Giải pháp ôn thi đại học môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.18 MB, 331 trang )
1
Lời giới thiệu.
Toán học được mệnh danh là ông vua của khoa học tự nhiên. Có lẽ vì vậy mà
trong chương tr
ình h
ọc c
ũng như trong các kì thi, đ
ặc biệt là kì thi
Đ
ại Học, môn
Toán luôn đóng một vai trò rất quan trọng. Để đồng hành cùng các s
ĩ t
ử trong kì
thi đại học năm 2014, câu lạc bộ Thủ khoa 24/7 chúng tôi xin được giới thiệu tới
bạn đọc cuốn "Giải pháp Toán học 2014". Được đúc kết từ kinh nghiệm của
những thủ khoa đại học, những học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế môn Toán, chắc
chắn cuốn sách sẽ mang đến cho bạn đọc những trải nghiệm hoàn toàn khác biệt
về các phương pháp, các tư duy giải toán mà chúng tôi đưa ra. Trong quyển 1,
chúng tôi sẽ trình bày 6 chuyên
đ
ề:
Chuyên đề 1:Hàm số - Tác giả: Phạm Thế Dương, giải Nhì học sinh giỏi quốc gia
môn toán năm 2013
Chuyên đề 2: Lượng giác - Tác giả: Lê Trung Hiếu, giải Nhì học sinh giỏi quốc
gia môn toán năm 2012
Chuyên đề 3: Phương tr
ình
-Hệ phương tr
ình
- Tác giả Nguyễn Đ
ình ThànhCông
, giải Nhì học sinh giỏi quốc gia môn toán năm 2012
Chuyên đề 4. Tích phân - Tác giả: Lê Trung Hiếu , giải Nhì học sinh giỏi quốcgia
môn toán năm 2012
Chuyên đề 5: Số phức - Tác giả Nguyễn Huy D
ũng, gi
ải Nhất học sinh giỏi quốc
gia môn toán năm 2013
Chuyên đề 6: Tổ hợp-Xác suất - Tác giả: Trần Trí Kiên, giải Nhì học sinh giỏi
quốc gia môn toán năm 2013.
Hệ thống ví dụ, bài tập và bài tập tự luyện trong từng chuyên đề được lựa chọn
cẩn thận, có tính chất tiêu biểu. Cách diễn đạt trong từng chuyên đề thể hiện được
phong cách riêng của mỗi tác giả. Với những đặc điểm đó, cuốn sách chắc chắn
sẽ đáp ứng đượcnhu cầu đọc sách toán của các sĩ tử sẽ thi đại học năm tới trên
toàn quốc.
Dù được biên soạn cẩn thận nhưng chắc chắn cuốn sách không thể tránh khỏi
những khiếm khuyết. Các tác giả rất vui mừng nếu bạn đọc có những phản hồi,
những góp ý về cuốn sách này.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về fanpage "Luyện Thi Cùng Câu Lạc Bộ Thủ Khoa
24/7".
Xin chân thành cảm ơn.
2
MỤC LỤC Trang
Chương I: Hàm số và các bài toán……………………………………………… 3
Chương II: Lượng giác ………………………………………………………… 43
Chương III: Phương tr
ình
– Hệ phương tr
ình ……………………………………. 74
Chương IV: Tích phân ……………………………………………………………172
Chương V: Số phức ……………………………………………………………….251
Chương VI: Tổ hợp – Xác suất ………………………………………………… 290
3
CHƯƠNG I
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
* * *
Cấu trúc chung của bài khảo sát hàm số:
*) Tập xác định của hàm số.
*) Sự biến thiên.
− Chiều biến thiên: + Tính y’.
+ Giải phương tr
ình
y’ = 0.
+ Các khoảng đồng biến, nghịch biến.
− Cực trị.
− Giới hạn và tiệm cận.
− Bảng biến thiên.
*) Đồ thị.
Toàn bộ phần này chỉ 1 điểm và chia thành rất nhiều ý nhỏ nên giám khảo sẽ
chấm theo điểm trừ. Chỉ cần một lỗi nhỏ c
ũng có th
ể mất 0,25 điểm.
Yêu cầu của đồ thị: Vì toán yêu cầu độ chuẩn xác hơn tính thẩm mỹ nên các
bạn cần lưu
ý:
− Đồ thị phải trơn, liền nét, không tô mạc, không tẩy xóa. Kinh nghiệm khi đi
thi là các bạn vẽ một đường rất mờ bằng bút chì sau đó dùng bút viết vẽ lại. Như
thế đồ thị sẽ chuẩn và đẹp hơn.
− Cần chú ý tính đối xứng của đồ thị.
− Chú ý tới các điểm đặc biệt để lấy khung vẽ đồ thị như: Điểm đối xứng, các
cực trị, giao điểm đồ thị với trục tung và trục hoành, các điểm nguyên…
Đề thi đại học những năm gần đây chỉ ra với ba loại hàm số là: Hàm bậc ba,
hàm bậc bốn trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Do vậy ta
c
ũng ch
ỉ quan tâm ba loại hàm số này.
