩
.

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích
(thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
3
3
x2xy (1)
y2yx (2)
⎧
⎪
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎪
⎩

Giải
Trừ và cộng (1) với (2), ta được:
322
322
x 2x y (x y)(x xy y 1) 0
y 2y x (x y)(x xy y 3) 0
⎧⎧
⎪⎪
=+ − ++−=
⎪⎪
⎪⎪
⇔

⎨⎨
⎪⎪
=+ + −+−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎩


22
2222
22
xy 0 xy 0
xy 0 x xyy 1
xy 0
xxyy 3xxyy 1
xxyy 3
⎧
⎧⎧
⎧
⎪
−= +=
⎪⎪
−= + + =
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨ ∨ ∨
⎨⎨ ⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪ ⎪

+=
−+= ++=
−+=
⎪⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎩⎩
⎪
⎩

+
xy 0 x 0
xy 0 x 0
⎧⎧
−= =
⎪⎪
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
+= =
⎪⎪
⎩⎩

+
22 2
xy 0 y x
x3x 3
xxyy 3 x 3
y3y 3
⎧⎧

⎧⎧
⎪⎪
−= =
⎪⎪
==−
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔ ∨
⎨⎨⎨⎨
⎪⎪⎪⎪
−+= =
==−
⎪⎪⎪⎪
⎩⎩
⎪⎪
⎩⎩

+
22 2
xy 0 y x
x1x1
y1 y 1
xxyy1 x1
⎧⎧
⎧⎧
+= =−
⎪⎪
=− =
⎪⎪

⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔∨
⎨⎨⎨⎨
⎪⎪⎪⎪
==−
++= =
⎪⎪⎪⎪
⎩⎩
⎩⎩

+
22
22
22
xy 1
xxyy1 xy 1 x1 x 1
xy 0 y 1 y1
xy2
xxyy 3
⎧
⎧
⎧⎧⎧
⎪
=−
⎪
++= =− = =−
⎪⎪⎪
⎪
⎪

⎪⎪⎪⎪
⇔⇔⇔∨
⎨⎨⎨⎨⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
+= =− =
+=
−+=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩
⎩
⎪
⎩

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:
x0 x 1 x1 x 3 x 3
x0 y1 y 1
y3y 3
⎧⎧
⎧⎧ ⎧
⎪⎪
==−= = =−
⎪⎪ ⎪
⎪⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
∨∨∨∨
⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
== =−
==−
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩⎩ ⎩
⎪⎪
⎩⎩
.

Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
⎧
⎪
++ −=
⎪
⎪
⎨
⎪
++ − =
⎪
⎪
⎩

Giải

Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006
For Evaluation Only.

3
Điều kiện:

3
x4
2
3
x4
2
⎧
⎪
⎪
−≤ ≤
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
−≤ ≤
⎪
⎪
⎩
.
Trừ (1) và (2) ta được:
2x 3 4 x 2y 3 4 y+− − = +− − (3)
Xét hàm số
3
f(t) 2t 3 4 t, t ; 4
2
⎡
⎤
⎢
⎥

=+−−∈−
⎢
⎥
⎣
⎦
, ta có:

/
11 3
f(x) 0, t ; 4
2
2t 3 2 4 t
⎛⎞
⎟
⎜
=+>∀∈−
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
+−
(3) f(x) f(y) x y⇒⇔ = ⇔=.
Thay x = y vào (1), ta được:

2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16++ −= ⇔ ++ + − =

2
11

22x 5x129x x3x
9
⇔− ++=−⇔=∨=
(nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
x
x3
9
y3 11
y
9
⎧
⎪
⎪
=
⎧
⎪
=
⎪
⎪
⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩
=
⎪

⎪
⎩
.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
3
3
x2xy
y2yx
⎧
⎪
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪
⎪
⎩
.
Giải
Xét hàm số
3/2
f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t=+⇒ = +>∀∈\ .
Hệ phương trình trở thành
f(x) y (1)
f(y) x (2)
⎧
=
⎪

⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.
+ Nếu x y f(x) f(y) y x>⇒ > ⇒>(do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu x y f(x) f(y) y x<⇒ < ⇒<(mâu thuẩn).
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được
3
xx0x0.+=⇔=
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
x0
y0
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.

Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2
và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x2
3x
y
y2
3y
x
⎧
⎪
+
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
+
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩

Giải

Nhận xét từ hệ phương trình ta có
x0
y0
⎧
>
⎪
⎪
⎨
⎪
>
⎪
⎩
. Biến đổi:
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006
For Evaluation Only.

4
2
22
2
22
2
2
x2
3x
3xy x 2 (1)
y
3yx y 2 (2)

y2
3y
x
⎧
⎪
+
⎪
=
⎪
⎧
⎪
=+
⎪
⎪
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
=+
+
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
=
⎪
⎪
⎩

Trừ (1) và (2) ta được:

(x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).−++=⇔=++>
Với
32
xy:(1) 3x x 20=⇔−−=
2
(x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.⇔− ++=⇔=
Vậy hệ có 1 nghiệm
x1
y1
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.

2. Dạng 2:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0

, trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung

Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2
11
xy (1)
xy
2x xy 1 0 (2)
⎧
⎪
⎪
−=−
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
−−=
⎪
⎪
⎩
.
Giải
Điều kiện: x0, y0≠≠. Ta có:

11

(1) (x y) 1 0 y x y .
xy x
⎛⎞
⎟
⎜
⇔− + =⇔=∨=−
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠

+ Với y = x:
2
(2) x 1 0 x 1⇔−=⇔=±.
+ Với
1
y
x
=−
: (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 x 1
y1 y 1
⎧⎧
==−
⎪⎪
⎪⎪
∨

⎨⎨
⎪⎪
==−
⎪⎪
⎩⎩
.

