Tuyển chọn các bài toán hình học giải bằng máy tính Casio

Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau
CC BI TON HèNH HC
Một số kiến thức về toán học cần nắm
1. Tam giác vuông:
* Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b
2
= ab ; c
2
= ac
h
2
= b.c ; ha = bc

2 2 2
1 1 1
h b c
= +
;
Diện tích: S =
1 1
2 2
bc ah=
* Với góc nhọn thì:
a, 1<Sin + Cos
2
; Đẳng thức xảy ra khi = 45
0

b,
Cos

1
1
2
2
=+ tan
S dng cỏc t s lng giỏc:
sin
cos
cot,
cos
sin
,cos,
huyen
doi
==== gtg
huyen
ke
Sin
2. Tam giác th ờng :
Các ký hiệu:
h
a
: Đờng cao kẻ từ A,
l
a
: Đờng phân giác kẻ từ A,
m
a
: Đờng trung tuyến kẻ từ A.
BC = a; AB = c; AC = b

R: Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
r: Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác.
Chu vi: 2p = a + b + c =>
; ;
2 2 2
b c a c a b a b c
p a p b p c
+ + +
= = =
Định lý về hàm số cosin:
a
2
= b
2
+ c
2
2bc.cosA; b
2
= c
2
+ a
2
2ca.cosB; c
2
= a
2
+ b
2
2ab.cosC

+
=+=








+
=+=








+
=+=

ab
cba
CCabbac
ac
bca
BBaccab
bc
acb
AAbccba
2
coscos2*
2
coscos2*
2
coscos2*
222
1222
222
1222
222
1222

1
c
b

h
a
b
/
c
/
H
A
B
C
c
b
lA
hA
mA
A
B
C
D
H
M
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
α
α
α
ααα
ααα
αα
ααα
αα

αα
2
3
22
22
22
1
2
2*
sin4sin33sin*
cossin22sin*
sin211cos2
2coscossin*
1cot.*
1cos*
tg
tg
tg
gtg
Sin
−
=
−=
=
−=−=
=−
=
=+
§Þnh lý vỊ hµm sè sin:
2

sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
§Þnh lý vỊ hµm sè tang:
2 2 2
; ;
2 2 2
A B B C C A
tg tg tg
a b b c c a
A B B C C A
a b b c c a
tg tg tg
+ + +
+ + +
= = =
− − −
− − −
; ;
2 2 2
A r B r C r
tg tg tg
p a p b p c
= = =
− − −
§Þnh lý vỊ hµm sè costang:
; ;
2 2 2

A p a B p b C p c
cotg cotg cotg
r r r
− − −
= = =
a = h
A
(cotgB + cotgC);
b = h
B
(cotgC + cotgA);
c = h
C
(cotgA + cotgB);
3. Các bán kính đường tròn:
a) Ngoại tiếp:
C
c
B
b
A
a
S
abc
R
sin2sin2sin24
====

b) Nội tiếp:
( ) ( ) ( )

222
C
tgcp
B
tgbp
A
tgap
p
S
r −=−=−==

4. Diện tích tam giác:
( )( )( )
( ) ( ) ( )
R
abc
S
rcprbpraprpS
cpbpappS
A
CBa
S
CabBacAbcS
chbhahS
cba
cba
4
*
.*
*

sin.2
sin.sin.
*
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
*
2
1
2
1
2
1
*
2
=
−=−=−==
−−−=
=
===
===
∆
∆
∆

∆
∆
∆

HƯ thøc tÝnh c¸c c¹nh:AB
2
+ AC
2
= 2AM
2
+
2
2
BC
h
A
=
2 ( )( )( )p p a p b p c
a
− − −
;

2
; với
Hơrông) (Đlý
2
cba
p
++
=

Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
5. Đường cao:
c
S
h
b
S
h
a
S
h
cba
∆∆∆
===
2
;
2
;
2

6. Đoạn phân giác trong tam giác:
( )
( )
( )
cppab
baba
C
ab
l
bppca

acac
B
ca
l
appbc
cbcb
A
bc
l
a
b
a
−
+
=
+
=
−
+
=
+
=
−
+
=
+
=
2
2
cos2

*
2
2
cos2
*
2
2
cos2
*

7. Trung tuyến:
222
222
222
22
2
1
*
22
2
1
*
22
2
1
*
cbam
bacm
acbm
c

b
a
−+=
−+=
−+=

Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S=
2
3
;
4
3
2
a
h
a
a
=
Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy
1 −=
PB
PA
NA
NC
NC
MB

Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng
1 =
PB

PA
NA
NC
NC
MB
C. HỆ THỨC LƯNG TRONG TỨ GIÁC LỒI ABCD:
( )( )( )( )
( )( )( )
S
bcadcdabbdac
R
dcba
p
DB
abcddpcpbpapS
4
*
2
*
2
cos.*
2
+++
=
+++
=
+
−−−−−=
∧∧
ο

* Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O) có công
thức:
( )( )( )( )
dpcpbpapS
ABCD
−−−−=
* Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( I) có công

3
A
B
C
M
N
P
N
A
B
C
M
P
; với AB =a; BC
=b;
CD= c; DA= d
A
B
d
b
c
D

a
C
I
O
α
Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau
thửực:
( ) ( ) ( )
1
(1)
2
ABCD
S a b c d r a c r b d r= + + + = + = +
T (1) suy ra cụng thc tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip :
0
ABCD ABCD
s s
r
a c b d
= =
+ +
( khi: a+c = b+d )
2. Đa giác, hình tròn:
* Một số công thức:
1) Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a:
+ Góc ở tâm:
2
n

=
(rad), hoặc:
360
o
a
n
=
(độ)
+ Góc ở đỉnh:
à
2
A
n
n


=
(rad), hoặc
à
2
A .180
n
n

=
(độ)
+ Diện tích:
cot
4 2
na

S g

=
2) Hình tròn và các phần hình tròn:
+ Hình tròn bán kính R:
- Chu vi: C = 2R
- Diện tích: S = R
2
+ Hình vành khăn:
- Diện tích: S = (R
2
- r
2
) = (2r + d)d
+ Hình quạt:
- Độ dài cung: l = R ; (: rad)
- Diện tích:
2
1
2
S R

=
(: rad)

2
360
R a

=

(a: độ)
Din tớch hỡnh qut:
0
2
360

R
S

=
Din tớch, th tớch:
- Hỡnh chúp:
BhV
3
1
=
- Hỡnh nún:
RlShRV
xq
== ;
3
1
2
- Hỡnh chúp ct:
hBBBBV )''(
3
1
++=

4

a
A

O
.
O
R
.
O
R
r
d
.
O
R
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
- Hình nón cụt:
lRRShRRRRV
xq
)'(;)''(
3
1
22
+Π=++Π=
- Hình lăng trụ: V=Bh; S
xq
=Chu vi thiết diện phẳng x l
- Hình cầu:
23
4;

