Những sai lầm khi giải Toan tim gia tri.doc

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
-Nội dung:
I-Đònh nghóa giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
-Đònh nghóa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu
hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)
≤
M với M là hằng số .
+Tồn tại x
0
,y
0
,…thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
,…) = M
-Đònh nghóa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói N là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu
hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)
≥
với N là hằng số .
+Tồn tại x
0
,y
0
,…thuộc D sao cho f(x
0

,y
0
,…) = N
II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ
1) a
2

≥
0 Tổng quát a
2k
≥
0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
2) a
2

≤
0 Tổng quát a
2k
≤
0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
3) {a{
≥
0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
4) –{a{
≤
a
≤
{a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
5) {a+b{
≤

{a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab
≥
0
6) a
2
+b
2

≥
2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
7)
ab
ba
≥
+
2
.Với a,b
≥
0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
8) a
≥
b , ab > 0 =>
ba
11
≤
Đẳng thức xẩy ra khi a= b
9)
2
≥+
a

b
b
a
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
10)
baba
+
≥+
411
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
11) (am+bn)
2

≤
(a
2
+b
2
)(m
2
+n
2
) Đẳng thức xẩy ra khi
n
b
m
a
=
(BĐT Bu nhi a côp xki)
III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trò:

1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:
VD
1
:Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P
176
1
2
+−
=
xx
Lời giải sai:
Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất
Ta có :x
2
- 6x +17 = (x-3)
2
+8
≥
8
Min(x
2
- 6x +17) = 8 <=> x = 3. Vậy MaxP =
⇔
8
1
x = 3
Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trò
không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử và
mẫu đều lànhững biểu thức có gioá trò dương.
1

Ta đưa ra một phản ví dụ:
Xét biểu thức A =
4
1
2
−
x
Với lập luận như trên: A =
4
1
2
−
x
“Phân thức tử thức có giá trò không
đổi nên A có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất”Nghóa là A có giá trò lớn nhất <=> x
2
–
4 có giá trò nhỏ nhất .Mà x
2
– 4 có giá trò nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 .Nên A có giá trò lớn nhất là
4
1
−
<=> x =0 .Điều này không đúng .Vì
4
1
−
Không phải là giá trò lớn nhất của biểu thức A
.chẳng hạn với x =3 thì A =
4

1
5
1
−>
Lời giải đúng: Ta có :x
2
- 6x +17 = (x-3)
2
+8
≥
8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trò
dương .=> P > 0 ,do đó P có giá trò lớn nhất <=>
P
1
Có gia 1trò nhỏ nhất <=> x
2
- 6x +17 có giá
trò nhỏ nhất.
VD
2
:
Tìm giá trò nhỏ nhất của A = (x-1)
2
+ (x-3)
2
Lời giải sai:ta có (x-1)
2

≥
0(1) ; (x-3)

2

≥
0(2) .Nên A có giá trò nhỏ nhất là 0.ta không thể kết
luận như vậy .vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2)
VD
3
: Tìm giá trò nhỏ nhất của A=
x
z
z
y
y
x
++
.Với x,y,z > 0
Lời giải sai:
Giả sử :x
≥
y
≥
z > 0 .=> x-z
≥
0 => y(x-z)
≥
z (x-z) => xy-yz+z
2

≥
xz

Chia hai vế cho số dương xz: Ta có :
x
z
x
y
z
x
+−
≥
1(1) .Mặt khác ,ta có
2
≥+
x
y
y
x
(2).Cộng (1)
với (2):
x
z
z
y
y
x
++

≥
3.Vậy Min A = 3 <=> x = y = z
Phân tích sai lầm :Khi hoán vò vòng quanh thì A trở thành
x

z
z
y
y
x
++
.Tức là biểu thức không
đổi .Điều đó cho phép tược giả sử x làsố lớn nhất (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho phép
giả sử x
≥
y
≥
z.Thật vậy sau khi chọn x là số lơn nhất (x
≥
y,x
≥
z) thì vai trò của y và z lại
không bình đẳng :giữ nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta được
x
y
y
z
z
x
++
,không bằng biểu thức
A.
(Ta đưa ra một ví dụ khác cho phép được giả sử x
≥
y

≥
z.Chẳng hạn :B = x
2
+
y
2
+z
2
+xy+xz+yz.Sau khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x
thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta được : x
2
+ y
2
+z
2
+xy+xz+yz, vẫn bằng B)
Cách giải đúng :
Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:
A=
x
y
y
z
z
x
++

3..3
3
=≥

x
z
z
y
y
x
.
Do đó min(
x
y
y
z
z
x
++
) = 3Khi và chỉ khi:
x
z
z
y
y
x
==
,tức là x = y = z
Cách 2:Ta có
x
y
y
z
z

x
++
=






−++








+
x
y
x
z
z
y
x
y
y
x
.Ta đã có :

2
≥+
y
x
x
y
(Do x,y>0)Nên để chứng
minh
3
≥++
x
z
z
y
y
x
Chỉ cần chứng minh :
1
≥−+
x
y
x
z
z
y
(1)
(1) <=> xy+z
2
-yz
≥

xz(Nhân hai vế với số dương xz)
2
<=>xy+z
2
-yz-xz
≥
0
<=>y(x-z)-z(x-z)
≥
0
<=>(x-z)(y-z)
≥
0(2)
(2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng .
Từ đó tìm được giá trò nhỏ nhất của
x
z
z
y
y
x
++
VD
3
:Tìm giá trò nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
biết x+y =4
Lời giải sai:Ta có x

