các công thức lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (225.64 KB, 25 trang )
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
I. Các kiến thức lượng giác cơ bản :
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
•
2 2
sin cos 1
α α
+ =
•
sin
tan
cos
α
α
α
=
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
cos
cot
sin
α
α
α
=
( với
x k
π
∀ ≠
,k ∈ Z )
•
2
2
1
tan 1
cos
α
α
+ =
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
2
2
1
cot 1
sin
α
α
+ =
( với
x k
π
∀ ≠
,k ∈ Z )
•
tan cot 1
α α
=
( với
2
k
π
α
∀ ≠
,k ∈ Z )
Cung hơn kém k2π và kπ :
•
( )
sin 2 sinx k x
π
+ =
•
( )
cos 2 cosx k x
π
+ =
•
( )
tan tanx k x
π
+ =
•
( )
cot cotx k x
π
+ =
Cung đối :
•
( )
sin sinx x− = −
•
( )
cos cosx x
− =
•
( )
tan tanx x− = −
•
( )
cot cotx x− = −
Cung bù :
•
( )
sin sinx x
π
− =
•
( )
cos cosx x
π
− = −
•
( )
tan tanx x
π
− = −
•
( )
cot cotx x
π
− = −
Cung phụ :
•
sin cos
2
x x
π
− =
÷
1
•
cos sin
2
x x
π
− =
÷
•
tan cot
2
x x
π
− =
÷
•
cot tan
2
x x
π
− =
÷
Cung hơn kém π/2 :
•
sin cos
2
x x
π
+ =
÷
•
cos sin
2
x x
π
+ = −
÷
•
tan cot
2
x x
π
+ = −
÷
•
cot tan
2
x x
π
+ = −
÷
Cung hơn kém π :
•
( )
sin sinx x
π
+ = −
•
( )
cos cosx x
π
+ = −
•
( )
tan tanx x
π
+ =
•
( )
cot cotx x
π
+ =
Công thức cộng :
•
( ) ( )
sin sin cos sin cos ,x y x y y x x y
± = ± ∀ ∈
¡
•
( ) ( )
cos cos cos sin sin ,x y x y x y x y± = ∀ ∈m ¡
•
( )
tan tan
tan , ,
1 tan tan 2
x y
x y x y x y k
x y
π
π
±
± = ∀ ± ≠ +
÷
m
•
( ) ( )
cot cot 1
cot , ,
cot cot
x y
x y x y x y k
y x
π
± = ∀ ± ≠
±
m
Công thức nhân đôi :
•
sin 2 2sin cosx x x=
•
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x
= − = − = −
•
2
2tan 2
tan 2 ,2
1 tan cot tan 2
x
x x x k
x x x
π
π
= = ∀ ≠ +
÷
− −
•
( )
2
cot 1 cot tan
cot 2 ,2
2cot 2
x x x
x x x k
x
π
− −
= = ∀ ≠
2
Công thức chia đôi :
•
1 cos
sin
2 2
x x−
= ±
•
1 cos
cos
2 2
x x
+
= ±
•
1 cos 1 cos
tan
2 1 cos sin
x x x
x x
− −
= ± =
+
Công thức nhân ba :
•
3
sin3 3sin 4sinx x x
= −
•
3
cos3 4cos 3cosx x x
= −
•
3
2
3tan tan
tan3 ,3
1 3tan 2
x x
x x x k
x
π
π
−
= ∀ ≠ +
÷
−
•
( )
3
2
cot 3cot
cot3 ,3
3cot 1
x x
x x x k
x
π
−
= ∀ ≠
−
Công thức hạ bậc :
•
( )
2
1
sin 1 cos2
2
x x
= −
•
( )
2
1
cos 1 cos2
2
x x
= +
•
2
1 cos2
tan
1 cos2 2
x
x x k
x
π
π
−
= ∀ ≠ +
÷
+
•
( )
2
1 cos2
cot
1 sin 2
x
x x k
x
π
+
= ∀ ≠
−
•
3
3sin sin3
sin
4
x x
x
−
=
•
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
+
=
Công thức theo
tan
2
x
t
=
:
•
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
•
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
•
2
2
tan ,
1 2 2
t x
x x k
t
π
π
= ∀ ≠ +
÷
−
Công thức biến đổi tích thành tổng :
3
•
( ) ( ) ( )
1
sin cos sin sin
2
x y x y x y x y
= + + − >
•
( ) ( ) ( )
1
cos sin sin cos
2
y x x y y x y x
= + − − >
•
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
= + + −
•
( ) ( )
1
sin sin cos cos
2
x y x y x y
= − + − −
Công thức biến đổi tổng thành tích :
•
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
•
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
•
( )
sin
tan tan ,
cos cos 2
x y
x y x y k
x y
π
π
±
± = ∀ ≠ +
÷
•
( )
( )
sin
cot cot ,
sin sin
y x
x y x y k
x y
π
±
± = ∀ ≠
Các kết quả thường dùng :
•
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
+ = + = −
÷ ÷
•
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
− = − = − +
÷ ÷
•
tan cot 2cot 2
2
x x x x k
π
+ = − ∀ ≠
÷
•
2
tan cot
sin 2 2
x x x k
x
π
− = ∀ ≠
÷
•
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
x x x
+ = +
•
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
x x x
+ = +
•
2
1 sin 2cos
4 2
x
x
π
+ = −
÷
•
2
1 sin 2sin
4 2
x
x
π
− = −
÷
4
•
2 cos
4
1 tan
cos
x
x
x
π
−
÷
+ =
•
2 sin
4
1 tan
cos
x
x
x
π
−
÷
− =
Các hằng đẳng thức trong tam giác :
•
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =
•
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + = +
•
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
+ + =
•
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
+ + =
•
