Kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Lê quang Dũng- THPT số 2 Phù Cát, Bình Định
Bài 1 : Tìm m để đường thẳng y=x+m , cắt đồ thi (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao
cho các tiếp tuyến tại A,B song song với nhau .
Giải : Xét phương trình hoành độ


(C) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
  
x
1
,x
2
là các hoành độ tiếp điểm A,B => tiếp tuyến tại A,B song song với nhau
y’(x
1
)=y’(x
2
)
 x
1
-1=1-x
2
 x
1
+x
2
=2
Mà x
1
+x

2
=-m+3 nên – m+3=2  m=1
 Giá trị m cần tìm là 1
Bài 2 : Tìm m để đồ thị (C) y=x
3
-3x
2
cắt đường thẳng y=mx-2m-4 tại ba điểm phân biệt ,
sao cho các tiếp tuyến với đồ thị (C) tại các giao điểm có hoành độ khác 2 vuông góc
với nhau
Giải :
D=R , y’=3x
2
-6x
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) y=mx-2m-4là : x
3
-3x
2
=mx-2m-4 (1)
 x
3
-3x
2
-mx+2m+4 =0
 (x-2)(x
2
-x-2-m)=0
 x= 2 , x
2
-x-2-m =0 (2)

(C) cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt  (2) có hai
nghiệm phân biệt có hoành độ khác 2
 
Các hoành độ giao điểm x
1
,x
2
khác 2 là nghiệm của phương trình (2) , Các tiếp tuyến tại
điểm có hoành độ x
1
,x
2
vuông góc  y’(x
1
).y’(x
2
)=-1  9x
1
x
2
(x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)+4)=0
Ta có x

2
+x
1
=1, x
1
x
2
=-2-m nên 9(-2-m)(-2-m-2+4)=-1
 9m
2
+18m+1=0  m= (thoã mãn)
Vậy giá trị m cấn tìm là m=
Bài 3 : Tìm m để đường thẳng (d) y=x+m cắt đồ thị (C ) : tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A,B có giá trị lớn nhất .
Giải : Xét phương trình hoành độ giao điểm : 

(C) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác
 
x
1
,x
2
là các hoành độ giao điểm A,B , ta có x
1
+x
2
=-m , x
1
x
2

=
=> Tổng các hệ số của tiếp tuyến tại A,B là
,
lớn nhất  m=-1
Giá trị m =-1 là cần tìm
Bài 4 : Tìm m để đường thẳng (d) y=-x+2 cắt đồ thị (C
m
) tại 3 điểm phân biệt , trong đó
các giao điểm có hoành độ khác 0 , cùng với điểm M(3,1) tạo thành một tam giác có
diện tích bằng
Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m)
và (d) :
 (*)
(C
m
) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
Gọi A,B là các giao điểm có hoành độ khác 0 => x
A
,x
B
là nghiệm của (*) , x
A
+x
B
=-
2m,x
A
x
B

=3m-2
S
MAB
= AB.d(M,AB)=
Ta có , d(M,AB)=
Khi đó  m=0,m=3 .
Bài 5 Tìm điểm M thuộc (C) y= x
3
-3x
2
, sao cho tiếp tiếp tuyến tại M cắt (C) tại N, sao
cho MN=6
Giải : M thuộc (C) có hoành độ x
0
,tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình : (d) y=(3x
0
2
-
6x
0
)x-2x
0
3
+3x
0
2
Phương trình hoành độ của (C) ,(d) : x
3
-3x
2

=(3x
0
2
-6x
0
)x-2x
0
3
+3x
0
2
 x
3
-3x
2
-(3x
0
2
-
6x
0
)x+2x
0
3
-3x
0
2
=0 (x-x
0
)

2
(x+2x
0
-3)=0=> x
N
=3-2x
0
(x
0
khác 1)
Ta có y
N
= y(3-2x
0
)=(3-2x
0
)
3
-3(3-2x
0
)
2
MN
2
=(3-3x
0
)
2
+[(3-2x
0

)
3
-3(3-2x
0
)
2
-

x
0
3
+3x
0
2
]
2
=(3x
0
-3)
2
+(9x
0
3
-27x
0
2
+18x
0
)
2

MN=3  (3x
0
-3)
2
+(9x
0
3
-27x
0
2
+18x
0
)
2
=(6
 (x
0
-1)
2
+9(x
0
-1)
2
[

(x
0
-1)
2
-1]=382

 … (x
0
-1)
2
=4 x
0
=-1, x
0
=3
Có hai điểm M : (-1,-4), (3,0)
Bài 6 Tìm M thuộc (C) y=sao cho tiếp tuyến (C) tại M , cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A,B khác M sao cho MA=3MB
Giải : M thuộc (C) có hoành độ x
0
,tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình : (d) y=(2x
0
3
-
6x
0
)x
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
(2x
0
3
-6x
0
)x
 x
4

-6x
2
-(4x
0
3
-12x
0
)x+3x
0
4
-6x
0
2
=0
 (x-x
0
)
2
(x
2
+2x
0
x+3x
0
2
-6)=0
 x=x
0
, x
2

+2x
0
x+3x
0
2
-6=0 (*)
(d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B khác M  (*) có hai nghiệm phân biệt khác x
0
 … x
0
khác 1 ,
Khi đó : các hoành độ của A,B là nghiệm của (*) : x
A
+x
B
=-2x
0
, x
A
x
B
=+3x
0
2
-6
i)
3MA MB
=
uuur uuur
=> x

A
-x
0
=3(x
B
-x
0
)  x
A
-3x
B
=-2x
0
Khi đó : x
B
=0, x
A
=-2x
0
=> 3x
0
2
-6=0  x
0
= (™)
ii)
3MA MB
= −
uuur uuur
=> x

A
-x
0
=-3(x
B
-x
0
)  x
A
+3x
B
=4x
0
Khi đó : x
B
=3x
0
, x
A
=-5x
0
=> -15x
0
2
=3x
0
2
-6 => x
0 (
™)

Tọa độ điểm M : ,
Bài 7 : Tìm các điểm A,B trên đồ thị (C) :
1
2
x
y
x
− −
=
+
sao cho tiếp tuyến với (C) tại A,B
song song với nhau và AB=
Giải :
A,B thuộc đồ thị (C) của hàm số : A(a, ), B(b, ) ( a khác b)
Ta có AB
2
==
Các tiếp tuyến với (C) tai A,B song song với nhau => y’(a)=y’(b) => a+b=-4
Nên ta có : 16-4ab+=8  4-ab+ =2  4-ab + ab=3
Khi đó : a=-3,b=-1 , hoặc a=-3,b=-1
Kết quả : A(-3,-2) , B(-1,0) hoặc A(-1,0), B(-3,-2)