6.ki thuat cong mau so engle cua bat dang thuc Chebychev.pdf

1


DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM


VietNam Inequality Mathematic Forum

څڅڅڅڅ





www.vimf.co.cc




Tác Giả Bài Viết:

Admin



څڅڅ
Bài viết này (cùng với file ñính kèm) ñược tạo ra vì mục ñính
giáo dục. Không ñược sử dụng bản ebook này dưới bất kì
mọi mục ñính thương mại nào, trừ khi ñược sự ñồng ý của
tác giả. Mọi chi tiết xin liên hệ:
www.vimf.co.cc

2

KĨ THUẬT CỘNG MẪU SỐ ENGEL CỦA BẤT ðẲNG
THỨC CHEBYCHEV
Như các bạn ñã biết Bất ñẳng thức Chebychev là một công cụ mạnh ñể giải quyết
một lớp các bất ñẳng thức. Trước khi ñến với bài viết này tôi xin nhắc lại một chút về
bất ñẳng thức này

I/ Bất ñẳng thức Chebychev cổ ñiển và Chebychev dạng Engel

1a. Bất ñẳng thức Chebychev trên 2 dãy ñơn ñiệu cùng chiều:
Cho 2 dãy hữu hạn các số thực ܽ
ଵ
,ܽ
ଶ
,…,ܽ
௡
và ܾ
ଵ
,ܾ
ଶ
,…,ܾ
௡

, khi ñó
Nếu có
1 2
1 2


n
n
a a a
b b b

≥ ≥ ≥




≥ ≥ ≥


hoặc
1 2
1 2


n
n
a a a
b b b

≤ ≤ ≤





≤ ≤ ≤


thì ta có
݊
ሺ
ܽ
ଵ
ܾ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ܾ
௡
ሻ
൒
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ൅ܽ

௡
ሻ
ሺܾ
ଵ
൅ ܾ
ଶ
…൅ܾ
௡
ሻ
Dấu bằng xảy ra khi
1 2
1 2


n
n
a a a
b b b

= = =




= = =



Bất ñẳng thức Chebychev suy rộng:
Nếu

1 21 2
1
1 2
1 2
1


2


2
n
n
a a a
a a
a
n
b b b
b b
b
n

+ + +
+


≥ ≥ ≥






+ + +
+

≥ ≥ ≥




hoặc
1 21 2
1
1 2
1 2
1


2


2
n
n
a a a
a a
a
n
b b b
b b

b
n

+ + +
+


≤ ≤ ≤





+ + +
+

≤ ≤ ≤




thì
݊
ሺ
ܽ
ଵ
ܾ
ଵ
൅ ܽ
ଶ

ܾ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ܾ
௡
ሻ
൒
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ሻ
ሺܾ
ଵ
൅ ܾ
ଶ
…൅ܾ
௡
ሻ

1b. Bất ñẳng thức Chebychev trên 2 dãy ñơn ñiệu ngược chiều:
Cho 2 dãy hữu hạn các số thực ܽ
ଵ
,ܽ
ଶ
,…,ܽ

௡
và ܾ
ଵ
,ܾ
ଶ
,…,ܾ
௡
, khi ñó
Nếu có
1 2
1 2


n
n
a a a
b b b

≥ ≥ ≥




≤ ≤ ≤


hoặc
1 2
1 2

n
n
a a a
b b b

≤ ≤ ≤




≥ ≥ ≥


thì ta có
݊
ሺ
ܽ
ଵ
ܾ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ܾ
௡
ሻ

൑
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ሻ
ሺܾ
ଵ
൅ ܾ
ଶ
…൅ܾ
௡
ሻ
Dấu bằng xảy ra khi
1 2
1 2


n
n
a a a
b b b

= = =





= = =



Bất ñẳng thức Chebychev suy rộng:
Nếu
1 21 2
1
1 2
1 2
1


2


2
n
n
a a a
a a
a
n
b b b
b b
b
n

+ + +

+


≥ ≥ ≥





+ + +
+

≤ ≤ ≤




hoặc
1 21 2
1
1 2
1 2
1


2


2
n

n
a a a
a a
a
n
b b b
b b
b
n

+ + +
+


≤ ≤ ≤





+ + +
+

≥ ≥ ≥




thì
݊

ሺ
ܽ
ଵ
ܾ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ܾ
௡
ሻ
൑
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ൅ܽ
௡
ሻ
ሺܾ
ଵ
൅ ܾ
ଶ
…൅ܾ
௡
ሻ

Việc chứng minh các bất ñẳng thức trên là khá ñơn giản. Các bạn có thể tham khảo từ
nhiều nguồn tài liệu khác nhau.

