tóm tắt luận án phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Nghệ An - 2013


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Tạ Thị Hoài An
2. GS. TSKH. Hà Huy Khoái

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường
họp tại Trường Đại học Vinh vào hồi......giờ......ngày......tháng......năm......

Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh
2. Thư viện quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà toán học
đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant. Ban đầu người ta
nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình Diophant với các hệ số là
những số nguyên. Sau đó, việc xem xét nghiệm của các phương trình Diophant
được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và trên trường các hàm như hàm phân hình
phức, hàm phân hình khơng Acsimet, hàm hữu tỷ.
Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Bài tốn tồn
tại hay khơng các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g) từ
lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học. Bên cạnh đó, bài tốn
về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu
hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số cũng được nhiều nhà
toán học nghiên cứu. Theo Định lý Faltings và Định lý Picard, hai bài toán này
liên quan chặt chẽ với nhau.
Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài tốn này đã
được đưa ra bởi các cơng trình của J. F. Ritt, A. Ehrenfeucht, H. Davenport, D.
J. Lewis, A. Schinzel, M. Fried ... Khi Q = cP , C. C. Yang và P. Li đã giới thiệu
khái niệm đa thức duy nhất mạnh. Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại
số k được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi hàm
f, g ∈ F và hằng số c khác khơng nào đó mà P (f ) = cP (g) thì c = 1 và f = g . Cho

đến nay bài tốn tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh đối với
một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường hợp phức cũng như trong
trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ.
Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở rộng tự


2

nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của
phương trình P (x) = Q(y). Theo Định lý Picard, phương trình P (f ) = Q(g) khơng có
nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu và chỉ nếu đường cong P (x) − Q(y) = 0
không chứa bất kỳ thành phần nào có giống 0 hoặc 1. Một số điều kiện cần để
đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J. F.
Ritt và U. M. Zannier. R. M. Avanzi và U. M. Zannier đã đưa ra một điều kiện
cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 1. Trong trường số
phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q để phương trình P (x) = Q(y)
khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng cũng được xem xét bởi các tác giả
H. H. Khoái, C. C. Yang, P. Li. Gần đây, T. T. H. An và A. Escassut đã xem xét
vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q
thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu lần đầu tiên bởi Fujimoto, và điều
kiện cần và đủ khi degP = degQ.
Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong khơng có nhân
tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Đồng thời, vấn đề xem
xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu tỷ là đề tài thời sự đang
được nhiều nhà toán học trong và ngồi nước quan tâm.
Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu
cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu

tỷ và ứng dụng.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ của
phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời xem xét các
điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp.

3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại
số.

4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ, hàm
phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số.


3

5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học đại số,
lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý thuyết độ
cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian
trên một đường cong đại số.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thức hai biến
trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình khác hằng.
Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhóm nghiên cứu về
giải tích phức, số học và hình học đại số.

7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Bài tốn giải phương trình Diophant từ lâu đã ln hấp dẫn các nhà tốn
học. Một trong những bài tốn khó và nổi tiếng nhất là Bài tốn Fermat: không
tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn xn + y n = z n , trong đó
n là một số nguyên lớn hơn 2. Bài toán Fermat đã là bài toán mở trong suốt hơn

ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm
1993. Bên cạnh việc xem xét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant ban
đầu với các hệ số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các
phương trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức,
trường các hàm phân hình khơng Acsimet, trường các hàm hữu tỷ.
Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và Q là các đa thức một biến trên
trường đóng đại số k. Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên: Thứ nhất,
tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g)?
Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khả
quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số.
Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả của Faltings và
Picard. Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằng phương trình P (f ) = Q(g)
khơng có nghiệm là các hàm phân hình khác hằng f và g khi đường cong phẳng


4
P (x) = Q(y) khơng có các thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1. Tương tự,

một định lý của Faltings nói rằng nếu đường cong phẳng P (x) = Q(y) khơng có các
thành phần bất khả quy có giống bé hơn 2, thì với mỗi trường số k mà trên đó P
và Q được xác định, phương trình P (x) = Q(y) chỉ có hữu hạn nghiệm k- hữu tỷ.
Như vậy, thực chất hai vấn đề trong hai hướng nghiên cứu nêu trên có liên quan
rất chặt chẽ với nhau.

Cả hai hướng nghiên cứu này liên quan đến một vấn đề đã được nêu ra bởi
D. Hilbert trong bài tốn thứ 10 của ơng tại Đại hội Toán học thế giới lần thứ
hai ở Paris năm 1900, đó là tồn tại hay khơng thuật tốn tổng qt để giải các
phương trình Diophant? Câu trả lời phủ định được đưa ra bởi Yu. Matijasievich
năm 1970. Như vậy, những vấn đề được các nhà toán học quan tâm là tìm điều
kiện của các đa thức P và Q để phương trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm
ngun, xem xét tính bất khả quy của đa thức P (x) − Q(y), đồng thời xem xét sự
tồn tại nghiệm là các hàm khác hằng của phương trình P (x) = Q(y).
Những vấn đề này đã thu hút được nhiều tác giả nghiên cứu. Khi bậc của P và
Q nguyên tố cùng nhau, theo tiêu chuẩn của Ehrenfeucht, đường cong P (x) − Q(y)

bất khả quy. Trong một số trường hợp đặc biệt và với giả thiết P khơng phân
tích được (nghĩa là, P không thể viết được dưới dạng hợp thành của hai đa thức
có bậc lớn hơn 1), Tverberg đã xác định khi nào