3
4
RSRV
xq
Π=Π=
- Hình trụ:
RhShRV
xq
Π=Π= 2;
2
- Hình chỏm cầu:
RhS
h
RhV Π=−Π= 2);
3
(
2
- Hình quạt cầu:
hRV
2
3
2
Π=
Bµi 1:Cho tam gi¸c ABC;
0
ˆ
120B =
; AB = 6(cm); BC = 12(cm); ph©n gi¸c trong cđa gãc B c¾t
AC t¹i D. TÝnh diƯn tÝch ABD.
Gi¶i:

Ta cã: KỴ AK//BC c¾t BD t¹i K.
Khi ®ã:
6 1
12 2
DK AD AB
DB DC BC
= = = =
XÐt
∆
ABK c©n t¹i A,
∠
ABK = 60
0
nªn
∆
ABK
®Ịu. Suy ra KB = 6(cm), ®ång thêi
1
2
DK
DB
=
=> BD = 4(cm). KỴ ®êng cao AH cđa
∆
AHK
ta cã: AH = 6sin60
0
= 6.
3
2

= 3
3
(cm).
Khi ®ã: S
ABD
=
1
2
.BD.AH =
1
2
.4. 3
3
= 6
3
(cm
2
). VËy S
ABD
= 6
3
(cm
2
)
Bµi 3: Cho
∆
ABC, cã AM lµ ®êng trung tun vµ AB = 9cm; AC = 15cm; AM = 6cm
H·y tÝnh diƯn tÝch
∆
ABC.

Gi¶i: Ta kỴ: CK//AB c¾t AM t¹i K,
Ta cã
∆
ABM
:
∆
CKM
=>
9 6 6 2
9 3
AB AM MK
CK MK CK MK CK
= ⇒ = ⇒ = =
=> CK = 9; MK = 6 =>
∆
ABM =
∆
KCM(g.cg)
=> AK = 12cm
Ta thÊy trong tam gi¸c AKC cã:
AC
2
= AK
2
+ KC
2
=> 15
2
= 12
2

+ 9
2
Suy ra:
∆
AKC vu«ng t¹i K; do vËy S
ABC
= S
AMC
+ S
KMC
= S
AKC
=
1
2
AK.KC
=
1
2
.12.9 = 54(cm
2
). vËy S
ABC
= 54(cm
2
)
Bµi 5.Cho tam giác ABC AB=9; AC=11;BC=12
a)Tính đường cao AH và diện tích tam giác ABC b)Tính
CBA
ˆ

;
ˆ
;
ˆ
(đến độ ,phút ,giây)

5
6
12
60
0
60
0
60
0
D
B
A
C
K
H
9
15
6
M
A
B
C
K
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau

11
9
12-X
X
H
C
A
GIẢI :a. Đặt HC=x
⇒
HB=12-x
∆AHB vuông ta có h
2
=9
2
–(12-x)
2
(1)

∆
AHC vuông ta có h
2
=11
2
–x
2
(2)
⇒
9
2
–(12-x)

2
=11
2
–x
2

⇒
24x=184

⇒
x=7,666666667 Thế vào ( 1)
⇒
h=
2
2
)666666667,7(
11
−
=7,888106377
b. Sin B =
845386089.0
9
888106377,7
===
AB
h
AB
AH
Nhấn SHIFT SIN
-1

0,8453860089
Kết quả: B=58
0
Sin C =
717100579.0
11
888106377,7
===
AC
h
AC
AH
Nhấn SHIFT SIN
-1
0,8453860089 = Kết quả:
C
ˆ
=44
0
0
78)
ˆ
ˆ
(180
ˆ
=+−= CBA
Bài 6:Cho tam giác ABC có
A
ˆ
=65

0
;AB=10;AC=12
a)Tính độ dài 3 đươmg cao AH;BK;CL. b)Tính diện tích tam giác ABH
L
K
H
C
A
Xét
ALC∆
vuông Ta có SinA=
87569344,1012.65. ===⇒ SinACSinACL
AC
CL
*
AKB∆
vuông Ta có : SinA=
06307787,965.10. ===⇒ SinABSinABK
AB
BK
*xét
ALC∆
vuông
2222
)34487569,10(12 −=−= LCACAL
=5,07141915
92858085,407141915,510 =−=−=⇒ ALABBL
Xét
CLB∆
vuông Ta có : BC=

22
CLBL +
=
9403356,11)92858085,4()875693440,10(
22
=+
Theo công thức tính diện tích tam giác S=
108364961,9
9403356,11
87569344,10.10.
.
2
1
.
2
1
===⇒=
BC
CLAB
AHABCLBCAH
*Xét
AHB∆
vuông tại H ta có:HB=
127673405,4)108364961,9(10
2222
=−=−
AHAB

6
=

Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
=⇒
AHB
S
79817791,18
2
127673405,4.108364961,9
.
2
1
==HBAH
Bài 1.Cho
ABC∆
có
µ
120 , 6,25 , 12,5 .
O
B AB cm BC cm= = =
Đường phân giác của góc B cắt Ac tai D.
a) Tính độ dài của đoạn thẳng BD.
b) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC.
c) Tính diện tích tam giác ABD.
Giải:
Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia đối của
tia BC tải B’ , nối BB’.


·
·
·

' 60
' 180 120
O
O O
B AB ABD
B BA
= =
= −

'B BA
⇒ ∆
đều.

' ' 6,25AB BB AB⇒ = = =
Vì AB’ // BD nên
' '
BD BC
AB CB
=

. ' . '
4,16666667
' '
BC AB BC AB
BD
CB BB BC
⇒ = = =
+
b)Ta có:
ABD

ABS
S AD
S AC
∆
∆
=
và
' 1
' 3
AD BB
AC B C
= =
c)
· ·
1 1 2
. sin .sin . 11,2763725
2 2 3
ABD
S AB BD ABD AB ABD AB
∆
= = ;
Bài 2. Cho
ABC
∆
vuông tại A. Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác trong của góc A. Biết
BD = 3,178 cm. Tính AB, AC.
Giải:
Ta có:DC = BC – BD = 8,916 – 3,178
2 2 2
BC AB AC= +

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
AB BD AB BD AB BD
AC DC AC DC AC AB DC BD
= ⇒ = ⇒ =
+ +

( )
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
.
.
BD AC AB
BD BC
AB
DC BD DC BD
+
⇒ = =
+ +
4,319832473cm;

7,799622004AC cm=
Ví dụ 2: Cho ∆ ABC vuông ở A biết BC = 8,961 và AD là phân giác trong của A .
Biết BD = 3,178. Tính AB, AC.
Giải

7
B’
B
C
A
D
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Bài 1. Cho
ABC∆
có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm
a) Chứng minh rằng
ABC∆
vuông. Tính diện tích
ABC∆
.
b) Tính các góc B và C
c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD, DC.
Giải:
a) S
ABC∆
= 294 cm
b)
µ µ
4
sin 53 7'48''
5
O
AC
B B
BC

= = ⇒ ;

µ
µ
µ
90 36 52'12''
O O
C B C= − ⇒ ;
c)
21 3 3 3
28 4 3 4 7
15
20
BD AB DB DB
DC AC DB DC DC
DB cm
DC cm
= = = ⇒ = ⇒ =
+ +
⇒ =
=
Bài 2. Cho
ABC
∆
vuông tại A. với AB = 4,6892 cm; BC = 5,8516 cm. Tính góc B, đường cao
AH và phân giác CI.
Giải:
Tính
µ µ
36 44'25,64"

O
AB
B B
BC
= ⇒ =
Tính AH.