Bây giờ trở lại với chủ ñề chính, nếu ta thay dãy ܾ
ଵ
,ܾ
ଶ
,…,ܾ
௡
bởi dãy
ଵ
௫
భ
,
ଵ
௫
మ
,…,
ଵ
௫
೙
thì
khi ñó
3

2a. Nếu có
1 2
1 2

n
n
a a a
x x x

≥ ≥ ≥




≤ ≤ ≤


hoặc
1 2
1 2


n
n
a a a
x x x

≤ ≤ ≤




≥ ≥ ≥



thì ta có
݊
൬
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
൰
൒
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ ܽ
௡
ሻ
൬

1
ݔ
ଵ
൅
1
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
1
ݔ
௡
൰

2b. Nếu có
1 2
1 2


n
n
a a a
x x x

≥ ≥ ≥




≥ ≥ ≥



hoặc
1 2
1 2


n
n
a a a
x x x

≤ ≤ ≤




≤ ≤ ≤


thì ta có
݊
൬
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ

ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
൰
൑
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ ܽ
௡
ሻ
൬
1
ݔ
ଵ
൅
1
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
1
ݔ
௡
൰

Tuy nhiên trong một số trường hợp,ta không thể ñánh giá theo 2 dãy này. Khi sso ta có
một cách khắc phục, ñó là:
3a. Nếu có
1 2
1 2
1 2


n
n
n
a
a a
x x x
x x x



≥ ≥ ≥





 ≥ ≥ ≥


hoặc
1 2
1 2

1 2


n
n
n
a
a a
x x x
x x x



≤ ≤ ≤





 ≤ ≤ ≤


thì ta có
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ

ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
൑
݊ሺܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
ሻ
ݔ
ଵ
൅ ݔ
ଶ
൅ ڮ൅ݔ
௡

Chứng minh. theo 1a, ta có
൬
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ

ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡

൰
ሺ
ݔ
ଵ
൅ ݔ
ଶ
൅ ڮ൅ ݔ
௡
ሻ
൑݊
൬
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ

ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
ݔ
௡
൰
ൌ݊ሺܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
ሻ
Do ñó
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ

௡
ݔ
௡
൑
݊ሺܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
ሻ
ݔ
ଵ
൅ ݔ
ଶ
൅ ڮ൅ݔ
௡


3b. Nếu có
1 2
1 2
1 2


n
n
n
a
a a

x x x
x x x



≤ ≤ ≤





 ≥ ≥ ≥


hoặc
1 2
1 2
1 2


n
n
n
a
a a
x x x
x x x




≤ ≤ ≤





 ≥ ≥ ≥


thì ta có
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
൒
݊ሺܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ

௡
ሻ
ݔ
ଵ
൅ ݔ
ଶ
൅ ڮ൅ݔ
௡

Chứng minh. theo 1b, ta có
൬
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡

൰
ሺ
ݔ
ଵ

൅ ݔ
ଶ
൅ ڮ൅ ݔ
௡
ሻ
൒݊
൬
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
ݔ
௡
൰
ൌ݊ሺܽ
ଵ

൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
ሻ
Do ñó
ܽ
ଵ
ݔ
ଵ
൅
ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ڮ൅
ܽ
௡
ݔ
௡
൒
݊ሺܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
ሻ
ݔ
ଵ

൅ ݔ
ଶ
൅ ڮ൅ݔ
௡

Mặc dù 2 bất ñẳng thức này ñược phát biểu ñơn giản và ñược suy ra từ bất ñẳng thức
Chebychev cổ ñiển. Tuy nhiên trong một số trường hợp, việc ñánh giá theo 2a và 2b
không mấy hiệu quả. Vì thế, 3a và 3b (kết hợp với việc thêm biến thích hợp lại trở nên
hiệu quả ñối với các bất ñẳng thức ñối xứng 3 biến có chứa phân thức. ðể làm rõ ñiều
này chúng ta cũng xét ñến các bài toán sau:


4

II/ Áp dụng vào giải toán.