P (x) − P (y)
có thể chứa nhân tử
x−y

tuyến tính hoặc bậc hai. Tương tự, Bilu đã xác định tất cả các cặp đa thức sao
cho P (x) − Q(y) chứa nhân tử bậc hai ...
Trong trường hợp đa thức Q = cP với c khác 0, cho đến nay bài tốn với phương
trình hàm P (f ) = cP (g) đã được giải quyết trọn vẹn. Trong trường hợp tổng qt,
bài tốn tìm điều kiện để đường cong P (x) − Q(y) = 0 khơng có nhân tử có giống
0 hoặc 1 vẫn cịn nhiều vấn đề cần quan tâm. J. F. Ritt và U. M. Zannier đã đưa
ra một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống
0. Sau đó, R. M. Avanzi, U. M. Zannier đã đưa ra một điều kiện cần để đường
cong P (x) − Q(y) = 0 khơng có nhân tử có giống 1. Bằng cách sử dụng lý thuyết
kỳ dị và tính tốn giống của các đường cong đại số dựa vào đa giác Newton, H.
H. Khoái và C. C. Yang đã đưa ra một số điều kiện đủ đối với các bậc của P và

Q. Trong trường số phức, các điều kiện chi tiết hơn khi bậc của P và Q là 2, 3,


5

4 được xác định bởi C. C. Yang và P. Li. Với trường hợp trường số phức, R. M.
Avanzi và U. M. Zannier đã mơ tả đường cong có dạng P (x) = P (y) có giống ít
nhất bằng 1. Khi đa thức P thoả mãn Giả thiết I của Fujimoto (tức P là đơn ánh
trên tập các nghiệm của đạo hàm của P ), các đặc trưng đầy đủ của đường cong
P (x) − cP (y) = 0 có tất cả các thành phần bất khả quy có giống ít nhất bằng 2

được đưa ra, trong đó c là một hằng số phức khác 0. Năm 2008, T. T. H. An và
A. Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa ra
điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, và điều kiện cần và đủ khi P và
Q có cùng bậc. Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong

khơng có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở.
Để tiếp cận bài toán nêu trên, người ta thường sử dụng hai phương pháp chính.
Phương pháp thứ nhất là dùng Lý thuyết phân bố giá trị của R. Nevanlinna
để đánh giá hàm đặc trưng. Phương pháp thứ hai là sử dụng các kết quả cổ
điển của Lý thuyết số để nghiên cứu tính bất khả quy và giống của đường cong
P (x) − Q(y). Tuy nhiên cả hai phương pháp này đều có những mặt hạn chế. Năm

2003, T. T. H. An, J. T. Y. Wang và P. M. Wong đã đưa ra một phương pháp tiếp
cận mới, đó là xây dựng các 1-dạng chính quy khơng tầm thường. Với phương
pháp này, các tác giả không cần quan tâm đến tính bất khả quy của đường cong,
đồng thời việc ước lượng, tính tốn cũng đơn giản hơn nhờ vào việc xem xét các
điểm kỳ dị của đường cong đó.
Tiếp tục sử dụng phương pháp nói trên của T. T. H. An, J. T. Y. Wang và P.
M. Wong, trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ để đường cong

phẳng P (x) = Q(y) không có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1, trong đó
P và Q là các đa thức một biến trên trường số phức. Khi hai đa thức thoả mãn

Giả thiết I của Fujimoto và có bậc bằng nhau, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và
đủ để đường cong phẳng đó có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1.
Khi k là trường đóng đại số bất kỳ có đặc số 0, C là đường cong trơn có giống
g trên k, và K là trường hàm của nó, chúng tơi đưa ra một số điều kiện đối với P

và Q sao cho nếu f và g là các phần tử của K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g),
thì các độ cao của f và g bị chặn trên. Từ đó chúng tơi đưa ra điều kiện đối với
P, Q để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.


6

7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1, chúng tơi trình bày những kiến thức cơ bản về đa tạp đại số, cấu
xạ giữa các đa tạp, đường cong phẳng, không gian hyperbolic, làm cơ sở cho việc
trình bày các chương sau.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các nhân tử bất khả quy có giống thấp của
đường cong xác định bởi các đa thức biến tách trên trường số phức. Cụ thể là
chúng tơi trình bày một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của
đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1; thiết lập điều kiện cần và đủ để đường
cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1, với P và Q là các
đa thức một biến trên trường số phức; trình bày một số ứng dụng và ví dụ cụ thể
về sự tồn tại hoặc khơng tồn tại nghiệm hàm phân hình khác hằng của phương
trình P (x) = Q(y).
Chương 3, chúng tơi trình bày những kết quả về độ cao của các hàm hữu tỷ
thoả mãn phương trình biến tách. Cụ thể đó là các kết quả về chặn trên của độ

cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q là
các đa thức một biến trên một trường đóng đại số có đặc số 0. Đồng thời, chúng
tơi trình bày những điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ
khác hằng.
Các kết quả trong luận án đã được đăng ở các tạp chí: International Journal
of Mathematics, Journal of Number Theory, Journal of Science Vinh university.


7

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản dùng trong
việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau, bao gồm bốn mục.
Trong mục 1.1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về đa tạp đại số.
Trong mục 1.2, chúng tơi trình bày về cấu xạ giữa các đa tạp. Cụ thể là các
khái niệm hàm đa thức, ánh xạ đa thức, cấu xạ giữa các đa tạp, ánh xạ hữu tỷ,
ánh xạ song hữu tỷ giữa các đa tạp, các đa tạp tương đương song hữu tỷ.
Trong mục 1.3, chúng tơi trình bày những khái niệm cơ bản về đường cong
phẳng: các thành phần của đa thức xác định đường cong phẳng, sự phân tích
đường cong phẳng thành các thành phần bất khả quy, sự thuần nhất hoá đa thức
xác định đường cong phẳng, điểm đơn, điểm kỳ dị của đường cong.
Trong mục 1.4, chúng tơi trình bày ngắn gọn về không gian hyperbolic với các
khái niệm không gian hyperbolic Kobayashi và không gian hyperbolic Brody.


8

CHƯƠNG 2

CÁC NHÂN TỬ BẤT KHẢ QUY CÓ GIỐNG THẤP
CỦA ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ để mọi thành phần
bất khả quy của đường cong phẳng P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1, trong đó P và
Q là các đa thức một biến trên trường số phức C. Khi hai đa thức P, Q thoả mãn

Giả thiết I của Fujimoto và có bậc bằng nhau, chúng tơi đưa ra được điều kiện
cần và đủ.