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C
+ + = −
•
2 2 2
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C
+ + = +
•
sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + =
•
cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C
+ + = − −
•
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
•
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
II. Điều kiện đối với một phương trình lượng giác :
Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan
trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong
phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau :
• Để tan x có nghĩa, điều kiện là
( )
2
x k k
π
π
≠ + ∈
¢
• Để cot x có nghĩa, điều kiện là
( )
x k k
π
≠ ∈ ¢
Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường
được tiến hành như sau :
• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
• Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng.
• So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai.
Một số chú ý :
• Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt
điều kiện.
• Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung
bù cho hàm cos.
III. Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác :
5
Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường
hợp sau đây :
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến.
• Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt.
Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau :
• Giải phương trình lượng giác như bình thường.
• Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm
nguyên k thỏa mãn một bất phương trình.
• Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm.
Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình
lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để ý thì dưới hình thức này hay hình
thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó.
Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó.
IV. Các phương trình lượng giác thường gặp :
Các họ nghiệm cơ bản :
•
( ) ( )
2
sin sin 1
2
n
u v k
u v u v n n
u v k
π
π
π π
= +
= ⇔ ⇔ = − + ∀ ∈
= − +
¢
•
( )
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k
π
π
= +
= ⇔ ∀ ∈
= − +
¢
•
( )
tan tan ,
2
v l
u v k l
u v k
π
π
π
≠ +
= ⇔ ∀ ∈
= +
¢
•
( )
cot cot ,
v l
u v k l
u v k
π
π
≠
= ⇔ ∀ ∈
= +
¢
Các họ nghiệm đặc biệt :
•
( )
sin 0u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈¢
•
( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 0
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π π
= − ⇔ = + ∀ ∈¢
•
( )
tan 0u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈¢
•
( )
tan 1
4
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
6
•
( )
tan 1
4
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 0
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈
¢
1. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u :
Có dạng:
( )
( )
( )
( )
sin 1
sin 0
cos 2
cos 0
; 0
tan 0
tan 3
cot 0
cot 4
b
u
a
a u b
b
u
a u b
a
a
a u b b
u
a
a u b
b
u
a
−
=
+ =
−
=
+ =
≠ →
+ = −
=
+ =
−
=
Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện
1
b
a
−
≤
Chọn α sao cho
[ ]
[ ]
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
tan ; ;
2 2
cot ; 0;
b
a
b
a
b
a
b
a
π π
α α
α α π
π π
α α
α α π
− −
= ∈
−
= ∈
− −
= ∈
−
= ∈
⇒ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải.
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u :
Có dạng:
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
; 0
tan tan 0
cot tan 0
a u b u c
a u b u c
a
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
. Đặt
sin
1
cos
tan
cot
u t
t
u t
u t
u t
=
≤
=
=
=
⇒ Phương trình bậc hai at
2
+ bt + c = 0
Giải phương trình tìm t (xét điều kiện nếu có) ⇒ các họ nghiệm cơ bản, giải tìm x
3. Các dạng khác :
Dạng của phương trình Phương pháp giải
Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối
với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác Đặt ẩn phụ t = f(x).
7
nào đó.
Cách 1 :
Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
Cách 2 :
• Tìm nghiệm thỏa
cos 0
2
x
=
.