Bài toán 1. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho
1
1 ൅ ܽ൅ ܾ
൅
1
1 ൅ ܾ൅ܿ
൅
1
1 ൅ ܿ൅ ܽ
൒1
Chứng minh rằng ܽ൅ ܾ൅ ܿ൒ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
Italia 2007
Lời giải. Ta có
1

1 ൅ ܽ൅ ܾ
൅
1
1 ൅ ܾ൅ܿ
൅
1
1 ൅ ܿ൅ ܽ
ൌ
ܽ
ܽ൅ ܾܽ൅ ܽܿ
൅
ܾ
ܾ൅ ܾܿ൅ ܾܽ
൅
ܿ
ܿ൅ܿܽ൅ ܾܿ

Không mất tính tổng quát, giả sử ܽ൒ܾ൒ܿ thì ܽ൅ ܾܽ ൅ܽܿ ൒ܾ൅ܾܿ൅ ܿܽ൒ܿ൅
ܿܽ൅ ܾܿ và
ܽ
ܽ൅ ܾܽ൅ ܽܿ
൒
ܾ
ܾ൅ ܾܿ൅ ܾܽ
൒
ܿ
ܿ൅ܿܽ൅ ܾܿ
֞
1
1 ൅ ܽ൅ ܾ

൒
1
1 ൅ ܾ൅ܿ
൒
1
1 ൅ܿ൅ ܽ
ܾ֞൅ ܿ ൑ܿ൅ ܽ൑ܽ൅ܾ
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng.
Từ ñó theo 3a thì
1
1 ൅ ܽ൅ ܾ
൅
1
1 ൅ ܾ൅ܿ
൅
1
1 ൅ ܿ൅ ܽ
ൌ
ܽ
ܽ൅ ܾܽ൅ ܽܿ
൅
ܾ
ܾ൅ ܾܿ൅ ܾܽ
൅
ܿ
ܿ൅ܿܽ൅ ܾܿ
൑
3ሺܽ൅ ܾ ൅ܿሻ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ൅ 2
ሺ

ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ

Kết hợp với giả thiết ta suy ra
3ሺܽ൅ ܾ൅ ܿሻ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ൅ 2
ሺ
ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
൒1֜ܽ൅ܾ൅ ܿ ൒ܾܽ ൅ܾܿ൅ܿܽ
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.

Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ܣܤܥ . Chứng minh rằng
1
1 ൅ ݐܽ݊ܣ൅ ݐܽ݊ܤ
൅
1
1 ൅ ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ
൅
1
1 ൅ ݐܽ݊ܥ൅ ݐܽ݊ܣ
൑
3
1 ൅ 2
√
3

VIF
Lời giải. Theo như ñánh giá của bài toán 1 thì
1

1 ൅ ݐܽ݊ܣ൅ ݐܽ݊ܤ
൅
1
1 ൅ ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ
൅
1
1 ൅ ݐܽ݊ܥ൅ ݐܽ݊ܣ
൑
3
ሺ
ݐܽ݊ܣ൅ ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ
ሻ
ݐܽ݊ܣ ൅ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ൅ 2
ሺ
ݐܽ݊ܣݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܤݐܽ݊ܥ൅ ݐܽ݊ܥݐܽ݊ܣ
ሻ

Từ bất ñẳng thức ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ൒
ඥ
3ܾܽܿሺܽ൅ܾ൅ܿሻ và ñẳng thức ∑ݐܽ݊ܣൌ
∏
tanܣ
ta có
3
ሺ
ݐܽ݊ܣ൅ ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ
ሻ
ݐܽ݊ܣ൅ ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ൅ 2
ሺ
ݐܽ݊ܣݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܤݐܽ݊ܥ൅ ݐܽ݊ܥݐܽ݊ܣ