2.1

Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu
Wronskian

Giả sử F (z0 , z1 , z2 ) là đa thức thuần nhất bậc n trên C và C là đường cong đại
số (có thể khả quy) trong P2 (C) xác định bởi F (z0 , z1 , z2 )
C = {[z0 , z1 , z2 ] ∈ P2 (C) | F (z0 , z1 , z2 ) = 0}.

Đặt
W (zi , zj ) :=

zi

zj

= zi dzj − zj dzi .

dzi dzj

Theo Định lý Euler, với [z0 , z1 , z2 ] ∈ C , ta có
z0

∂F
∂F
∂F
(z0 , z1 , z2 ) + z1
(z0 , z1 , z2 ) + z2
(z0 , z1 , z2 ) = 0.
∂z0
∂z1
∂z2

(2.1)

Phương trình siêu phẳng tiếp xúc với C tại điểm [z0 , z1 , z2 ] ∈ C được xác định bởi
dz0

∂F
∂F
∂F
(z0 , z1 , z2 ) + dz1
(z0 , z1 , z2 ) + dz2
(z0 , z1 , z2 ) = 0.
∂z0
∂z1
∂z2

(2.2)

9

Kết hợp (2.1) và (2.2) ta được hệ phương trình

 ∂F
∂F
∂F
z
 0
 ∂z (z0 , z1 , z2 ) + z1 ∂z (z0 , z1 , z2 ) = −z2 ∂z (z0 , z1 , z2 )


0
1
2




 ∂F

∂F
∂F
dz
 0
(z0 , z1 , z2 ) + dz1
(z0 , z1 , z2 ) = −dz2
(z0 , z1 , z2 ).
∂z0

∂z1
∂z2

Khi đó, theo cơng thức Cramer, trên đường cong C ta có
∂F
W (z1 , z2 ) ∂F
=
,
∂z0
W (z0 , z1 ) ∂z2
∂F
W (z2 , z0 ) ∂F
=
,
∂z1
W (z0 , z1 ) ∂z2

với điều kiện W (z0 , z1 ) = 0 trên bất kỳ thành phần nào của C , tức là C khơng có
nhân tử tuyến tính dạng az0 + bz1 . Do đó,
W (z1 , z2 )
W (z2 , z0 )
W (z0 , z1 )
=
=
.
∂F
∂F
∂F
(z0 , z1 , z2 )
(z0 , z1 , z2 )

(z0 , z1 , z2 )
∂z0
∂z1
∂z2

(2.3)

Đặt
θ=

W (z2 , z0 )
W (z0 , z1 )
W (z1 , z2 )
=
=
∂F
∂F
∂F
∂z0
∂z1
∂z2

(2.4)

thì θ là 1-dạng hữu tỷ trên P2 (C).
2.1.1 Nhận xét. Các 1-dạng xác định bởi (2.4) không tầm thường khi hạn chế

trên các thành phần của C nếu các định thức Wronskian của θ trong công thức ở
trên không đồng nhất bằng 0 khi hạn chế trên các thành phần của C , nghĩa là đa
thức thuần nhất xác định đường cong C khơng có các nhân tử tuyến tính dạng

azi + bzj trong đó a, b ∈ C, 0 ≤ i, j ≤ 2 và i = j .
2.1.2 Định nghĩa. Giả sử C ⊂ P2 (C) là một đường cong đại số. 1-dạng ω trên C

được gọi là chính quy nếu nó là hạn chế của 1-dạng hữu tỷ trên P2 (C) sao cho
khơng có cực điểm nào của ω thuộc C . 1-dạng được gọi là kiểu Wronskian nếu nó
R
có dạng W (zi , zj ), trong đó R và S là các đa thức thuần nhất thoả mãn degS =
S
degR + 2.

2.2

Một số bổ đề

Trong mục này, chúng tôi chứng minh một số bổ đề cần cho việc chứng minh
các kết quả chính của luận án.


10
2.2.1 Bổ đề. Giả sử C là đường cong xạ ảnh bậc n (có thể khả quy) trong P2 (C)

xác định bởi F (z0 , z1 , z2 ) = 0. Giả sử tồn tại i = j = k ∈ {0, 1, 2} và hai 1-dạng kiểu
Wronskian
ω1 =

R1
W (zi , zj )
S1

và

ω2 =

R2
W (zi , zj )
S2

thoả mãn các điều kiện sau:
(1) S1 , S2 là các nhân tử của

∂F
,
∂zk

(2) ω1 và ω2 là C-độc lập tuyến tính trên thành phần bất khả quy bất kỳ của
đường cong C,
(3) Với i = 1, 2, ωi chính quy tại mọi điểm p ∈ S ∩ Si , trong đó S là tập các điểm
kỳ dị của C và Si là tập các khơng điểm của Si .
Khi đó, mọi thành phần bất khả quy của đường cong C đều có giống ít nhất bằng
2.
2.2.2 Nhận xét. Giả sử F (z0 , z1 , z2 ) là đa thức thuần nhất bậc n của P (x) − Q(y) và
C là đường cong xác định bởi F (z0 , z1 , z2 ) = 0 trong P2 (C). Rõ ràng, phương trình
P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng khi và chỉ khi đường cong
C là hyperbolic Brody, tức là khơng có ánh xạ chỉnh hình khác hằng từ C vào
C . Theo Định lý Picard, điều này có nghĩa là mọi thành phần bất khả quy của

đường cong đều có giống ít nhất bằng 2. Như vậy, nếu các giả thiết trong Bổ đề
2.2.1 thoả mãn, thì phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình
khác hằng.
Trong suốt chương này, giả sử P và Q là các đa thức một biến trên trường số

phức C, có bậc tương ứng là n và m. Ta ký hiệu các hệ số của P và Q như sau
P (x) = a0 + a1 x + . . . + an0 −1 xn0 −1 + an0 xn0 + an xn ,
Q(y) = b0 + b1 y + . . . + bm0 −1 y m0 −1 + bm0 y m0 + bm y m ,

(2.5)

trong đó an , an0 , bm0 và bm khác không.
Ta ký hiệu α1 , α2 , . . . , αl và β1 , β2 , . . . , βh là các nghiệm phân biệt của P (x) và
Q (y), tương ứng. Ký hiệu p1 , p2 , . . . , pl và q1 , q2 , . . . , qh là các bội của các nghiệm

trong P (x) và Q (y), tương ứng. Khi đó, với a, b nào đó trong C,
P (x) = a(x − α1 )p1 (x − α2 )p2 . . . (x − αl )pl ,
Q (y) = b(y − β1 )q1 (y − β2 )q2 . . . (y − βh )qh .