• Với
cos 0
2
x
≠
thì đặt
tan
2
x
t
=
ta có:
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
.Đưa
phương trình đã cho thành phương
trình bậc hai theo ẩn t.
Dạng 3 : Phương trình đối xứng với
sin x
và
cos x
:
•
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c+ + + =
•
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c
− + + =
Đặt
sin cos 2sin 2; 2
4
t x x x
π
= ± = ± ∈ −
÷
thì
2
1
sin cos
2
t
x x
−
= ±
÷
Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với
sin x
và
cos x
:
2 2
sin sin cos cos 0a x b x x c x
+ + =
Cách 1 :
• Tìm nghiệm thỏa
cos 0x
=
.
• Với
cos 0x
≠
thì chia hai vế của
phương trình cho
2
cos x
dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn
tan x
.
Cách 2 :
• Tìm nghiệm thỏa
sin 0x =
• Với
sin 0x ≠
thì chia hai vế của
phương trình cho
2
sin x
dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn
cot x
.
Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với
sin x
và
cos x
:
3 3 2 2
sin cos sin cos sin cosa x b x c x x d x x
+ + + +
sin cos 0e x f x
+ + =
Cách giải tương tự như phương trình thuần
nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho
3
cos x
hoặc
3
sin x
và chú ý áp dụng các hằng đẳng
thức lượng giác cơ bản.
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:
8
α
( )
0
0 0
( )
0
30
6
π
( )
0
45
4
π
( )
0
60
3
π
( )
0
90
2
π
( )
0
2
120
3
π
( )
0
3
135
4
π
( )
0
5
150
6
π
( )
0
180
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0 -
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
tan
α
0
1
3
1
3
P
-
3
-1 -
1
3
0
cot
α
P
3
1
1
3
0 -
1
3
-1 -
3
P
Hệ thức lượng cơ bản:
1)
2 2
sin cos 1
α α
+ =
4)
2
2
1
1 tan
cos
α
+ =
2)
sin
tan
cos
α
α
α
=
,
2
k k Z
π
α π
≠ + ∈
÷
5)
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
3)
cos
cot
sin
α
α
α
=
( )
,k k Z
α π
≠ ∈
6)
tan .cot 1
α α
=
Các cung có liên quan đặt biệt:
1) Hai cung đối nhau:
àv
α α
−
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− =
− = −
− = −
2) Hai cung bù nhau:
àv
π α α
−
2)Hai cung bù nhau:
àv
π α α
−
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −
3) Hai cung hơn kém nhau
: àv
π π α α
+
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
4) Hai cung phụ nhau:
à
2
v
π
α α
−
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
− =
÷
− =
÷
− =
÷
− =
÷
Công thức cộng:
9
( )
sin( ) sin .cos sin .cos
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
10
Công thức nhân đôi, nhân ba:
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2
2
2
cos sin
cos 2 2cos 1
1 2sin
α α
α α
α
−
= −
−
2
2 tan
t an2
1 tan
α
α
α
=
−
3
s n3 3sin 4sini
α α α
= −
3
cos3 4cos 3cos
α α α
= −
3
2
3tan tan
t an3 =
1 3tan
α α
α
α
−
−
Công thức hạ bậc:
2
1 cos2
sin
2
α
α
−
=
2
1 cos 2
cos
2
α
α
+
=
2
1 cos2
tan
1 cos 2
α
α
α
−
=
+
Công thức biến đổi tích thành tổng:
( )
1
cos .cos cos cos( )
2
a b a b a b= + + −
( )
( )
1
cos cos( )
2
sin .sin
1
cos cos( )
2
a b a b
a b
a b a b
− + − −
=
− − +
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
÷ ÷
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
÷ ÷
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
÷ ÷
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
÷ ÷
( )
sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
( )
sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
Cách giải phương trình lượng giác:
2
sin sin
2
x k
x
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔
= − +
tan tanx x k
α α π
= ⇔ = +
2
cos cos
2
x k
x
x k
α π
α
α π
= +
= ⇔
= − +
cot cotx x k
α α π
= ⇔ = +
Các trường hợp đạc biệt:
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
π
π
π
π
π
π
π
π
π π
= ⇔ =
−
= − ⇔ = +
= ⇔ = +
= ⇔ = +
= ⇔ =
= − ⇔ = +
Công thức tính theo
tan
2
t
α
=
÷
11
2
π
2
π
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
2
2
tan
1
t
t
α
=
−
Phương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c+ + =
Đặt t=sinx +cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ + − − =
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c− + =
Đặt t=sinx - cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ − + − =
Phương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức:
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
4 4 2 2 2 2
a b a b a ab b
a b a b a b
± = ± +
− = + −
m
( ) ( )
( )
6 6 2 2 4 2 2 4
2
8 8 4 4 4 4
2
a b a b a a b b
a b a b a b
± = ± +
+ = + −
m
12
I. Các công thức lượng giác cơ bản.
2 2
sin os 1.c+ =a a
sin
tan , , .