1.HÀM SỐ BẬC BA
Hàm số bậc ba có dạng chung
3 2
y ax bx cx d
với
0a
.
1.Bài toán về điều kiện tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trong khoảng
cho trước.
Bài 1: Cho hàm số:
3 2
– 3 3 1 1y x mx m x
. Với m là tham số.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
b. Tìm m
đ
ể hàm số đồng biến trong khoảng (0; + ∞).
Giải:
a. Khi m = 2, hàm số đ
ã cho có d
ạng:
3 2
– 6 9 1.y x x x
4
*) Tập xác định:
D
.
*) Sự biến thiên.
− Chiều biến thiên:
2
’ 3 –12 9y x x
.
’ 0y
⇔
1
3
x
x
.
+ ) Các khoảng đồng biến: (−∞; 1) v
à (3; +
∞).
+ ) Khoảng nghịch biến: (1; 3).
- Giới hạn:
lim
x
y
và
lim
x
y
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại khi
1, 5
c
đ
x y
.
Hàm số đạt cực tiểu khi
3, 1
ct
x y
.
B
ảng biến thiên
x
−∞ 1 3 + ∞
y’
+ 0 − 0 +
y
5 + ∞
−∞ 1
*) Đ
ồ thị.
f(x)=x^3-6x^2+9x+1
-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
Nh
ận xét
: Đ
ồ
th
ị đi qua điểm (0;1) và nhận điểm (2;3) làm tâm đối xứng.
b.
3 2
3 3 1 1y x mx m x
.
5
2
’ 3 6 3 1y x mx m
.
Hàm số đ
ã cho đ
ồng biến trong
0;
khi và chỉ khi
’ 0 0;y x
⇔
phương tr
ình
’ 0y
vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm
1 2
,x x
đều
0
.
Ta có:
2
’ 9 1m m
+ ) Phương tr
ình
’ 0y
vô nghi
ệm hoặc có nghiệm kép
⇔
’ 0
gi
ải ra ta được
1 5 1 5
2 2
m
+ ) Xét trường hợp
’ 0
lúc đó
1 5
2
m
hoặc
1 5
2
m
. Phương tr
ình
’ 0y
có hai nghiệm
0
⇔
0m
và
1 0m
⇔
1 0.m
Vậ y
5
1
1
2
m
Kết luận:
5
1
1
2
m
Nhận xét:
− Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn chính là nghiệm của y’’, ha y
c
ũng chính là trung đi
ểm hai cực trị(nếu có) làm tâm đối xứng.
− Đối với dạng bài toán tìm
đi
ều kiện của m để hàm số đồng biến đồng biến,
nghịch biến trong khoảng nào đó ta chỉ cần tính y’ sau đó biện luận để y’ có giá
trị âm, dương trong khoảng đó. Chú ý đến nghiệm của phương trình y’ = 0 và áp
dụng định lý Viet, có thể dùng đến bảng biến thiên để xét dấu y’. Ta Xét thêm một
số ví dụ, vẫn sử dụng hàm số trên.
Tìm
đi
ều kiện của m để:
c.Hàm số đồng biến trong khoảng (0;2).
d. Hàm số nghịch biến trong khoảng (−1;0).
Giải
Ta có y’ = 3x
2
– 6mx + 3(m + 1).
y’’ = 6x – 6m. y’’ = 0
⇔
x = m. Hàm số y’
(x)
nghịch biến trong khoảng
(−∞;m) v
à đ
ồng biến đồng biến trong khoảng (m; + ∞).
Bảng biến thiên:
x
−∞ m + ∞
y’’
− 0 +
y’
+ ∞ + ∞
2
3 3 3m m
6
c.Hàm số đồng biến trong
0;2
khi và chỉ khi
’ 0 0;2y x
.
Nếu
0;2m
thì hàm số đơn điệu trong khoảng
0;2
. Điều kiện trên
tương đương với
)0(
’ 0y
và
)1(
’ 0y
⇔
1m
và
5
3
m
ta được
1;0m
.
Nếu
0;2m
thì
đi
ều kiện trên tương đương với
’ 0 0, ’ 2 0y y
và
2
3 3 3 0m m
giải ra ta được
1 5
2
0; .m
Kết hợp hai kết quả trên ta được
1 5
2
1; .m
d. Hàm số nghịch biến trong khoảng (−1;0) khi v
à ch
ỉ khi y’
≤ 0
1;0 .x
Căn cứ vào bảng biến thiên, điều kiện trên tương đương với
’ 1 0y
và
’ 0 0y
giải ra ta được
1m
.
Nếu yêu cầu bài toán là tìm m
đ
ể hàm số đơn điệu trong khoảng (a;b. thì ta
tìm
đi
ều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trong (a;b. rồi lấy hợp hai
khoảng nghiệm.
2. Bài toán về điều kiện tham số để hàm số có các cực trị thỏa mãn
đi
ều kiện
cho trước
Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 1y x mx mx
.
m
C
với m là tham số.