11

Khơng mất tính tổng qt, ta ln giả thiết rằng n ≥ m.
Nếu một trong hai đa thức P hoặc Q là tuyến tính, chẳng hạn P (x) = ax + b,
1
a

b
a

thì ( Q(f ) − , f ) là một nghiệm của phương trình P (x) = Q(y), trong đó f là hàm
phân hình khác hằng bất kỳ. Vì vậy, từ đây chúng ta luôn luôn giả sử rằng P và
Q là các đa thức khơng tuyến tính.

Giả sử F (z0 , z1 , z2 ) là đa thức thuần nhất bậc n của P (x) − Q(y), và C là đường

cong xác định bởi F (z0 , z1 , z2 ) = 0 trong P2 (C). Ta có
n n−n
n−n
n
n
n
n−1
F (z0 , z1 , z2 ) = a0 z2 + a1 z0 z2 + . . . + an0 −1 z0 0 −1 z2 0 +1 + an0 z0 0 z2 0 + an z0
m n−m
n−m
m
n
m n−m
n−1
− b0 z2 − b1 z1 z2 − . . . − bm0 −1 z1 0 −1 z2 0 +1 − bm0 z1 0 z2 0 − bm z1 z2 .

Ký hiệu P (z0 , z2 ) và Q (z1 , z2 ) là các đa thức thuần nhất của các đa thức P (x) và
Q (y) tương ứng. Khi đó,
∂F
= P (z0 , z2 ) = nan (z0 − α1 z2 )p1 . . . (z0 − αl z2 )pl ,
∂z0
∂F
n−m
n−m
= z2 Q (z1 , z2 ) = mbm z2 (z1 − β1 z2 )q1 . . . (z1 − βh z2 )qh ,
∂z1
∂F
m
n
n−m −1

m
m
[sz2 −n0 z0 0 + tz2 −m z1 + z2 E(z0 , z1 , z2 )]
= z2
∂z2

trong đó s := (n − n0 )an0 và t := −(n − m0 )bm0 là các hằng số mà st = 0, E(z0 , z1 , z2 ) là
đa thức thuần nhất bậc m − 1, và
m = max{n0 , m0 } nếu n = m và m = max{n0 , m} nếu n > m,
m = m0 nếu n = m và m = m nếu n > m.
2.2.3 Bổ đề. Các điểm kỳ dị của đường cong xạ ảnh C chỉ có thể là (αi : βj : 1),

trong đó αi , βj thoả mãn P (αi ) = Q(βj ), với 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ h và (0 : 1 : 0). Hơn nữa,
nếu n = m thì đường cong khơng có kỳ dị tại (0 : 1 : 0).
Để phát biểu các kết quả được rõ ràng, ta cần các ký hiệu sau đây.
2.2.4 Ký hiệu. Ta đặt:
A0 := {(i, j) | 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ h, P (αi ) = Q(βj )},
A1 := {(i, j) | (i, j) ∈ A0 , pi > qj },
A2 := {(i, j) | (i, j) ∈ A0 , pi < qj }

và l0 := #A0 .


12

2.2.5 Định nghĩa. Đa thức P (x) được gọi là thoả mãn Giả thiết I nếu
P (αi ) = P (αj ) với i = j, i, j = 1, 2, . . . , l,

hay nói cách khác, P đơn ánh trên tập các nghiệm của đạo hàm của P .
2.2.6 Bổ đề. Giả sử P (x) và Q(y) thoả mãn Giả thiết I. Khi đó, với mỗi i, 1 ≤ i ≤ l,

tồn tại nhiều nhất một j , 1 ≤ j ≤ h, sao cho P (αi ) = Q(βj ). Hơn nữa, l0 ≤ min{l, h}.
Theo Bổ đề 2.2.6, khi các đa thức P và Q thoả mãn Giả thiết I, khơng mất
tính tổng qt ta có thể giả sử rằng
A0 = {(1, τ (1)), . . . , (l0 , τ (l0 ))},
A1 = {(1, τ (1)), . . . , (l1 , τ (l1 ))}.

Gọi Li,j , 1 ≤ i = j ≤ l0 , là dạng tuyến tính của đường thẳng đi qua hai điểm
(αi , βτ (i) , 1) và (αj , βτ (j) , 1). Lưu ý rằng Li,j được xác định bởi
βτ (i) − βτ (j)
(z0 − αj z2 )
αi − αj
βτ (i) − βτ (j)
= (z1 − βτ (i) z2 ) −
(z0 − αi z2 ).
αi − αj

Li,j : = (z1 − βτ (j) z2 ) −

Một ánh xạ chỉnh hình
φ = (φ0 , φ1 , φ2 ) : ∆ = {t ∈ C | |t| < } −→ C,

φ(0) = p

được gọi là tham số hố chỉnh hình của C tại p. Một tham số hố chỉnh hình địa
phương luôn tồn tại với đủ bé. Một hàm hữu tỷ Q trên đường cong C được biểu
diễn dưới dạng A/B trong đó A và B là các đa thức thuần nhất theo z0 , z1 , z2 sao
cho B|C khơng đồng nhất bằng khơng. Vì vậy, Q ◦ φ là một hàm phân hình xác
định tốt trên ∆ với khai triển Laurent
∞

ai t i ,

Q ◦ φ(t) =

am = 0.

i=m

Ta nói bậc của Q ◦ φ tại t = 0 là m và ký hiệu bởi
ordp,φ Q = ordt=0 Q(φ(t)).

(2.6)

Khơng sợ nhầm lẫn, ta viết ordp Q thay vì viết ordp,φ Q với tham số hố chỉnh hình
nào đó của C .


