THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN(HAY)

GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012
1


Bài tập về nhà: Thể tích khối chóp.
I. TÍNH TRỰC TIẾP.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy, các cạnh SB = SC = 1 và các góc



0
ASB BSC CSA 60
  
. Tính thể tích của hình chóp S.ABC. ĐS.
1
8
V


Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A,
2
AB a

. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2
IA IH
 
 

. Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng
0
60
.
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
ĐS.
3
15
6
a
V  ,
2
a
d


Bài 3. Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của A qua I. Trên
đường thẳng vuông góc với mp(P) tại điểm D, lấy điểm S sao cho
6
2
a
SD  . Gọi H là hình chiếu của I trên SA, tính
theo a thể tích khối chóp H.ABC. ĐS.
3
2
24
a
V 
Bài 4. Cho khối chóp S.ABC có BC = 2a,



0 0
90 , 30
BAC ACB  . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác
SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. ĐS.
3
3
12
a
V 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,
( )
SA ABC

và SA = 3a. Gọi M, N lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a. ĐS.
3
19 3
400
a
V 
Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Cho biết
mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
5
24
a
V 
Bài 7. Cho hình chóp
.

S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
C
cạnh huyền bằng
3
a
.
G
là trọng tâm tam giác
ABC
,


SG ABC

,
14
2
a
SB  . Tính thể tích hình chóp
.
S ABC
và khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng


SAC

.
ĐS.
3
3 65
3 ,
13
a
V a d 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 4, BC = 2,
4 3
SA  ,


0
30
SAB SAC 
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
4
V


Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam
giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là
0
60
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3
2

V a

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam
giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là
0
60
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3
2
V a

GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012
2

Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = a,
3
BC a
 , SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Góc giữa hai mp(SAC) và (SBC) là
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3
6
12
a
V 

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có mp(SAC) vuông góc với mp(ABC), SA = AB = a, AC = 2a và


0
90
ASC ABC 
.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai mp(SAB) và (SBC). ĐS.
3
3
,
4
105
a
V cos

  
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Hai mặt
bên còn lại tạo với mặt đáy góc
0
45
. Gọi M là trung điểm của SA. Cho biết chiều cao của hình chóp là a. Tính thể tích
khối chóp S.ABC và số đo góc giữa hai đường thẳng AB cà CM.
ĐS.
3
2 3
,
3
19
a

V cos

 
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA =a,
2
AD a
và
( )
SA ABCD

. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
( ) ( )
SAC SMB

. Tính thể tích khối
tứ diện ANIB. ĐS.
3
2
12
a
V 
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình
chữ nhật có AB = a,
3
BC a
 , điểm I thuộc đoạn thẳng SC sao cho SI = 2CI và thỏa mãn
AI SC

. Hãy tính thể tích

khối chóp S.ABCD theo a. ĐS.
3
15
3
a
V 
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
3
BC a
 . Tam giác SAC đều và nằm trong
mp vuông góc với đáy. Gọi (P) là mp đi qua trọng tâm G của tam giác SAC và song song với cạnh SA, mặt phẳng (P) cắt
cạnh SC tại M và cắt AC tại E. Tính theo a thể tích khối chóp M.BCDE.
ĐS.
3
4
9
a
V 
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2
AD a
, góc giữa hai mp(SAC) và
(ABCD) bằng
0
60
. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mp vuông góc với
đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS.
3
3
a

V 
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, mặt bên SAB vuông góc với đáy, tam
giác SAB cân đỉnh S và có trọng tâm G. Biết khoảng cách từ G đến mp(SCD) là
2 3
3
a
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a. ĐS.
3
4 3
3
a
V 
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S.
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA. Chứng minh rằng
( ) ( )
SIJ ABCD

. Tính thể tích khối chóp
K.IBCD. ĐS.
3
3
32
a
V 
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a.Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI
và tính thể tích khối chóp MBAI. ĐS.

