hệ đối xứng loại 2

1

ThS. on Vng Nguyờn toancapba.com
CHUYấN

H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) II


1. Dng 1:
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
f(x,y) = 0
f(y,x) = 0
(i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia)

Phng phỏp gii chung

Cỏch gii 1
Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai
phng trỡnh ca h.

Vớ d 1. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)

ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
.
Gii

Tr (1) v (2) v theo v ta c:
3 3 2 2
x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0
- + - = - + + + =


2
2
y 3y
(x y) x 3 0 y x
2 4
ộ ự
ổ ử
ờ ỳ
ữ
ỗ

- + + + = =
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ữỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ

Th y = x vo (1) hoc (2) ta c:
3
x x 0 x 0
+ = =

Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht
x 0
y 0
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.

Vớ d 2. Gii h phng trỡnh

2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ

Gii
iu kin:
3
x 4
2
3
x 4
2
ỡ
ù
ù
- Ê Ê
ù
ù
ớ
ù

ù
- Ê Ê
ù
ù
ợ
.
Tr (1) v (2) ta c:
(
)
(
)
2x 3 2y 3 4 y 4 x 0
+ - + + - - - =
(2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x)
0
2x 3 2y 3 4 y 4 x
+ - + - - -
+ =
+ + + - + -


2 1
(x y) 0 x y
2x 3 2y 3 4 y 4 x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- + = =
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + - + -
.
Thay x = y vo (1), ta c:
2

2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16
+ + - = Û + + + - =


2
2
9 x 0
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9x 38x 33 0
9
ì
- ³
ï
ï
Û - + + = - Û Û = Ú =
í
ï
- + =
ï

î
(nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
x
x 3
9
y 3 11
y
9
ì
ï
ï
=
ì
ï
=ï
ï
ï
Ú
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
.

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích
(thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ì
ï
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
ï
î

Giải
Trừ và cộng (1) với (2), ta được:
3 2 2
3 2 2
x 2x y (x y)(x xy y 1) 0
y 2y x (x y)(x xy y 3) 0
ì ì
ï ï

= + - + + - =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= + + - + - =
ï ï
ï ï
î î


2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0 x y 0
x y 0 x xy y 1
x y 0
x xy y 3 x xy y 1
x xy y 3
ì
ì ì
ì
ï
- = + =
ï ï
- = + + =
ï
ï
ï ï

ï ï
Û Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
+ =
- + = + + =
- + =
ï ï ï ï
î
î î
ï
î

+
x y 0 x 0
x y 0 x 0
ì ì
- = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = =
ï ï
î î

+
2 2 2
x y 0 y x

x 3 x 3
x xy y 3 x 3
y 3 y 3
ì ì
ì ì
ï ï
- = =
ï ï
= = -
ï ï
ï ï
ï ï
Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
- + = =
= = -
ï ï ï ï
î î
ï ï
î î

+
2 2 2
x y 0 y x
x 1 x 1
y 1 y 1
x xy y 1 x 1
ì ì
ì ì

+ = = -
ï ï
= - =
ï ï
ï ï
ï ï
Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
+ + = =
ï ï ï ï
î î
î î

+
2 2
2 2
2 2
xy 1
x xy y 1 xy 1 x 1 x 1
x y 0 y 1 y 1
x y 2
x xy y 3
ì
ì
ì ì ì
ï
= -
ï

+ + = = - = = -
ï ï ï
ï
ï
ï ï ï ï
Û Û Û Ú
í í í í í
ï ï ï ï ï
+ = = - =
+ =
- + =
ï ï ï ï ï
î î î
î
ï
î

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:
x 0 x 1 x 1 x 3 x 3
x 0 y 1 y 1
y 3 y 3
ì ì
ì ì ì
ï ï
= = - = = = -
ï ï ï
ï ï
ï ï ï ï ï
Ú Ú Ú Ú
í í í í í

ï ï ï ï ï
= = = -
= = -
ï ï ï ï ï
î î î
ï ï
î î
.

Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î

Giải
3

iu kin:

3
x 4
2
3
x 4
2
ỡ
ù
ù
- Ê Ê
ù
ù
ớ
ù
ù
- Ê Ê
ù
ù
ợ
.
Tr (1) v (2) ta c:

2x 3 4 x 2y 3 4 y
+ - - = + - -
(3)
Xột hm s
3
f(t) 2t 3 4 t, t ; 4
2
ộ ự

ờ ỳ
= + - - ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
, ta cú:

/
1 1 3
f (x) 0, t ; 4
2
2t 3 2 4 t
ổ ử
ữ
ỗ
= + > " ẻ -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ -
(3) f(x) f(y) x y
ị = =
.
Thay x = y vo (1), ta c:

2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16
+ + - = + + + - =

2
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9
- + + = - = =
(nhn).
Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit
11
x
x 3
9
y 3 11
y
9
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
=ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ

=
ù
ù
ợ
.
Vớ d 5. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y
y 2y x
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
.
Gii
Xột hm s
3 / 2
f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t
= + ị = + > " ẻ
Ă
.
H phng trỡnh tr thnh

f(x) y (1)
f(y) x (2)
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
+ Nu
x y f(x) f(y) y x
> ị > ị >
(do (1) v (2) dn n mõu thun).
+ Nu
x y f(x) f(y) y x
< ị < ị <
(mõu thun).
Suy ra x = y, th vo h ta c
3
x x 0 x 0.
+ = =

Vy h cú nghim duy nht
x 0
y 0
ỡ
=

ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.

Chỳ ý:
Khi gp h phng trỡnh i xng loi II dng 1, ta nờn gii cỏch 1. Nu gii khụng c mi ngh n cỏch 2
v 3, nu vn khụng gii c thỡ quay tr v bi v tỡm iu kin chớnh xỏc ri gii li cỏch 1!

Vớ d 6 (trớch thi H khi B 2003). Gii h phng trỡnh:
2
2
2
2
x 2
3x
y
y 2
3y
x
ỡ
ù
+
ù
=
ù

ù
ù
ớ
ù
+
ù
ù
=
ù
ù
ợ

Gii
Nhn xột t h phng trỡnh ta cú
x 0
y 0
ỡ
>
ù
ù
ớ
ù
>
ù
ợ
. Bin i:
4

2
2 2

2
2 2
2
2
x 2
3x
3xy x 2 (1)
y
3yx y 2 (2)
y 2
3y
x
ì
ï
+
ï
=
ï
ì
ï
= +
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
+
ï ï

ï
î
ï
=
ï
ï
î

Trừ (1) và (2) ta được:
(x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).
- + + = Û = + + >

Với
3 2
x y : (1) 3x x 2 0
= Û - - =
2
(x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.
Û - + + = Û =

Vậy hệ có 1 nghiệm
x 1
y 1
ì
=
ï
ï
í
ï
=

ï
î
.

2. Dạng 2:
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
f(x,y) = 0
g(x,y) = 0
, trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung

Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2
1 1
x y (1)
x y
2x xy 1 0 (2)
ì
ï
ï
- = -

ï
ï
í
ï
ï
- - =
ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0
¹ ¹
. Ta có:

1 1
(1) (x y) 1 0 y x y .
xy x
æ ö
÷
ç
Û - + = Û = Ú = -
÷
ç
÷
֍
è ø

+ Với y = x:

2
(2) x 1 0 x 1
Û - = Û = ±
.
+ Với
1
y
x
= -
: (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x 1 x 1
y 1 y 1
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= = -
ï ï
î î
.

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng
f(x) f(y) x y
= Û =
với hàm f đơn điệu.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2
x y cos x cos y (1)
x y 3y 18 0 (2)
ì
- = -
ï
ï
í
ï
- - =
ï
î
.
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được:
(1) x cosx y cosy
Û - = -
(3).
Xét hàm số
/
f(t) t cos t f (t) 1 sin t 0, t
= - Þ = + > " Î
¡
.
Suy ra
(3) f(x) f(y) x y
Û = Û =
.

Thay x = y vào (2), ta được:
5

3 2
x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.
- - = Û - + + = Û =

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x 3
y 3
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.

Chú ý:
Cách giải sau đây sai:
2
1 1
x y (1)
x y
2x xy 1 0 (2)
ì
ï

ï
- = -
ï
ï
í
ï
ï
- - =
ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0
¹ ¹
.
Xét hàm số
/
2
1 1
f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}
t
t
= - Î Þ = + > " Ρ ¡
.
Suy ra
(1) f(x) f(y) x y
Û = Û =
!

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).


BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1)
2
2
x 3y 2 0
y 3x 2 0
ì
ï
- + =
ï
ï
í
ï
- + =
ï
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 1 y 2
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í

ï ï
= =
ï ï
î î
.
2)
2
2
x xy x 2y
y xy y 2x
ì
ï
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
ï
î
. Đáp số:
3
x
x 0
2
y 0 3
y
2
ì

ï
ï
=
ì
ï
=ï
ï
ï
Ú
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
.
3)
x 1 y 7 4
y 1 x 7 4
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + - =

ï
ï
î
. Đáp số:
x 8
y 8
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.
4)
x 1 y 2 3
y 1 x 2 3
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î

. Đáp số:
x 3
y 3
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.
5)
x 3 2 y 3
y 3 2 x 3
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 1 y 2

ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= = -
ï ï
î î
.
6)
3
3
x x 2y
y y 2x
ì
ï
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
ï
î
. Đáp số:
x 0 x 3 x 3
y 0

y 3 y 3
ì ì
ì
ï ï
= = = -
ï
ï ï
ï ï ï
Ú Ú
í í í
ï ï ï
=
= = -
ï ï ï
î
ï ï
î î
.
7)
2
2
3
2x y
x
3
2y x
y
ì
ï
ï

+ =
ï
ï
ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
ï
î
. Đáp số:
x 1
y 1
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
. 8)
2
2
1
2x y
y

1
2y x
x
ì
ï
ï
= +
ï
ï
ï
í
ï
ï
= +
ï
ï
ï
î
. Đáp số:
x 1
y 1
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î

.
9)
2 2
2 2
x y 4 y
xy 4 x
ì
ï
- =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ï
î
. Đáp số:
x 2
y 2
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.

6

10)
3 2
3 2
x x x 1 2y
y y y 1 2x
ỡ
ù
- + + =
ù
ù
ớ
ù
- + + =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1 x 1
y 1 y 1
ỡ ỡ
= = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= = -
ù ù

ợ ợ
.
11) (trớch thi H khi A 2003)
3
1 1
x y (1)
x y
2y x 1 (2)
ỡ
ù
ù
- = -
ù
ù
ớ
ù
ù
= +
ù
ù
ợ
.
Hng dn gii
iu kin:
x 0, y 0.
ạ ạ


x y 1 1
(1) x y 0 (x y) 1 0 x y y .

xy xy x
ổ ử
-
ữ
ỗ
- + = - + = = = -
ữ
ỗ
ữ
ữỗ
ố ứ

+ Vi
x y
=
: (2)
1 5
x 1 x .
2
-
= =

+ Vi
4
1
y : (2) x x 2 0.
x
= - + + =

Xột hm s

4 / 3
3
1
f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x .
4
-
= + + ị = + = =

3 3
x
1 3
f 2 0, lim f(x) 0, x
4 4 4
đƠ
ổ ử
-
ữ
ỗ
= - > = +Ơ ị > " ẻ
ữ
ỗ
ữ
ữỗ
ố ứ
Ă

4
x x 2 0
ị + + =
vụ nghim.

Cỏch khỏc:
+ Vi
4
x 1 x 2 0 x x 2 0
< ị + > ị + + >
.
+ Vi
4 4
x 1 x x x x x 2 0
ị - ị + + >
.
Suy ra (2) vụ nghim.
Vy h phng trỡnh cú 3 nghim phõn bit
1 5 1 5
x x
x 1
2 2
y 1
1 5 1 5
y y
2 2
ỡ ỡ
ù ù
- + - -
ù ù
= =
ù ù
ỡ
=
ù

ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
=
- + - -
ù ù ù
ợ
= =
ù ù
ù ù
ù ù
ợ ợ
.
12)
x sin y (1)
y sin x (2)
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

Hng dn gii
Tr (1) v (2) ta c:

x y sin y sin x x sin x y sin y (3).
- = - + = +

Xột hm s
/
f(t) t sin t f (t) 1 cos t 0, t
= + ị = + " ẻ
Ă
.
(3) f(x) f(y) x y (1) x sin x 0 (4).
= = ị - =

Xột hm s
/
g(x) x sin x g (x) 1 cos x 0, x
= - ị = - " ẻ ị
Ă
(4) cú khụng quỏ 1 nghim.
Do
g(0) 0 (4) x 0.
= ị =
Vy h cú 1 nghim
x 0
y 0
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù

=
ù
ợ
.