Bài soạn NHUNG SAI LAM KHI GIAI TOAN TIM GIA TRI NHO NHAT VA GIA TRI LON NHAT

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
A-Mục Tiêu:
-Cung Cấp cho HS tránh những sai lầm khi tìm giá trò nhỏ nhất,giá trò lớn nhất của biểu thức.
-Nắm vững các phương pháp và linh hoạt từng dạng toán .
-Vận dụng các phương pháp vào giải toán cực trò.
B-Nội dung:
I-Đònh nghóa giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
-Đònh nghóa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK
trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)
≤
M với M là hằng số .
+Tồn tại x
0
,y
0
,…thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
,…) = M
-Đònh nghóa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói N là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên
đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)
≥
với N là hằng số .
+Tồn tại x
0

,y
0
,…thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
,…) = N
II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ
1) a
2

≥
0 Tổng quát a
2k
≥
0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
2) a
2

≤
0 Tổng quát a
2k
≤
0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
3) {a{
≥
0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
4) –{a{
≤
a

≤
{a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
5) {a+b{
≤
{a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab
≥
0
6) a
2
+b
2

≥
2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
7)
ab
ba
≥
+
2
.Với a,b
≥
0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
8) a
≥
b , ab > 0 =>
ba
11
≤
Đẳng thức xẩy ra khi a= b

9)
2
≥+
a
b
b
a
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
10)
baba
+
≥+
411
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
11)(am+bn)
2

≤
(a
2
+b
2
)(m
2
+n
2
) Đẳng thức xẩy ra khi
n
b
m

a
=
(BĐT Bu nhi a côp xki)
III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trò:
1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:
VD
1
:Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P
176
1
2
+−
=
xx
Lời giải sai:
Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất
Ta có :x
2
- 6x +17 = (x-3)
2
+8
≥
8
1
Min(x
2
- 6x +17) = 8 <=> x = 3. Vậy MaxP =
⇔
8
1

x = 3
Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trò không đổi
nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử và mẫu đều lànhững biểu
thức có gioá trò dương.
Ta đưa ra một phản ví dụ:
Xét biểu thức A =
4
1
2
−
x
Với lập luận như trên: A =
4
1
2
−
x
“Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên A
có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất”Nghóa là A có giá trò lớn nhất <=> x
2
– 4 có giá trò nhỏ
nhất .Mà x
2
– 4 có giá trò nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 .Nên A có giá trò lớn nhất là
4
1
−
<=> x =0 .Điều này
không đúng .Vì
4

1
−
Không phải là giá trò lớn nhất của biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A =
4
1
5
1
−>
Lời giải đúng: Ta có :x
2
- 6x +17 = (x-3)
2
+8
≥
8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trò dương .=> P
> 0 ,do đó P có giá trò lớn nhất <=>
P
1
Có gia 1trò nhỏ nhất <=> x
2
- 6x +17 có giá trò nhỏ nhất.
VD
2
:
Tìm giá trò nhỏ nhất của A = (x-1)
2
+ (x-3)
2
Lời giải sai:ta có (x-1)
2

≥
0(1) ; (x-3)
2

≥
0(2) .Nên A có giá trò nhỏ nhất là 0.ta không thể kết luận như
vậy .vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2)
VD
3
: Tìm giá trò nhỏ nhất của A=
x
z
z
y
y
x
++
.Với x,y,z > 0
Lời giải sai:
Giả sử :x
≥
y
≥
z > 0 .=> x-z
≥
0 => y(x-z)
≥
z (x-z) => xy-yz+z
2

≥
xz
Chia hai vế cho số dương xz: Ta có :
x
z
x
y
z
x
+−
≥
1(1) .Mặt khác ,ta có
2
≥+
x
y
y
x
(2).Cộng (1) với (2):
x
z
z
y
y
x
++

≥
3.Vậy Min A = 3 <=> x = y = z

Phân tích sai lầm :Khi hoán vò vòng quanh thì A trở thành
x
z
z
y
y
x
++
.Tức là biểu thức không đổi .Điều đó
cho phép tược giả sử x làsố lớn nhất (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x
≥
y
≥
z.Thật
vậy sau khi chọn x là số lơn nhất (x
≥
y,x
≥
z) thì vai trò của y và z lại không bình đẳng :giữ nguyên x thay
y bỡi z thay z bỡi y ta được
x
y
y
z
z
x
++
,không bằng biểu thức A.
(Ta đưa ra một ví dụ khác cho phép được giả sử x
≥

y
≥
z.Chẳng hạn :B = x
2
+ y
2
+z
2
+xy+xz+yz.Sau
khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta
được : x
2
+ y
2
+z
2
+xy+xz+yz, vẫn bằng B)
Cách giải đúng :
Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:
A=
x
y
y
z
z
x
++

3..3
3

=≥
x
z
z
y
y
x
.
Do đó min(
x
y
y
z
z
x
++
) = 3Khi và chỉ khi:
x
z
z
y
y
x
==
,tức là x = y = z
Cách 2:Ta có
x
y
y
z

z
x
++
=






−++








+
x
y
x
z
z
y
x
y
y
x

.Ta đã có :
2
≥+
y
x
x
y
(Do x,y>0)Nên để chứng minh
3
≥++
x
z
z
y
y
x
Chỉ cần chứng minh :
1
≥−+
x
y
x
z
z
y
(1)
2
(1) <=> xy+z
2
-yz