( )
sin sin 36 44'25,64" 4,6892 2,80503779
O
AH
B AH cm
BH
= ⇒ = × ≈
Tính CI. Góc
90 36 44'25,64"
2
o o
C
−
=
Bài 3. Cho
ABC∆
vuông tại B. Với AB = 15 AC = 26. Kẻ phân giác trong CI
( )
CI AB∈
. Tính
IA.
Giải:
Ta có :

2 2
26 15BC = −

B
D
C
Ta có : AB
2
+ AC
2
= BC
2
(Pitago)
Với BC = 8,916 ; BD = 3,178 thay vào trên được KQ: AB = 4,3198
AC = 7,7996
B
8
C
A
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau

IA IB IA CA
CA AB IB AB
= ⇒ =

2 2
. 26 26 15
13,46721403
15 26
IA CA IA

IB IA AB CA IB
CA AB
IA
AB CA
⇒ = =
+ +
−
⇒ = =
+ +
;

Bµi 7. Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phân giác AD.
Tính độ dài BD và DC.
Tia phân giác góc B cất AD tại I. Tính tỉ số
AI
DI
Sử dụng tính chất đường phân giác trong.
a)

.
4,386226425
.
6,593773585
AC AB
BD
AC AB
BC AC
DC
AB AC
= ≈

+
= ≈
+
b)
3,458553792
IA AB AC
ID BC
+
= ≈
VD1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3. Tính diện
tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm
2
?
Giải: Ta có
2
ABC
CDE
S
k
S
=
thay số vào ta được
2
112
1,3
CDE
S
=
→ S
CDE

= 66,2722 cm
2
Bµi 9:Cho
∆
vuong ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH vuông góc
với BC.
1)Tính BC; AH; HC. 2)Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB.
Bài 11 . Cho tam giác ABC cân tại A có
∠
A=36
0
. Tính giá trị của tỉ số
AB
BC
(chính xác đến
0,0001).

9
B A
I
-Dùng hệ thức lượng trong tam
giác vuông để tính câu 1.
-Theo t/c đường phân giác có:
từ đây tính NA; sử dụng Pitago
trong tam giác ABN tínhBN.
A
N
B H C
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Vẽ tia phân giác trong BD. Ta có

∠
B
1
=
2
72
0
=36
0
=
∠
A,
∠
D=
∠
A+
∠
B
1
=72
0
=
∠
Cnên tam
giác ABD cân tại D, tam giác CBD cân tại B suy ra DA = DB = BC.
Theo tính chất của đường phân giác:
DA DC AC
AB BC AB BC
= =
+

⇒
.AB BC
DC
AB BC
=
+
mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC)
Nên
.AB BC
DC AB BC
AB BC
= − =
+
⇔ AB.BC = AB
2
– BC
2
(*)
Đặt x =
AB
BC
> 0 từ (*) ta có x
2
– x – 1 = 0.Tìm được x =
1 5
2
−
và x =
1 5
2

+
Do x > 0 nên lấy x =
1 5
2
+
Viết quy trình ấn phím tính được x ≈ 1,6180
Bài 12: Một tam giác vuông cân có cạnh a=12,122008 cm. Được quay đỉnh góc vuông một góc
bằng 30
0
. Gọi diện tích phần chung của hai tam giác đó là S.
a, Lập công thức tính S. b, Tính S ( Với 4 chữ số thập phân ).
a, Lập được công thức tính diện tích chung
( )
2
2 3S a= −
.
HD:
B B
1
H E
G
D
A F C
C
1
Kẻ
,EH AB AG BC⊥ ⊥
, Đặt EH=x suy ra
AH=a-x=x
3

( )
( )
2
2 2 3
2
; 2
2 2
3 1
2 2 . 2 3
AED
a
a
x EG BG BE a x
S S AG EG a
−
⇒ = = − = − =
+
⇒ = = = −
b, S
≈
39,3733
( )
2
cm

10
D
C
B
A

1
2
1
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Bài 13:Cho tam giác ABC có
∠
=120
0
, AB = 4, AC = 6. M là trung điểm của BC. Tính độ dài
đoạn thẳng AM chính xác đến 0,0001.
Vẽ BH ⊥ AC và MK ⊥ AC. Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông ABH:
BH
2
= AB
2
- AH
2
⇔ BH =
2 2
AB AH−
Do
∠
A=120
0
nên
∠
HAB=60
0
và suy ra AH =
2

2
AB
=
. Suy ra BH =
3 2 3AB =
Do MK là đường trung bình của tam giác BHC nên HK =
1
2
HC =
1
2
(AC + AH) = 4
Suy ra AK = HK – AH = 4 – 2 = 2
Lại có MK =
1
2
BH =
3
nên AM
2
=AK
2
+ MK
2
=4 + 3 =7⇒AM =
7
.Tính được AM ≈ 2,6458
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Biết
BD = 7, CD = 15. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
Vẽ DE ⊥ BC và lấy K đối xứng với D qua H là giao điểm của AE và BD.

