đề tài nghiệp vụ sư phạm hàm số và đồ thị

Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị

MỤC LỤC
I. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU
I.1. Đối với giáo viên
I.2. Đối với học sinh
II. NỘI DUNG
II.1. Đặt vấn đề
II.2. Bài toán xuất xứ
II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản
II.3.1. Định nghĩa ánh xạ
II.3.2. Định nghĩa hàm số
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối
II.3.4.Sự biến thiên của hàm số
II.3.5. Đồ thị của hàm số
II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ
II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị
II.3.6. Chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm
II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y=ax+b
II.3.6.2. Hàm số bậc hai y=ax
2
II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa y=ax và y=mx +n
II.4. Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục
II.4.1. Những sai lầm
II.4.2. Cách khắc phục
II.5. Ứng dụng của hàm số và đồ thị
II.6. Các dang bài tập
II.7. Một số ví dụ
II.8. Bài dạy minh họa
II.8.1. Mục tiêu bài dạy

II.8.2. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
II.8.3. Tổ chức day học
III. KẾT LUẬN
1
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
I. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU
I.1. ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN
Người giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiến
thức có liên quan. Nắm được bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số,
đồ thị. Biết phân loại các dạng
≠
bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các
đơn vị kiến thức đó.
Trước khi dạy người giáo viên phải lường được những sai lầm mà học sinh có
thể mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinh
hoặc đưa bài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm,
hoặc có thể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn
vị kiến thức đó.
Tùy từng đối tượng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví
dụ cho phù hợp.
I.2. ĐỐI VỚI HỌC SINH.
+ Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh
xạ nào đó có phải là hàm số hay không?
Nắm được: tìm được chỉ ra được đâu là tập xác định của hàm số. Các tính chất
cơ bản của các hàm số được học trong trường THCS . Cách cho một hàm số: lấy ví
dụ về một hàm số. Xác định được một hàm số.
Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàm
sốvề hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp. Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉ
trên hệ tọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ

thị hàm số đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a
≠
0) và y=ax
2
( a
≠
0) một cách
chính xác, đẹp.
2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
+ Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có
liên quan.
II. NỘI DUNG.
II.1. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong
trương trình đại số của bậc THCS. Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới được
bắt đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo.
Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thường gặp nhiều khó khăn đặc
biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tương ứng có phải là hàm số hay không? Cách
xác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng của
hàm số. Vì vậy phải đòi hỏi người giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng
với phương pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và tư duy tốt
tiếp nhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực.
II.2. BÀI TOÁN XUẤT XỨ.
Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán,…, mối
liên hệ giữa hai đại lượng, nhiều đại lượng. Đại lượng là một khái niệm tổng quát
hóa một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lương,…, thời gian,…
Mỗi khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lượng được biểu hiện bằng giá trị số.
Độ dài có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau. Từ đó

toán học đã đưa đến khái niệm “Đại lượng biến thiên”. Chẳng hạn quan niệm độ dài
là một đại lượng biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích
S = a
2
của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tương quan )giữa hai đại
lượng biến thiên ấy.
3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tương quan giữa
hai đại lượng biến thiên x; y được viết dưới dạng y=f(x) trong đó f là một công thức
cho phép chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định được một giá trị tương ứng của
y. Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng
hơn, lý luận toán học càng sâu sắc hơn, thì người ta thấy cần phải định nghĩa khái
niệm hàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề.
II.3. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN.
* Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trước hết ta hãy cho học sinh làm quen với
khái niệm ánh xạ.
II.3.1. Định nghĩa ánh xạ.
a) Cho hai tập X, Y. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc
cho tương ứng cứ mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần tử y ∈ Y. Ký hiệu
quy tắc đó f. Ta có kí hiệu ánh xạ đó như sau:
f:X→Y hay X
→
fY
x  y=f(x) ; x  y=f(x)
X: tập nguồn. Y tập đích.
X là tạo ảnh; y là ảnh của x qua ánh xạ f.
b) Ví dụ:
1. Các cầu thủ An, Bách, Hà, Dũng theo thứ tự mang áo số 1; 2; 3; 4. Sự tương

ứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến tập hợp
số áo 1; 2; 3; 4.
2. Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1
và -5 thuộc Q cho ta tương ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai
số trong Q
3. Các phép đối xứng qua trục, qua tâm,…cũng là những ánh xạ.
4
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
4. Các phép chiếu vuông góc các điểm của đường thẳng (d) xuống đường
thẳng (a) là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đường thẳng (d) đến các điểm thuộc (a).
5. Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tập
hợp ấy bởi các vòng tròn, sự tương ứng biểu thị bởi các mũi tên.
Xét các quy tắc cho tương ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại
sao?
Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ.
Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tương ứng với một và chỉ một phần tử y ∈ Y.
Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ.
Chú ý:
+ Một ánh xạ f: X→Y sao cho ∀x
1
, x
2
∈ X mà f(x
1
) +f(x
2
) thì f được gọi là đơn
ánh hoặc ánh xạ ax –1.(ví dụ (c); (e); (f)).
+ Một ánh xạ f: X→Y sao cho mọi y

∈Yđều có tạo ảnh gọi là toàn ánh hoặc ánh
xạ lên (d, e, f).
+ Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh (e, f) hoặc ánh xạ
1-1 lên.
II.3.2. Định nghĩa hàm số.
A) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số thì
ánh xạ được gọi là hàm số. Như vậy một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một quy
tắc cho mỗi giá trị x
∈
X tương ứng với một và chỉ một giá trị y
∈
Y.
Gọi hàm số này là f, ta viết:
F: X→Y
x

y =f(x)
x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số
5
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị.
Chú ý:
a)X; Y đều là tập số (ánh xạ (f) là một hàm số).
b) Có thể tồn tại những giá trị của Y mà không có giá trị x tương ứng thuộc
X, nhưng không thể có một giá trị của X mà có giá trị nào tương ứng thuộc Y.
c) Quy tắc cho tương ứng trong định nghĩa hàm số có thể được thể hiện bằng
ba cách:

* Dùng bảng:
Ví dụ:
x 1 2 3 4
y -2 -4 -6 -8
* Dùng đồ thị:
d) Các ví dụ về hàm số:
* Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số.
1) f: R R – {0}.
x y = 4/x
2) f: N R

4)
* Các quy tắc khôg phải là hàm số
1) f : R R
6
xyx) 23 =
y
-
3
3
1
2
1
2
-
1
-
2
-
2

-
1
2
-2
-1
1
2
0
1
xyx =
x
yx
2
=
An
N
Bảo
Cường
B
10
9
1
4
1
4
2
3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
2) f : R R

3)
4)
Xét hàm số f: X Y (X, Y ⊂ R)
* X được gọi là tập xác định của hàm số.
Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x được lấy những giá trị nào:
do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định được giá trị
tương ứng của y.
Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây:
tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) ≠ 0.
. tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) ≥ 0.
Ví dụ:
1) Với hàm số
Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x ≠ 2.
Hoặc tập xác định: ∀ x ≠ 2.
2) Với hàm số
TXĐ: Tập tất cả các số x≥ 0.
7
( )
xf
a
y =
( )
xfy =
2
4
−
=
x
y
xy 2=

Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
Hay TXĐ: ∀ x≥ 0.
3) Với hàm số y =  x - 3
TXĐ: ∀ x ≥ 3.
* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x ∈ X; giá trị y=f(x) tương ứng của
hàm số phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng lớn.
Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R. Vì thế người ta nói hàm số
f: X R
x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố:
- TXĐ của hàm số
- Quy tắc xác định hàm số.
Còn tập rất quan trọng ít được sử dụng trong chương trình tính toán THCS đó là
tập giá trị của hàm số.
Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp
X. Đó là tập con của Y và được ký hiệu là f(x).
f(x)= {y∈Y/y=f(x), x∈X}
Ví dụ: 1) Tìm tập giá trị của hàm số
* TXĐ: ∀x ≤ 3, hay là X=(-∞; 3].
• Tập giá trị f(x)=R
+

={y∈R/ y ≥ 0}.
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm giá trị tuyệt đối.
* Giả sử y=f(x) là một hàm số xác định trên tập số D.
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:
f(x) = f(-x) ∀x ∈D và D = [-a; a].
VD: y = x là hàm số lẻ.
Nhận xét:
8

xy −= 3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm lẻ đối xứng
qua gốc tọa độ.
* Tổng đại số của hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm
chẵn (hay lẻ).
* Tích của hai hàm chẵn, hay hàm lẻ là một hàm chẵn. Còn tích của một hàm
chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
II.3.4. Sự biến thiên của hàm số
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D.
a) Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên D, nếu với mọi x
1
,
x
2
∈D ; x
1
< x
2
⇒ y
1
= f(x
1
) < y
2
= f(x
2
)
b) Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên D nếu với mọi x