Tìm điều kiện của m để
m
C
có cực đại
1 1
;A x y
, cực tiểu
2 2
;B x y
thỏa mãn:
a.
2 1
– 3 4x x
.
b. AB =
2 15
c. Đường thẳng AB tạo với trục hoành một góc 45
0
.
Giải:
Ta có:
2
’ 2 2y x mx m
’ 0y
⇔
2
2 2 0x mx m
. (*)
Đồ thị
m
C
có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương tr
ình (*) có hai nghi
ệm
phân biệt.
⇔
2
’ 2 0m m
⇔
0
2
m
m
(1)
Khi đó, theo h
ệ thức Viet, phương trình (*) có hai nghiệm x
1
< x
2
th
ỏa mãn:
1 2
1 2
2
. 2
x x m
x x m
(2)
a.Từ (2) ta có x
1
+ x
2
+ x
1
x
2
= 0. Kết hợp với
2 1
– 3 4x x
suy ra
7
2
1 1
3 8 4 0x x
⇔
1
1
2
3
2
x
x
−
1
2
3
x
⇒
2
2x
⇒
2
3
m
.
−
1
2x
⇒
2
2x
, không thỏa mãn
Kết luận:
2
3
m
.
b.Ta có: y =
2 2
1 2 2
'( ) (2 ) 1
3 3 3
y x m m m x m
.
Do đó y
1
− y
2
=
2
1 2
2
(2 )( )
3
m m x x
AB
2
=
2 2 2
1 2
4
(2 ) 1 ( )
9
m m x x
=
2 2 2
4
(2 ) 1 (4 8 )
9
m m m m
Ta có AB =
2 15
⇔
2 2 2
4
(2 ) 1 (4 8 )
9
m m m m
= 60
Đặt
2
2m m t
. Phương tr
ình trên tr
ở thành
2
4
1 15
9
t t
⇔
3.t
Suy ra đều thỏa mãn
đi
ều kiện (1)
Kết luận:
3m
hoặc
1m
.
c.Đường thẳng AB tạo với trục hoành một gó 45
0
khi và chỉ khi nó có hệ số góc là
1 hoặc −1. Điều kiện này tương đương với:
1 2 1 2
x x y y
⇔
2 2
4
(2 ) 1
9
m m
.
Giải ra ta được
2 10
2
2 10
2
m
m
đều thỏa mãn
đi
ều kiện (1).
Nhận xét:
8
− Đôi khi các bạn làm bài chỉ rút ra hệ thức liên hệ của
1 2
,x x
theo hệ thứ Viet
mà quên không tìm
đi
ều kiện để
1 2
,x x
tồn tại là một điều rất tối kị khi làm bài .
Như câu a ở trên có thể không cần tìm
đi
ều kiện (1) vẫn giải ra kết quả đúng
nhưng chắc chắn sẽ vẫn bị trừ điểm.
− Đối với dạng bài toán tìm
đi
ều kiện của m để hàm số có cực trị tại
1 2
,x x
thỏa mãn một hệ thức nào đó với biến
1 2
,x x
thì nếu biểu thức đó đối xứng đối với
1 2
,x x
thì ta biến đổi về dạng tổng và tích sau đó thế Viet vào giải ra tìm m. Còn
trường hợp biểu thức không đối xứng như ở câu a. thì h
ư
ớng giải của ta là từ hệ
thứ Viet tìm một biểu thức liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ thuộc vào m. Sau đó kết
hợp với biểu thức đ
ã cho gi
ải ra ta tìm
đư
ợc
1 2
,x x
. Sau đó thế vào tính m.
− Đối với dạng bài có liên quan tới đường thẳng đi qua hai cực trị thì ta
chia đa thức y cho đa thức y’, có thể có phần dư. Lúc đó biểu diễn hai điểm cực trị
sẽ gọn hơn.
Bài 3: Cho hàm số:
3 2
2 3( 1) 6m my x x x
m
C
với m là tham số.
Tìm
đi
ều kiện của m để đồ thị hàm số đ
ã cho có hai c
ực trị A, B thỏa mãn:
a.Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d:
1y x
b.Khoảng cách từ
1;2 I
đến AB là lớn nhất.
c.Đường thẳng AB cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại C, d sao cho tam giác
OCD có diện tích bằng 18.
Giải:
Ta có: y’ =
2
6 6( 1) 6x m x m
.
’ 0y
⇔
1x
hoặc
x m
.
Hàm số đ
ã cho có hai c
ực trị khi và chỉ khi
1m
(*).
Khi đó hai cực trị là
1;3 1A m
và
3 2
; 3 .B m m m
a.
AB
= (m−1;−m
3
+ 3m
2
−3m + 1).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
u
(1;1). Ta có AB và d vuông góc với nhau
khi và chỉ khi
. 0AB u
⇔
3
1 1m m
. Giải ra ta được
0m
,
1m
,
2m
kết hợp điều kiện (*) ta được
0m
hoặc
2m
.
Kết luận:
0m
hoặc
2m
.
b.Do m≠1 nên phương trình đường thẳng AB có dạng:
2
2
1y m x m m
4
1
3
(
;
1) 1
m
m
d I AB
.