13

2.2.7 Bổ đề. Giả sử pi = (αi , βτ (i) , 1) ∈ C, i = 1, . . . , l0 .

(1) Giả sử rằng Li,j , 1 ≤ i = j ≤ l0 , không đồng nhất bằng không trên bất kỳ
thành phần nào của C . Khi đó,
ordpi Li,j ≥ min{ordpi (z0 − αi z2 ), ordpi (z1 − βτ (i) z2 )},

với mỗi tham số hoá địa phương tại pi và với mỗi tham số hố địa phương
tại pj thì
ordpj Li,j ≥ min{ordpj (z0 − αj z2 ), ordpj (z1 − βτ (j) z2 )}.

(2) (pi + 1) ordpi (z0 − αi z2 ) = (qτ (i) + 1) ordpi (z1 − βτ (i) z2 ).
(3) ordpi W (z1 , z2 ) ≥ ordpi (z1 − βτ (i) z2 ) − 1.

2.3

Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy
của đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1

Trong mục này chúng tôi đưa ra điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy
của đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1.

2.3.1

Các đa thức thoả mãn Giả thiết I

Trong mục này ta luôn giả thiết rằng đa thức P và Q thoả mãn Giả thiết I.
2.3.1 Định lý. Giả sử P (x) và Q(y) thoả mãn Giả thiết I và P (x) − Q(y) khơng có

nhân tử tuyến tính. Nếu
(pi − qj ) +
(i,j)∈A1

pi ≥ n − m + 3,
1≤i≤l,(i,j)∈A0
/

thì mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) − Q(y) = 0 có giống ít nhất
bằng 2.
2.3.2 Hệ quả. Với các điều kiện như trong Định lý 2.3.1, thì đường cong P (x) −
Q(y) = 0 khơng có nhân tử có giống 0 hoặc 1 nếu

(qj − pi ) +
(i,j)∈A2

qj ≥ 3.
1≤j≤h,(i,j)∈A0
/

Bổ đề sau cần dùng cho chứng minh Định lý 2.3.1.


14

2.3.3 Bổ đề. Trên đường cong C , các khẳng định sau là đúng.

(1) Với j ∈ {l0 + 1, . . . , l}, thì η1 :=

W (z1 , z2 )
chính quy tại các điểm hữu hạn
(z0 − αj z2 )pj

(tức là các điểm mà z2 = 0).

(2) Cho i ∈ {1, 2, . . . , l0 }. Khi đó, η2 :=

(z1 − βτ (i) z2 )qτ (i) W (z1 , z2 )
chính quy tại các
(z0 − αi z2 )pi

điểm hữu hạn.
(3) Nếu |pi −qτ (i) | ≤ 2, thì η3 :=

ngoại trừ khi pi = 1 và qτ (i)

(z1 − βτ (i) z2 )W (z1 , z2 )
chính quy tại pi = (αi , βτ (i) , 1),
(z0 − αi z2 )
= 3.

(4) Cho i, j ∈ {1, 2, . . . , l0 } và các số nguyên u, v, ta đặt
ζu,v

Lu W (z1 , z2 )
i,j
.
:=
(z0 − αi z2 )v

Khi đó,
(a) ζu,v chính quy tại pi = (αi , βτ (i) , 1) nếu |pi − qτ (i) | ≤ 1, u ≥ v và pi ≥ v. Hơn
nữa, ζ2,1 chính quy tại pi = (αi , βτ (i) , 1) nếu |pi − qτ (i) | ≤ 2.
(b) ζ1,2 và ζ2,3 chính quy tại pi = (αi , βτ (i) , 1) nếu pi = qτ (i) + 1.

2.3.2

Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I

Trong mục này, chúng tôi đưa ra điều kiện đối với các đa thức P và Q không
thoả mãn Giả thiết I.
2.3.4 Định lý. Giả sử m = n và n ≥ max{n0 , m0 } + 4. Giả sử rằng P (x) − Q(y)

khơng có nhân tử tuyến tính. Khi đó, mọi thành phần bất khả quy của đường cong

P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1.

2.4

Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có
thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1

2.4.1

Bội giao

Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm bội giao, các tính chất của bội
giao và một bổ đề cần dùng cho các phép chứng minh ở phía sau.


15

2.4.3 Định lý. (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong phẳng xạ ảnh có
bậc tương ứng là m và n. Giả sử F và G không có thành phần chung. Khi đó,
I(P, F ∩ G) = m n.
P

2.4.4 Định nghĩa. Cho R(z0 , z1 , z2 ) = 0 là đường cong bậc degR trên C. Ký hiệu
δR là số khuyết của đường cong phẳng R(z0 , z1 , z2 ) = 0, nghĩa là
1
1
δR = (deg R − 1)(deg R − 2) −
2
2

mp (mp − 1)
p

trong đó, tổng được lấy trên tất cả các điểm thuộc R(z0 , z1 , z2 ) = 0 và mp là số bội
của R(z0 , z1 , z2 ) = 0 tại p.
2.4.5 Bổ đề. Giả sử C là đường cong bậc n trong P2 (C).
(1) Nếu C chỉ có một điểm kỳ dị chính tắc bội µ, trong đó µ là n − 1 hoặc n − 2,
thì C bất khả quy.
(2) Nếu C chỉ có hai điểm kỳ dị chính tắc có bội tương ứng là n − 1 và 2, thì C
có thành phần tuyến tính.

2.4.2

Phép biến đổi tồn phương

Trong mục này chúng tơi trình bày những kiến thức cơ sở về phép biến đổi
toàn phương và một bổ đề cần cho việc chứng minh định lý ở mục 2.4.3.
2.4.11 Bổ đề. Giả sử đường cong C = {F (z0 , z1 , z2 ) = 0} chỉ có một điểm kỳ dị
(α1 , βτ (1) , 1) thoả mãn p1 = 3 và qτ (1) = 1. Khi đó, đường cong C là song hữu tỷ với

một đường cong R(z0 , z1 , z2 ) = 0 chỉ có các điểm kỳ dị chính tắc. Hơn nữa,
δR = δC − 1.