Do
∆
ABD =
∆
EBD (BD chung,
∠
ABD=
∠
EBD nên DA = DE, BA = BE.
Suy ra tứ giác AKED là hình thoi. Đặt KE = ED = AD = AK = x, HD = HK = y
Từ tam giác vuông EBD: ED
2
= DH.DB hay x
2
= 7y (1)
Do EK //AC nên ta có:
EK BK
CD BD
=
⇔
7 2
15 7
x y−
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra được 30x
2
+ 49x – 735 = 0 (3)
Giải được phương trình (3) cho x = 4
1

5
; x = -5
5
6
(loại do x > 0).Nên AD = 4.2
Bài 15:Cho tam giác ABC có
∠
A=135
0
, BC = 5, đường cao AH = 1. Tính độ dài các cạnh AB
và AC (chính xác đến 0,0001).
Vẽ CK ⊥ AB ta có
∠
CAK=180
0
-135
0
= 45
0
nên tam giác CAK vuông cân tại K
Đặt AB = x > 0, AK = CK = y > 0.
∆
HBA đồng dạng với
∆
KBC (gg) nên
AH AB
KC BC
=
⇒
1

5
5
x
xy
y
= ⇔ =
(1)

11
H
K
M
C
B
A
y
y
x
x
15
x
H
E
D
K
C
B
A
y
y

x
K
H
C
B
A
Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau
p dng pitago cho tam giỏc vuụng BKC:
BK
2
+ KC
2
= BC
2
(x + y)
2
+ y
2
= 25 x
2
+ 2xy + 2y
2
= 25 (2)
T (1) v (2) tỡm c (x ;y) =
( )
5 ; 5
hoc (x ; y) =
10
10 ;
2

ữ
ữ

T ú suy ra AB =
5
2,2361; AC=
10
3,1623 hoc AB=
10
3,1623; AC=
5
2,2361 .
Bi 16:Tam giỏc ABC ni tip trong ng trũn. Cỏc cung nh AB, BC, CA cú s o ln lt
l x + 75
0
, 2x + 25
0
, 3x 22
0
. Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC.
Cỏc cung nh AB, BC, CA to thnh ng trũn, do ú:
(x + 75
0
) + (2x + 25
0
) + (3x 22
0
) = 360
0

x = 47
0
.Do ú suy ra:

à
( )
0 0
1
2 25 59 30'
2
A x= + =

à
( )
0 0
1
3 22 59 30'
2
B x= + =


à
( )
0 0
1
75 61
2
C x= + =
Bi 17. Cho tam giỏc ABC cú cỏc nh
(1; 2), (3;4), (0; 5)A B C

.
Tớnh din tớch v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC.
Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
a)
2 10; 10; 5 2; 8.2790AB AC BC p= = =
Ta cú din tớch tam giỏc ABC l:
10, 1.2079
S
S r
p
= =
.
Ta cú cụng thc:
3.5355 ( )
4 4
abc abc
S R cm
R S
= =
Bài 33 : Cho tam giác AHM vuông tại H. Kẻ phân giác MN (N

AH) .Vẽ tia AE

MN tại
E.AE cắt MH tại B. Biết AM = p ,AN = q .
a/ Tính S

ABM
; S

ABH
theo p,q b/ áp dụng:p=10,05 cm ;q=4,12 cm.Tính S

ABM
; S

ABH

HD:
a/ Ta có:
ã
ã
ã
AME BME BAC= =
và EA = EB ; MA = MB
Ta có :
AHB
đồng dạng với
AEN

(g.g)
2
2
AH AB AB AB
AH AE
AE AN AN q
= = ì =
Ta lại có :
AHB
đồng dạng với

MEA
(g.g)
2
2
AB BH AB AB
BH AE
MA EA MA p
= = ì =
Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
AB
2
= AH
2
+BH
2

2 2
2
2 2
4p q
AB
p q
=
+
Vậy: AH =
2
2 2
2 p q
p q+
; BH =

2
2 2
2q p
p q+


12
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Do ®ã:
3
2 2
1 .
2
ABM
p q
S AH MB
p q
∆
= × × =
+
(§VDT)
3 3
2 2 2
1 2 .
2 ( )
ABH
p q
S AH BH
p q
∆

= × × =
+
(§VDT)
b/ Víi p =10,05 cm ;q =4,12 cm th× ta cã:
Ví dụ 3:Cho ∆ ABC vuông ở A, cạnh AB=3,26cm, B=51
o
26’. Tính AC, BC và đường cao AH.
Giải.
Ta có: AC = AB . tgB = 3,26 tg 51
o
26’ = 4,0886 cm.
CosB =
BC
AB

⇒
BC =
CosB
AB
= 5,2292 (cm)
AH = AB . SinB = 2,5489 (cm)
(có thể tính BC từ công thức BC
2
= AB
2
+ AC
2
và AH từ công thức AH
×
BC = AB

×
AC)
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB < CD, AB //CD). E và F lần lượt là trung điểm của AD,
BC. Gọi giao điểm của AD và BC là K , giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của KO với
CD là H, giao điểm của KO với AB là I. Cho biết EF =
12,1234
(cm), tính tổng các độ dài các
đoạn thẳng IA và DH. (chính xác đến 0,0001)
Theo định lí Ta let:
IA IB
HD HC
=
(1)
Do tam giác IOA đồng dạng với tam giác HOC nên:
IA OI
HC OH
=
(2)
Tam giác IOB đồng dạng với tam giác HOD nên:
IB OI
HD OH
=
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
IA IB
HC HD
=
(4)
Chia từng vế của (1) và (4) với nhau cho:
HC HD

HD HC
=
hay HC
2
= HD
2
⇔ HC = HD (5)
Từ (1) và (5) suy ra IA = IB (6)
Từ (5) và (6) và do tính chất đường trung bình của hình thang suy ra
IA + DH =
1
2
(AB + CD) = EF =
12,1234
≈ 3,1817.
Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã AB//CD; AB =3,767; CD = 7,668;
0
ˆ
29 15C
′
=
;
0
ˆ
60 45D
′
=
.
H·y tÝnh c¸c c¹nh: AD, BC; §êng cao cña h×nh thang; §êng chÐo cña h×nh thang.
Gi¶i:

13
O
I
H
K
D
C
B
A
B C
DHA
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Ta cã: AH = BK; DH = cotg60
0
45’.AH; KC = cotg29
0
15’.BK;
Suy ra: DH + KC = DC – AB = AH(cotg60
0
45’ + cotg29
0
15’)
<=> AH =
0 0
3,901
cotg60 45’ cotg29 15’ 2,34566
DC AB−
=
+

=> AH = 1,663075
Khi ®ã: AD =
0
1,663075
1,90612
sin 60 45 0,8725
AH
= =
′
;
BC =
0
1,663075
3,403608
sin 29 15 0,48862
BK
= =
′
Ta cã: KC =
2 2
2,96963BC BK− =
=> HC = KC + HK = 2,96963 + 3,767 = 6,73663
Suy ra: AC =
2 2 2 2
6,93888; 0,93138AH HC DH AHA AH+ = = − =

=> DK = DH + HK = 4,69838 => BD =
2 2
4,98403BK DK+ =
.