9
Ta có
4 2
1 1 2 1m m
. Suy ra
2
2
;
3
d I AB
.
Dấu “ = ” xả y ra khi và chỉ khi
2
1 1m
⇔
0m
hoặc
2m
.
Kết luận:
0m
hoặc
2m
.
c.Đường thẳng AB cắt trục tung và trục hoành lần lượt tại C, d có tọa độ tương
ứng là
2
0;m m
và
2
2
;0
( 1)
m m
m
.
Diện tích tam giác OCD bằng 18 khi và chỉ khi:
2 2
2
( )
( 1)
m m
m
= 36
⇔
4 3 2
2
2 35 72 36 0
( 2)( 3)( 7 6) 0
2
3
7 73
2
m m m m
m m m m
m
m
m
Kết luận: Có 4 giá trị của m thỏa mãn
2m
,
3m
,
7 73
2
m
.
3. Một số bài toán liên quan tới tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 2y x x
(C)
Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại
M vuông góc với đường thẳng d: x + my + 1 = 0.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
; 1 .u m
Ta có y’ =
2
3 6x x
. Tiếp tuyến
∆ c
ủa (C) tại điểm M có hoành độ t có vectơ
chỉ phương là
2
(1;3 6 )v t t
.
∆ vuông góc với d khi và chỉ khi:
. 0u v
⇔
2
3 6m t t
(*).
Tồn tại điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc d khi và chỉ khi
phương tr
ình (*) có nghi
ệm.
Xét hàm
2
2
3 6 . 3 1 3 3f t t t f t t
lim
x
và
f t
là hàm liên tục nên phương tr
ình (*) có nghi
ệm khi và chỉ khi
3t
.
Kết luận:
3t
.
10
Chú ý: Có thể vẽ hẳn bảng biến thiên của hàm
f t
để xét.
Bài 2: Cho hàm số y =
3 2
3 1x x mx
(C
m
) Với m là tham số.
Tìm các giá trị của m sao cho trên (C
m
) tồn tại điểm M thỏa mãn tiếp tuyến tại M
tạo với trục hoành một góc 45
0
.
Giải:
Ta có:
2
’ 3 6y x x m
. H
ệ số góc tiếp tuyến d tại m có hoành độ t là
k = 3t
2
−6t + m.
Giả thiết tồn tại điểm M trên (C
m
) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với trục hoành góc
45
0
tương đương với điều kiện phương tr
ình sau có nghi
ệm:
2
3 6 1t t m
. (1)
Xét hàm
2
3 6t t mf t
.
f t
là hàm liên tục.
Ta có:
2
3 1 3 3f t t m m
và
lim ( )
x
f x
nên phương tr
ình (1) có nghi
ệm khi và chỉ khi
3 1m
⇔
4m
.
Kết luận:
4m
.
Bài 3: Cho hàm số y =
3
3 2x x
. (C)
Viết phương tr
ình ti
ếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng −14.
Giải:
Ta có y’ = 3x
2
– 3. Phương tr
ình ti
ếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t là:
2 3
3 3 3 2y t x t t t
.
Tiếp tuyến này đi qua điểm (0;−14) khi v
à ch
ỉ khi:
2 3
(3 3) 3 2 14t t t t
⇔
3
8t
⇔
2.t
Phương tr
ình ti
ếp tuyến là: y = 9x−14.
Bài 4: Cho hàm số: y =
3 2
1
( 1) 1
3
x mx m x
. (C
m
) Với m là tham số.
Tìm
đi
ều kiện của m để trên (C
m
) tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Giải:
Ta có: y’ =
2
2 ( 1)x mx m
.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ chúng có tích hệ số góc bằng −1.
Do đó điều kiện bài toán tương đương với tồn tại
1 2
,x x
sao cho:
11
1 2
'( ). '( ) 1y x y x
(*).
Ta có: y’ =
2 2 2 2
2 1 ( ) 1 1x mx m x m m m m m
.
y’(x) là hàm liên tục và
lim '
x
y
nên điều kiện (*) ⇔
2
1 0m m
.
⇔
1 5
2
1 5
2
m
m
Kết luận:
1 5
2
m
hoặc
1 5
2
m
Bài 5: Cho hàm số: y = x
3
− 3x
2
+ 6x + 2. Có đồ thị (C)
và đường thẳng d: y = mx + 3. Tìm các giá trị của m để d tiếp xúc (C)
Giải:
Ta có: y’ =
2
3 6 6x x
.
d tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hai phương tr
ình bi
ến x sau có nghiệm chung:
2
3 6 6x x m
(1)
Và
3 2
3 6 2 3x x x mx
(2)
Thế (1) vào (2) ta được
3 2
2 3 1 0x x
⇔ x = 1 hoặc x =
1
2
- x = 1 ⇒ m = 3
- x =
1
2
⇒ m =
39
4
.