2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần
bất khả quy có giống 0 hoặc 1
Khi cả hai đa thức P và Q thoả mãn Giả thiết I và có bậc bằng nhau, chúng
tơi đưa ra điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả
quy có giống 0 hoặc 1. Điều kiện đó thể hiện ở định lý sau đây.

16

2.4.12 Định lý. Giả sử P và Q là các đa thức thoả mãn Giả thiết I và degP =
degQ. Khi đó, đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc
1 khi và chỉ khi P và Q thoả mãn một trong các điều kiện sau.
(1) P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính.
(2) n = 2 hoặc n = 3.
(3) n = 4 và hoặc tồn tại ít nhất hai chỉ số i sao cho P (αi ) = Q(βi ) hoặc chỉ tồn
tại một i sao cho P (αi ) = Q(βi ) và |pi − qi | = 2.
(4) hoặc n = p1 +1, l = 1, h = 2, p1 = q1 +1, q2 = 1 và P (α1 ) = Q(β1 ); hoặc n = p1 +2,
h = 1, l = 2, q1 = p1 + 1, p2 = 1 và P (α1 ) = Q(β1 ).

(5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 , n = p1 + 2 và P (α1 ) = Q(β1 ).
(6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = p2 = q2 = q3 = 1, p1 = q1 = 2, P (αi ) = Q(βi ), với
i = 1, 2, 3.

(7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi ) = Q(βi ), với i = 1, 2.
Bổ đề sau cần dùng cho chứng minh Định lý 2.4.12.
2.4.13 Bổ đề. Giả sử đường cong C khơng có nhân tử tuyến tính. Nếu một trong
các điều kiện sau đúng thì mọi thành phần bất khả quy của C có giống lớn hơn 1.
l1

l

(a) l0 ≥ 2 và

pi = 2;

(pi − qτ (i) ) +
i=1

i=l0 +1

l

(b) l0 ≥ 1 và

pi = 2, ngoại trừ trường hợp l0 = 1 và p1 = 1, qτ (1) = 3;
i=l0 +1

(c) l0 ≥ 2 và l = l0 + 1, trừ khi l0 = 2, pl0 +1 = 1 và p1 = p2 = 1.

2.5

Một số ứng dụng và ví dụ

2.5.1 Định lý. (Định lý Picard) Khơng có ánh xạ chỉnh hình khác hằng f từ C

vào đường cong C trong P2 (C) nếu mọi thành phần bất khả quy của đường cong C
đều có giống ít nhất bằng 2.
2.5.2 Định lý. (Định lý Faltings) Giả sử C là đường cong xác định trên trường số
k có giống g(C) ≥ 2. Khi đó, C có hữu hạn điểm k-hữu tỷ.


17

Áp dụng Định lý Picard và Định lý Faltings, từ các Định lý 2.3.1, 2.3.4 và
2.4.12 ta lần lượt có các kết quả sau đây.
2.5.3 Hệ quả. Giả sử P (x) và Q(y) thoả mãn Giả thiết I, P (x) − Q(y) khơng có

nhân tử tuyến tính và C là đường cong trong P2 (C) xác định bởi đa thức thuần
nhất của P (x) − Q(y). Giả sử
(pi − qj ) +
(i,j)∈A1

pi ≥ n − m + 3.
1≤i≤l,(i,j)∈A0
/

Khi đó,
(1) Đường cong C là hyperbolic Brody.
(2) Đường cong C là hyperbolic Kobayashi.
(3) Phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng.
(4) Đường cong C chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ.
2.5.4 Hệ quả. Giả sử n = m và n ≥ max{n0 , m0 } + 4. Giả sử P (x) − Q(y) khơng

có nhân tử tuyến tính và C là đường cong trong P2 (C) xác định bởi đa thức thuần
nhất của P (x) − Q(y). Khi đó,
(1) Đường cong C là hyperbolic Brody.
(2) Đường cong C là hyperbolic Kobayashi.
(3) Phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng.
(4) Đường cong C chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ.
2.5.5 Hệ quả. Giả sử P và Q là các đa thức thoả mãn Giả thiết I, degP = degQ

và C là đường cong trong P2 (C) xác định bởi đa thức thuần nhất của P (x) − Q(y).
Khi đó,
(1) Đường cong C là hyperbolic Brody,
(2) Đường cong C là hyperbolic Kobayashi,
(3) Phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng,
(4) Đường cong C chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ

khi và chỉ khi P và Q không thoả mãn một trong các điều kiện sau:
(1) P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính.


18

(2) n = 2 hoặc n = 3.
(3) n = 4 và hoặc tồn tại ít nhất hai chỉ số i sao cho P (αi ) = Q(βi ) hoặc chỉ tồn
tại một i sao cho P (αi ) = Q(βi ) và |pi − qi | = 2.
(4) hoặc n = p1 +1, l = 1, h = 2, p1 = q1 +1, q2 = 1 và P (α1 ) = Q(β1 ); hoặc n = p1 +2,
h = 1, l = 2, q1 = p1 + 1, p2 = 1 và P (α1 ) = Q(β1 ).
(5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 , n = p1 + 2 và P (α1 ) = Q(β1 ).
(6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = p2 = q2 = q3 = 1, p1 = q1 = 2, P (αi ) = Q(βi ), với
i = 1, 2, 3.
(7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi ) = Q(βi ), với i = 1, 2.
2.5.6 Ví dụ. Phương trình −3x9 + 5x8 = 7y 9 + y 6 không có nghiệm hàm phân hình

khác hằng.
Sau đây chúng tơi đưa ra các ví dụ để chứng tỏ rằng nếu một trong các điều
kiện trong giả thiết của Định lý 2.3.4 khơng thoả mãn thì phương trình P (x) = Q(y)
có nghiệm hàm phân hình khác hằng. Điều này chứng tỏ các điều kiện đủ mà
chúng tôi đã đưa ra trong Định lý 2.3.4 là chặt.
2.5.7 Ví dụ. Phương trình −3x6 + 11x5 = 7y 6 − y 5 ln có nghiệm hàm phân hình