3
36
a
V 
GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012
3

Bài 21. Cho hình vuông ABCD tâm I .Các nửa đường thẳng Ax, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng
phía đối với mặt phẳng đó. Trên Ax, Cy lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = m, CN = n, m,n
0

góc tạo bởi hai
mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng 30
0
.Tính thể tích của khối chóp B.AMNC. Tìm điều kiện của m theo n để góc MIN
vuông. ĐS.
2
( )
V m m n
 

Bài 22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách
từ G đến mp(SCD) bằng
3
6
a
. Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) và thể tích khối chóp S.ABCD, trong đó O là giao
điểm của hai đường chéo AC và BD. ĐS.
3

4
a
d  ,
3
3
6
a
V 
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc
với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS.
3
7 7
18
a
V 
Bài 24. Cho hình thang ABCD nằm trong mp(P), có


0
90
BAD CDA 
, AB = AD = a, CD = 2a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của D trên AC. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại H, lấy điểm S sao cho góc tạo bởi SC và (P) là
0
60
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS.
3
2 15
5

a
V 
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là đáy nhỏ, H là trung điểm của
AB. Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mp vuông góc với đáy,
5
SC a
 và khoảng cách từ
D tới mp(SHC) bằng
2 2
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS.
3
3(1 10)
3
a
V


Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB = 2CD = 4a,
10
BC a . Gọi O là giao
điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mp(ABCD) và mặt bên SAB là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC. ĐS.
3
2
6 2,
5
V a cos


 

Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a,
3
SA a
 , hai mặt bên
(SDC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác DBC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ G đến mp(SBC) theo a. ĐS.
3
2
,
2 3
a a
V d
 

Bài 28. Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA =
3
4
, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Chứng minh rằng tam giác
SAC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS.
39
16
V 

GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012
4

II. SỬ DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH.

Bài 1(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A với
AB AC a
 
. Biết SA vuông góc với
mặt đáy và
3
SA a
 . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = b. Tính thể tích của
khối chóp S.AMN theo a và b. Tìm mối liên hệ giữa a và b để góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) bằng
0
60
.
ĐS.
2
3
24
ab
V  , đk:
2
b a


Bài 2(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt

đáy, cạnh SB tạo với mặt đáy góc
0
60
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM  , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM. ĐS.
3
10 3
27
a
V 
Bài 3(Tỉ số). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc
0
45
. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng
(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a.
ĐS.
3
10 5
27
a
V 
Bài 4(Tỉ số). Cho hình chóp
S.ABCD
. Đáy
ABCD

là hình thang, AD và BC cùng vuông góc với AB,
AB AD a,BC 2a
  
; mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SC, CD. Tính thể tích khối chóp ADMN theo a. ĐS.
3
3
48
a
V 
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
I. LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có
2 , 2
AB a BC a
  ,

0
30
ABC

và thể tích lăng trụ bằng
3
a
.
Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( ' )

A BC
. ĐS.
6
3
a
d 
Bài 2
*
. Cho hình hộp đứng ABCD A
’
B
’
C
’
D’ có AB = AD = a, AA
’
=
a 3
2
, góc BAD bằng 60
0
.Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của cạnh A
’
D
’
và A
’
B
’

. Chứng minh AC
’
vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện
AA
’
BDMN theo a . ĐS.
3
7
32
a
V 
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Góc giữa AA’ và BC’ bằng
0
30
và
khoảng cách giữa chúng là a. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính thể tích khối tứ diện MA’BC’.
ĐS.
3
3
3
a
V 
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D;E, F lần lượt là các trung
điểm của các cạnh BC, C

1
A
1
,C
1
B
1.
Hãy tính thể tích tứ diện ABC
1
A
1
và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, A
1
F theo
a. ĐS.
3
3 17
,
12 17
a a
V d 
GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012
5

Bài 5
*
*
. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình bình hành, trong đó
3