Kết luận: m = 3 hoặc m =
39
4
Lưu
ý
: Điều kiện để đường cong (C): y = f(x) tiếp xúc với đường thẳng d: y = ax
+ b là hai phương tr
ình sau có nghi
ệm chung:
f’(x) = a (1)
f(x) = ax + b (2)
Bài 6: Cho hàm số:
3
6 2y x x
(C)
Tìm hoành
đ
ộ điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Giải:
12
Điểm M thuộc (C) có tọa độ dạng M
3
( ; 6 2)m m m
.
Ta có
2
' 3 6y x
.
Phương tr
ình ti
ếp tuyến tại điểm có hoành độ t là:
2 3
(3 6)( ) 6 2y t x t t t
Tiếp tuyến đi qua m khi và chỉ khi
2 3 3
(3 6)( ) 6 2 6 2t m t t t m m
⇔
2
( ) ( 2 ) 0m t m t
⇔
2
t m
m
t
.
Hệ số góc của hai tiếp tuyến qua m là:
2
1
3 6k m
và
2
2
3
6
4
k m
.
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
2 2
3
(3 6)( 6) 1
4
m m
⇔
4 2
9 90 148 0m m
⇔
15 77
3
15 77
3
m
m
4. Bài toán biện luận phương tr
ình liên quan t
ới hàm số bậc ba
Bài 1: Cho hàm số y =
3 2
(2 1) 3x m x mx m
(C
m
) Với m là tham số
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b.Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Giải:
a.Các bạn tự giải.
b. (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương tr
ình
3 2
(2 1) 3 0x m x mx m
(*)
Có ba nghiệm phân biệt.
Ta có (*) ⇔
2
1 2 0x x mx m
Phương tr
ình (*) có ba nghi
ệm phân biệt khi và chỉ khi phương tr
ình:
2
2 0 x mx m
(**)
có hai nghiệm phân biệt khác 1.
13
⇔
' 2
1
1 2 0
1
0
0
m
m m
m
m m
m
< ⇒ m > 1 hoặc m < 0.
Kết luận: m > 1 hoặc m < 0.
Bài 2: Cho hàm số: y =
3 2
2 3 1x x
.
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đ
ã cho.
b.Tìm các giá trị của m để phương tr
ình
3 2
2 3 1x x m
có đúng hai nghiệm.
c.Tìm các giá trị của m để phương tr
ình
3 2
2 3 1x x m
có đúng 4 nghiệm
phân biệt.
Giải:
a.Ta có:
y =
3 2
2 3 1x x
*) Tập xác định:
D
*) Sự biến thiên
− Chiều biến thiên: y’ =
2
6 6x x
y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
+ ) Các khoảng đồng biến: (−∞;0) v
à (1; +
∞).
+ ) Khoảng nghịch biến: (0;1)
− Giới hạn:
lim
x
và
lim
x
−Cực trị:
+ ) Hàm số đạt cực đại khi x = 0, y
cđ
= 1.
+ ) Hàm số đạt cực tiểu khi x = 1, y
ct
= 0.
−Bảng biến thiên
x
−∞ 0 1 + ∞
y’
+ 0 − 0 +
y
1 + ∞
−∞ 0
*) Đồ thị
14
f(x)=2x^3-3x^2+1
-2 -1 1 2
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
b) Xét hàm số f(x) =
3 2
2 3 1x x
.
Đồ thị (C’) của hàm số y = f(x) được dựng từ đồ thị (C) như sau:
- Phần đồ thị (C) phía trên trục hoành thì (C’) trùng (C)
- Phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành thì (C’)
đ
ối xứng (C) qua trục
hoành.
Ta có đồ thị (C’).
15
f(x)=2x^3-3x^2+1
f(x)=2x^3-3x^2+1
f(x)=-2x^3+3x^2-1
-1 1 2 3
-4
-2
2
4
6
x
y
Số nghiệm của phương tr
ình đã cho chính là s
ố giao điểm của (C’) với đường
thẳng y = m.
Căn cứ vào đồ thị (C’), phương tr
ình đã cho có đúng hai nghi
ệm khi và chỉ khi
m = 0 hoặc m > 1.
c) Phương tr
ình đã cho có 4 nghi
ệm phân biệt khi và chỉ khi phương tr
ì
nh:
3 2
2 3 1 0x x
(*) có đúng hai nghiệm dương phân biệt.
Căn cứ vào đồ thị (C), phương tr
ình (*) có hai nghi
ệm dương phân biệt khi và
chỉ khi 0 < m < 1.
Kết luận: m∈(0;1).
Nhận xét: − Ý c) có thể giải bằng cách dựng đồ thị (C”) của hàm số
3 2
( ) 2 3 1y g x x x
như sau:
Phần đồ thị (C”) nằm bên phải trục tung thì (C”) trùng với (C), sau đó lấy đối
xứng qua trục tung.
16
f(x)=2x^3-3x^2+1
f(x)=-2x^3-3x^2+1
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
x
y
Căn cứ vào số giao điểm của (C”) với đường thẳng y = m ta c
ũng có k
ết quả như
trên.