khác hằng. Hơn nữa, điều kiện thứ nhất trong giả thiết của Định lý 2.3.4 không
thoả mãn.
2.5.8 Ví dụ. Cho P (x) là đa thức bậc n trong C[x] và P (x) − y n khơng có nhân tử

tuyến tính. Giả sử P (x) có đạo hàm
P (x) = a(x − α1 )p1 (x − α2 )p2 . . . (x − αl )pl , l ≥ 2

và P (x) thoả mãn Giả thiết I. Khi đó, nếu
P (αi ) = 0, 2 ≤ i ≤ l và p2 + p3 + . . . + pl ≥ 3,

thì đường cong C = [P (x) − y n = 0] là hyperbolic Brody và phương trình P (f ) = g n
khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng.
Tương tự như ở Ví dụ 2.5.7, chúng tơi cũng đưa ra các ví dụ để chứng tỏ rằng
nếu một trong các điều kiện trong giả thiết của Định lý 2.3.1 khơng thoả mãn thì
phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm phân hình khác hằng.
2.5.9 Ví dụ. (a) Phương trình −3x9 + x7 = 7y 2 có nghiệm hàm phân hình khác

hằng.
(b) Phương trình −3x12 + x8 = 7y 2 có nghiệm hàm phân hình khác hằng.


19

CHƯƠNG 3
ĐỘ CAO CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ THOẢ MÃN
PHƯƠNG TRÌNH BIẾN TÁCH

Cho k là trường đóng đại số có đặc số 0, P và Q là các đa thức một biến trên
trường k. Giả sử C là đường cong trơn có giống g trên k, và K là trường hàm của
nó. Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn tìm nghiệm hàm hữu tỷ của
phương trình biến tách P (x) = Q(y). Theo hệ quả trực tiếp của Định lý Hurwitz
thì khơng tồn tại ánh xạ phân hình khác hằng từ đường cong C có giống g vào
đường cong C có giống lớn hơn g. Do đó, khi giống của đường cong C lớn thì
phương pháp đã sử dụng trong chương 2 khơng cịn phù hợp nữa. Vì vậy, để giải
quyết bài tốn phương trình biến tách cho đối tượng là các hàm hữu tỷ, chúng
tôi sử dụng lý thuyết độ cao. Với việc đưa ra phương pháp này, T. T. H. An và J.

T. Y. Wang (2007) đã chỉ ra một số điều kiện đủ đối với đa thức P thoả mãn Giả
thiết I sao cho độ cao của f và g bị chặn trên với f, g ∈ K thoả mãn P (f ) = cP (g),
đồng thời đưa ra điều kiện đối với đa thức P để phương trình P (f ) = cP (g) khơng
có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng. Trong chương này, chúng tôi sử dụng phương
pháp của hai tác giả trên để xem xét phương trình biến tách tổng quát hơn có
dạng P (x) = Q(y) và đưa ra một số điều kiện đối với P và Q sao cho nếu f và g
là các phần tử của K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g), thì các độ cao của f
và g bị chặn trên. Từ đó, chúng tôi đưa ra điều kiện đối với P, Q để phương trình
P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.


20

3.1

Một số kết quả bổ trợ

Với mỗi điểm p ∈ C, ta có hàm bậc tại p
vp := ordp : K → R ∪ {∞}.
3.1.1 Định nghĩa. Với phần tử khác không f ∈ K, độ cao h(f ) đếm số các cực

điểm của f kể cả các số bội, tức là
− min{0, vp (f )}.

h(f ) :=
p∈C

Với [f, g] ∈ P1 (K), độ cao của nó được xác định bởi
− min{vp (f ), vp (g)}.

h(f, g) :=
p∈C

Trong suốt chương này, chúng ta giả sử P (x) và Q(y) là các đa thức khác hằng
trên trường k, có bậc tương ứng là n và m.
Nếu một trong hai đa thức P hoặc Q là tuyến tính, chẳng hạn P (x) = ax + b,
b
a

1
a

thì ( Q(f ) − , f ) là một nghiệm của phương trình P (x) = Q(y), trong đó f là phần
tử khác hằng nào đó của K. Vì vậy, từ đây chúng ta ln ln giả sử rằng P và
Q là các đa thức không tuyến tính.

Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử rằng n ≥ m. Ta ký hiệu α1 , α2 , . . . , αl
và β1 , β2 , . . . , βh là các nghiệm phân biệt của P (x) và Q (y) tương ứng. Ta dùng
p1 , p2 , . . . , pl và q1 , q2 , . . . , qh để ký hiệu các số bội của các nghiệm của P (x) và Q (y)

tương ứng. Khi đó, với a, b nào đó trong k,
P (x) = a(x − α1 )p1 (x − α2 )p2 . . . (x − αl )pl ,
Q (y) = b(y − β1 )q1 (y − β2 )q2 . . . (y − βh )qh .

Để đơn giản ký hiệu, với i ≥ 1, t ∈ K \ k và η ∈ K, ta ký hiệu
di η :=
t

di η
,

dti

di η :=
p

di η
.
dti
p

3.1.2 Mệnh đề. Giả sử η = 0 ∈ K và [f, g] ∈ P1 (K). Ta có

(1)

vp (dp η) = 2g − 2 nếu η khơng là hàm hằng.
p∈C


21

(2)

vp (η) = 0.
p∈C

(3) h(ηf, ηg) = h(f, g).
Để nghiên cứu các điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có các
nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng, ý tưởng cơ bản là như sau. Giả sử có hai hàm hữu
tỷ khác hằng phân biệt f và g trong K sao cho P (f ) = Q(g). Chúng tôi nghiên cứu
độ cao của f và g và đưa ra các chặn trên đối với h(f ) và h(g). Đầu tiên chúng tôi

đưa ra một chặn trên đối với h(P (f ), Q (g)) nhờ bổ đề sau đây.
3.1.3 Bổ đề. Giả sử f và g là các hàm hữu tỷ khác hằng phân biệt trong K sao

cho P (f ) = Q(g). Khi đó,
(1) n h(f ) = m h(g).
0
0
min{vp (dp f ), vp (dp g)} ≤

(2) h(P (f ), Q (g)) +
p∈C

m+n
h(f ) + 2g − 2,
m

0
trong đó vp (η) := max{0, vp (η)} với η ∈ K∗ .

