Các công thức lượng giác và phương trình lượng giác

27
Chuyên đề 7 LƯNG GIÁC
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Đo
ä:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

2. Radian
: (rad)

ra
d

0
180
π
=


3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng
:

Độ 0

0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π

4
π

3
π

2

π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2


II. Góc lượng giác & cung lượng giác
:
1. Đònh nghóa
:

2. Đường tròn lượng giác
:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
q
AM k2=α+ π


M
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→

+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k

x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
π
α
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α

.

y
x
o
180
O
+
−
x
y
O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
π
α
2kAB
+

=
28

III. Đònh nghóa hàm số lượng giác
:

1. Đường tròn lượng giác
:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác
:
a. Đònh nghóa
: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'

Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:





cos
sin
tan
cot
OP
OQ
A
T
B
U
α
α
α
α
=
=

=
=



b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα
−≤ ≤ ≤


1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤

•

tan xác đinh
2
k
π
α
απ
∀≠ +

•

cot xác đinh k
α
απ
∀≠


c. Tính tuần hoàn




sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k
α
πα
α
πα
α
πα
απ α
+=
+=

+=
+=

)( Zk
∈


+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't

'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'xO
t
1
−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
29
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/
3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-3
-1
-3
/
3
1
1
-1
-1
-
π
/
2
π

5
π
/6
3
π
/
4
2
π
/
3
-
π
/6
-
π
/
4
-
π
/
3
-1/2
-2
/2
-3
/2
-1/2-2
/
2-3

/
2
3
/
2
2
/
2
1/2
3
/2
2
/2
1/2
A
π
/
3
π
/
4
π
/6
3
/
3
3
B
π
/

2
3
/
3
1
3
O



0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0

Góc

Hslg
0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2
1

2
2
2
3
1
2
3

2
2

2
1

0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1

0
2
1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1
tan
α
0
3
3

1
3

kxđ
3−

-1
3
3
−

0 0
cot
α
kxđ
3

1
3
3
0
3
3
−
-1
3−

kxđ kxđ


+
−
30
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1.

Cung đối nhau : va
ø
-
α
α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π
π
− ,…)
2.
Cung bù nhau :
va
ø
-
α
πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
π
π
,…)

3.
Cung phụ nhau : và
2
π
α
α
− ( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
π
π
,…)

4.
Cung hơn kém
2
π
: và
2
π
α
α
+ (Vd:
3
2
&

6
π
π
,…)

5.
Cung hơn kém
π
:
và
α
πα
+
(Vd:
6
7
&
6
π
π
,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :


sin( ) sin
tan( )
cos( ) c
tan
cot

o
()
s
cot
α
α
α
α
α
α
α
α
−=−
−=−
−=−
−=

cos( ) cos
t
sin( ) s
an( ) tan
cot( )
i
ot
n
c
π
αα
πα
α

α
π
α
α
α
π
−=
−
=−
−=−
−=−



3. Cung phụ nhau
: 4. Cung hơn kém
2
π



cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
π

α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
α
−=
−=
−=
−=

tan
cos( ) sin
2
sin( )
() cot
2
cot(

) ta
s
2
co
2
n

π
α
α
π
α
π
α
α
α
α
π
α
+=−
+
+−
+=−
=
=


5. Cung hơn kém
π
:


tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co

in
t( ) cot
π
α
π
αα
π
α
α
α
α
α
π
+
+=−
+=
+
−
=
=

Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

Hơn kém
π
tang , cotang
31
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản
:

22
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos
cot =
sin
αα
α
α
α
α
α
α
+=

2
2
2
2
1

1 tan =
cos
1
1 cot =
sin
tan . cot = 1
α
α
α
α
α
α
+
+


Ví du
ï: Chứng minh rằng:
1.
44 22
cos x sin x 1 2 sin x cos x+=−
2. xxxx
2266
cossin31sincos −=+

Chứng minh

()()
()
22

44 2 2
2
22 22
22
1) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 2 sin x cos x
1 2 sin x cos x
+= +
=+ −
=−


()()
() ()
33
66 2 2
3
22 2222
22
2) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x
1 3sin x cos x
+= +
=+ − +
=−

2. Công thức cộng
:

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tan
tan( + ) =
1 tan .tan
tan tan
tan( ) =
1tan.tan
α
βαβαβ
α
βαβαβ
α
βαββα
α
βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −
−
−

−
+


Ví du
ï: Chứng minh rằng:

π
αα α
π
αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4


Chứng minh
32

22
1) cos sin 2 cos sin
22
2 cos cos sin sin
44
2 cos
4
22

2) cos sin 2 cos sin
22
2 cos cos si
4




+ = +










=+








=

=







=
nsin
4
2 cos
4

=+






3. Coõng thửực nhaõn ủoõi:


22
2
2
44
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2tan
tan2
1tan

=
=
=
=
=
=




4 Coõng thửực nhaõn ba
:


3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin




=
=

5. Coõng thửực haù baọc
:


22 2
1cos2 1cos2 1cos2
cos ; sin ; tan
221cos2

= = =
+
+



6.Coõng thửực tớnh
sin ,cos ,tg


theo tan
2

=t


2
22 2
2t 1 t 2t

sin ; cos ; tan
1t 1t 1t

= = =
++



2
1cos2
2
cos
+
=

2
1cos2
sin
2

=


2sin
2
1
cossin =
4
cos33cos
cos

3



+
=
4
3sinsin3
sin
3




=

33
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :


[]
[]
[]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1

sin .cos sin( ) sin( )
2
α
βαβαβ
α
βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++−



8. Công thức biến đổi tổng thành tích :


cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos

α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+
−
+=
+
−
−=−
+−
+=
+−
−=
+
+=

−
−=




9. Các công thức thường dùng khác
:


cos sin 2 cos( ) 2sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π
π
αα α α
π
π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

44
66
cos 4
cos sin
cos 4
c
3

os sin
4
53
8
+α
α+ α=
+α
α+ α=









34
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Đònh lý cơ bản
: ( Quan trọng )


u = v+k2
sinu=sinv

u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv u = v + k2
u = -v+k2
tanu=tanv u = v+k (u;v )
2
cotu=cogv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π
π
π
π
π
ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡
⇔⇔±
⎢
⎣
⇔≠+
⇔≠


( u; v là các biểu thức chứa ẩn và

Zk
∈
)


Ví dụ
: Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x
x
π
=−
2.
4
3
cos)
4
cos(
π
π
=−x

3.
xx 2sin3cos = 4.
44
1
sin cos (3 cos6 )
4

x
xx+=−


Bài giải

2
322
52
4
20 5
4
1) sin3 sin( 2 )
3
3
4
322
2
2
4
4
4
k
xxk
x
xk
xx
xxk
xk
x

k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
⎡
⎡
⎡
=− +
=+
=+
⎢
⎢
⎢
⎢
=−⇔ ⇔ ⇔
⎢
⎢
⎛⎞
⎢
⎢

⎢
=− − +
=+
=+
⎜⎟
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣
⎝⎠
⎣


3
xk2
xk2
3
44
2)cos(x ) cos
3
xk2
44
xk2
2
44
⎡
ππ
⎡
=π+ π

−= +π
⎢
⎢
ππ
⎢
−= ⇔ ⇔
⎢
π
⎢
ππ
⎢
=− + π
⎢
−=− +π
⎢
⎢
⎣
⎣


k2
3x 2x k2
x
2
10 5
3) cos 3x cos 3x
3x 2x k
sin 2x cos 2x
2
2

2
xk2
2
π
⎡
ππ
⎡
=− +π
=+
⎢
⎢
⎢
⎢
=⇔ = ⇔ ⇔
⎢
⎢
π
π
⎢
⎢
=
π
⎛⎞
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

−+ + π
=− + π
⎢
⎢
⎣
⎣

35

()
44
13cos43cos6
4) sin cos (3 cos6 ) cos6 cos6
444
2
6
cos4 cos 4
42
10 5

642
2
x
x
xx x x x
k
x
xxk
xxk
xk

x
x
ππ
ππ
ππ
π
π
π
+
−
+=− ⇔ = ⇔= ⇔=
⎡
=+
⎢
=− +
⎡
⇔⇔
⎢
⎢
=− + +
⎣
⎢
=
−
⎣
−
−+
⎢

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:

1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( Rm
∈
∀
)


* Gpt : sinx = m (1)

•
Nếu
1m >
thì pt(1) vô nghiệm
•
Nếu
1m
≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α
π
απ
⎡
⇔⇔
⎢

⎣


* Gpt : cosx = m (2)

•
Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
•
Nếu
1m
≤
thì ta đặt m = cos
β
và ta có

x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β
π
β
β
π
⎡
⇔⇔
⎢
−
⎣

* Gpt: tanx = m (3) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈
∀
)

• Đặt m = tan
γ
thì

(3) tanx = tan x = +k
γ
γπ
⇔⇔


* Gpt: cotx = m (4) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈
∀
)