− Đối với dạng bài biện luận số nghiệm với dấu giá trị tuyệt đối như ở trên thì
hướng giải là ta đi xây dựng đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số gốc ban đầu (bằng việc
lấy đối xứng một cách thích hợp), sau đó dựa vào giao điểm của đồ thị với đường
thẳng y = m để biện luận.
Một số dạng khác:
Bài 1: Cho hàm số: y =
3 2
2 2 1x mx x m
(C
m
) với m là tham số
Tìm
đi
ều kiện của m để trên (C
m
) tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua O.
Giải:
Xét hai điểm A, B trên (C
m
) có tọa độ lần lượt là: A(t;
3 2
2 2 1t mt t m
) và
B(t’;
3 2
' 2 ' 2 ' 1t mt t m
). A và B đối xứng nhau qua O khi và chỉ khi
'
3 2 3 2
0
( 2 2 1) ( ' 2 ' 2 ' 1) 0
t t
t mt t m t mt t m
Rút ra: −4mt
2
+ 2(m−1) = 0 (*)
Trên (C
m
) tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua O khi và chỉ khi phương tr
ình (*) có
nghiệm khác 0.
Dễ thấy (*) vô nghiệm khi m = 0. Xét m≠0
17
(*) ⇔
2
1
2
m
t
m
.
Phương tr
ình này có nghi
ệm khác 0 khi và chỉ khi
1
0
2
m
m
.
Lập bảng xét dấu ta được m > 1 hoặc m < 0.
Kết luận: m > 1 hoặc m < 0.
Bài 2: Cho hàm số:
3 2
3 1y x x mx m
(C
m
)
với m là tham số và đường thẳng d: y = 2x + 1.
Tìm m để d và (C
m
) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng
Giải:
Xét phương tr
ình hoành đ
ộ giao điểm của d và (C
m
):
3 2
3 ( 2) 0x x m x m
(1)
*) Điều kiện cần:
Giả sử phương tr
ình (1) có ba nghi
ệm phân biệt và
1 2 3
, ,x x x
lập thành cấp số cộng,
tức là ta có
1 3 2
2x x x
. Mặt khác theo định lý Viet ta có:
1 2 3
3x x x
.
Từ hai đẳng thức trên suy ra x
2 =
1. Tha y vào (1) ta được m = 2.
*) Điều kiện đủ:
Với m = 2, phương tr
ình (1) có d
ạng:
3 2
3 2 0x x
⇔ x = 1 hoặc x =
1 3
hoặc x =
1 3
. Ba nghiệm này lập thàng một cấp số
cộng.
Kết luận: m = 2
Lưu
ý
: Cần trình bày bài làm d
ư
ới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ để tránh bị
mất điểm đáng tiếc.
Bài 3: Cho hàm số:
3
3 1y x x
(C)
Viết phương tr
ình đư
ờng thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho
x
A
= 2 và BC =
2 2
.
Giải:
Ta có A(2;1).
Nếu đường thẳng d không có hệ số góc thì d: x = 2 cắt (C) tại đúng 1 điểm
không thỏa mãn.
18
Xét phương tr
ình
đư
ờng thăng d có dạng y = k(x−2) + 1. Ph
ương tr
ình hoành
độ giao điểm của (C) và d có dạng:
3
2
3 1 ( 2) 1
( 2)( 2 1 ) 0
x x k x
x x x k
2
2
2 1 0
x
x x k
Điều kiện để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt là phương tr
ình:
2
2 1 0x x k
(*)
Có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Điều kiện này tương đương với:
9
' 1 ( 1) 0
k
k
⇔ k > 0 và k ≠9 (1)
Khi đó phương tr
ình (*) có hai nghi
ệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
1 2
2
. 1
x x
x x k
(**)
Ta có BC = 2
2
⇔
2 2
1 2
( 1)( )k x x
= 8. Từ (**) tha y vào ta được:
2
( 1) 2k k
⇔ k = 1 thỏa mãn
đi
ều kiện (1).
Phương tr
ình đư
ờng thẳng d là y = x + 1
Bài tập tự luyện.
1) Cho hàm số: y =
3 2
1
( 1) 1
3
x m x mx
(1) Với m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) khi m = 0.
b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trong (0; + ∞)
c) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong (0;2)
d) Tìm m để hàm số (1) đơn điệu trong (0;2)
2) Cho hàm số: y =
3 2
( 1) 1x mx m x
(1) với m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −2.
b) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số (1) luôn có hai cực trị x
1
, x
2
. Tìm m
để biểu thức P =
2 2
1 2
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
3) Cho hàm số: y =
3 2 3
3 1
2 2
x mx m
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số đ
ã cho có c
ực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng d: y = x
19
c) Tìm m để hàm số có hai cực trị và đường thẳng đi qua hai cực trị đi qua
điểm M(3;−2)
d) Tìm m để hàm số có hai cực trị và đường thẳng đi qua hai cực trị vuông góc
với đường thẳng d: y = 8x + 16
4) Cho hàm số: y =
3
3 2x x
. (C)
a) Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại điểm thứ hai N
thỏa mãn
6
M N
x x
b) Gọi A, B là hai cực trị của (C) Tìm các
đi
ểm I thuộc (C) sao cho tam giác
IAB cân tại I.