os 2
k k
c
π
= ≠ + π ∈
a
a a
a
¢
os
cot , , .
sin
c
k k= ≠ π ∈
a
a a
a
¢
2
2
1
1 tan , , .
os 2
k k
c
π
+ = ≠ + π ∈a a
a
¢
2
2
1
1 cot , , .
sin
k k+ = ≠ π ∈a a
a
¢
II. Công thức cộng .
os( )=cos .cos sin .sinc a +b a b - a b
. (cos thì cos cos sin sin dấu trái).
os( - )=cos .cos sin .sinc a b a b + a b
. (cos thì cos cos sin sin dấu trái).
sin( )=sin .cos os .sina + b a b + c a b
. (sin thì sin cos cos sin dấu cùng).
sin( )=sin .cos os .sina -b a b -c a b
. (sin thì sin cos cos sin dấu cùng).
III. Công thức nhân đôi.
sin 2 2sin .cosa = a a
.
2 2
2
2
os2 os sin
os 1
1 sin
c
−
= −
a = c a - a
= 2c a
a
IV. Công thức nhân ba.
3
sin 3 3sin 4sin= −a a a
. ( ba sin trừ bốn sỉn).
3
os3 4 os osc c=a a - 3c a
. (bốn cổ trừ ba cô).
V. Công thức hạ bâc.
13
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân
2 2
1 1
os (1 os2 ), os (1 os4 )
2 2
c c c c= + = +a a 2a a
.
2 2
1 1
sin (1 os2 ), sin (1 os4 )
2 2
c c= = −a a 2a a−
.
VI. Công thức tính sina, cosa theo t=tan
2
x
.
sin
os
tan
2
2
2
2
2t
x =
1+ t
1-t
c x =
1+ t
2t
x =
1-t
VII. Công thức biến đổi tích thành tổng.
[ ]
1
os .cos = os( + )+cos( - ) .
2
c ca b a b a b
(cos nhân cos bằng
1
2
cos cộng cộng cos
trừ)
[ ]
1
sin .sin = os( )-cos( ) .
2
ca b a - b a + b
(sin nhân sin bằng
1
2
cos trừ trừ cos
cộng)
[ ]
1
sin .cos = sin( )+sin( - ) .
2
a b a +b a b
(sin nhân cos bằng
1
2
sin cộng cộng sin
trừ)
VIII. Giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
Góc- cung
HSLG
0
0
0
30
0
6
π
45
0
4
π
60
0
3
π
90
0
2
π
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
∞
cot
∞
3
1
3
3
0
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:
α
( )
0
0 0
( )
0
30
6
π
( )
0
45
4
π
( )
0
60
3
π
( )
0
90
2
π
( )
0
2
120
3
π
( )
0
3
135
4
π
( )
0
5
150
6
π
( )
0
180
π
14
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0 -
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
tan
α
0
1
3
1
3
P
-
3
-1 -
1
3
0
cot
α
P
3
1
1
3
0 -
1
3
-1 -
3
P
Hệ thức lượng cơ bản:
1)
2 2
sin cos 1
α α
+ =
4)
2
2
1
1 tan
cos
α
+ =
2)
sin
tan
cos
α
α
α
=
,
2
k k Z
π
α π
≠ + ∈
÷
5)
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
3)
cos
cot
sin
α
α
α
=
( )
,k k Z
α π
≠ ∈
6)
tan .cot 1
α α
=
Các cung có liên quan đặt biệt:
1) Hai cung đối nhau:
àv
α α
−
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− =
− = −
− = −
2) Hai cung bù nhau:
àv
π α α
−
2)Hai cung bù nhau:
àv
π α α
−
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −
3) Hai cung hơn kém nhau
: àv
π π α α
+
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
4) Hai cung phụ nhau:
à
2
v
π
α α
−
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
− =
÷
− =
÷
− =
÷
− =
÷
Công thức cộng:
15
( )
sin( ) sin .cos sin .cos
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
16
Công thức nhân đôi, nhân ba:
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2
2
2
cos sin
cos 2 2cos 1
1 2sin
α α
α α
α
−
= −
−
2
2 tan
t an2
1 tan
α
α
α
=
−
3
s n3 3sin 4sini
α α α
= −
3
cos3 4cos 3cos
α α α
= −
3
2
3tan tan
t an3 =
1 3tan
α α
α
α
−
−
Công thức hạ bậc:
2
1 cos2
sin
2
α
α
−
=
2
1 cos 2
cos
2
α
α
+
=
2
1 cos2
tan
1 cos 2
α
α
α
−
=
+
Công thức biến đổi tích thành tổng:
( )
1
cos .cos cos cos( )
2
a b a b a b= + + −
( )
( )
1
cos cos( )
2
sin .sin
1
cos cos( )
2
a b a b
a b
a b a b
− + − −
