Bài tập lớn Phần tử hữu hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (164.78 KB, 12 trang )
Bài 1: Tính và vẽ biểu đồ mômen của hệ thanh nh hình vẽ.
Các thông số nh sau:
P = 20(N)
q = 5(kN/m)
M = 12(kNm)
E = 1,2.10
6
(N/cm2)
a = 3(m)
I. dời tải trọng tập trung và phân bố về nút
A - Đối với thanh 1.
Trong đó:
B - Đối với thanh 2.
C - Đối với thanh 3
1
P
3
0
a
a
P
'
1
P
1
P1
P'1
L
P
1
/2 P
1
/2
P
1.
L/8P
1.
L/8
P'
1.
L/2P'
1.
L/2 P'
1.
L/2
P
1
/2
P
1.
L/8
L
P'
1.
L/2
P
1.
L/8
P
1
/2
P
a
M
q
P
a
1
2
3
1
2
3
4
3
0
2
30sin1
2
3
30cos1'
P
PP
PPP
==
==
a
P
a
a a
P
Pa/4
P/2
Pa/4
P/2
a
P/2
a
Pa/4
P
P/2
Pa/4
q
a
q
a
qa/2
qa
/12 qa
/12
qa/2
a
qa/2
qa
/12
qa/2
qa
/12
Sau khi rời các lực về nút ta có lực tác dụng ở các nút nh hình vẽ:
II. tính toán
a-Thông tin về phần tử
Số hiệu phần tử 1 2 3
Nút đầu 1 2 3
Nút cuối 2 3 4
b-Thông tin về nút
Số hiệu nút 1 2 3 4
Toạ độ x 0
3/2a
3/2a
+a
3/2a
+a
Toạ độ y 0 2a 2a 0
c-Thông tin về tải trọng
Số hiệu nút 1 2 3 4
Px -P
1
L/4 -P
1
L/4 P/2 P/2
Py -3P/4 -(3P/4+qa/2) -qa/2 0
Mz 0 M+qa
2
/12 -(Pa/4+qa
2
/12) Pa/4
d Thông tin về chuyển vị nút
- Tổng số chuyển vị nút: 12
- Số chuyển vị nút bằng 0 : 5
- Số ẩn chuyển vị nút: 7
Đánh số chuyển vị nút
u
1
v
1
1
u
2
v
2
2
u
3
v
3
3
u
4
v
4
1
0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0
III . Thiết lập ma trận độ cứng của các phần tử trong hệ toạ độ chung
2
a
1
1
3
0
2
M+qa
/12
3
4
2
2
a
3
3P/4
P'
1.
L/4
3P/4+qa/2
P'
1.
L/4
Pa/4+qa
/12
P/2
P/2
Pa/4
Theo c«ng thøc:
[K’]
i
= [B]
i
T
.[K]
i
.[T]
i
víi i = 1,2,3
Trong ®ã
víi i = 1,2,3. B lµ ma trËn chuyÓn trÝ cña T
a. §èi víi thanh 1
3
EA 12 10
6
⋅ 0.15
2
⋅:=
EJ 12 10
6
⋅
0.15
4
12
⋅:=
ai 4
3
3
⋅:=
K
EA
ai
0
0
EA−
ai
0
0
0
12
EJ
ai
3
6
EJ
ai
2
0
12−
EJ
ai
3
6
EJ
ai
2
0
6
EJ
ai
2
4
EJ
ai
0
6−
EJ
ai
2
2
EJ
ai
EA−
ai
0
0
EA
ai
0
0
0
12−
EJ
ai
3
6−
EJ
ai
2
0
12
EJ
ai
3
6−
EJ
ai
2
0
6
EJ
ai
2
2
EJ
ai
0
6−
EJ
ai
2
4
EJ
ai
:=
b. §èi víi thanh 2
a2 = 3
4
K
3.897 10
4
×
0
0
3.897− 10
4
×
0
0
0
18.268
63.281
0
18.268−
63.281
0
63.281
292.284
0
63.281−
146.142
3.897− 10
4
×
0
0
3.897 10
4
×
0
0
0
18.268−
63.281−
0
18.268
63.281−
0
63.281
146.142
0
63.281−
292.284
=
T1
1
2
3−
2
0
0
0
0
3
2
1
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
3−
2
0
0
0
0
3
2
1
2
0
0
0
0
0
0
1
:= B1
1
2
3
2
0
0
0
0
3−
2
1
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
3
2
0
0
0
0
3−
2
1
2
0
0
0
0
0
0
1
:=
K1 B1 K⋅ T1⋅:=
K1
9.756 10
3
×
1.687 10
4
×
54.803−
9.756− 10
3
×
1.687− 10
4
×
54.803−
1.687 10
4
×
2.923 10
4
×