≥
xz(Nhân hai vế với số dương xz)
<=>xy+z
2
-yz-xz
≥
0
<=>y(x-z)-z(x-z)
≥
0
<=>(x-z)(y-z)
≥
0(2)
(2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng .
Từ đó tìm được giá trò nhỏ nhất của
x
z
z
y
y
x
++
VD
3
:Tìm giá trò nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
biết x+y =4
Lời giải sai:Ta có x

2
+y
2
≥
2xy
Do đó A có giá trò nhỏ nhất <=> x
2
+y
2
=2xy <=>x=y=2 Khi đó MinA = 2
2
+2
2
= 8
Phân tích sai lầm :Đáp số không sai tuy nhiên lập luận sai lầm .Ta mới chứng minh f(x,y)
≥
g(x,y) Chứ
chưa C/m được f(x,y)
≥
M Với M là hằng số .
Ta đưa ra một ví dụ :Với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng :x
2

≥
4x-4 sẽ suy ra :x
2
nhỏ nhất
<=> x
2
= 4x-4<=> (x-2)

2
= 0 <=> x=2 đi đến Min x
2
= 4 <=> x=2
Dễ thấy kết quả đúng phải là minx
2
= 0 Khi và chỉ khi x = 0
Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x
2
+2xy+y
2
= 16 (1)
Ta lại có (x-y)
2

≥
0 => x
2
-2xy +y
2

≥
0(2)
Từ (1) và (2) : 2(x
2
+y
2
)
≥
16 => x

2
+y
2
≥
8
Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2
2.Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= x+
x
Lời giải sai:
A= x+
x
=
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
−≥−







+=−






++
xxx
Vậy MinA =
4
1
−
Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x)
≥

4
1
−
,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) =
4
1
−
.Xảy ra dấu bằng khi và
chỉ khi
2
1
−=

x
,vô lý .
Lời giải đúng :Để tôn tại
x
phải có x
≥
0
Do đó A= x+
x
≥
0
MinA = 0 Khi và chỉ khi x = 0
VD2:Tìm giá trò lớn nhất của A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z
≥
0 và x+y+z = 1
Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab
2
)( ba
+≤
:
4(x+y).z
1)(
2
=++≤
zyx
4(x+z).y
1)(
2
=++≤
zyx

4(z+y).x
1)(
2
=++≤
zyx
Nhân từng vế (do không âm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x)
≤
1
Max A =
64
1
3
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức .Điều kiện để A =
64
1
là
thuẫn Mâu





≥
=++
===
⇔










≥
=++
=+
=+
=+
0,,
1
0
0,,
1
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
yxz
xzy
zyx
Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm :
1= x+y+z
3
xyz
≥
(1)

2= (x+y)+(y+z)+(z+x)
3
))()((3 xzzyyx
+++≥
(2)
Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):
2
3
3
9
2
9






≤⇒≥
AA
Max A =
3
1
3
2
3
===⇔







zyx
VD3:Tìm giá trò nhỏ nhất của A=
( )( )
x
bxax
++
với x > 0 ,a,b là các hằng số dương cho trước.
Lời giải sai:Ta có x+a
ax2
≥
(1)
x+b
bx2
≥
(2)
Do đó :
( )( )
x
bxax
++
ab
x
bxax
4
2.2
=≥
.MinA = 4

baxab
==⇔
Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A =
ab4
Khi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và x = b.Như
vậy đòi hỏi a= b .Nếu a
≠
b thì không có được A =
ab4
Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số :
A=
( )( )
( )
ba
x
ab
x
x
abbxaxx
x
bxax
++






+=
+++

=
++
2
Ta lại có :
ab
x
ab
x 2
≥+
(bất đẳng thức côsi)
Nên A
2
)(2 babaab
+=++≥
Min A =
( )
abx
x
x
ab
x
ba
=⇔





>
=

⇔+
0
2
VD4:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x
2
+3y
2

≤
5
Lời giải sai:Gọi B= 2x
2
+3y
2
ta có B
≤
5
Xét A+B = 2x+3y +2x
2
+3y
2
= 2(x
2
+x)+3(y
2
+y)
=2(x+1/2)
2
+3(y+1/2)
2

-5/4
4
5
−≥
(1)
Ta lại có B
≤
5 nên -B
≥
-5
Cộng (1)với (2):A
4
25
−≥
minA =
2
1
4
25
−==⇔−
yx
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ với x= y= -
2
1
,chỉ có xảy ra dâu “=” ở (1),còn dấu “=” ở (2) không xảy ra
. Thật vậy với x = y = -
2
1
thì :
4

B= 2
5
4
3
2
1
2
1
3
2
1
22
≠+=






−+






−
.Do đó –B
5
−≠

Cách giải đúng:
Ta xét biểu thức phụ:A
2
= (2x+3y)
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Ta có : A
2
= (2x+3y)
2
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )






+






+≤+
22222
.32323.32.2 yxyx
=(2+3)(2x
2

+3y
2
)
255.5
=≤
A
2
= 25 <=>
yx
yx
=⇔=
3
3
2
2
.Do A
2

25
≤
nên -5
5
≤≤
A
Min A = -5



−==⇔
−=+

=
⇔
1
532
yx
yx
yx
Max A = 5



==⇔
=+
=
⇔
1
532
yx
yx
yx
*******************************************
5