VËy AD = 1,90612; BC = 3,403608; AH = BK = 1,663075; AC = 6,93888; BD = 4,98403
Bµi 4.Cho hình thang ABCD có
00
60
ˆ
,90
ˆ
ˆ
=== DBA
, AB = 3cm, BC = 4cm Tính chu vi và diện
tích của hình thang ABCD.
Ta kẻ CH vuông góc với AD tại H.
Khi đó góc DCH = 30
0
. Xét tam giác CHD
60
0
đặt HD = a  CD = 2a ( cạnh đối diện với góc 30
0
).
CH
2
+ HD
2
= CD
2
3
2
+ a
2

= 4a
2
 a
2
= 3 hay a =
3
cm
Suy ra CD =
32
cm và AD = 4+
3
cm
Vậy chu vi C = 3 + 4 +
32
+(4+
3
) = 11+ 3
3
cm
Diện tích S = (4+4+
3
).3/2 = (8+
3
)3/2 cm
2
.
Bài 26: Cho hình thang ABCD ( AB//CD) ,
10,2008AB =
cm,
12,2008CD =

cm.Gọi M và N là
hai điểm thuộc AD và BC sao cho
3
MA
MD
=
và MN//CD.Tính MN (Với7chữ số thậpphân ).
E A B

M N
D C
F
Qua M kẻ EF //BC suy ra MNCF là hbh suy ra MN=FC ,
DF=DC-FC=DC-MN .Mặt khác EBNM là hbh suy ra EB=MN,
EA=EB-AB=MN-AB.
Xét tam giác AME có DF//AE suy ra
3
3 3,3834879
3 1
EA MA MN AB AB CD
MN
DF MD CD MN
− +
= ⇔ = ⇒ = ≈
−
+
Ví dụ 1:Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc nhau. Đáy nhỏ dài 13,724 (cm).
Cạnh bên dài 21,867 (cm). Tính diện tích hình thang đó.
Giải

14
29
0
15
'
60
0
45
'
A
B
D
C
H
K
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
C¸ch 1:






+=
+=
222
222
ICDIDC
IBAIAB

⇒

222
2ADDCAB =+

⇒
DC =
22
2 ABAD −
S =
2
22






+
=×
+ CDAB
h
CDAB
S =
2
22
2
2









−+ ABADAB
( * )
Với AB = 13,724; AD = 21,867 thay vào ( * ) được KQ : S = 429,2461 (cm
2
)
C¸ch 2
Lời giải: Vì ABCD là hình thang cân → OA = OB = a; OC = OD = b.
Trong tam giác vuông AOB: 2a
2
= 13,724
2
→ a
2
= 13,724
2
: 2.
2
13,724 : 2.a =
Trong tam giác vuông BOC:
2 2 2 2
21,867 21,867 13,724 : 2.b a= − = −
Diện tích hình thang có 2 đường chéo d
1
, d

2
vuông góc nhau là
1 2
1
d d
2
S =
Mà ABCD cân nên d
1
= d
2
= a+b →
2
1
( )
2
S a b= +
(
)
2
2 2 2
1
13,724 : 2 21,867 13,724 : 2.
2
S = + −
Xây dựng quy trình bấm máy để có kq chính xác nhất:
13,724
2
: 2 → A
A X→

15
13,724
21,867
O
C
B
D
A
A
B
C D
I
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
2
21,867 A−
→ B
X + B → C
C
2
: 2 = (Kết quả là 429,2460871)
Bài 10:Cho hình thang ABCD;
µ
µ
0
90A D= =
; AB = 4 cm, CD = 8 cm, AD = 3 cm.
Tính độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C của hình thang?
* Hạ BH ∟DC → DH = AB = 4 cm.
→ HC = 8-4 = 4 cm

→ BC = 5 cm (Pytago)
* Sin C = 3/5 →
µ
C
= 36
0
52’12’’
*
µ
B
= 180
0
–
µ
C
= 143
0
7’48’’
3
8
4
H
A
D
C
B
(
IFTSH
1
sin

−
3
5
=
IFTSH
0' ''
¬ 
)
Bµi 8. Cho hình thang ABCD có
00
30
ˆ
,90
ˆ
ˆ
=== BDABA
, AB = 6 cm, BC=8cm. Tính chu vi và
diện tích của ABCD.
Kẻ CH vuông góc với AD tại H. Ta có:
BD=AB:Sin30
0
=6:1/2=12 cm
AD=AB:tg30
0
=6:
3
1
=
36
cm

HD = AD – BC=
36
-8 cm
CD
2
= CH
2
+ HD
2
= 6
2
+ (
36
-8)
2
= 208 - 96
3
= 6,46 cm.
Vậy chu vi C = 6 + 8 + 6,46 +
36
= 30,85 cm.
S = (8+
36
).6/2 = 55,177 cm
2
Bài 2. Hình thang ABCD ( AB// CD) có đường chéo BD hợp với tia BC một góc DAB. Biết
rằng AB = 12,5 cm, DC = 28,5 cm.
a) Tính độ dài x của đường cheo BD ( tính chính xác đến hai chữ số thập phân)
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích
( )

ABD
ABD S
∆
∆
và diện tích
( )
BDC
BDC S
∆
∆
Giải:

16
CD
x
28,5
A B12,5
B
A
C
DH
30
0
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
a) Ta có
·
·
ABD BDC=
( so le trong)

·
·
DAB DBC=
( gt)

.
ABD BDC
BD AB
DC BD
BD DC AB
⇒ ∆ ∆
⇒ =
⇒ =
:
b) Ta có:
2
2
ABD
BDC
S BD
k
S DC
∆
∆
 
= =
 ÷
 
B i 3à . Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = a; BD = b, góc tạo bởi hai đường chéo là
α

. Tính
diện tích tứ giác ABCD theo a, b,
α
.
Áp dụng a = 32,2478 cm; b = 41,1028 cm;
α
= 47
0
35’27”
Giải:
a) Ta kẻ DK AC, BI AC
Ta có:
1
.
2
ABC
S BI AC
∆
=


1
.
2
ADC
S DK AC
∆
=
mà
ABCD ADC ABC

S S S
∆ ∆
= +

( )
1
.
2
DK BI AC= +
(1)
Trong
∆
DKE (
µ
K
= 1v)
sin .sin
DK
DK DE
DE
α α
= ⇒ =
(2)
Trong
∆
BEI (
I
$
= 1v)
sin .sin

BI
BI EB
EB
α α
= ⇒ =
(3)
Thay (2), (3) v o (1) à ta có
1
.
2
ABCD
S BD AC
α
=
b)
2
489,3305
ABC
S cm
∆
;
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có góc ổ đỉnh A là góc tù. Kẻ hai đường cao AH và AK (AH
⊥
BC; AK
⊥
DC). Biết
·
0
45 38'25"HAK =
và độ dài hai cạch của hình bình hành AB = 29,1945

cm; AD=198,2001cm.
a) Tính AH và AK
b) Tính tỉ số diện tích
ABCD
S
của hình bình hành ABCD và diện tích
HAK
S
∆
của tam giác HAK.
c) Tính diện tích phần còn lại S của hình bình hành khi khoét đi tam giác.

