Đề thi HSG huyện Toán 9 (08-09)

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P =
2009 2 2008 2009 2 2008+
Q =
( ) ( )
2 2
2008 2014 . 2008 4016 3 .2009
2005.2007.2010.2011
+
Bài 2: Biết
2 2
10a 3b ab 0
b a 0

+ =

> >

. Chứng minh rằng:
2a b 5b a 9
3a b 3a b 5

+ =
+
Bài 3: Chứng minh rằng với < 45
0
, ta có sin2 = 2sin. cos.
Bài 4: Cho tam giác ABC có

ã
0
ABC = 60 ; BC = a; AB = c
(a, c là hai độ dài cho trớc). Hình chữ
nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ
nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
2 2 2
19b - a 19c - b 19a - c
+ + 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a

---------------------- Hết -----------------
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P =
2009 2 2008 2009 2 2008+
Q =
( ) ( )
2 2
2008 2014 . 2008 4016 3 .2009
2005.2007.2010.2011
+

Bài 2: Biết
2 2
10a 3b ab 0
b a 0

+ =

> >

. Chứng minh rằng:
2a b 5b a 9
3a b 3a b 5

+ =
+
Bài 3: Chứng minh rằng với < 45
0
, ta có sin2 = 2sin. cos.
Bài 4: Cho tam giác ABC có
ã
0
ABC = 60 ; BC = a; AB = c
(a, c là hai độ dài cho trớc). Hình chữ
nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ
nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3
2 2 2
19b - a 19c - b 19a - c
+ + 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a

---------------------- Hết -----------------
H ớng dẫn chấm
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P =
2009 2 2008 2009 2 2008+
=
( ) ( )
2 2
2008 1 2008 1+
= 2
Q =
( ) ( )
2 2
2008 2014 . 2008 4016 3 .2009
2005.2007.2010.2011
+
. Đặt x = 2008, khi đó
Q =
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x x 6 x 2x 3 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3

+ +
+ +
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
+ + +
+ +
= x + 1 = 2009
Bài 2: Ta có 10a
2
- 3b
2
+ ab = 0 3(4a
2
- b
2
) - a(2a - b) = 0
(2a - b)(5a + 3b) = 0
2a - b = 0 b = 2a
5a + 3b = 0 5a = -3b




(loai)
Với b = 2a
2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9
3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5

+ = + = =
+ +
Bài 3: Xét ABC có
à
A
=
90
0
;
à
C
=

. Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH
ã
AMH 2=
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m =
a
2
.
Ta có sin =
c
a
; cos =
b
a
; sin2 =
h
m

Do đó 2sin. cos =
2 2
c b 2bc 2ah 2h h
2 .
a a a a a m
= = = =
= sin2
Bài 4:
a/ Đặt
AM = x (0 < x < c)
.
Ta có:
MN AM ax
= MN =
BC AB c

( )
0
c - x 3
MQ = BM.sin60 =
2
.
Suy ra diện tích của MNPQ là:
( )
( )
ax c- x 3
a 3
S = = x c- x
2c 2c
+ Ta có bất đẳng thức:

2
a + b a + b
ab ab (a > 0,b > 0)
2 2


ữ

áp dụng, ta có:
2
2
x + c - x c
x(c- x) =
2 4


ữ

. Dấu đẳng thức xảy ra khi:
c
x = c - x x =
2

.
Suy ra:
.
2
a 3 c ac 3
S =
2c 4 8

. Vậy:
max
ac 3
S =
8
khi
c
x =
2
hay M là trung điểm của cạnh
AB
b/ Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn
BF lấy điểm F. Dựng hình chữ nhật E'F'G'H'
(E' AB;G', H' BC)
Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên:
E'F' BE' BF' F'G'
= = =
EF BE BF FG
E'F' = F'G'

. Do đó E'F'G'H' là hình vuông
A
B
C
H
M

A
B

C
M
N
P
Q
0
60
x
+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H'
(G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác
ABC. Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông
+ Ta có:
0
BH' 1
= cotg60 =
E'H'
3
;
ã
BG' BH'+ H'G' BH' 1
cotgF'BC = = +1 = +1
F'G' F'G' E'H'
3
=
.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB,
cắt AC tại một điểm F duy nhất.
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất
+ Đặt
AE = x

. Ta có
EF AE ax
= EF =
BC AB c

;
( )
(c- x) 3
HE = c - x sinB =
2
EFGH là hình vuông, nên
2
ax (c - x) 3 c 3
EF = EH = x =
c 2
2a + c 3

Suy ra diện tích hình vuông EFGH là:
( )
2 2
2
2
3a c
S = EF =
2a + c 3
Bài 5: Ta có a
2
+ b
2
- ab ab

2 2 3 3
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
3 3 3 3 3 3
2 2 3 3 2 2 3 3
3 3
3 3 2 3 3
3 3
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a
b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a
b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a
19b - a
4b - a
ab + 5b





Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 3 3
2 2
19c - b 19a - c
4c - b; 4a - c
cb + 5c ac + 5a

Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c
------------------- Hết ------------------
A

B C
E
F
GH
E'
F'
G'H'