5) Cho hàm số y =
3 2
3x x
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đ
ã cho.
b) Lập phương tr
ình ti
ếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng d: 9x− y + 6 = 0
c) Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm du y nhất:
2
3x x x m
6) Cho hàm số y =
3 2
(1 2 ) (2 ) 2x m x m x m
với m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b) Tìm m để đồ thị hàm số đ
ã cho có hai c
ực trị có hoành độ đều nhỏ hơn
1.
7) Cho hàm số:
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m
.
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại A, cực tiểu B thỏa mãn
OA
2OB
Trong đó O là gốc tọa độ.
8) Cho hàm số: y =
3
3 2x mx
. (C
m
)
Tìm
đi
ều kiện của m để tồn tại tiếp tuyến của (C
m
) tạo với đường thẳng d: y
= −x góc
. Và cos
=
1
26
9) Cho hàm số: y =
3 2
3 4x x
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đ
ã cho.
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng nối hai cực trị của (C) cắt đường
tròn
2 2
( ) ( 2)x m y m
= 9
Tại hai điểm A, B sao cho AB = 4.
10)Cho hàm số:
3 2
1
3
y x x
. (C)
20
Viết phương tr
ình ti
ếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục tung và trục
hoành lần lượt tại A và B sao cho OA = 3OB
11)Cho hàm số
3 2
3 ( 2) 1y x mx m x
. (C
m
)
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d: y = 2x + 1 cắt (C
m
) tại ba
điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến tại A, B, C bằng
10.
12)Cho hàm số
3 2
3 4y x x
(C)
Viết phương tr
ình
đư
ờng thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao
cho M(2;0) và tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau
13)Cho hàm số
3
3 1y x x
. (C)
Tìm
đi
ểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B
thỏa mãn
1
A B
x x
14)Cho hàm số:
3 2
3 ( 1) 1y x x m x
Tìm m để đường thẳng d: y = x + 1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B và C sao cho tam giác bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
OBC bằng
41
2
15)Cho hàm số:
3 2 2 3
3 3( 1) 1y x mx m x m
điểm M(−2;2). T
ìm
m để hàm số đ
ã cho có hai c
ực trị A, B sao cho
0
90AMB
16)Cho hàm số
3 2
( 1) 3 1y x m x x m
Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với hai
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
17)Cho hàm số
3 2
3 2y x mx
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có hai cực trị A, B sao cho đường thẳng AB đi qua
điểm I(1;0)
18)Cho hàm số:
3 2
2 3 1y x mx
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để khoảng đồng biến của hàm số là
1 2
( ; )x x
đồng thời
2 1
1x x
21
19)Cho hàm số
3 2
3 2y x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đ
ã cho
b) Tìm m để đường thẳng d: y = m(x−2) + 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt
A(2;2), B và C sao cho tích hệ số góc tiếp tuyến tại B và C đạt giá trị nhỏ
nhất.
20)Cho hàm số
3 2
( 2) (3 6) 1y m x m x m
Tìm m để đồ thị hàm số đ
ã cho có c
ực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng
đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
1
2
2
y x
ĐÁP SỐ:
1.b. m
3 5
2
c) m
≥0
d) m
≥0 ho
ặc m
2. m =
3
4
3. b. m =
2
c. m = 1 hoặc m = 2
d. m =
1
2
4. a. M(2;4) hoặc M(−2;0)
b. I(
7 1 7
; 2
2 2 2
) và I(
7 1 7
; 2
2 2 2
).
5. b. y = 9x + 5 ; y = 9x−27
c. m < 0 hoặc m > 4
6. m < −1 hoặc
5 7
4 5
m
7. m =
3 2 2
8. m
≥
1
2
9. m = −1 hoặc m = −11
22
10. y = 3x − 9 hoặc y = 3x +
13
3
11. m =
5
3
12.
3 2 2
3
m
13. A(−1;3)
14. m = 1 hoặc m = −4. Sử dụng công thức
4
abc
S
R
15.m = 0 hoặc m = −1
16. m = −1 hoặc m = 3
17.m = ±1
18. m = ±1
19.m = 1
20.m = 3
II. HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG.
Hàm bậc 4 trùng phương có dạng chung y =
4 2
ax bx c
trong đó a,b ≠ 0
Bài 1: Cho hàm số:
4 2 2
2y x mx m m
với m là tham số.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = −1
b. Tìm m để đồ thị hàm số đ
ã cho có ba c
ực trị lập thành một tam giác đều.
c. Tìm m để đồ thị hàm số đ
ã cho có ba c
ực trị lập thành tam giác có diện
tích bằng 32
Giải:
a. Khi m = −1, h
àm s
ố đ
ã cho có d
ạng:
4 2
2y x x
*) Tập xác định:
D
*) Sự biến thiên
− Chiều biến thiên: y’ =
3
4 4x x
y’ = 0⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 1.