1
,
x
2
∈D ; x
1
< x
2
⇒ y
1
= f(x
1
) > y
2
= f(x
2
)
Từ định nghĩa của hàm số đồng biến trên D, ⇒ điều kiện tương đương sau :
Y= f(x) đồng biến trên D ⇔
Y= f(x) nghịch biến trên D ⇔
Ví dụ : Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau :
1/ Hàm số y = ax + b với x
1
, x
2
∈ TXĐ ; a ≠ 0
Với a > 0 hàm số đồng biến VD : y = 2x + 3
Với a < 0 hàm số nghịch biến VD : y = - 2x + 3
9
2121

12
12
0 xx;Dx,x
xx
yy
≠∈∀>
−
−
2121
12
12
0 xx;Dx,x
xx
yy
≠∈∀<
−
−
( ) ( )
( )
a
xx
xxa
xx
axax
xx
yy
xx
baxbax
xx
yy

=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
+−+
=
−
−
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
-1
-1
1
1
-2
2

2
3
3
0
x
y
y = x
2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
2/ Hàm số y = ax
2
; a ≠ 0 với x
1
, x
2
∈ TXĐ
Xét tỉ số
+ a > 0 ; x
1
, x
2
∈ (0 ; +∞) Hàm đồng biến.
x
1
, x
2
∈ (-∞ ; 0) Hàm nghịch biến.
II.3.5. Đồ thị của hàm số
Khi xét hàm số y – f

(x)
, điều ta quan tâm là hàm số sẽ nhận giá trị như thế nào
tương ứng với mỗi giá trị của biến số x. Điều đó sẽ được phản ánh trên tập hợp
tất cả các cặp số (x; f
(x)
.
Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f
(x)
); x∈XƯ của tập tích
đề các X.Y trong đó: x∈X; f
(x)z
∈Y.
Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét
khái niệm tích đề các tổng quát ta chỉ xét các cặp số (x, y).
x, y ∈R; x∈X; y∈Y.
Đồ thị của hàm số f được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ
(x; y=f
(x)
) trong mặt phẳng tọa độ.
Để vẽ đồ thị của hàm số y = f
(x)
trước hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy, Ox là trục hoanh, Oy là trục tung. Khi đó mỗi điểm M của mặt phẳng được
xác định bằng hai tọa độ: hoành độ (x), tung độ (y) và ngược lại mỗi cặp tọa độ
(x, y) xác định một điểm của mặt phẳng.
Nói cách khác hệ trục tọa độ Oxy xác định một song ánh giữa cặp số được
sắp (x, y) (x∈R), (y∈R) với một điểm của mặt phẳng tọa độ.
Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hay một tập đoạn đường
cong… Tuy nhiên đa số đồ thị thường gặp trong trường THCS là một tập hợp
10

( )( )
( )
12
12
1212
12
2
1
2
2
12
12
xxa
xx
xxxxa
xx
axax
xx
yy
+=
−
+−
=
−
−
=
−
−
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị

điểm; một đoạn thẳng hay một đường cong liền nét. Để xác định đúng dạng đồ
thị của hàm số, thông thường ta phải nghiên cứu trước các tính chất của nó và
dựa vào tính chất ấy mà phác họa. Sau đó mới chính xác hóa đồ thị bằng một số
điểm của nó.
II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẽ.
* Đồ thị của hàm số chẵn:
* Ta đã biết độ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung vì vậy ta chỉ vẽ
với x≥ 0 sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
* Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
.
TXĐ: (-∞;+∞)
* Đồ thị hàm số lẻ.
• Ta có thể biết đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc
tọa độ vì vậy khi vẽ đồ thị ta chỉ cần vẽ với x ≥ 0,
sau đó lấy đối xứng qua O.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x.
11
-1
1
1
-1-2
-2
2
3
2
3
4
x
y

0
y = x
-1
-2
-2
-1
2
1
2
1
3
4
5
y
x
y = x
2
- 2
y = x
2

y = x
2
+ 1
0
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị
a. phép tịnh tiến.
+ Tịnh tiến thep trục hoành.