Giải
a) Do
µ
µ
0
180B C+ =

·
µ
µ
·
0
0
180
45 38'25"
HAK C
B HAK
+ =

= =

.sinAH AB B
⇒ =

20,87302678cm;

0
.sin 198,2001.sin 45 38'25"AK AD B= =

17
A B
C
D
K
H
I
α
E
A B
D
C
K
H
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau

141,7060061cm;
b)
0 2
. 198,2001. .sin 45 38'25" 4137,035996

ABCD
S BC AH AB cm= = ;

·
0
1 1
. sin . .sin 450 38'25"
2 2
HAK
S AH AK HAK AH AK
∆
=

µ µ µ
1
.sin . .sin .sin
2
AB B AD B B=
2
3
. .sin 2
3,91256184
1
sin
. sin
2
ABCD
HAK
S
AB AB B

S B
AB AD B
⇒ = = ;
c)
2
2 2
.sin
sin sin
1 . 1 .sin
2 2 2
ABCD
ABCD HAK ABCD ABCD
S B
B B
S S S S S ab B
   
= − = − = − = −
 ÷  ÷
   
Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=20,345 cm và AD=15,567 cm. Gọi O là
giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Kẻ AH vuông góc với DB; kéo dài
AH cắt CD ở E.
1)Tính OH và AE. 2)Tính diện tích tứ giác OHEC.
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 40 cm, BC = 30 cm. Đường thẳng vng góc với
AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại E và F. Tính chính xác đến 0,0001 giá trị của
biểu thức
. .BE CF DF CE+
biết rằng EF = 99cm.
Lời giải
Theo định lý Ta let ta có

BE CE
AE EF
=
(1) và
DF CF
AF EF
=
(2)

18
F
E
D
C
B
A
Nhớ AB và A; AD vào B
1/Tính được BD bằng đònh
lý Pitgago rồi tìm OB và HB
hoặc DH. Đsố:
DB=25,61738695 nhớ vào C
AH=12,36311165 nhớ vào D.
DH=9,459649007 nhớ vào E.
HO=OD-DH=3,349044467.
-Tính AE:AD
2
=AH.AE Nên
AE=19,6011729. nhớ vào F
A B
H O

D E C
2/ Diện tích OHEC:
=44,9428943.
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) được
1
BE DF
AE AF
+ =
(3)
Nhân cả hai vế của đẳng thức (3) AE.AF được BE.AF + DF.AE = AE.AF
Do AE. AF = 2dt
AEF∆
= AC.EF nên BE.AF + DF.AE = AC.EF
Mặt khác AF
2
= CF.EF và AE
2
= CE.EF nên
.AF CF EF=
;
.AE CE EF=
nên suy ra BE.
.CF EF
+ DF.
.CE EF
= AC.EF hay suy ra
. .BE CF DF CE+
= AC.
EF

(4)
Theo pitago, ta có AC =
2 2 2 2
40 30AB BC+ = +
.
Ấn phím: ( 40 x
2
+ 30 x
2
) = Kết quả AC = 50
Nên từ (4) cho
. .BE CF DF CE+
= 50.
99
≈ 497,4937 (cm)
Bµi 20: Tính diện tích phần gạch chéo(được giới hạn trong 4 cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là
hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Cách giải Kết quả
Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình
vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một phần tư hình
trong bán kính a/2.
( )
2
2
2
4
1
4. .
4 4 4
MNPQ

a
a
S a
−∏
∏
= − =
=6,14cm
2
Bài 21:Hình tròn tâm O và tâm I có bán kính lần lượt là 16 cm và 4 cm tiếp xúc ngoài với nhau
tại K và cùng tiếp xúc với đường thẳng d theo thứ tự tại M và tại N. Tính diện tích của hình
giới hạn bởi cung
¼
KM
của đường tròn tâm O, cung
»
KN
của đường tròn tâm I và đường thẳng d
(chính xác đến 0,0001).
Vẽ IZ ⊥ Om ta có MZ = NI = 4; OZ = 12 và OI = 16 + 4 = 20
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác OIZ: IZ =
2 2 2 2
20 12OI OZ− = −

19
K
d
Z
I
N
M

O
A
N
B
P
C
Q
D
M
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Viết quy trình ấn phím tính được IZ = 16 (cm)
sin
·
IOZ
=
16 4
20 5
IZ
IO
= =
Trong hình thang OIMN: sđ
·
OIN
= π - sin
-1
4
5
 
 ÷
 

Diện tích của hình thang OINM =
( )
20.16
2 2
OM IN IZ+
=
Viết quy trình ấn phím tính được diện tích của hình thang OIMN bằng 160 cm
2
.
Diện tích hình quạt OKM: S
1
=
·
−
 
 ÷
 
= ≈
2 1
2
4
16 .sin
.
5
118,6938
2 2
OM sdIOZ
(cm
2
)

Viết quy trình ấn phím và tính được S
1
≈ 118,6938 (cm
2
) (để máy tính bằng rad)
Diện tích hình quạt IKN: S
2
=
·
π
−
 
 
−
 ÷
 
 
 
=
2 1
2
4
4 sin
5
.
2 2
IN sdOIN
Viết quy trình ấn phím và tính được S
2
≈ 17,7144(cm

2
) (để máy tính bằng rad)
Suy ra diện tích của hình cần tính là:
S = diện tích OIMN – S
1
– S
2
≈ 160 - 118,6938 - 17,7144 ≈ 23,5918 (cm
2
)
Bài 22: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của đường chéo BD, F là điểm thuộc
DA sao cho 3DF = DA. Tìm tỉ số diện tích của tam giác DFE và tứ giác ABEF.
Do DE =
1
2
BD
nên S
DEA
=
1
2
S
DBA
Do DF =
1
3
AD nên S
DEF
=
1

3
S
DEA
. Từ đó suy ra S
DEF
=
1
6
S
DBA
Suy ra S
ABEF
=
5
6
S
DBA
Vậy
1
5
DEF
ABEF
S
S
=
Bài 23: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 3 cm. Vẽ đường tròn tâm D đường kính AC
= 2 cm và đường tròn tâm E đường kính CB = 1 cm. Gọi 2r là độ dài đường kính của đường
tròn tâm I tiếp xúc với cả ba đường tròn nói trên (xem hình vẽ). Tính r (chính xác đến 0,01 cm)

20

E
F
D
C
B
A
1,5 - r
0,5 + r
1 + r
I
E
H
O
D
I
B
E
C
O
D
A
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Vẽ đường IH ⊥ DE. Ta có: HE
2
– HO
2
= (IE
2
– IH
2

) – (IO
2
– IH
2
) =
2 2
1 3
2 2
r r
   
+ − −
 ÷  ÷
   
⇔ (HE – HO)(HE + HO) = 4r – 2 ⇔ HE – HO = 4r – 2 (1) (do HE + HO = OE = 1)
Tương tự: HE
2
– HD
2
= IE
2
– ID
2
=
( )
2
2
1
1
2
r r