=
− − +
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
÷ ÷
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
÷ ÷
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
÷ ÷
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
÷ ÷
( )
sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
( )
sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
Cách giải phương trình lượng giác:
2
sin sin
2
x k
x
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔
= − +
tan tanx x k
α α π
= ⇔ = +
2
cos cos
2
x k
x
x k
α π
α
α π
= +
= ⇔
= − +
cot cotx x k
α α π
= ⇔ = +
Các trường hợp đạc biệt:
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
π
π
π
π
π
π
π
π
π π
= ⇔ =
−
= − ⇔ = +
= ⇔ = +
= ⇔ = +
= ⇔ =
= − ⇔ = +
Công thức tính theo
tan
2
t
α
=
÷
17
2
π
2
π
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
2
2
tan
1
t
t
α
=
−
Phương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c+ + =
Đặt t=sinx +cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ + − − =
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c− + =
Đặt t=sinx - cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ − + − =
Phương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức:
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
4 4 2 2 2 2
a b a b a ab b
a b a b a b
± = ± +
− = + −
m
( ) ( )
( )
6 6 2 2 4 2 2 4
2
8 8 4 4 4 4
2
a b a b a a b b
a b a b a b
± = ± +
+ = + −
m
18
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản.
1. Công thức:
u = v + k2
1/ sin sin
u = - v + k2
u = v + k2
2 / osu=cosv
u = -v + k2
3/ tan tan u = v + k
cot cot u = v + k
u v
c
u v
u v
π
= ⇔
π π
π
⇔
π
= ⇔ π
4/ = ⇔ π
2. Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
x = + k2 x = + k2
2 2
1/ sin sin 2 ,
2 2
x = - + k2 x = + k2
2 2
x = + k2 x = + k2
2 2
2 / sin 1 sin sin 2 ,
2 2
x = - + k2 x = + k2
2 2
x x k k
x x x k k
π π
π π
π π
= ⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈
π π
π π π
π π
π π
π π
= ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈
π π
π π π
¢
¢
19
x = k
2x = 0 + k2
3/ sin 2 0 sin 2 sin 0 ,
2x = + k2
x = + k
2x = - + k2 x = - + k
2 4
4 / sin 2 1 sin 2 sin ,
2
2x = + k2 x = + k
2 4
x = + k2 x = + k2
1
6 6
5/ sin sin sin
2 6
x = - + k2
6
x x k
x x k
x x
π
π
= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
π
π−0 π
π
2
π π
π π
π
= − ⇔ = − ⇔ ⇔ ∈
÷
π 3π
π+ π π
π π
π π
π
= ⇔ = ⇔ ⇔
π
π π
¢
¢
,
x = + k2
6
3x = + k2 x = + k
3
3 9
6 / sin 3 sin 3 sin 2 ,
2 3 2
3x = - + k2 x = + k
3 9
k
x x x k k
∈
5π
π
π π 2π
π
π π
3
= ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈
π 2π 2π
π π
3
¢
¢
x = + k2
2
1/ os os ,
2
x = - + k2
2
x = 0 + k2
2 / os 1 cos os0 2 ,
x = -0 + k2
c x c k
c x x c x k k
π
π
π
= ⇔ ∈
π
π
π
= ⇔ = ⇔ ⇔ = π ∈
π
¢
¢
2x = + k2 x = + k
2 4
3/ os2 0 os2 os ,
2
2x = - + k2 x = - + k
2
x = + k
2x = + k2
2
4 / os2 1 os2 os ,
2x = - + k2
x = - + k
2
2x = + k2 x = + k
1
3 6
5/ os2 os2 os
2 3
2x = - + k2 x = -
3
c x c x c k
c x c x c k
c x c x c
π π
π π
π
= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
π π
π π
4
π
π
π π
= − ⇔ = π ⇔ ⇔ ∈
π π π
π
π π
π π
π
= ⇔ = ⇔ ⇔
π
π
¢
¢
,
+ k
6
2x = + k2
x = + k
3
6
12
6 / os2 os2 os ,
2 6
2x = - + k2 x = - + k
6 12
k
c x c x c k
∈
π
π
π
π
π
π
π
= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
π π
π π
¢
¢
20
1/ tanx=tan , .