Ví dụ: đồ thị hàm số y = f
(x-a)
suy ra từ đồ thị hàm số y = f
(x)
bằng phương
pháp tịnh tiến theo trục hoành
Với a > 0 tịnh tiến theo chiều dương của Ox
Với a < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Ox
Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x ta suy ra đồ
thị hàm số y = x + 1 bằng cách tịnh tiến theo
chiều âm của Ox đi 1 đơn vị.
+ Đồ thị hàm số y = x – 2 bằng
cách tịnh tiến theo chiều dương
của trục hoành đi 2 đơn vị.
+ Tịnh tiến theo trục tung.
Đồ thị hàm số y = f
(x)
+ b được suy ra từ đồ thị hàm số y = f
(x)
bằng cách:
Nếu b > 0 tịnh tiến theo chiều dương của Oy
Nếu b < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Oy
Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x
2
suy ra đồ thị hàm số y
1
= x
2
+1 bằng cách tịnh
tiến theo chiều dương của Oy một đơn vị dài.

12
-2
-1
-2
-1
2
1
2
1
0
3
y
x
y = x
y = x + 1
y = x - 2
-1
-1
-2
-2
-3
-4
0
1
2
3
3
2
1
4

y
x
y=x
2
-2x-3
y=x
2
+2x-3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
Y
2
= x
2
– 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của Oy hai đơn vị dài.
b) Phép đối xứng.
+ Đối xứng qua trục hoành.
Y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành.
Ví dụ: y = 2x và y = -2x.
+ Đối xứng của trục tung.
y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
Ví dụ: y
1
= x
2
+ 2x - 3
và y
2
= x
2

- 2x - 3
13
-1
-2
-2 -1
0
1
1
2
2
y
x
y = 2x
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
II.3.6. Trong chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm đến hai hàm
số y = ax + b và y = ax
2
(a ≠ 0).
II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y =ax + b (a
≠
0).
a/ Tính chất
- TXĐ: R
- Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến.
a < 0 hàm số nghịch biến.
b/ Đồ thị:
Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số
y = ax (a ≠ 0) là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
và điểm A(1; a). Đến lớp 9, do mở rộng tập Q R ( Tập số y = ax đã được

chứng minh là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a). Suy ra đồ thị
hàm số y =ax + b bằng cách tịnh tiến theo trục tung, đồ thị hàm số y = ax; đồ thị
hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Ta biết rằng qua 2 điểm phân biệt ta hoàn toàn xác định được một và chỉ
một đường thẳng. Vì vậy để vẽ được đồ thị của hàm số y = ax + b tức là xác định
được đường thẳng (D) có phương trình y =ax + b, ta thường xác định hai điểm sau:
+ Giao điểm của (D) với các trục tọa độ
Trục hoành: A(-b/a; 0)
Trục tung: B(0; b)
+ a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (D)
+ b gọi là tung độ góc của (D).
Trong hệ tọa độ vuông góc thì hệ số góc a của (D) là tang của góc x tạo
bởi đường thẳng (D) với chiều dương của trục hoành.
14
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
- Nếu a > 0: góc tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương Ox là góc nhọn. a càng
lớn độ lớn của góc càng lớn nhưng đều nhỏ hơn 90
0
.
- Nếu a < 0: góc tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương Ox là góc tù. a càng lớn
thì góc x càng lớn nhưng đều nhỏ hơn 180
0
và lớn hơn 90
0
.
Chú ý:
+ Trong trường hợp đặc biệt a = 0 ta có hàm lũy số y = b, đồ thị của nó là
đường thẳng vuông góc với trục tung.
+ Trong trường hợp các giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ quá gần

nhau, ta thay giao điểm của đồ thị với trục hoành bởi một điểm khác: M(x
1
;
ax
1
+ b).
c/ Để xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b theo các điều kiện
đã cho:
- Đường thẳng y = ax + b đi qua A(x
1
; y
1
)
⇔ y
1
= ax
1
+b.
- Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm: A(x
1
; y
1
); B(x
2
; y
2
)
⇔ y
1
= ax

1
+ b
y
2
= ax
2
+ b
- Đường thẳng y =ax +b song song với đường thẳng y =a
’
x + b
’
khi và chỉ
khi a = a
’
; b ≠ b
’
.
d) Tọa độ các giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b
và y = a
’
x + b
’
là nghiệm của hệ phương trình: y =ax + b
y = a
’
x + b
,
e) Hai đường thẳng: (D): y = ax + b và
(D
’

