TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
******************************************************************************
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Chú ý :
Ký hiệu P(x) là đa thức biến số x .
Nguyên hàm I = .Tìm cách phân chia biểu thức dưới dấu tích phân thành hai phần : u
và dv một cách thích hợp.Ta phải tính du và v (Hai phép toán ngược nhau).
Sau đó áp dụng : = uv - .
Một số dạng bài tập điển hình :
1. I = ; I = ; I =
-Đều đặt u = P(x) ,phần còn lại là dv
2. I = Đặt u = lnx , phần còn lại là dv
(Trường hợp này :Kể cả khi P(x) là hằng số)
3. I = .Đặt u = lnx , phần còn lại là dv
4. I = , I = - Đặt u = , phần còn lại là dv
Nhiều bài không thuộc dạng điển hình vẫn có thể giải phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 1: Chứng minh: .cos6x.dx = .sinx.sin6x.dx và tính J = .cos7x.dx
Hướng dẫn : Tính VT theo phương pháp tích phân từng phần ( Đặt u = cos
6
x và dv = cos6xdx )
Ta có : VT = .cos6x.dx = .d(sin6x)

= + .sinx.sin6x.dx = 0 + .sinx.sin6x.dx = VP
Tính : J = .cos7x.dx
Có J = .cos7x.dx = cos dx
= .cos6x.dx - .sinx.sin6x.dx = 0 (Theo kết quả trên )
Ví dụ 2: Tính I =
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (1)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN

TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
******************************************************************************
Bài giải 1: Đặt : thì : Ta có :
I = + d(x-1) = + =
Bài giải 2: Dùng phương pháp đổi biến số ,( đặt t = x-1).Hoặc làm gộp như sau để
không phải đổi cận .Ta viết :
I = =
= - = - =

Lưu ý : (1- = (x - và (1- = - (x -
Bài tập 1: Tính : I = dx

Bài giải 1: Tính I = dx .Tích phân từng phần
Đặt Thì : áp dụng : = uv -
Ta có : I = dx = - = - I
1
(*)
Ta tính I
1
= để thay vào (*).
Ta có: I
1
= = = Đổi biến số.
Đặt = t Thì x = t .Khi x = 0 , t = ; Khi x = , t = 0 và dx = - dt .Do đó :
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (2)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
******************************************************************************
I

1
= = = - =
(Đã đổi cận và đổi dấu; - tích phân không phụ thuộc biến số)
I
1
= - = - =
= - = -
= - I
1

Vậy, 2.I
1
= Do đó :I
1
= = . ln2
Thay I
1
= .ln2 vào (*) Ta được : I = - =
Ở bài toán trên ta đã vận dụng hai phương pháp :Tích phân từng phần và đổi biến số.Tùy cơ ứng
biến trong giải bài tạp .Không có khuôn mẫu cho cách giải mọi bài toán.
Có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đổi biến số như sau
Bài tập 2: Tính I = dx .
Lời Giaỉ : Đặt t = – x.
Ta có:dx = - dt Khi x = 0, t = ,khi x = , t = 0 , = ln
Do đó : I = dx = dt = dt
= .dt = dt = .dt - dt = ln2 - I
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (3)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

******************************************************************************
Suy ra : 2I = ln2 = ln2 . = . Vậy I =
( Đừng nhầm tưởng rằng:Tích phân có chứa logarit là phải tính theo tích phân từng phần )
Bài tập 3: Tính I
n
= . (Lập công thức tính truy hồi)
Lời Giaỉ : Viết : I
n
= =
Đặt Thì :
I
n
= - cosx.sin
n-1
x + (n-1) .co x.dx = - cosx.sin
n-1
x + (n-1) (1- si x)dx
= - cosx.sin
n-1
x + (n-1) .dx – (n-1) .dx .
Tức là ta có công thức truy hồi: n.I
n
= - cosx.sin
n-1
x + (n- 1).I
n-2
Bài tập 4: Tính I
n
= . (Lập công thức tính truy hồi)
Lời Giaỉ :Viết : I

n
= =
Đặt Thì :
I
n
= sinx.cos
n-1
x + (n-1) . x.dx = sinx.cos
n-1
x + (n-1) (1- x)dx
= sinx.cos
n-1
x + (n-1) .dx - (n-1) .dx .
Tức là ta có công thức truy hồi: n.I
n
= sinx.cos
n-1
x + (n- 1).I
n-2
Bài tập 5: Tính I
n
= . (Lập công thức tính truy hồi)
Lời Giaỉ :Viết : I
n
= = =
= - = ta x -
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (4)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

******************************************************************************
Tức là ta có công thức truy hồi: I
n
= ta x – I
n-2
Bài tập 6: Tính : I
n
= (Lập công thức tính truy hồi)
Đặt : Ta có : Dođó:
I
n
= + 2n = + 2n .dx
= + 2n - 2n .Tức là có : 2nI
n+1
= + (2n-1)I
n
.
Tức là ta có công thức truy hồi: I
n+1
= + .I
n
Bài tập 7: Tính I
n
= .dx Với n -1
- Đặt : -Thì :
Do đó I
n
= .dx = x. - n .dx Vậy: I
n
= x. - n.I

n-1
Bài tập 8: Tính I
n
= Với m 1
- Đặt : -Thì : .
Vậy ta có : I
n
= - = - + C
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (5)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
******************************************************************************
Bài tập : 1/Tính tích phân : (Hdẫn:đặt u = , dv = cosxdx)
2/Tính tích phân : I=
Hdẫn : I = = I
1
+I
2
+I
3
Tính I
2
= 2 : Đặt u = x và dv = sinx.dx - (Tích phân từng phần)
3/ Tính tích phân : I=
Hdẫn : I = =
= + + -
= + + - = I
1
+I

2
+I
3
+I
4
Tính I
2
= : Đặt u = x và dv = - (Tích phân từng phần)
4/ Tính tích phân: I =
5/ Tính tích phân: I =
Hdẫn : I = = I = -

= + - = I
1
+ I
2
- I
3
Đặt t = - x , ta có I
1
= = = = I
3
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (6)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
******************************************************************************
Do đó : I = I
2
= = = ,( t = 1+sinx)

-Đặt : thì : Do đó : I = = (t.lnt – t ) = 2ln2 – 1
6/ Tính tích phân : I = .dx Ta có : I=
-Đặt : thì : .
Do đó : I = - = - J (*)
Tính J = = = =

= )d(sinx) = )d(sinx)

= Thay J = vào (*)
Ta có : I = - = … = - ln = - 2ln(2+
7/ Tính tích phân : I =
Hdẫn : I = = + = I
1
+ I
2


TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (7)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
******************************************************************************
- Tính I
1
= ( Đặt u = và dv = sinx.dx )
-Tính I
2
= (Đặt u = và dv = )
8/ Cho : I
n

= .dx Hãy tính I
0
và tính tổng I
n
+ I
n+1
Lời giải : Tính I
0
= = = .Đặt Ta có :
I
0
= = dt = = ln = ln
Tính I
0
có thể đặt t = , dt = 2 dx nên dx = , Ta có I
0
= =
Tính tổng I
1
+I
2
: Vì I
n
= nên I
n+1
= =
Ta có : I
n
+ I
n+1

= + = = .dx

= .d(2nx) = =
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN
***************************************************************************************** (8)