4 4
2 / tan x=1 tanx=tan , .
4 4
3/ tan x= 3 tanx=tan , .
3 3
4 / tan 2x= 3 tan2x=tan , .
3 3 6
x k k
x k k
x k k
x k x k k
π π
⇔ = + π ∈
π π
⇔ ⇔ = + π ∈
π π
⇔ ⇔ = + π ∈
π π π π
⇔ ⇔ 2 = + π ⇔ = + ∈
3
¢
¢
¢
¢
1/ cotx=cot , .
4 4
2 / cotx=1 cotx=cot , .
4 4
3/ cotx= 3 cotx=cot , .
6 6
4 / cot2x= 3 cot2x=cot , .
6 6 12
x k k
x k k
x k k
x k x k k
π π
⇔ = + π ∈
π π
⇔ ⇔ = + π ∈
π π
⇔ ⇔ = + π ∈
π π π π
⇔ ⇔ 2 = + π ⇔ = + ∈
3
¢
¢
¢
¢
Dạng 2: Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác:
2
2
2
2
1/ sin sinx+c=0
2 / os osx+c=0
3/ tan tan +c=0
4 / cot cot +c=0
a x b
ac x bc
a x b
a x b x
+
+
+
+
. Chú ý:
1 sinx 1
1 osx 1c
− ≤ ≤
− ≤ ≤
Ví dụ: Giải các pt sau:
( )
( )
2
2
2
2
1/ sin 2 2sin2x+1=0 sin 2 2sin2x+1=0 sin2x=1 x ,
sinx=1 x 2 ,
sin 3sinx+2=0 sin 3.sinx+2=0
sinx=2 (vo nghiem)
x x k k
k k
x x
π
− ⇔ − ⇔ ⇔ = + π ∈
4
π
⇔ = + π ∈
2/ − ⇔ − ⇔
2
¢
¢
( )
( )
2
2
2
2
1/ os 2 osx+1=0 s 2 osx+1=0 cosx=1 x 2 ,
cos2x=1 x=k ,
cos 2 3 os2x+1=0 s 2 3 os2x+1=0
1
cos2x= 2 x= +k
2 3 6
c x c co x c k k k
k
x c co x c
x k
− ⇔ − ⇔ ⇔ = 0+ π = 2π ∈
⇔ π ∈
2/ 2 − ⇔ 2 − ⇔
π π
⇔ 2 = + π ⇔ π
¢
¢
( )
( )
2
2
2
2
1/ tan 2 2tan 2x+1=0 tan 2 2tan 2x+1=0 tan2x=1 x x
tanx=1 x
tan (1 3) tan x+ 3=0 tan (1 3)tan x+ 3=0 ,
tanx= 3 x= +k
3
x x k k
k
x x k
π π π
− ⇔ − ⇔ ⇔ 2 = + π ⇔ = +
4 8 2
π
⇔ = + π
4
2/ − + ⇔ − + ⇔ ∈
π
⇔ π
¢
21
Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin cà cos có dạng: asinx+bcosx=c.
Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
.
Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
.
Pt
2 2 2 2 2 2
b c
sinx+ osx=
a a
a
c
a b b b
⇔
+ + +
.
Do
2 2
2 2 2 2
b
1
a
a
a b b
⇔ + =
÷ ÷
+ +
Nên đặt
2 2
2 2
os
sin
a
c
a b
b
a b
α
α
=
+
=
+
(hoặc ngược lại).
Pt trở thành:
2 2 2 2
c c
sinx.cos +cosx.sin = sin(x+ )=
a ab b
α α ⇔ α
+ +
Giải pt tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình:
1/ 3 os2 sin 2 1, 3, 1, 1.c x x a b c+ = = = =
Giải
- Chia hai vế pt cho
( )
2
2 2 2
3 1 3 1 4 2a b+ = + = + = =
.