): y = a
’
x + b
’
trên cùng một hệ tọa độ vuông góc có các vị trí sau:
15
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
(D)// (D
’
) ⇔ a = a
’
; b ≠ b
’
(D) cắt (D
’
) ⇔ a ≠ a
’

(D) ⊥ (D
’
) ⇔ aa
’
= -1
(D)≡ (D
’
) ⇔ a = a
’
; b = b
’

f) Các ví dụ:
1. Viết phương trình đường thẳng :
* Song song với đường thẳng y = x + 2 và đi qua điểm M(1; 2).
* Vuông góc với đường thẳng y = x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung
độ là 2.
Giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b
* Do đường thẳng này song song với đường thẳng y = x + 2 nên a = 1 và
b ≠ 2.
Do đường thằng này đi qua điểm M(1, 2) nên với x = 1, y = 2 thay vào ta
có: 2 = 1.1 + b nên b = 1.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1.
* Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng y = x – 3 nên: a.1 =
-1 suy ra a = -1.
Do đường thẳng cần tìm cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 nên x = 0; y
= 2 thay vào ta có: 2 = -1.0 + b.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = -x + 2.
* Vẽ đồ thị của các hàm số trên một hệ tọa độ.
16
-1
-2
-2 -1
2
1
2
1
3
4
y
x0
y = x+ 2

y = x+ 1
-1
-2
-2
-1
2
1
2
1
3
4
y
x0
y = - x+ 2
y = x - 3
-3
3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
2/ Cho hai đường thẳng: y = (m
2
+ 1) x + m (d
1
)
y = 2mx + m – 2 (d
2
)
Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d
1
) và (d

2
) song song với nhau.
Điều kiện để d
1
// d
2
là:
m
2
+ 1 = 2m m
2
- 2m + 1 = 0
m ≠ m – 2 ⇔ m ≠ m – 2
⇔ m = 1
m ≠ m – 2
Phương trình các đường thẳng (d
1
) : y = 2x + 1
(d
2
) : y = 2x – 1
II.3.6.2. Hàm số y = ax
2
(a
≠
0)
a. Tính chất:
+ TXĐ: R
+ Chiều biến thiên: a > 0: hàm số đồng biến trong R
+

a < 0: hàm số đồng biến trong R
-
a > 0: hàm số nghịch biến trong R
-
a < 0: hàm số nghịch biến trong R
+
17
-1
-1
1
1
-2
2
2 3
3
0
x
y
y = 2x
2
4
5
6
7
8
-1
1
-2
2
x

-8
-6
-5
3
-4
-7
y
y = - 2x
2
-3
-2
-1
0
1
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
x = 0 thì y = 0.
b. Đồ thị hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) có đồ thị là đường Parabol với các đặc điểm
sau:
+ Đỉnh là gốc tọa độ: O
(0;0)
+ Trục đối xứng là trục: Oy
+ a > 0: Parabol quay bề lõm lên phía trên, nhận gốc tọa độ làm điểm cực
tiểu ( thấp nhất)
( nằm phía trên trục hoành)
+ a < 0: Parabol quay bề lõm xuống phía dưới, nhận gốc tọa độ làm điểm
cực đại (cao nhất)
(nằm phía dưới trục hoành).

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) ta cần xác định 1 số điểm để vẽ đường cong
(ít nhất là 3 điểm) với x > 0. Sau đó lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ:
1)
y = 2x
2
x = 0; y = 0
x =1; y = 2
x =1/2; y = 1/2
x = 2; y = 8
2)
y = -2x
2
x = 0; y = 0
x = 1; y = - 2
x = 1/2; y = -1/2
x = 2; y = 8
18
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa Parabol y = ax
2
và đường thẳng y = mx + n.
Tọa độ giao điểm cùa Parabol y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm
của hệ phương trình:
mx + n = y (d)

ax
2
= y (p).
a. Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx +
n là nghiệm của phương trình ax
2
= mx + n.
Tức là: ax
2
– mx – n = 0 (1)
* Nếu phương trình (1) có
∆
> 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt, đường
thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
* Nếu phương trình (1) có
∆
< 0 thì (1) vô nghiệm, đường thẳng (d) tiếp
xúc với Parabol (P).
(Tức là đường thẳng (d) có một điểm chung duy nhất với Parabol và
Parabol nằm về một phía của đường thẳng).
Lưu ý:
Đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với Parabol
nhưng ta không gọi là tiếp xúc với Parabol.
a. Các ví dụ:
19
-1
-1
1

