Đề thi HSG huyện Toán 9(11-12)

Đ
Ề THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011
-2012
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Th
ời gian làm bài: 120 phút
C©u 1. Cho a

Z. Chứng minh rằng a
5
- a chia h
ết cho 30.
C©u 2. Cho P =
31 8 5 3 1
8 15 3 5
x x x x
x x x x
    
 
   
a) Rút g
ọn P.
b) Tìm x đ
ể P < 1.
c) Tìm s
ố nguyên
x đ
ể P nhận giá trị nguyên.
Câu 3. a) Giải phương trình: x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)

1
2
x
b) Cho 3 s
ố d
ương a, b, c tho
ả mãn:
2
1
1
1
1
1
1





 cba
.
Tìm giá tr
ị lớn nhất của tích
: M = abc.
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông
ở A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, HM vuông
góc v
ới AB tại M và HN vuông góc với AC tại N.
Chứng minh rằng:
a)

3
AB BM
AC CN
 

 
 
b) AH
3
= BC.MB.CN
Câu 5. Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định, M là một điểm di động trên
đư
ờng chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC. Xác định vị
trí c
ủa M tr
ên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
Ghi chú: Cán b
ộ coi thi không giải thích gì thêm.
H
ọ và tên:
S
ố báo danh:

HƯ
ỚNG
D
ẪN
CH
ẤM

THI H
ỌC
SINH GI
ỎI
HUY
ỆN
NĂM H
ỌC
2011-2012
MÔN: TOÁN 9

C©u 1. (4 đi
ểm)
Phân tích được: a
5
– a = a(a
2
– 1)(a
2
+ 1) = a(a - 1)(a + 1)(a
2
– 4 + 5) (1 đ)
= a(a - 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) (1.5 đ)
L
ập luận
được a(a - 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia h
ết cho 30 và 5a(a
- 1)(a + 1) chia
h
ết cho 30.

Suy ra a
5
– a chia h
ết cho 3
0. (1.5 đ)
Câu 2. (6 điểm) Ta có
8 15 ( 3)( 5)x x x x    
Điều kiện xác đ
ị
nh: x

0;
5 0x  
;
3 0x  
0; 9; 25x x x   
(1đ)
a) (2 đi
ểm)
P =
31 8 5 3 1
8 15 3 5
x x x x
x x x x
    
 
   
       
31 8 5 3 1
3 5 15 3 5

31 8 5 3 1
( 5)( 3) 3 5
31 8 5 5 3 1 3
( 5)( 3)
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x
    
  
    
    
  
   
        

 
= =
1
5
x
x


b) (1,5 đi
ểm)
1 6
1 1 0 5 0 0 25

5 5
x
P x x
x x

          
 
Đ
ố
i chiếu với điều kiện xác đ
ị
nh ta có P < 1
0 25x  
và
x
9
c) (1,5 đi
ểm)
Ta có P =
1
5
x
x


= 1 +
6
5x 
P nhận giá trị nguyên khi
5x 

là ước của 6. (0,75đ)
5x 
1
2
3
6
-1
-2
-3
-6
x
6
7
8
11
4
3
2
-1
x
36
49
64
121
16
9
4
KTM
Đ
ố

i chiếu với điều kiện xác đ
ị
nh thì x = 9 không tho
ả
mãn
Vậy x

4;16;36;49;64;121}
thì P nhận các giá trị nguyên. (0,75đ)
Câu 3: (4 điểm) a) (2,5 đi
ểm)
x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
1
2
x

x
2
+ 3x + 1 - (x + 3)
1
2
x
= 0

x
2
+ 1 - x
1

2
x
- 3
1
2
x
+ 3x = 0

1
2
x
(
1
2
x
- x) – 3(
1
2
x
- x) = 0 (0,5đ)

(
1
2
x
- x)(
1
2
x
- 3) = 0 (1đ)

Giải phương trình tích, tìm được nghiệm x =

2
2
(1đ)
b) (1,5 đi
ểm)
2
1
1
1
1
1
1





 cba
Ta có:
)1)(1(
2
111
1
1
1
1
1
1

1
cb
bc
c
c
b
b
cba 










(0,5đ)
Tương tự :
)1)(1(
2
1
1
ac
ca
b 


;

)1)(1(
2
1
1
ca
ab
c 


Do đó:
)1)(1(
2
1
1
.
1
1
.
1
1
cb
bc
cba 


.
)1)(1(
2
ac
ca


.
)1)(1(
2
ca
ab

= 8
)1)(1)(1( cba
abc

. Suy ra abc

8
1
. (0,5đ)
D
ấu
đẳng thức xẩy ra khi a = b = c =
2
1
Vậy M nhận giá trị lớn nhất bằng
8
1
, khi a = b = c =
2
1
. (0,5đ)
Câu 4. (4 điểm) Áp dụng hệ thức về cạnh và đư
ờ

ng cao trong tam giác vuông ta có:
a) (2,5 đi
ểm)
AB
2
= BH.BC và AC
2
= CH.BC (0,5 đ) A
2
2
4 2
4 2
AB BH
AC CH
AB BH
AC CH
 
 
(1 đi
ểm)
M N
Mặt khác ta có BH
2
= BM.AB và CH
2
= CN.AC B H C

4 2
4 2
.

.
AB BH BM AB
AC CH CN AC
 

3
AB BM
AC CN
 

 
 
(đpcm) (1 đi
ểm)
b) (1,5 điểm) Ta có: AH
2
= BH.CH

AH
4
= BH
2
.CH
2
= BM.AB.CN.AC (0,75 đ)

AH
4
= BM.CN.AB.AC = BM.CN.AH.BC


AH
3
= BM.CN.BC (đpcm) (0,75 đ)
Câu 5. (2 điểm)
Đ
ặ
t AE = x, CF = y

MF = CF = BE = y A E B

x + y = a (0,25 đ)
S
DEF
= S
ABCD
- S
DAE
- S
DCF
- S
BEF
= a
2
-
2 2 2
ax ay xy
 
M F
= a
2

-
2
( )
2 2 2 2
a xy a xy
x y   
(0,5 đ)
Ta có S
DEF
nh
ỏ nhất

xy l
ớn nhất
(0,5 đ) D C
Do xy

2
2
x y
 
 
 
=
2
4
a

Max (xy) =
2

4
a
khi x = y =
2
a
(0,5 đ)
khi đó M là trung điểm của đoạn thẳng AC
Vậy Min S
DEF
=
2 2 2
1 3
.
2 2 4 8
a a a
 
(0,25 đ)