• Đặt m = cot
δ
thì

(4) cotx = cot x = +k
δ
δπ

⇔⇔












36
Các trường hợp đặc biệt:


sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x
k
xk
xk

x
k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=− ⇔ − +
⇔
=⇔ +
=− ⇔ +
⇔
=⇔



Ví dụ
:


Giải các phương trình :
1)
=
1
sin2

2
x
2)
2
cos( )
42
x
π
−=−

3)
12cos2sin =+ xx
4) xxx 2cossincos
44
=+



Bài giải:

1
1) sin2 sin2x=sin
26
22
6

22
6
12

5
12
x
xk
x
k
xk
xk
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=⇔
⎡
=+
⎢
⇔
⎢
⎢
=−
⎢
⎣
⎡
=+

⎢
⇔
⎢
⎢
=+
⎢
⎣


23
2) cos( ) cos( ) cos
42 4 4
3
2
44

3
2
44
2

2
2
xx
xk
x
k
xk
xk
π

ππ
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
−=− ⇔ −=
⎡
−= +
⎢
⇔
⎢
⎢
−=− +
⎢
⎣
=+
⎡
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣

+
−
x
y

O
C
A
B
D
37

3) sin 2x cos 2x 1 2 cos 2x 1
4
2
cos 2x
42
cos 2x cos
44
2x k2
44

2x k2
44

π
⎛⎞
⎟
⎜
+=⇔ −=
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
π

⎛⎞
⎟
⎜
⇔−=
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
ππ
⎛⎞
⎟
⎜
⇔−=
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
ππ
⎡
−=+π
⎢
⎢
⇔
⎢
ππ
⎢
−=−+π
⎢
⎣
xk

4

xk
π
⎡
=+π
⎢
⇔
⎢
⎢
=π
⎢
⎣


()
44
2
2
3cos4x
4) cos x sin x cos 2x cos 2x
4
3 2 cos 2x 1 4 cos 2x
cos2x 1 0
cos 2x 1

+
+= ⇔ =
⇔+ −=
⇔−=

⇔=
2x k2

xk
⇔=π
⇔=π



Ví duï:
Giaûi caùc phöông trình:
1)
44
1cos sin 2cos2
x
xx+−=
3)
024sin)cos(sin4
44
=−++ xxx

2)
66
sin cos cos4
x
xx+=
4)
33
1
sin .cos cos .sin

4
xx xx
−
=




Bài giải

44
1) 1 cos sin 2cos2 cos2 1
2 2

xx x x
x
k
xk
π
π
+−= ⇔ =
⇔=
⇔=

V
ậy nghiệm pt là
x
k
π
=

66
53cos4
2) sin cos cos4 cos4
8
cos4 1
4 2

2
x
x
xx x
x
xk
k
x
π
π
+
+=⇔ =
⇔=
⇔=
⇔=

V
ậy nghiệm pt là
2
k
x

π
=
38


44
3) 4(sin x cos x) sin 4x 2 0 3 cos 4x s in4x 2 0
2 cos 4x 1
4
3
cos 4x cos
44

++−=⇔++−=
π
⎛⎞
⎟
⎜
⇔−=−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
ππ
⎛⎞
⎟
⎜
⇔−=
⎟
⎜

⎟
⎝⎠
3
4x k2
44

3
4x k2
44
4x k2

4x k2
2
k
x
42

x
⎡
ππ
−= +π
⎢
⎢
⇔
⎢
ππ
⎢
−=− +π
⎢
⎣

⎡
=π+ π
⎢
⇔
⎢
π
⎢
=− + π
⎢
⎣
ππ
=+
⇔
π
=−
k
82
⎡
⎢
⎢
⎢
π
⎢
+
⎢
⎣

V
ậy nghiệm pt là
k

x
42
k
x
82
⎡
ππ
=+
⎢
⎢
⎢
ππ
⎢
=− +
⎢
⎣


(
)
33 22
11
4) sin .cos cos .sin sin cos . cos sin
44
1
sin2x.cos2x
2
sin4x 1

x x xx xx x x−=⇔− −=

⇔− =
⇔=−
4 2
2

82
xk
k
x
π
π
ππ
⇔=−+
⇔=−+

V
ậy nghiệm pt là
82
k
x
π
π
=− +





2. Daïng 2
:

2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
axbxc
axbxc
axbxc
axbxc
++=
++=
++=
++=
(
0a
≠
)
Caùch giaûi:
39