1
-2
2
2
3
3
0
x
y
y = x
2
-2
4
y = 2x - 1
y = x + 1
y = -x - 2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
1/ Xác định vị trí của Parabol y = x
2
với các đường thẳng sau:
+ y = x + 1
+ y = 0
+ y = -x -2
+ y = 2x -1
Giải:
+ Xét phương trình x
2
– x –1 = 0 ta có:

∆
= 1 + 4 = 5 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đường thẳng y=x+1 cắt Parabol y =x
2
tại hai điểm.
+Xét phương trình x
2
= 0 có nghiệm kép x
1
= x
2
= 0.Đường thẳng y = 0 tiếp xúc với
Parabol y = x
2
tại gốc tọa độ (trục hoành)

+ xét phương trình x
2
+x +2 = 0 ta có
∆
= 1- 8 < 0 phương trình vô nghiệm ,đường
thẳng y = -x –2 không cắt Parabol y =x
2
…
+ Xét phương trình : x
2
– 2x + 1 = 0.

⇔
(x – 1)

2
= 0
⇔
Phương trình có nghiệm kép : x
1
= x
2
= 1.
Đường y = 2x – 1 tiếp xúc với Parabol tại điểm có hoành độ bằng 1.
20
nxy
x
y
+−==
2
1
2
2
-2
-1
1
1
-2
2
2
3
3
x
2
2

x
y =
0
-1
y
y = - 0,5x + 1
-2
-1
1
1
-2
2
2
3
3
x
2
2
x
y =
0
-1
y
y = - 0,5x + 1
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
2/ Cho Parabol và đường thẳng
a)Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với Parabol.
b) Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm.
c)Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng với Parabol nếu n = 1.

Vẽ đồ thị của Parabol với đường thẳng trong trường hợp ấy .
Giải:
Xét phương trình
⇔
x
2
+x –2n = 0 (2)
+ Điều kiện đểdddường thẳng tiếp xúc với Parabol là phương trình (2) có nghiệm
kép .
∆
=1 +8n;
∆
=0
⇔
n =
Khi đó đường thẳng có phương trình là
+ Điều kiện đẻ đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm làphương trình (2) có hai
nghiệm phân biệt ;tức là
∆
> 0
⇔
n >
+ Với n = 1 phương trình (2) có dạng : x
2
+ x – 2 =0

⇔
( x + 2 )( x – 1 ) = 0

⇔

x
1
= -2 ; x
2
= 1.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng
y = -
2
1
x + 1 và Parabol y = là
A(-2;2) và B (1;
2
1
)
II.4.Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục.
II.4.1 Những sai lầm.
+ Một số học sinh không phân biệt được đâu là hàm số , đâu là sự tương ứng (học
sinh lớp 7 ).
21
8
1
−
8
1
2
1
−−=
xy
8
1

−
nx
x
+−=
2
1
2
2
2
x2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
+ Nhiều học sinh không biểu diễn dược một điểm trên mặt phẳng tọa độ (học sinh
lớp 7 ).
+Học sinh còn mắc phải sai lầm trong việc xác định tọa độ của một điêmtrong mặt
phẳng tọa độ.
+ Việc tìm mối liên hệ giữa đường bậc hai (phương trình bậc hai ) và đường bậc
nhất ( y = ax + b ) nhiều học sinh còn lúng túng.Vì vậy khi giải hệ phương trình
còn khó khăn.
II.4.2.Cách khắc phục.
+ Cho học sinh nhìn nhận dưới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ thị .
+ Giải thích vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa vào ?? ).
+ Khi dạy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hướng dẫn thật kỹ cách biểu diễn một
điểm trên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên cùng một
mặt phẳng tọa độ, cho học sinh quan sát một số cách biểu diễn sai để học sinh
nhận xét và rút kinh nghiệm cho bản thân.
+ Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đường bậc hai (y = ax
2
) và
đường bậc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiện nghiệm của phương