ሻ
ൌ
3
1 ൅
2
ሺ
ݐܽ݊ܣݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܤݐܽ݊ܥ൅ ݐܽ݊ܥݐܽ݊ܣ
ሻ
ݐܽ݊ܣ൅ ݐܽ݊ܤ൅ ݐܽ݊ܥ
൑
3
1 ൅ 2
ඥ
3
∏
ݐܽ݊ܣ
ሺ
∑
ݐܽ݊ܣ
ሻ
∑
ݐܽ݊ܣ
ൌ
3
1 ൅ 2
ට
3
∏
ݐܽ݊ܣ
∑

ݐܽ݊ܣ
ൌ
3
1 ൅ 2
√
3

5

Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ܣܤܥ ñều

Bài toán 3. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ3. Chứng minh rằng
ܾܽ൅
9
4
ܾܽ൅ ܽ൅ ܾ
൅
ܾܿ൅
9
4
ܾܿ൅ ܾ൅ ܿ
൅
ܿܽ൅
9
4
ܿܽ൅ ܿ൅ ܽ
൒
13
4

VIF
Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử a൒b൒c.
Ta có
ሺ
ܽ൅ 1
ሻሺ
ܾ െܿ
ሻ
൒0 nên ܾܽ൅ ܽ ൅ܾ൒ܽܿ൅ ܽ൅ ܿ, tương tự ta suy ra ܾܽ൅ ܽ൅
ܾ൒ܽܿ൅ܽ൅ ܿ ൒ܾܿ൅ ܾ൅ ܿ
Lại có
ܾܽ൅
9
4
ܾܽ൅ ܽ൅ ܾ
൑
ܿܽ൅
9
4
ܿܽ൅ ܿ൅ ܽ
֞
ሺ
ܾ െܿ
ሻሺ
3 െ ܽ
ሻ
൬
ܽ൅
3
4

൰
൒0
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng
Tương tự ta suy ra
ܾܽ൅
9
4
ܾܽ൅ ܽ൅ ܾ
൑
ܿܽ൅
9
4
ܿܽ൅ ܿ൅ ܽ
൑
ܾܿ൅
9
4
ܾܿ൅ ܾ ൅ܿ

Từ ñó theo 3b thì
ܾܽ൅
9
4
ܾܽ൅ ܽ൅ ܾ
൅
ܾܿ൅
9
4
ܾܿ൅ ܾ൅ ܿ
൅

ܿܽ൅
9
4
ܿܽ൅ ܿ൅ ܽ
൒
3
ቀ
ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ൅
27
4
ቁ
ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ൅ 2
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ൌ
3
ሺ
∑ܾܽ൅ 9
ሻ
∑ܾܽ൅ 6

Ta cần chứng minh
3
ሺ
∑ܾܽ൅ 9
ሻ
∑ܾܽ൅ 6
൒
13

4
֞∑ܾܽ൑3
Bất ñẳng thức trên ñúng do ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ൑
ሺ
௔ା௕ା௖
ሻ
మ
ଷ
ൌ3
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi aൌbൌcൌ1.

Bài toán 4. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ1. Chứng minh rằng
ܽ൅ ܾ
1 ൅ ܾܽ
൅
ܾ൅ ܿ
1 ൅ ܾܿ
൅
ܿ൅ܽ
1 ൅ ܿܽ
൑
9
2
ሺ

ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ

Lời giải.
Bất ñẳng thức tương ñương với
∑
ቆ
3 െ
2
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ൅ ܾ൅ܿ
ሻ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܾܽ
ቇ
൒0֞∑
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
െ ܾܽെ 2ܽܿെ 2ܾܿ

1 ൅ܾܽ
൒0
Không mất tính tổng quát, giả sử ܽ൒ܾ൒ܿ ֜1 ൅ ܾܽ ൒1 ൅ ܽܿ ൒1൅ ܾܿ
Ta tiếp tục thiết lập
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
െ ܾܽെ 2ܽܿെ 2ܾܿ
1 ൅ܾܽ
൑
ܽ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ 3ܾ
ଶ
െ ܽܿെ 2ܾܽെ 2ܾܿ
1 ൅ܽܿ