2
+y
2
≥
2xy
Do đó A có giá trò nhỏ nhất <=> x
2
+y
2
=2xy <=>x=y=2 Khi đó MinA = 2
2
+2
2
= 8
Phân tích sai lầm :Đáp số không sai tuy nhiên lập luận sai lầm .Ta mới chứng minh f(x,y)
≥
g(x,y) Chứ chưa C/m được f(x,y)
≥
M Với M là hằng số .
Ta đưa ra một ví dụ :Với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng :x
2

≥
4x-4 sẽ suy ra :x
2
nhỏ nhất <=> x
2
= 4x-4<=> (x-2)
2
= 0 <=> x=2 đi đến Min x

2
= 4 <=> x=2
Dễ thấy kết quả đúng phải là minx
2
= 0 Khi và chỉ khi x = 0
Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x
2
+2xy+y
2
= 16 (1)
Ta lại có (x-y)
2

≥
0 => x
2
-2xy +y
2

≥
0(2)
Từ (1) và (2) : 2(x
2
+y
2
)
≥
16 => x
2
+y

2
≥
8
Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2
2.Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= x+
x
Lời giải sai:
A= x+
x
=
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
−≥−






+=−







++
xxx
Vậy MinA =
4
1
−
Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x)
≥

4
1
−
,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) =
4
1
−
.Xảy ra dấu
bằng khi và chỉ khi
2
1
−=
x
,vô lý .

Lời giải đúng :Để tôn tại
x
phải có x
≥
0
Do đó A= x+
x
≥
0
MinA = 0 Khi và chỉ khi x = 0
VD2:Tìm giá trò lớn nhất của A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z
≥
0 và x+y+z = 1
Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab
2
)( ba
+≤
:
4(x+y).z
1)(
2
=++≤
zyx
4(x+z).y
1)(
2
=++≤
zyx
4(z+y).x
1)(

2
=++≤
zyx
Nhân từng vế (do không âm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x)
≤
1
Max A =
64
1
3
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức .Điều kiện
để A =
64
1
là
thuẫn Mâu





≥
=++
===
⇔










≥
=++
=+
=+
=+
0,,
1
0
0,,
1
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
yxz
xzy
zyx
Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm :
1= x+y+z
3
xyz
≥
(1)
2= (x+y)+(y+z)+(z+x)

3
))()((3 xzzyyx
+++≥
(2)
Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):
2
3
3
9
2
9






≤⇒≥
AA
Max A =
3
1
3
2
3
===⇔







zyx
VD3:Tìm giá trò nhỏ nhất của A=
( )( )
x
bxax ++
với x > 0 ,a,b là các hằng số dương cho trước.
Lời giải sai:Ta có x+a
ax2
≥
(1)
x+b
bx2
≥
(2)
Do đó :
( )( )
x
bxax ++
ab
x
bxax
4
2.2
=≥
.MinA = 4
baxab
==⇔
Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A =

ab4
Khi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và
x = b.Như vậy đòi hỏi a= b .Nếu a
≠
b thì không có được A =
ab4
Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số :
A=
( )( )
( )
ba
x
ab
x
x
abbxaxx
x
bxax
++






+=
+++
=
++
2

Ta lại có :
ab
x
ab
x 2
≥+
(bất đẳng thức côsi)
Nên A
2
)(2 babaab
+=++≥
Min A =
( )
abx
x
x
ab
x
ba
=⇔





>
=
⇔+
0
2

VD4:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x
2
+3y
2

≤
5
Lời giải sai:Gọi B= 2x
2
+3y
2
ta có B
≤
5
Xét A+B = 2x+3y +2x
2
+3y
2
= 2(x
2
+x)+3(y
2
+y)
=2(x+1/2)
2
+3(y+1/2)
2
-5/4
4
5

−≥
(1)
Ta lại có B
≤
5 nên -B
≥
-5
Cộng (1)với (2):A
4
25
−≥
minA =
2
1
4
25
−==⇔−
yx
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ với x= y= -
2
1
,chỉ có xảy ra dâu “=” ở (1),còn dấu “=” ở (2)
không xảy ra . Thật vậy với x = y = -
2
1
thì :
4
B= 2
5
4

3
2
1
2
1
3
2
1
22
≠+=






−+






−
.Do đó –B
5
−≠
Cách giải đúng:
Ta xét biểu thức phụ:A
2

= (2x+3y)
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Ta có : A
2
= (2x+3y)
2
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )






+






+≤+
22222
.32323.32.2 yxyx
=(2+3)(2x
2
+3y
2
)

255.5
=≤
A
2
= 25 <=>
yx
yx
=⇔=
3
3
2
2
.Do A
2

25
≤
nên -5
5
≤≤
A
Min A = -5



−==⇔
−=+
=
⇔
1

532
yx
yx
yx
Max A = 5



==⇔
=+
=
⇔
1
532
yx
yx
yx
5