3.1.4 Nhận xét. Ta lưu ý rằng Bổ đề 3.1.3 đã đưa ra một chặn trên của h(P (f ), Q (g)) :
m+n
h(P (f ), Q (g)) ≤
h(f ) + 2g − 2
(3.1)
m

Để chứng minh các kết quả chính trong chương này, chúng tôi cần thêm một
số bổ đề sau đây.
3.1.5 Bổ đề. Giả sử f và g là các hàm hữu tỷ khác hằng phân biệt trong K sao

cho P (f ) = Q(g). Khi đó,
−

min{vp (P (f )), vp (Q (g))} = (n − 1) h(f ) = (n − 1)
p∈C,vp (f )<0

m
h(g).
n

3.1.6 Bổ đề. Giả sử P (x) và Q(y) thoả mãn Giả thiết I. Khi đó, với mỗi i, 1 ≤ i ≤ l,

tồn tại nhiều nhất một j , 1 ≤ j ≤ h, sao cho P (αi ) = Q(βj ). Hơn nữa, l0 ≤ min{l, h}.
Theo Bổ đề 3.1.6, khi các đa thức P và Q thoả mãn Giả thiết I, không mất
tính tổng qt ta có thể giả sử rằng
A0 = {(1, j(1)), . . . , (l0 , j(l0 ))},
A1 = {(1, j(1)), . . . , (l1 , j(l1 ))}.
3.1.7 Bổ đề. Giả sử có hai hàm hữu tỷ khác hằng f và g trong K thoả mãn
P (f ) = Q(g). Nếu vp (f − αi ) > 0 và vp (g − βj ) > 0 tại điểm p ∈ C, thì
(pi + 1)vp (f − αi ) = (qj + 1)vp (g − βj ).


22

3.2

Chặn trên của các độ cao của các hàm hữu tỷ thoả
mãn phương trình biến tách

Trong mục này chúng tơi trình bày những kết quả về cận trên của các độ cao

của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách. Đồng thời, chúng tôi cũng
đưa ra những điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm
hữu tỷ khác hằng.
3.2.1 Định lý. Giả sử f và g là hai hàm hữu tỷ khác hằng phân biệt trong K sao

cho P (f ) = Q(g). Đặt
B0 = {i | 1 ≤ i ≤ l, P (αi ) = Q(βj ) với mọi j = 1, . . . , h},
B1 = {i | 1 ≤ i ≤ h, Q(βi ) = P (αj ) với mọi j = 1, . . . , l}.

Khi đó,
(1) n h(f ) = m h(g).
pi −

m+n
m

qi −

(2)

2m
n

i∈B0

(3)
i∈B1

h(f ) ≤ 2g − 2.

h(g) ≤ 2g − 2.

Từ Định lý 3.2.1, chúng tơi đưa ra những điều kiện để có được các cận trên
của các độ cao của f và g . Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra những điều kiện đủ
để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.
3.2.2 Hệ quả. Với giả thiết như trong Định lý 3.2.1.

(1) Nếu

pi −
i∈B0

m+n
> 0 hoặc
m

qi −
i∈B1

2m
> 0, thì các độ cao của f và g bị
n

chặn trên;
(2) Nếu

pi −
i∈B0

m+n

> max{0, 2g − 2} hoặc
m

qi −
i∈B1

2m
> max{0, 2g − 2}, thì f và
n

g là hằng.

3.3

Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn
Giả thiết I

Trong mục này, chúng tơi trình bày những kết quả về cận trên của các độ cao
của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả


23

mãn Giả thiết I. Đồng thời, chúng tôi đưa ra những điều kiện đủ để phương trình
P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng trong trường hợp P, Q thoả

mãn Giả thiết I.
3.3.1 Định lý. Giả sử P (x) và Q(y) thoả mãn Giả thiết I. Giả sử f và g là hai

hàm hữu tỷ khác hằng phân biệt trong K sao cho P (f ) = Q(g). Khi đó,

pi −
(i,j)∈A1

n
qj +
m

pi −
1≤i≤l,(i,j)∈A0
/

m+n
m

h(f ) ≤ 2g − 2.

Từ Định lý 3.3.1, chúng tôi đưa ra được điều kiện đủ để phương trình P (x) =
Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.
3.3.2 Hệ quả. Giả sử P (x) và Q(y) thoả mãn Giả thiết I. Giả sử f và g là các hàm

hữu tỷ trong K sao cho P (f ) = Q(g). Nếu
(pi −
(i,j)∈A1

n
qj ) +
m

pi −
1≤i≤l,(i,j)∈A0

/

m+n
> max{0, 2g − 2},
m

thì f và g là hằng.

3.4

Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm
hữu tỷ khác hằng

Trong trường hợp đặc biệt, khi giống g = 0 và bậc của P và Q bằng nhau, chúng
tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu
tỷ khác hằng, thể hiện ở định lý sau đây.
3.4.1 Định lý. Giả sử g = 0, P (x), Q(y) thoả mãn Giả thiết I và n = m. Khi đó,

tồn tại hai hàm hữu tỷ f và g khác hằng trong K thoả mãn P (f ) = Q(g) khi và chỉ
khi P (x) và Q(y) thoả mãn một trong các điều kiện sau.
(A) P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính.
(B) l = 1, h = 2, p1 = q1 + 1, q2 = 1 và P (α1 ) = Q(β1 ); hoặc h = 1, l = 2, q1 = p1 + 1,
p2 = 1 và P (α1 ) = Q(β1 ).
(C) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 và P (α1 ) = Q(β1 ).
(D) l = h = 3, pi = qi = 1 với i = 1, 2, 3 và P (αi ) = Q(βi ) với i = 1, 2, 3 (sau khi thay
đổi các chỉ số).
(E) l = h = p1 = q1 = 1.