6

֞2
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܿ
ଶ

ሻ
െ ܽ
ሺ
ܾ െܿ
ሻ
൅ ܽ
ଷ
ሺ
ܾ െܿ
ሻ
െ ܾܽܿ
ሺ
ܾെ ܿ
ሻ
൅ 3ܽ
ሺ
ܾ
ଷ
െ ܿ
ଷ
ሻ
െ 2ܽ
ଶ
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܿ
ଶ
ሻ
൒0

֞
ሺ
ܾെ ܿ
ሻሺ
2ܾ൅ 2ܿെ ܽെ ܽ
ଷ
െ ܾܽܿ൅ 3ܾܽ
ଶ
൅ 3ܾܽܿ൅ 3ܽܿ
ଶ
െ 2ܽ
ଶ
ܾ
െ 2ܽ
ଶ
ܿ
ሻ
൒0
֞
ሺ
ܾെ ܿ
ሻሺ
2ܾ
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻ
൅ 2ܿ
ሺ
1 െ ܽ

ଶ
ሻ
൅ 2ܾܽܿ൅ ܽ
ଷ
െ ܽ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
൅ 3ܾܽ
ଶ
൅ 3ܽܿ
ଶ
ሻ
൒0
֞
ሺ
ܾെ ܿ
ሻሺ
2
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܾ
ଶ
൅ ܿ

ଶ
ሻ
൅ 2ܾܽܿ൅ 2ܾܽ
ଶ
൅ 2ܽܿ
ଶ
ሻ
൒0
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng. Thiết lập tương tự ta suy ra
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
െ ܾܽെ 2ܽܿെ 2ܾܿ
1 ൅ܾܽ
൑
ܽ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ 3ܾ
ଶ
െ ܽܿെ 2ܾܽെ 2ܾܿ
1 ൅ܽܿ
൑
ሺ
ܾ
ଶ

൅ ܿ
ଶ
൅ 3ܽ
ଶ
െ ܾܿെ 2ܾܽെ 2ܿܽ
ሻ
1 ൅ ܾܿ

Từ ñó theo 3b ta có
∑
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
െ ܾܽെ 2ܽܿെ 2ܾܿ
1 ൅ܾܽ
൒
3∑
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
െ ܾܽെ 2ܽܿെ 2ܾܿ
ሻ
3 ൅∑ܾܽ

ൌ
12
ሺ
∑ܽ
ଶ
െ ∑ܾܽ
ሻ
3 ൅ ∑ܾܽ
൒0
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ
ଵ
√
ଷ
.
Nhận xét. Nếu ta muốn ñánh giá theo kiểu Chebychev cổ ñiển, tức là thiết lập thêm
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
െ ܾܽെ 2ܽܿെ 2ܾܿ൑ܽ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ 3ܾ
ଶ
െ ܽܿെ 2ܾܽെ 2ܾܿ
֞
ሺ

b െ c
ሻሺ
2b ൅ 2c െa
ሻ
൒0
ðiều này thật khó giải quyết bởi 2ܾ൅ 2ܿെ ܽ là âm hay dương?.

Bài toán. Cho các số thực ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ1. Chứng minh rằng
ݔ
ݔ
ଶ
൅ 1
൅
ݕ
ݕ
ଶ
൅ 1
൅
ݖ
ݖ
ଶ
൅ 1
൑
9
10

Poland 1992
Lời giải. Ta có
ݔ
ݔ

ଶ
൅ 1
൅
ݕ
ݕ
ଶ
൅ 1
൅
ݖ
ݖ
ଶ
൅ 1
൑
|ݔ|
ݔ
ଶ
൅ 1
൅
|ݕ|
ݕ
ଶ
൅ 1
൅
|ݖ|
ݖ
ଶ
൅ 1

Nên ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức với ݔ,ݕ,ݖ൐0
Không mất tính tổng quát, giả sử ݔ൒ݕ൒ݖ thì ݔ