3 1 1
Pt os2 sin 2
2 2 2
1
sin . os2 os .sin 2
3 3 2
1
sin( +2x)=
3 2
sin( +2x)=sin
3 6
2 2 2 2
3 6 6 3
5
2 2 2 2
3 6 6 3
2 2
6
12
3
2 2 2 2
6 2 4
c x x
c x c x
x k x k
x k x k
x k
x k
x k x k x k
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
⇔
π π
⇔
π π π π
+ = + π = − + π
⇔ ⇔
π π π π
+ = π− + π = − + π
π
π
= − + π
= − + π
⇔ ⇔
π π π
= + π ⇔ = + = + π
, k ∈
¢
22
2 / sin12 3 os12x=1, 1, 3, 1.x c a b c− = = =
Giải
- Chia hai vế pt cho
( )
2
2 2 2
1 3 1 3 4 2a b+ = + = + = =
.
3 1
Pt sin12 os12x=
2 2
1
cos .sin12 sin . os12
3 3 2
1
sin12 .cos os12 .sin
3 3 2
1
sin(12x- )=
3 2
sin(12x- )=sin
3 6
12x- 2 12 2
3 6 6 3 24
5 7
12x- 2 12 2 2
3 6 6 3 72
x c
x c x
x c x
k x k x k
k x k x
1
⇔ −
2
π π
⇔ − =
π π
⇔ − =
π
⇔
π π
⇔
π π π π π π
= + π = + + π = +
6
⇔ ⇔ ⇔
π π π π π
= π− + π = + + π =
, k
k
∈
π
+
6
¢
3/
osx- 3 sinx=2cos3xc
.
Giải
1 3
osx- sinx=cos3x
2 2
cos . osx-sin .sinx=cos3x
3 3
osx.cos -sinx.sin =cos3x
3 3
cos os3x os3x=cos
3 3
3 x+ 2
3
3 2
3
2 2
3
4 2
3
6
,
12 2
Pt c
c
c
x c c x
x k
x x k
x k
x k
x k
k
x k
⇔
π π
⇔
π π
⇔
π π
⇔ + = ⇔ +
÷ ÷
π
= + π
⇔
π
= − − + π
π
= + π
⇔
π
= − + π
π
= + π
⇔
π π
= − +
∈¢
23
Phần II: Giải các phương trình lượng giác bằng các phép biến đổi.
1/
2sinx.cosx= 2 sinx.
Giải
Pt 2sinx.cosx- 2 sinx=0
sinx(2cosx- 2)=0
sinx=sin0
sinx=0
2
2cosx- 2 0
cosx=
2
2
0 2
2
2
,
2
4
osx=cos
4
2
x k
x k
x k
x k
k
x k
c
x k
⇔
⇔
⇔ ⇔
=
= π
= + π
= π+ π
= π+ π
π
⇔ ⇔ ∈
= + π
π
π
= − + π
4
¢
2/
5 osx=cos2x+3c
. Chú ý:
2
os2x=2cos 1c x −
Giải
( )
2
2
2
5 osx=2cos x-1+3
2cos x-5cosx+2=0
2 cosx -5cosx+2=0
cosx=2 (loai)
1
cosx=
2
osx=cos
3
2 ,
3
Pt c
c
x k k
⇔
⇔
⇔
⇔
π
⇔
π
⇔ = ± + π ∈¢
3/
2
5sinx-2=3tan (1 sinx)x −
. Khối B năm 2004.
Giải
2
2
2
2
2
sin
5sinx-2=3 (1 sinx)
os x
3sin
5sinx-2= (1 sinx)
1 sin
3sin
5sinx-2= (1 sinx)
(1 sinx)(1 sinx)
x
Pt
c
x
x
x
⇔ −
⇔ −
−
⇔ −
− +
2
2
2 2
2 2
2
3sin
5sinx-2=
1 sinx
(5sinx-2)(1 sinx) 3sin
5sinx+5sin 2 2sinx=3sin
5sin 3sin 5sinx-2sinx-2=0
2sin 3sinx-2=0
1
sinx=
sinx=sin
2
6
sinx=-2 (vo nghiem)
2 2
6 6
5
2
6
x
x
x x
x x
x
x k x k
x k x
⇔
+
⇔ + =
⇔ − −
⇔ − +
⇔ +
π
⇔ ⇔
π π
= + π = + π
⇔ ⇔
π
= π− + π =
,
2
6
k
k
∈
π
+ π
¢
4/
(2 osx-1)(2sinx+cosx) sin 2 sinxc x= −
KD- 2004
Giải
[ ]
(2 osx-1)(2sinx+cosx) 2sinx.cosx sinx
(2 osx-1)(2sinx+cosx)=sinx(2cosx-1).