trình bậc hai:
ax
2
= mx + n ⇔ ax
2
- mx – n = 0.
+Học sinh nắm thật chính xác về sự biến thiên của hàm số dạng của đồ thị.
II.5. Ứng dụng của hàm số và đồ thị .
1/ Giải phương trình .
2/ Giải hệ phương trình.
3/ Bất phương trình chứa tham số.
4/ Tìm cực trị.
5/ Giải bài toán về chuyển động đều.
II.6. Các dạng bài tập.
22
y = 2x - 2
-2
-1
1
1
-2
2
2
3
3
x
y
2
2
x

y =
0
-1
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
+ Nhận biết một quy tắc tương ứng có là hàmsố không?
+ Tính giá trị của hàm số .
+ Tìm tập xác định của hàm số .
+ Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Mối tương quan giữa hai đồ thị của hai hàm số.
+ Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị.
+ Giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
+ Họ đường thẳng, Parabol đi qua một điểm cố định.
+ Tìm cực trị của một hàm, một biểu thức.
+ Tìm diện tích của hình giới hạn bởi các đường thẳng.
+ Khảo sát hàm số.
+ Chứng minh sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong khoảng nào đó?
II.7. Một số ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho Parabol y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n
Xác định các hệ số a, m, n biết rằng Parabol đi qua A
(-2;2)
; Đường thẳng đi qua B
(1;0)
và tiếp xúc với Parabol.
Giải:
Vì Parabol y = ax
2

(a ≠ 0) đi qua điểm A
(-2;2)

nên 2= a.(-2)
2
⇒
Vậy Parabol có dạng
Nên phương trình có nghiệm kép
⇔ ∆ = m
2
- 2m = 0 ⇒ m
1
= 0; m
2
= 2
Ta có hai trường hợp :
a/ m = 0 đường thẳng y = 0
23
2
1
=
a
2
2
1
xy
=
0
2
1

2
=+−
mmxx
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
tọa độ tiếp điểm là (0;0)
b/ m = 2 đường thẳng là y = 2x – 2
tọa độ tiếp điểm là (2;2)
Ví dụ 2:
Vẽ đồ thị hàm số: y = x - 1+ x - 2
Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của y .
Giải :
- 2x + 3 với x < 1
Ta có : y = x - 1+ x - 2= 1 với 1 ≤ x ≤ 2
2x – 3 với x > 2
Xét từng khoảng : x < 1 ; 1 ≤ x ≤ 2; x > 2 .
Vẽ đồ thị :

* Căn cứ vào đồ thị ta có :
Min y = 1 với 1 ≤ x ≤ 2.

II.8. BÀI DẠY MINH HỌA:
TIẾT 49 : ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
2
(a ≠ 0)
A/ Mục tiêu cần đạt :
- Học sinh biết được dạng của đồ thị hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) và phân biệt được chúng
trong hai trường hợp a > 0 , a < 0.

- Nắm vững tính chất của đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với tính chất của
hàm số.
- Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
- Rèn tính cẩn thận, trung thực cho học sinh.
24
-1
-2
-2
-1
2
1
2
1
3
4
y
x0
y = -x- 3
y = 2x- 3
3
-1
-1
1
2
-2
4
2
3

6
0
x
y
-2
8
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
B/Chuẩn bị của GV – HS :
- GV: Bảng phụ, kẻ sẵn bảng giá trị của hàm số y = 2x
2
;
Đề bài ;
- HS :Ôn lại kiến thức “Đồ thị hàm số y = f(x)”
Cách xác định một điểm của đồ thị, giấy kẻ ô li, thước kẻ, máy tính bỏ túi.
Bảng phụ nhóm kẻ sẵn ô vuông.
C/ Tiến trình tiết dạy :
I. Ổn định tổ chức:
II. Kiểm tra bài cũ :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Gọi hai HS lên bảng cùng một lúc :
HS1: a/ Điền vào ô trống các giá trị
tương ứng của y trong bảng sau:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=2x
2
18 8 2 0 2 8 18
Hai HS lên bảng :
HS 1:
a/ Lên bảng điền

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
b/ Hãy nêu tính chất của hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
HS2 :
a/ Hãy điền vào những ô trống các giá trị
tương ứng của y trong bảng sau
x -4 -2 -1 0 1 2 4
-8
-2 0 -2 -8
b/ Hãy nêu tính chất của
hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
HS2:
a/ Lên bảng điền
b/ Nêu nhận xét rút ra sau
khi học hàm số y = ax
2

(a ≠ 0)
Cả lớp cùng làm sau đó
25
2
2
1
xy −=
?1 ?3
2
2

1
xy −=
2
1
−
2
1
−