31.641
1.687− 10
4
×
2.923− 10
4
×
31.641
54.803−
31.641
292.284
54.803
31.641−
146.142
9.756− 10
3
×
1.687− 10
4
×
54.803
9.756 10
3
×
1.687 10
4
×
54.803
1.687− 10
4
×
2.923− 10
4
×
31.641−
1.687 10
4
×
2.923 10
4
×
31.641−
54.803−
31.641
146.142
54.803
31.641−
292.284
=
K2
9 10
4
×
0
0
9− 10
4
×
0
0
0
225
337.5
0
225−
337.5
0
337.5
675
0
337.5−
337.5
9− 10
4
×
0
0
9 10
4
×
0
0
0
225−
337.5−
0
225
337.5−
0
337.5
337.5
0
337.5−
675
=
c. Đối với thanh 3
a3 = 6
Từ các ma trận độ cứng của các phần tử ta có ma trận độ cứng của kết cấu là:
Thay số vào thông tin về tải trọng ta có
5
K
4.5 10
4
ì
0
0
4.5 10
4
ì
0
0
0
28.125
84.375
0
28.125
84.375
0
84.375
337.5
0
84.375
168.75
4.5 10
4
ì
0
0
4.5 10
4
ì
0
0
0
28.125
84.375
0
28.125
84.375
0
84.375
168.75
0
84.375
337.5
=
T3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
:= B3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
:=
K3 B3 K T3:=
K3
28.125
0
84.375
28.125
0
84.375
0
4.5 10
4
ì
0
0
4.5 10
4
ì
0
84.375
0
337.5
84.375
0
168.75
28.125
0
84.375
28.125
0
84.375
0
4.5 10
4
ì
0
0
4.5 10
4
ì
0
84.375
0
168.75
84.375
0
337.5
=
K
292.284
54.803
31.641
146.142
0
0
0
54.803
9.97610
4
1.68710
4
54.803
9 10
4
0
0
31.641
1.68710
4
2.94610
4
305.859
0
225
337.5
146.142
54.803
305.859
967.284
0
337.5
337.5
0
9 10
4
0
0
9.00310
4
0
84.375
0
0
225
337.5
0
4.52310
4
337.5
0
0
337.5
337.5
84.375
337.5
1012.5
:=
Số hiệu nút 1 2 3 4
Px(KN)
-0.03 -0.03 0.01 0.01
Py(KN)
-0.015 -7.515 -7.5 0
Mz(KN/m)
0 12000004 -3.765 0.015
Phơng trình cân bằng: K.v = P
Giải ra ta đợc
Từ các chuyển vị của kết cấu ta lần lợt tính nội lực trong từng phần tử trong hệ
toạ độ chung.
Phần tử 1:
6
K
1
u2
v2
2
u3
v3
3
0
0.03
7.515
12000004
0.01
7.5
3.765
:=
K
1
u2
v2
2
u3
v3
3
0
0.03
7.515
12000004
0.01
7.5
3.765
:=
v
1.522 10
4
ì
2.295 10
4
ì
1.331 10
4
ì
1.895 10
4
ì
2.294 10
4
ì
46.998
3.775 10
3
ì
=
v K
1
P
:=
P1
u1
v1
Mz1
u2
v2
Mz2
:=
Mz2
P1 K1
0
0
1.522 10
4
2.29510
4
1.331 10
4
1.89510
4
:= P1
3.852 10
5
ì
2.109 10
6
ì
299.659
3.852 10
5
ì
2.109 10
6
ì
4.993 10
6
ì
=
• PhÇn tö 2:
• PhÇn tö 3:
7
P2
u2
v2
Mz2
u3
v3
Mz3
:=
Mz3
P2 K2
2.29510
4
⋅
1.331− 10
4
⋅
1.89510
4
⋅
2.29410
4
⋅
46.998
3.775− 10
4
⋅
⋅:= P2
9 10
5
×
9.35− 10
6
×
4.457− 10
6
×
9− 10
5
×
9.35 10
6
×
2.359− 10
7
×
=
P3
u3
v3
Mz3
u4
v4
Mz4
:=
Mz4
P3 K3
2.29410
4
⋅
46.998
3.775− 10
4
⋅
0
0
0
⋅:= P3
2.54− 10
6
×
2.115 10
6
×
1.081− 10
7
×
2.54 10
6
×
2.115− 10
6
×
4.435− 10
6
×
=
Bài 2: Tính chuyển vị các nút và xác định véc tơ ứng xuất trong các phần tử.