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c
+
+=

(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)




Ví dụ :
1)
2
2cos 5sin 4 0xx+−=
2)
5
cos2 4cos 0
2
xx
−
+=
3)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π
4) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=

−
−+
x
xxxx




Bài giải

()
22
2
1) 2cos 5sin 4 0 2 1 sin 5sin 4 0
2sin 5sin 2 0
sin 2 (VN)

1
sin
2

xx x x
xx
x
x
+−=⇔− +−=
⇔−+=
=
⎡
⎢

⇔
⎢
=
⎣
2
6

5
2
6
xk
xk
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⇔
⎢
⎢
=+
⎢
⎣

V
ậy nghiệm pt là
2
6

5
2
6
xk
x
k
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⎢
⎢
=+
⎢
⎣


2
2
5
2) cos2 4cos 0 2(2cos 1) 8cos 5 0
2
4cos 8cos 3 0
3
cos (VN)
2

1
cos
2

xx x x
xx
x
x
−+=⇔ −−+=
⇔−+=
⎡
=
⎢
⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣
2
3
xk
π
π
⇔=±+

V
ậy nghiệm pt là 2
3
x

k
π
π
=± +
40

44
2
2
3cos4x
3) 2(sin x cos x) cos( 2x) 0 s in2x 0
22
3 1 2 sin 2x 2 s in2x 0
2sin 2x 2 s in2x 4 0

π+
+−−=⇔ −=
⇔+− − =
⇔+−=
sin2x 1

s in2x 2 (VN)
2x k2
2
x k
4
⎡
=
⎢
⇔

⎢
=−
⎢
⎣
π
⇔=+π
π
⇔=+π

V
ậy nghiệm pt là
xk
4
π
=+π

66
2(cos x sin x) sin x.cos x
4) 0
22sinx
+−
=
−

Điều kiện:
xk2
2
4
sin x
3

2
xk2
4
π
⎡
≠+π
⎢
⎢
≠⇔
⎢
π
⎢
≠+π
⎢
⎣

Khi đó:

()
66
2
2
2(cos x sin x) sin x.cos x 5 3 cos 4x 1
0sin2x0
22sinx 4 2
5 3 1 2 s in 2x 2 s in2x 0
6 sin 2x 2 s in2x 8 0

+− +
=⇔ − =

−
⇔+ − − =
⇔+−=
sin2x 1

4
s in2x (VN)
3
2x k2
2
x k
4
⎡
=
⎢
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣
π
⇔=+π
π
⇔=+π

So v
ới điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là
5
xk2

4
π
=+π
.











41
3. Dạng 3:

cos sin (1) ( a;b 0)
axbxc+= ≠

Cách giải:

• Chia hai vế của phương trình cho
22
ab
+
thì pt

22 22 22

(1) cos sin
abc
xx
ab ab ab
⇔+=
+++
(2)

• Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b
α
α
==
++
với
[
)
0;2
α
π
∈
thì :

22
22

c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
αα
α
⇔
+
⇔
+

Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.



Chú ý :

222
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc
⇔
+≥


Ví dụ : Giải các phương trình :
1)
+=−cos 3sin 1xx

2)
44
4(sin cos ) 3sin4 2xx x
+
+=


Bài giải
131
1) cos 3sin 1 cos sin
22 2
2
cos cos
33
2
2
33

2
2
33

xx x x
x
xk
xk
x
π
π
ππ

π
ππ
π
π
+=−⇔+ =−
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
⎡
−= +
⎢
⇔
⎢
⎢
−=− +
⎢
⎣
=+
⇔
2
2
3
k
xk
π
π
π
⎡
⎢

⎢
=− +
⎣

V
ậy nghiệm pt là
2
2
3
xk
x
k
π
π
π
π
=+
⎡
⎢
⎢
=− +
⎣

42


44
2) 4(sin cos ) 3sin4 2 cos4 3sin4x 1
131
cos4 sin4x

22 2
2
cos 4 cos
33

xx x x
x
x
ππ
++ =⇔+ =−
⇔+ =−
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
2
42
33

2
42
33
42

42
3

xk
xk
xk

xk
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
⎡
−= +
⎢
⇔
⎢
⎢
−=− +
⎢
⎣
=+
⎡
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣
42

12 2
k
x
k

x
ππ
ππ
⎡
=+
⎢
⇔
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣

V
ậy nghiệm pt là
42
12 2
k
x
k
x
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⎢
⎢

=− +
⎢
⎣

d. Dạng 4
:

22
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠ (1)

Cách giải 1:

p dụng công thức hạ bậc :
22
1cos2 1cos2
sin và cos
22
x
x
xx
−
+
==

và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
x
xx= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho
2
cos
x
ta được pt:

2
tan tan 0axbxc++=

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải.