 
+ − +
 ÷
 
= - r -
3
4
⇔ HE – HD =
2 3 2 1
3 4 3 2
r
r
 
− − = − −
 ÷
 
(2)
Trừ từng vế của (1) và (2) cho HD – HO =
14 3
3 2
r
−
= OD =
1
2
⇒ r =
3
7
≈ 0,43 (cm)
Bài 24 . Một miếng giấy hình chữ nhật có chiều dài 5cm. Miếng giấy được gấp lại sao cho hai

đỉnh đối diện của nó trùng nhau. Nếu chiều dài của nếp gấp là
6
cm thì chiều rộng của hình
chữ nhật là bao nhiêu ? (tính chính xác đến 0,0001).
Giả sử hình chữ nhật ABCD được gấp sao cho nếp gấp dọc theo EF và A trùng C. (xem hình
vẽ). Gọi a là chiều rộng của hình chữ nhật .Đặt BE = x thì AE = EC = 5 – x (vì AE trùng với
CE khi gấp)
Trong tam giác vuông BCE: a
2
= (5 – x)
2
– x
2
= 25 – 10x (1)
Vì EF là trung trực của AC nên EF phải đi qua tâm O của hình chữ nhật. Theo tính chất đối
xứng thì DF = BE = x.
Kẻ FG ⊥ AB thì FG = a và GE = AE – AG = 5 – x – x = 5 – 2x
Từ tam giác vuông EFG: a
2
= 6 – (5 – 2x)
2
= 20x – 19 – 4x
2
(2)
Từ (1) và (2): 4x
2
– 30x + 44 = 0 ⇔ x = 2 hay x =
11
2

Vậy a
2
= 25 – 10x = 25 – 10.2 = 5 ⇔ a =
5
≈ 2,2361 (cm)
hoặc a
2
= 25 – 10x = 25 – 10.
11
2
= - 30 < 0 (loại)
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2; 5 , 4; 2 , 7; 1A B C− − −
. Từ đỉnh A vẽ đường
cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM (các điểm H, D, M thuộc cạnh BC).
Cho biết tính chất của đường phân giác trong tam giác:
DB AB
DC AC
=
.
1) Tính diện tích tam giác ABC. Nêu sơ lược cách giải.
2) Tính độ dài của AH, AD, AM và diện tích tam giác ADM
(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân). Đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm.
BÀI GIẢI :

21
6
O
x

5 - x
a
a
F
G
E
D
C
B
A
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
1) Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 3 6 9 130AB AC+ = + + + =

2 2 2
3 11 130BC = + =
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

2
1
19,50
2
ABC
S AB AC cm= × =
2) Tam giác ABC vuông tại A nên:
1 1
2 2
ABC
S AB AC BC AH= × = ×

Suy ra:
3,42
AB AC
AH
BC
×
= ≈
cm
Ta có:
2,85
DB AB DB AB AB BC
DB
DC AC DB DC AB AC AB AC
×
= ⇒ = ⇒ = ≈
+ + +
cm
2 2
13
1,14
10
BH AB AH= − = ≈
, suy ra
1,71HD BD BH= − ≈
cm
2 2
3,82AD AH HD= + ≈
cm
1
5,70

2
AM BC= ≈
cm
( )
2
1 1 1
3,42 5,70 2,85 4,87
2 2 2
ADM ABM ABD
S S S AH BC BD cm
 
= − = − ≈ × − ≈
 ÷
 

Bài 25: Từ đỉnh của một cái cây có treo một cái dây thả xuống đất thì thừa một đoạn có độ dài
là 12,5 m. Nếu kéo căng dây ra thì đầu dây chạm đất ở một khoảng cách là 15,5 m so với gốc
cây. Hãy tính độ dài của dây (chính xác đến cm).
Gọi a là độ cao của cây thì độ dài của dây là c - cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc
vuông là a = c – 12,5 và 15,5.
Áp dụng định lý Pitago: (c – 12,5)
2
+ 15,5
2
= c
2
Tìm được c =
2 2
15,5 12,5
2.12,5

+
Viết quy trình ấn phím đúng.Tính được c ≈ 15,86 ≈ 15,9 (m)

22
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Ví dụ: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các cạnh AB =5dm, BC =
6dm, CD = 8dm, DA = 7dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp , bán kính đường
tròn ngoại tiếp và góc
α
lớn nhất ( độ ,phút, giây) của tứ giác đó. Tính diện tích của tứ giác
ABCD.
C¸c bµi tËp tam gi¸c
Lo¹i1: BiÕt ba c¹nh
Bµi 1:Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4,71, BC=6,26, AC=7,62. TÝnh ®é dµi ®êng cao AD, ph©n
gi¸c BD vµ S
BHD
.
Bµi 2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính các góc.
ĐS:
"12'4530;"59'5125;"49'824
000
≈≈≈ CBA
Bµi 3.cho tam giác ABC có AB=1,05; BC=2,08; AC= 2,33. tính ®êng cao BH và
S
ABC
.(0,9373; 1,0920
Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123; BC=5,042; CA =7,415
§iĨm M n»m trªn c¹nh BC sao cho: BM =2,142
1) TÝnh ®é dµi AM? 2) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM
3) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM.

4) TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC
Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC víi c¸c ®Ønh A(4,324; 7,549); B(12,542; 13,543); C(-5,768; 7,436) .
1) TÝnh sè ®o(®é , phót , gi©y) cđa gãc A .
2) TÝnh gi¸ trÞ gÇn ®óng víi ba ch÷ sè thËp ph©n cđa diƯn tÝch tam gi¸c ABC .
Bµi 6: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7).
Tính diện tích tam giác. ĐS: S = 75,7
Bài7:Cho tam giác ABC có BC=8,876; AC=7,765; AB=6,654
a)Tính số đo(độ,phút,giây) của gócBAC.
b) Gọi G, H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.Tính gần đúng với 5 chữ số
thập phân độ dài các đoạn GA và GH.