, '
2
a
AB a AA  . Gọi M, N là trung
điểm của A’D’ và A’B’. Biết AC’ vuông góc với mp(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
ĐS.
3
3
16
a
V 
Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có các cạnh AA’ = AB = 3a, BC = 4a, CA = 5a và M là trung điểm của cạnh bên
BB’. Tính theo a thể tích khối lăng trụ và diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp(P) qua A’ và vuông góc với AM.
ĐS.
2
3
3 5
18 ,
2
a
V a S 
Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng
(ABB’A’) góc
0
60
và AB = AA’ = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh
AB sao cho BQ =
4
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng

(MAC) (NPQ)

. ĐS.
3
15
4
a
V  Chứng minh
( )
AM NPQ


Bài 8. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, biết A’A = AB = a, AC = 2a,

0
60
BAC 
. Gọi M là giao điểm của A’C
và AC’. Tính thể tích của tứ diện MBB’C’. ĐS.
3
3
12
a
V 
Bài 9. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a,

0
' 2 5, 120
A A a BAC  . Gọi M là trung điểm
của cạnh CC’. Tính thể tích khối chóp M.ABA’ và khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BM).

ĐS.
3
15 5
,
3 3
a a
V d 
Bài 10. Cho khối lăng trụ đứng
1111
. DCBAABCD có đáy là hình bình hành và có
0
45BAD . Các đường chéo
1
AC và
1
DB lần lượt tạo với đáy các góc 45
0
và 60
0
. Cho biết chiều cao của khối lăng trụ bằng 2. Hãy tính thể tích khối lăng trụ
đó. ĐS.
4
3
V


Bài 11. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a,

0
120

ACB 
và đường thẳng A’C tạo với
mp(ABB’A’) một góc
0
30
. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM, CC’ theo a. ĐS.
3
105 21
,
14 7
a a
V d 
Bài 12. Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông có
CA CB a
 
, góc giữa đường thẳng
'
BA
và
mặt phẳng
( ' ')
ACC A
bằng
0

30
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
' '
A B
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
và khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng


'
A BC
.
ĐS.
3
2
,
2
6
a a
V d 
Bài 13. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) là
2
a

. Tính
theo a thể tích khối lăng trụ đã cho. ĐS.
3
3 2
16
a
V 


GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012
6

II. LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a. Biết độ dài đường vuông
góc chung của AA’ và BC là
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C theo a.
ĐS.
3
3
18
a
V 
Bài 15. Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm tam giác ABC. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa cạnh AA’ và cạnh BC
theo a, biết góc giữa mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng
0

60
. ĐS.
3
3 3
,
8
2 7
a a
V d 
Bài 16. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2
BC a

, hình chiếu của A’
trên mp(ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt đáy góc. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
ĐS.
3
6
6
a
V 
Bài 17. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) trùng
với tâm O của tam giác ABC. Mp(P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
2
3
8
a
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. ĐS.
3
3

12
a
V 
Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
0
30
. Hình
chiếu H của điểm A trên mp(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA’ và B’C’ theo a. ĐS.
3
3 3
,
24 4
a a
V d 
Bài 19. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = AC = 4a,

0
120
BAC 
và hình chiếu vuông góc của A’ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Góc giữa cạnh bên với đáy là
0
30
. Tính theo a thể tích của
lăng trụ và khoảng cách giữa AA’ với BC. ĐS.
3
16 ,
V a d a
 

Bài 20. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C.
Khoảng cách giữa cạnh bên AA’ và mặt bên (BCC’B’) là
3
4
a
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
ĐS.
3
3
4
a
V 
Bài 21. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, AB = a. Góc giữa mặt phẳng (A’BC) với
mp(C’B’BC) là
0
90
. Tính theo a thể tích khối chóp A’.BCC’B’.
ĐS.
3
2
12
a
V 
Bài 22. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh
bên AA’ tạo với mặt đáy ABC góc
0
60
. Gọi I là trung điểm của BC. TÍnh thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AI và BA’ theo a.

ĐS.
3
3
,
4
5
a a
V d 