ଶ
൅ 1൒ݕ
ଶ
൅ 1൒ݖ
ଶ
൅ 1
Tiếp tục ta có
ݔ
ݔ
ଶ
൅ 1
൒
ݕ
ݕ
ଶ
൅ 1
֞
ሺ
x െ y
ሻሺ
1 െ xy
ሻ
൒0
Do 1ൌݔ൅ ݕ ൅ ݖ൒ݔ൅ ݕ൒2
ඥ
ݔݕ֜ݔݕ൏1 nên bất ñẳng thức trên hiển nhiên ñúng
Tương tự ta suy ra
ݔ
ݔ
ଶ

൅ 1
൒
ݕ
ݕ
ଶ
൅ 1
൒
ݖ
ݖ
ଶ
൅ 1

Từ ñó theo 3a ta có
ݔ
ݔ
ଶ
൅ 1
൅
ݕ
ݕ
ଶ
൅ 1
൅
ݖ
ݖ
ଶ
൅ 1
൑
3
ሺ

ݔ൅ݕ ൅ݖ
ሻ
ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
൅ 3
൑
3
1
3
ሺ
ݔ൅ݕ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅ 3
ൌ
9
10

Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌݕൌݖൌ
ଵ
ଷ
.
7


Bài toán. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho

1
1 ൅ 2ܾܽ
൅
1
1 ൅ 2ܾܿ
൅
1
1 ൅ 2ܿܽ
൒1
Chứng minh rằng ܽ൅ ܾ൅ ܿ൒3ܾܽܿ
VIF
Lời giải. Ta có
1
1 ൅ 2ܾܽ
൅
1
1 ൅ 2ܾܿ
൅
1
1 ൅ 2ܿܽ
ൌ
ܽ
ܽ൅ 2ܾܽܿ
൅
ܾ
ܾ൅ 2ܾܽܿ
൅
ܿ
ܿ൅ 2ܾܽܿ

Không mất tính tổng quát, giả sử ܽ൒ܾ൒ܿ thì ܽ൅ 2ܾܽܿ൒ܾ൅ 2ܾܽܿ ൒ܿ൅ 2ܾܽܿ và
ܽ
ܽ൅ 2ܾܽܿ
൒
ܾ
ܾ൅ 2ܾܽܿ
൒
ܿ
ܿ൅ 2ܾܽܿ
֞
1
1 ൅ 2ܾܽ
൒
1
1 ൅ 2ܿܽ
൒
1
1 ൅ 2ܾܿ
֞ab൒ac
൒bc
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng với ܽ ൒ܾ൒ܿ
Từ ñó theo 3a, ta có
1
1 ൅ 2ܾܽ
൅
1
1 ൅ 2ܾܿ
൅
1
1 ൅ 2ܿܽ

ൌ
ܽ
ܽ൅ 2ܾܽܿ
൅
ܾ
ܾ൅ 2ܾܽܿ
൅
ܿ
ܿ൅ 2ܾܽܿ
൑
3
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ൅ 6ܾܽܿ

Kết hợp với giả thiết suy ra
3
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ൅ 6ܾܽܿ
൒1֜ܽ൅ܾ൅ ܿ ൒3ܾܽܿ
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1

III/ Bài tập áp dụng.
Bài toán 1. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ1. Chứng minh
ܽ൅
2
3

2ܽ൅ ܽ
ଶ
൅ 2ܾܿ
൅
ܾ൅
2
3
2ܾ൅ ܾ
ଶ
൅ 2ܿܽ
൅
ܿ൅
2
3
2ܿ൅ܿ
ଶ
൅ 2ܾܽ
൒3
Bài toán 2. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌ1. Chứng minh
∑
ܽ
√
3 ൅ ܽ
ଶ
൑
3
√
3
3
√

3 ൅ 1

Bài toán 3. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌ3. Chứng minh
∑
ܽ
5 ൅ ܽ
ଶ
൑
1
2

Bài toán 4. Cho ܽ,ܾ,ܿ là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
∑
√
ܾ൅ ܿെ ܽ
√
ܾ൅
√
ܿെ
√
ܽ
൑3