+ ) Các khoảng đồng biến: (−1;0) v
à (1; +
∞)
+ ) Các khoảng nghịch biến: (−∞;−1) v
à (0;1)
− Cực trị:
+ ) Hàm số đạt cực đại khi x = 0, y = 0
+ ) Hàm số đạt cực tiểu khi x = −1, y = −1 và x = 1, y = −1.
23
− Giới hạn:
lim
x
− Bảng biến thiên
x
−∞ −1 0 1 + ∞
y’
− 0 + 0 − 0 +
y
+ ∞ 0 +
∞
−1 −1
*) Đồ thị
f(x)=x^4-2x^2
-2 -1 1 2
-2
2
4
6
8
x
y
Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm tâm đối xứng.
b.
4 2 2
2y x mx m m
3
' 4 4y x mx
3
' 0 4 4 0y x mx
⇔ x = 0 hoặc x
2
= −m.
Đồ thị hàm số đ
ã cho có ba c
ực trị khi và chỉ khi m < 0 (*).
Khi đó ba cực trị là A(0;
2
m m
), B(
;m m
) và C(
; )m m
24
2 2
( ; ), ( ; )AB m m AC m m
.
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A. Do đó tam giác ABC đều khi và chỉ khi:
0
( ; ) 60AB AC
⇔
4
4
1
2
m m
m m
⇔ m =
3
3
thỏa mãn (*).
Kết luận: m =
3
3
.
c. S
ABC
= 32 ⇔
2
32m m
⇔ m = −4
Kết luận: m = −4
Bài 2: Cho hàm số: y =
4 2
2x mx m
. Với m là tham số.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b. Tìm m để hàm số đ
ã cho có các c
ực trị đều nằm trên các trục tọa độ.
Giải:
a. Các bạn tự giải.
b. Ta có
3
' 4 4y x mx
.
y’ = 0 ⇔
3
4 4 0x mx
⇔ x = 0 hoặc x
2
= m.
Nếu m ≤ 0 th
ì hàm s
ố đ
ã cho có m
ột cực trị du y nhất nằm trên trục tung.
Xét trường hợp m > 0.
Ba cực trị là A(0;−m). B(
2
;m m m
) và C(
2
;m m m
).
Ba cực trị nằm trên các trục tọa độ khi và chỉ khi
m
2
−m = 0 ⇔ m = 1 do m > 0.
Kết luận: m
≤0 ho
ặc m = 1.
Bài 3: Cho hàm số: y =
4 2
1 3
4 2
x x
(C)
Viết phương tr
ình ti
ếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng d: x −2 y +1 = 0.
Giải:
Ta có y’ = x
3
− 3x.
Tiếp tuyến
∆ c
ủa (C) tại điểm có hoành độ t có vectơ chi phương
3
(1; 3 )u t t
.
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến
(1; 2)v
.
Ta có
∆ vuông góc v
ới d khi và chỉ khi
/ /u v
.
⇔
3
3 2t t
⇔ t = 1 hoặc t = −2.
25
- t = 1. Phương tr
ình ti
ếp tuyến là
3
2
4
y x
.
- t = −2. Ph
ương trình ti
ếp tuyến là
2 2y x
Bài 4: Cho hàm số: y =
4 2
4 2x x
. (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại m, biết tiếp tuyến đó cắt (C) tại hai
điểm A, B khác m sao cho
2
A B
x x
Giải:
Ta có y’ =
3
4 8x x
. Phương tr
ình ti
ếp tuyến
∆ c
ủa (C) tại điểm M có hoành độ t
là:
3 4 2
(4 8 )( ) 4 2y t t x t t t
.
Phương tr
ình hoành đ
ộ giao điểm của (C) và
∆ có d
ạng:
4 2 3 4 2
4 2 (4 8 )( ) 4 2x x t t x t t t
⇔
2 2 2
( ) ( 2 3 4) 0x t x tx t
Hoành độ của A và B là nghiệm của phương tr
ình:
2 2
2 3 4 0x tx t
(*)
Điều kiện cần: Giả sử có
2
A B
x x
. Theo định lý Viet, ta có −2t = −2 ⇔t = 1.
Điều kiện đủ: Với t = 1, phương tr
ình (*) có d
ạng:
2
2 1 0x x
có hai nghiệm phân biệt khác 1 và có tổng hai
nghiệm bằng −2, thỏa mãn.
Kết luận: m = 1
Bài 5: Cho hàm số:
4 2 2
2( 2)y x m x m
(C
m
) với m là tham số.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = −1
b. Tìm m để (C)
m
) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
Giải:
a. Các bạn tự giải.
b. Phương tr
ình hoành
đ
ộ giao điểm của (C
m
) và trục hoành có dạng:
4 2 2
2( 2) 0x m x m
(*)
(C
m
) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
khi và chỉ khi phương tr
ình (*)
có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Đặt t = x
2
Phương trình (*) trở thành:
2 2
2( 2)t m t m
(**).
Phương tr
ình (*) có b
ốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương tr
ình (**) có
hai nghiệm dương phân biệt