Cho biết:
P = 20KN/m
q = 5KN/m2
a = 3m
t = 10cm = 0.1m
= 0.18
Bài làm
Chia kết cấu thành các phần tử nh hình vẽ:
Mạng lới gồm có 12 nút, 12 phần tử tam giác
Các phần tử đều thuộc một trong hai loại sau đây:
- Loại 1: (Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12)
Ta có:
xi = 0 xj = a/2 xm = a/2
yi = 0 yj = 0 ym = a/2
bi = yj ym = -a/2
ci = xm xj = 0
bj = ym yi = a/2
cj = xi xm = -a/2
bm = yi yj = 0
cm = xj xi = a/2
và
8
y
x
i
j
m
a/2
a
/
2
8
22
1
0
2
1
001
2
1
1
1
1
2
1
2
a
aa
a
ymxm
yjxj
yixi
===
2a
a
t
P
q
a
/
2
a
/
2
P
1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
12
1
2
5
6
7
4
3
8
9
10
11
12
qa/24
6qa/24
5qa/24
5
- Loại 2: (Gồm các phần tử 2,4,6,9,11)
Ta có:
xi = 0 xj = a/2 xm = 0
yi = 0 yj = a/2 ym = a/2
bi = yj ym = 0
ci = xm xj = -a/2
bj = ym yi = a/2
cj = xi xm = 0
bm = yi yj = -a/2
cm = xj xi = a/2
và
Ma trận độ cứng của phần tử đợc tính theo công thức sau:
Trong đó r,s là hoán vị vòng tròn của i,j,m
Ma trận độ cứng của phần tử loại 1(Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12) là
Ta có ma trận độ cứng K1 là:
9
x
i
a/2
a
/
2
y
j
m
8
2
01
22
1
001
2
1
1
1
1
2
1
2
a
a
aa
ymxm
yjxj
yixi
===
[ ]
( )
+
+
+
+
=
srsrsrsr
srsrsrsr
rs
bbcccbbc
bccbccbb
Et
k
2
1
2
1
2
1
2
1
14
2
Kii
6.201 10
5
ì
0
0
2.542 10
5
ì
=
Kij
6.201 10
5
ì
2.542 10
5
ì
1.116 10
5
ì
2.542 10
5
ì
=
Kim
0
2.542 10
5
ì
1.116 10
5
ì
0
=
Kj j
8.743 10
5
ì
3.659 10
5
ì
3.659 10
5
ì
8.743 10
5
ì
=
Kmm
2.542 10
5
ì
0
0
6.201 10
5
ì
=
Kjm
2.542 10
5
ì
2.542 10
5
ì
1.116 10
5
ì
6.201 10
5
ì
=
K1
6.201 10
5
0
6.201 10
5
1.116 10
5
0
1.116 10
5
0
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
0
6.201 10
5
2.542 10
5
8.743 10
5
3.659 10
5
2.542 10
5
1.116 10
5
1.116 10
5
2.542 10
5
3.659 10
5
8.743 10
5
2.542 10
5
6.201 10
5
0
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
0
1.116 10
5
0
1.116 10
5
6.201 10
5
0
6.201 10
5
:=
Ma trận độ cứng của phần tử loại 2(Gồm các phần tử 2,4,6,9,11) là
Ta có ma trận độ cứng K2 là:
Ma trận độ cứng tổng thể có dạng
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 K11 K12 K1,10
2 K21 K22 K23 K2,10 K2,11
3 K32 K33 K34 K3,11 K3,12
4 K43 K44 K45 K46 K4,12
5 K54 K55 K56
6 K64 K65 K66 K67 K6,12
7 K76 K77 K78 K7,12
8 K87 K88 K89 K8,11 K8,12
9 K98 K99 K9,10 K9,11
10 K10,1 K10,2 K10,9 K10,10 K10,11
11 K11,2 K11,3 K11,8 K11,9 K11,10 K11,11 K11,12
12 K12,3 K12,4 K12,6 K12,7 K12,8 K12,11 K12,12
Với cách chia nh hình vẽ ta có:
K1,2 = K2,3 = K3,4 = K4,5
K1,10 = K9,10
10
Ki i
2.542 10
5
ì
0
0
6.201 10
5
ì
=
Ki j
0
1.116 10
5
ì
2.542 10
5
ì
0
=
Ki m
2.542 10
5
ì
1.116 10
5
ì
2.542 10
5
ì
6.201 10
5
ì
=
Kj j
6.201 10
5
ì
0
0
2.542 10
5
ì
=
Kjm
6.201 10
5
ì
2.542 10
5
ì
1.116 10
5
ì
2.542 10
5
ì
=
Kmm
8.743 10
5
ì
3.659 10
5
ì
3.659 10
5
ì
8.743 10
5
ì
=
K2
2.542 10
5
0
0
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
0
6.201 10
5
1.116 10
5
0
1.116 10
5
6.201 10
5
0
1.116 10
5
6.201 10
5
0
6.201 10
5
1.116 10
5
2.542 10
5
0
0
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
2.542 10
5
1.116 10
5
6.201 10
5
2.542 10
5
8.743 10
5
3.659 10
5
2.542 10
5
6.201 10
5
1.116 10
5
2.542 10
5
3.659 10
5
8.743 10
5
:=
K2,2 = K3,3 = K4,4
K2,10 = K3,11 = K4,12 = K8,12 = K9,11
K2,11 = K3,12 = K4,6 = K7,12 = K8,11
K5,6 = K6,7
K6,12 = K10,11 = K11,12
K11,11 = K12,12
Sau khi tÝnh to¸n ta cã:
11
K7
7
8.743 10
5
×
0
0
8.743 10
5
×
=K6
12
1.24− 10
6
×
0
0
5.084− 10
5
×
=
K7
7
Kmm1 Kjj2+:=K6
12
Kij1 Kjm2+:=
K6
6
1.749 10
6
×
3.659− 10
5
×
3.659− 10
5
×
1.749 10
6
×
=K5
6
2.542− 10
5
×
2.542 10
5
×
1.116 10
5
×
6.201− 10
5
×
=
K6
6
Kmm1 Kjj2+ Kj j1+:=K5
6
Kjm1:=
K5
5
8.743 10
5
×
3.659− 10
5
×
3.659− 10
5
×
8.743 10
5
×
=K2
11
0
3.658− 10
5
×
3.658− 10
5
×
0
=
K5
5
Kj j1:=K2
11
Kim1 Kij2+:=
K2
2
1.749 10
6
×
3.659− 10
5
×
3.659− 10
5
×
1.749 10
6
×
=
K2
10
5.084− 10
5
×
3.658 10
5
×
3.658 10
5
×
1.24− 10
6
×
=
K2
10
Kjm1 Kim2+:=K2
2
Kj j1 Kii2+ Kii1+:=
K1
10
0
2.542− 10
5
×
1.116− 10
5
×
0
:=
K1
2
6.201− 10
5
×
2.542− 10
5
×
1.116− 10
5
×
2.542− 10
5
×
:=K1
1
6.201 10
5
×
0
0
2.542 10
5
×
:=
Tõ c¸c gi¸ trÞ ta cã ®é cøng [K]
Ta cã ph¬ng tr×nh c©n b»ng:
[K]x[∆] = {P}+ {R}
trong ®ã:
12
K7
8
Kjm2:= K8
8
Kmm1 Kjj2+ Kmm2+:=
K7
8
6.201− 10
5
×
2.542 10
5
×
1.116 10
5
×
2.542− 10
5
×
= K8
8
1.749 10
6
×
3.659− 10
5
×
3.659− 10
5
×
1.749 10
6
×
=
K9
9
Kmm1 Kmm2+:= K10
10
Kmm1 Kmm2+ Kii1+:=
K9
9
1.129 10
6
×
3.659− 10
5
×
3.659− 10
5
×
1.494 10
6
×
= K10
10
1.749 10
6
×
3.659− 10
5
×
3.659− 10
5
×
1.749 10
6
×
=
K11
11
Kmm1 Kii1+ Kjj1+ Kmm2+ Kii2+ Kjj2+:=
K11
11
3.497 10
6
×
7.318− 10
5
×
7.318− 10
5
×
3.497 10
6
×
=
∆
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
u5
v5
u6
v6
u7
v7
u8
v8
u9
v9
u10
v10
u11
v11
u12
v12
:=
v12
P
0
0
0
0
0
0
0
0
5
−
q
⋅
a
24
⋅
0
6
−
q
⋅
a
24
⋅
0
q
−
a
24
⋅
0
0
0
0
0
0
P
−
0
0
0
0
:=
P
R
R1x
R1y
R2x
R2y
R3x
R3y
R4x
R4y
R5x
R5y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
:=
R5y