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x) f(y) x y=⇔= với hàm f đơn điệu.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2
x y cos x cos y (1)
xy 3y 18 0 (2)
⎧
−= −
⎪
⎪
⎨
⎪
−−=
⎪
⎩
.
Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:
(1) x cos x y cos y⇔− =− (3).
Xét hàm số
/

f(t) t cos t f (t) 1 sin t 0, t=− ⇒ =+ > ∀∈\ .
Suy ra
(3) f(x) f(y) x y⇔=⇔=.
Thay x = y vào (2), ta được:
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006
For Evaluation Only.

5
32
x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.−−=⇔− ++=⇔=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x3
y3
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.

Chú ý:
Cách giải sau đây sai:
2
11
xy (1)

xy
2x xy 1 0 (2)
⎧
⎪
⎪
−=−
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
−−=
⎪
⎪
⎩
.
Giải
Điều kiện: x0, y0≠≠.
Xét hàm số
/
2
11
f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}
t
t
=− ∈ ⇒ =+ > ∀∈\\
.
Suy ra (1) f(x) f(y) x y⇔=⇔=!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).

BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1)
2
2
x3y20
y3x20
⎧
⎪
−+=
⎪
⎪
⎨
⎪
−+=
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x1 x2
y1 y2
⎧⎧
==
⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪
==

⎪⎪
⎩⎩
.
2)
2
2
xxyx2y
yxyy2x
⎧
⎪
+=+
⎪
⎪
⎨
⎪
+=+
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
3
x
x0
2
y0 3
y
2
⎧
⎪
⎪

=
⎧
⎪
=
⎪
⎪
⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩
=
⎪
⎪
⎩
.
3)
x1 y7 4
y1 x7 4
⎧
⎪
++ − =
⎪
⎪
⎨
⎪
++ − =
⎪

⎪
⎩
. Đáp số:
x8
y8
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.
4)
x1 y2 3
y1 x2 3
⎧
⎪
++ − =
⎪
⎪
⎨
⎪
++ − =
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:

x3
y3
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.
5)
x3 2y 3
y3 2x 3
⎧
⎪
++ −=
⎪
⎪
⎨
⎪
++ −=
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x1 x 2
y1 y 2
⎧⎧

==−
⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪
==−
⎪⎪
⎩⎩
.
6)
3
3
xx2y
yy2x
⎧
⎪
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x0 x 3 x 3
y0
y3y 3

⎧⎧
⎧
⎪⎪
== =−
⎪
⎪⎪
⎪⎪ ⎪
∨∨
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
=
==−
⎪⎪ ⎪
⎩
⎪⎪
⎩⎩
.
7)
2
2
3
2x y
x
3
2y x
y
⎧
⎪
⎪
+=

⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
+=
⎪
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x1
y1
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
. 8)
2
2
1
2x y
y
1

2y x
x
⎧
⎪
⎪
=+
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=+
⎪
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x1
y1
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.

9)
22
22
xy 4 y
xy 4 x
⎧
⎪
−=
⎪
⎪
⎨
⎪
−=
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x2
y2
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.
Edited by Foxit Reader

Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006
For Evaluation Only.

6
10)
32
32
xxx12y
yyy12x
⎧
⎪
−++=
⎪
⎪
⎨
⎪
−++=
⎪
⎪
⎩
. Đáp số:
x1 x 1
y1 y 1
⎧⎧
==−
⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪

==−
⎪⎪
⎩⎩
.
11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)
3
11
xy (1)
xy
2y x 1 (2)
⎧
⎪
⎪
−=−
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=+
⎪
⎪
⎩
.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x0, y0.≠≠

xy 1 1
(1) x y 0 (x y) 1 0 x y y .
xy xy x

⎛⎞
−
⎟
⎜
⇔−+ =⇔ − + =⇔=∨=−
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠

+ Với
xy=
: (2)
15
x1x .
2
−±
⇔=∨=

+ Với
4
1
y:(2)xx20.
x
=− ⇔ + + =

Xét hàm số
4/3

3
1
f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x .
4
−
=++⇒ = +=⇔=

33
x
13
f2 0, lim f(x)0, x
444
→±∞
⎛⎞
−
⎟
⎜
=− > =+∞⇒ > ∀∈
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
\
4
xx20⇒++= vô nghiệm.
Cách khác:
+ Với
4

x1x20x x20<⇒ +>⇒ ++>.
+ Với
44
x1x x xx x20≥⇒ ≥ ≥−⇒ ++>
.
Suy ra (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt
15 15
xx
x1
22
y1
15 15
yy
22
⎧⎧
⎪⎪
−+ −−
⎪⎪
==
⎪⎪
⎧
=
⎪
⎪⎪
⎪⎪ ⎪
∨∨
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
=

−+ −−
⎪⎪ ⎪
⎩
==
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎩
.
12)
xsiny (1)
ysinx (2)
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩

Hướng dẫn giải
Trừ (1) và (2) ta được:
x y siny sinx x sinx y siny (3).−=−⇔+=+
Xét hàm số
/
f(t) t sint f (t) 1 cost 0, t=+ ⇒ =+ ≥ ∀∈\ .
(3) f(x) f(y) x y (1) x sin x 0 (4).⇔=⇔=⇒⇔− =
Xét hàm số

/
g(x) x sin x g (x) 1 cos x 0, x=− ⇒ =− ≥ ∀∈ ⇒\ (4) có không quá 1 nghiệm.
Do
g(0) 0 (4) x 0.=⇒ ⇔= Vậy hệ có 1 nghiệm
x0
y0
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
.