23
KQ:

)(98783,40
7,5035107)max(
)(15291,3
)(66639,4
2
'''0
max
dmS
dmr
dmR
ABC
≈
≈







=
≈
≈
∧
α
C
B
D
A
I
O
r
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Bài 8:Các cạnh của tam giác ABC là a=14;b=18;c=20. Tính diện tích tam giác ABCvà góc
A
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB=3,14 ; BC=4,25; CA=4,67 .
Tính diện tích tam giác có đỉnh là chân 3 đường cao của tam giác ABC
Bài 10:Tính gần đúng (độ, phút, giây)gócA của tam giác, biết AB=15cm,AC=20cm,
BC=24cm
Bài 11. Cho tam giác ABC có đường cao AH, Biết AB=4cm BC=5cm; CA=6cm. tính độ dài
AH và CH.
Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC cã
3 5AB =
cm;BC =
5 5
cm; AC =
4 5

cm. TÝnh ®é dµi ®êng
trung tun AM vµ diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC.
Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC víi AB = 7,624 cm ; BC = 8,751 cm ; AC = 6,318 cm . TÝnh gÇn
®óng víi b¶y ch÷ sè thËp ph©n ®é dµi cđa ®êng cao AH , ®êng ph©n gi¸c trong AD vµ b¸n kÝnh
®êng trßn néi tiÕp r cđa tam gi¸c ABC .
Bài 14: Cho
ABC∆
vuông ở A, đường cao AH=20cm, HB=20cm, HC=45cm. Vẽ đường tròn
tâm A bán kính AH. Kẽ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm
khác H). Gọi K là giao điểm của CN và HA . Gọi I là giao điểm của AMvà BC.
a. Tính S tứ giác BMNC. b.Tính độ dài AK , KN , IM và IB.
Bài 15:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0,R) có AB =8cm, AC=15cm, đường cao
AH=5cm (Điểm H nằm ngoài cạnh BC ).Tính bán kính của đường tròn .
Bài 16: Cho tam giác đều ABC có cạnh 8cm, Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam
giác. Cắt các cạnh AB và AC ở M và N. Tính diện tích tam giác AMN biết MN =3cm.
Bµi 17: Cho
∆
ABC cã ®êng trung tun CM, AN, BP c¾t nhau t¹i G.
Gi¶ sư AB = 3,2 ; CM = 2,4 ; AN = 1,8 .H·y tÝnh:
a/ §êng cao GH cđa tam gi¸c AGM b/DiƯn tÝch tam gi¸c ABC
c/TÝnh ®é dµi ®êng trung tun cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC.
d/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC.
Bµi 18:Cho tam gi¸c ABC, BC = 40 cm, ®êng ph©n gi¸c AD = 45 cm, ®êng cao AH=36 cm.
TÝnh BD, CD.
Bài 19 : Cho ∆ ABC cân tại C, cạnh AB =
3
, đường cao CH =
2
.Gọi M là trung điểm HB,
N là trung điểm của BC , AN và CM cắt nhau tại K. Biết KM =5cm. Tính KA.

Bµi 3. TÝnh gÇn ®óng (®é, phót, gi©y) c¸c gãc nhän cđa tam gi¸c ABC nÕu
AB = 4cm, BC = 3cm, AC = 5cm.
KQ:
µ
0
90B =
; Â ≈ 360 52’12”; Ĉ ≈ 530 7’48”.
Bµi 4. TÝnh gÇn ®óng (víi 4 ch÷ sè thËp ph©n) diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh AB =
7,5m; AC = 8,2m; BC = 10,4m.
Giải: Sư dơng c«ng thøc Hª-r«ng:S =
KQ: S = 30,5102m
2
.
Bài 6. Tam gi¸c ABC cã c¹nh AC = 3,85cm; AB = 3,25cm vµ ®êng cao
AH = 2,75cm.
a) TÝnh gÇn ®óng c¸c gãc A, B, C vµ c¹nh BC cđa tam gi¸c.
b) TÝnh gÇn ®óng ®é dµi trung tun AM (M thc BC).
c) TÝnh gÇn ®óng diƯn tÝch tam gi¸c AHM.

24
( )( )( )p p a p b p c− − −
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
(Gãc tÝnh ®Õn phót. §é dµi vµ diƯn tÝch lÊy kÕt qu¶ víi 2 ch÷ sè thËp ph©n.)
XÐt c¸c tam gi¸c vu«ng vµ tØ sè lỵng gi¸c thÝch hỵp.
KQ: a) A
≈
76
0
37’; B
≈

57
0
48’; C
≈
45
0
35’. b) AM
≈
2,79cm;
c) SAHM
≈
0,66cm
2
.
Lo¹i 2: BiÕt 2 c¹nh vµ mét gãc
Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90
o
<
∠
A < 180
o
vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.
TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tun AM ?
2) Gãc
∠
B=? 3) DiƯn tÝch tam gi¸c S = ?
Bµi 8:TÝnh c¹nh BC, gãc B, gãc C cđa
∆
ABC,biÕt: AB =11,52; AC=19,67 vµ gãc
∠

A=54
o
35’12’’
VD2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; AC = 4dm; góc A=46
0
34’25”
1. Tính chu vi. ĐS: 2p
≈
12,67466dm
2. Tính gần đúng diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ĐS: S
≈
20,10675dm
2
.
Bài 7.Cho
∆
ABC biết AB =c; AC=b và
∠
BAC=
α
. Gọi AM là đường phân giác của góc BAC
1)Hãy trình bày cách tính độ dài đoạn thẳng AM khi biết BC và
α
.Áp dụng :b = 15cm;c =
18cm;
α
= 60
0
.

Bµi 9:Tam gi¸c ABC cã
∠
A=90
o
; AB=7cm ; AC=5 cm.
TÝnh ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ?
Bµi 10.cho tam giác ABCvuông ở A,BC =8,916cm đường phân giác trong AD biết
BD=3,178cm .tính AB,AC.
Bài 11:Cho tam giác ABC có AB= 32,25cm; AC= 35,75cm số đo góc A bằng 63
0
25’. Tính
diện tích tam giác ABC, độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C.
Bài 13:Cho tam giác ABC có góc B bằng 120
0
, BC=12 cm, AB=6 cm, đường
phân giác góc B cắt cạnh AC tại D.
a) Tính độ dài đường phân giác BD.
b) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ABC
c) Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác BCD
d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM
⊥
BD
Bµi 14.Cho tam giác ABC cã  = 1v kỴ ®êng cao AH. Trên tia HC lÊy ®iĨm BH = HD. Từ C
kỴ CK vu«ng gãc víi AD. Cho AB=10,45 cm; AC=15,768cm
a.Tính AH b. Tính KC; HK
c. GoI lµ trung điểm AC. Giao điểm của HI với AK là E. tính AE và gãc HCK
AH = 8,710701213 KC= 6,143911261 AE = 4,812044394 góc ACK = 67
0
43’47’’
Bµi 15.Cho tam gi¸c ABC (vu«ng ë A) kỴ AH lµ ®êng cao cho AB = 8,1567; AC = 1,8956

1.TÝnh BC 2.TÝnh BH;HC
Bài 9:Cho
∆
ABC có AB=7cm; AC=8 cm;
∠
BAC=70
0
. Đường thắng a //BC cắt hai cạnh AB
và AC lần lượt tại E và F; M là trung điểm của cạnh BC; trung tuyến AM cắt EF tại N
a.TínhAEsaochoEF=BE+CF;
b.VớiđiểmEđượcxácđịnhởtrên,tính:
DiệntíchtamgiácAEF.

25