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem
xk
2
π
=
+π
có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:

031coscos.sin)31(sin3
22
=−+−−+ xxxx


43
d. Dạng 5:

(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ += (1)

Cách giải :
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
txx x t
π
=+= − ≤≤
Do
2
2
t1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
xx xx
−
+=+ ⇒

•
Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1
0
2
t
at b c
−
++=
(2)

•
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2cos( )
4
x
t
π
−
= tìm x.


Ví dụ : Giải phương trình :

sin2 2 2(sin cos ) 5 0xxx−+−=

Chú ý
: Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc
−
++=


Ví dụ : Giải phương trình :

sin2 4(cos sin ) 4
x
xx+−=
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1
: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng
giác cơ bản đã biết
Ví dụ

: Giải phương trình:
1)
0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxx

2)
sin3x 3cos3x 2sin2x−=

3)
1
tan x 3
cos x
−=

b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:


A=0
.0
B=0
AB
⎡
=⇔
⎢
⎣

hoặc
A=0
0 B=0
C=0
ABC
⎡
⎢
=⇔
⎢
⎢
⎣


Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
22 2
sin sin 2 sin 3 2xxx++=

b.
3
2sin cos2 cos 0xxx+−=

44
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ
: Giải các phương trình :
a.
01cos2cos3cos

=
−
−+ xxx

b.
01cos42coscos4
3
=+−− xxx
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosx
x
x±
Ví dụ : Giải phương trình : ++ =
33
3
1sin cos sin2x
2
xx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
11 7
4sin x
3
sin x 4
sin x
2
⎛⎞
π
⎟

⎜
+=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎛⎞
π
⎝⎠
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

2)
()
2 sin x 1 cos2x sin 2x 1 2 cos x++=+

3)
33 22
sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x−= −


Bài giải:
1)
11 7
4sin x

3
sin x 4
sin x
2
⎛⎞
π
⎟
⎜
+=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎛⎞
π
⎝⎠
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

45
Bài giải:
2)
()
2 sin x 1 cos2x sin 2x 1 2cos x++=+


Bài giải:
3)
33 22
sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x−= −




Bài 2
: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
()()
22
1sinxcosx 1cosxsinx 1sin2x+++=+

2)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+−=
3)

2
xx
sin cos 3 cos x 2
22
⎛⎞
⎟
⎜
++ =
⎟
⎜
⎟
⎝⎠


Bài giải
1)
()()
22
1sinxcosx 1cosxsinx 1sin2x+++=+



Bài giải:
2)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+−=

46

Bài giải:

3)
2
xx
sin cos 3 cos x 2
22
⎛⎞
⎟
⎜
++ =
⎟
⎜
⎟
⎝⎠




Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
()
66
2 cos x sin x sin x cos x
0
22sinx
+−
=
−

2)
x

cot x sin x 1 tan x tan 4
2
⎛⎞
⎟
⎜
++ =
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

3)
cos 3x cos2x cos x 1 0+−−=


Bài giải
:
1)
()
66
2 cos x sin x sin x cos x
0
22sinx
+−
=
−


Bài giải:
2)

x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
⎛⎞
⎟
⎜
++ =
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

47


Bài giải:
3) cos 3x cos 2x cos x 1 0+−−=



Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
22
cos 3x cos 2x cos x 0−=

2)
1 sin x cos x s in2x+cos2x=0+++
3)
44
3

cos x sin x sin 3x cos x 0
442
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
++ − −−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝⎠⎝⎠


Bài giải
:
1)
22
cos 3x cos 2x cos x 0−=


Bài giải:

48
2)
1 sin x cos x s in2x+cos2x=0+++


Bài giải:
3)
44

3
cos x sin x sin 3x cos x 0
442
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
++ − −−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝⎠⎝⎠




Bài 5
: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2
cos2x 1
cot x 1 sin x sin2x
1tanx 2
−= + −
+

2)
()
2
5sinx 2 3 1 sinx tan x−= −

3)
()( )
2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x−+=−


Bài giải:
1)
2
cos 2x 1
cotx 1 sin x s in2x
1tanx 2
−= + −
+

49

Bài giải:
2)
()
2
5sinx 2 3 1 sinx tan x−= −


Bài giải:
3)
()( )
2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x−+=−

Hết