(2 osx-1)(2sinx+cosx)-sinx(2cosx-1)=0.
(2cosx-1) (2sinx+cosx)-sinx 0
(2 osx-1)(sinx+cosx) 0
Pt c
c
c
c
⇔ = −
⇔
⇔
⇔ =
⇔ =
1
2 osx-1=0
osx=
2
sinx+cosx=0
sinx=-cosx
osx=cos
3
tan 1
2
3
t anx=tan(- )
4
2
3
,
c
c
c
x
x k
x k
k
x k
⇔ ⇔
π
⇔
= −
π
= ± + π
⇔
π
π
= ± + π
⇔ ∈
π
= − + π
4
¢
24
5/
os3x-4cos2x+3cosx-4=0c
. ĐH KD
2002
- Hướng dẫn:
3
2
os3x=4cos 3 osx
os2x=2cos 1
c x c
c x
−
−
.
- Giải
( )
( )
3 2
3 2
3 2
2
2
cos x-3cosx-4 2cos 1 3 osx-4=0
4cos 3 osx-8cos 4 3 osx-4=0
4cos 8 os x=0
4cos x osx-2 0
osx=0
4 os x=0
cosx=2 (loai)
cosx-2=0
cosx=0 x= .,
2
Pt x c
x c x c
x c
c
c
c
k k
⇔ 4 − +
⇔ − + +
⇔ −
⇔ =
⇔ ⇔
π
⇔ ⇔ + π ∈¢
6/
( ) ( )
2 2
1 sinx sin 1 osx osx c c x− = +
. Khối D - 2003
- HD:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
sin 1 os 1 osx 1 osx
os 1 sin 1 sinx 1 sinx
x c x c c
c x x
= − = − +
= − = − +
.
Giải
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 sinx sin 1 osx os
(1 sinx)(1 os ) (1 osx)(1 sin )
(1 sinx)(1 osx)(1 osx) (1 osx)(1 sinx)(1 sinx)
(1 sinx)(1 osx)(1 osx) (1 osx)(1 sinx)(1 sinx) 0
(1 sinx)(1 osx) 1 osx 1 sinx 0
(1
x c c x
c x c x
c c c
c c c
c c
− = +
⇔ − − = + −
⇔ − − + = + − +
⇔ − − + − + − + =
⇔ − + − − − =
⇔
[ ]
sinx)(1 osx) osx-sinx 0
2 2
1 sinx=0 sinx=1
2 2
1+cosx=0 cosx=-1 2 2
-cosx-sinx=0 sinx=-cosx t anx=-1
4
c c
x k x k
x k x k
x k
− + − =
π π
= + π = + π
−
⇔ ⇔ ⇔ = π+ π ⇔ = π + π
π
= − + π
7/
os3x+cos2x-cosx-1=0c
.KD – 2006
2
2
2
os3x-cosx+cos2x-1=0
-sin2xsinx+1-2sin 1 0
2sin 2 .sinx 2sin 0
sin 2 .sinx+sin 0
sinx(sin2x+sinx)=0
sinx=0
sin2x+sinx=0
x=k
sin2x=-sinx=sin(-x)
2 2
2 2
2
2
c
x
x x
x x
x k
x x k
x x k
x k
x k
x k
⇔
⇔ − =
⇔ − − =
⇔ =
⇔
⇔
π
⇔
= π
⇔ = − + π
= π+ + π
= π
π
⇔ =
3
= π+
, k
∈
π
¢
Chú ý: Biến đổi hiệu thành tích.
3x+x 3
os3x-cosx=-2sin sin
2 2
2sin 2 .sinx
x x
c
x
−
÷ ÷
= −
8/
1 sinx+cosx+sin2x+cos2x=0+
. Khối B năm 2005.
2
1+sinx+cosx+2sinxcosx+2cos x-1=0
sinx+cosx cosx.sinx+2cosx.cosx=0
sinx+cosx cosx(sinx+cosx)=0
(sinx+cosx)(1+2cosx)=0
sinx+cosx=0
1+2cosx=0
sinx=-cosx
1
cosx=-
2
t anx=-1
cosx=-cos
3
t anx=t
⇔
⇔ ( )+ 2
⇔ ( )+ 2
⇔
⇔
⇔
⇔
π
⇔
an(- )
4
2
cosx=cos( - )=cos
3 3
4
,
2
2
3
x k
k
x k
π
π π
π
π
= − + π
⇔ ∈
π
= ± + π
¢
25
