Bài tập chuỗi

3
BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI HÀM
1. Bài 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
n
n
a




+/. Nếu
1a 
thì
 
2
1

1
n
n
n
aa
S a a a
a

    


+/. Nếu

1a 
thì
1 1 1
n
Sn    

Khi
1a 
thì
lim 0
n
n
a


do đó
lim
1
n
n
a
S
a



Vậy chuỗi hội tụ và có
1
1
n

n
a
a
a






Khi
1a 
thì
lim
n
n
S

 
nên chuỗi phân kỳ và có
1
n
n
a


 


Khi

1a 
thì không tồn tại
lim
n
n
S

nên chuỗi phân kỳ.
2. Bài 2: CMR chuỗi
2
1
1
n
n



hội tụ
Với
n
ta có:
22
11
1
2
n
s
n
    

 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1.2 2.3 1 . 2 2 3 1n n n n n
     
              
     

     

Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ.
3. Bài 3: CMR chuỗi
1
21
32
n
n
n
n








hội tụ theo dấu hiệu Cauchy
Vì
2 1 2

lim lim 1
3 2 3
n
n
nn
n
a
n
 

  


4. Bài 4: Chứng minh rằng chuỗi


2
ln
1
n
nn
phân kỳ.
Hàm số
 
1
ln
fx
xx




; 2,x 
là dương, giảm và
 




2
2
lnlnlim
ln
x
xx
dx
nên
chuỗi đã cho phân kỳ.
5. Bài 5: CMR chuỗi


1
!
n
n
n
n
hội tụ.
Ta có
1

1
1
1
1
lim
1
limlim
1


















e
n
n
n

a
a
n
n
n
n
Do đó chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu
D'Alembert.
6. Bài 6: CMR chuỗi
 





1
ln
1
n
n
nn
hội tụ.
Ta có hàm
 
xxxf ln
với
 
1
' 1 0fx
x

  

1x
Do đó
   
nnnnn  ln1ln1
Mặt khác







n
n
nnn
ln
1ln
khi
n
thì
0
ln

n
n

Tức là
 

 nn ln
Vậy dãy
0
ln
1







 nnn
và chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu
Leibnitz.

4
7. Bài 7: Xuất phát từ định nghĩa, chứng minh sự hội tụ của các chuỗi
a/.
  




1
1212
1
n
nn
b/.

 




1
3
1
n
nn

a/. Với

Zk
ta có
  










 12
1
12
1

2
1
1212
1
kkkk
Ta viết lần lượt đẳng thức trên với
nk , ,2,1
như sau:

  


























12
1
12
1
2
1
1212
1

5
1
3
1
2
1
5.1
1
3
1
1
2
1
3.1
1
nnnn

Từ đó có
  













1
12
1
1
2
1
1212
1
k
n
nkk
S
và
2

1
12
1
1
2
1
limlim 








n
S
n

Vậy chuỗi
  




1
1212
1
n
nn

hội tụ.
b/. Xét dãy tổng riêng
 





















n
k
n
nnnkk
S
1

3
1
2
11
3
1
3
1
2
1
1
3
1
3
1
và
18
11
lim 
n
S

Vậy chuỗi
 




1
3

1
n
nn
hội tụ.
8. Bài 8: Chứng minh chuỗi




1
1
2
n
n
ntg

hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert.
Đặt
1
2


n
n
ntga

có
 
2
1

2
2
1
limlim
1
2
1






n
n
n
n
ntg
tgn
a
a


Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
9. Bài 9: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây
a/.
 





1
11
1
n
nn
b/.


1
2
sin
n
n


a/. Chuỗi hội tụ vì
 
2
3
1
11
1
n
nn
a
n




b/. Vì
0
2
1
2
sin
lim 


n
n
và chuỗi


1
1
n
phân kỳ nên


1
2
sin
n
n

phân kỳ
10. Bài 10: Tính tổng



1
2
3
2
cos
n
n
n


Từ hệ thức
3
sin1
3
2
cos
2

nn

ta tính được
1
3
2


n
cox
với

kn 3
và
2
1
3
2


n
cox
với
kn 3
Vậy







1
23
1
13
1
3
1
kkkn
aaaa
7

2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
23
1
13
1
3











kkk

11. Bài 11: Xét sự hội tụ đều của các dãy hàm sau

5
a/. Dãy
sin x
n



Ta có
sin
lim 0
x
x
xR
n

  
Do đó
sin
0
x
n

trên
R

1
0; ; ;N n N x R


       

Ta có:
sin 1
0
x
nn

  
Do đó ta có:
sin
0
x
n

trên
R

b/. Dãy
 
n
x
Đặt
 


0 0;1
11
x
ux
x









thì ta có
   
n
n
u x x u x
trên
 
0;1
Với
0
1
2


thì mọi số tự nhiên
n
có
 
1
0;1
2
n
n

x 
để cho
   
2
0
11
2
2
n n n
u x u x


   


Nghĩa là không tồn tại số
N
để
 
; 0;1n N x   
đều
có
   
1
2
n
u x u x
Tức là
 
n

ux
không hội tụ đều đến
 
ux

12. Bài 12: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
1
n
n
x





Ta có
 
1
1
n
n
S x x x

   
Nếu
1x 
thì
 
1

1
1
n
n
x
Sx
x




Nếu
1x 
thì
lim 0
n
n
x


nên
 
1
1
1
1;1
1
n
n
xx

x



  



13. Bài 13: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm
 
2nn
n
f x x x
trên
 
0;1

*
 
 
n
fx
hội tụ về
0f 
trên
 
0;1

* Chọn
0

1
4


và
1
; 1,2,
2
n
n
xn
     
0
1
;
4
n n n n n
f x f x f x n

     

Suy ra
 
 
n
fx
không hội tụ đều trên
 
0;1
.

14. Bài 14: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
1
n
n
n
x
x




(1)
*
1
1
n
n
n
x
xa
x
  

không tiến đến
0
nên (1) phân kỳ
*
1
1

1
1 . 1
1
n
n
n
n
a
x
x x x
ax



     

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối nên (1) hội tụ với
1x 
, tức miền hội tụ của (1) là
 
1;1

15. Bài 15: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
2
n
n
n
x
x tg




(2)
* Với mỗi
0
xR
Ta xét
0
0
1
2
n
n
n
x
x tg



có
0
1
1
1
00
0
0
1
1

2
2
2
n
n
n
n
n
n
x
tg
a
xx
x
a
x tg





khi
n

Vậy chuỗi hội tụ với
00
1
12
2
xx  

*
0
2x 
Chuỗi phân kỳ.
Vậy (2) có miền hội tụ là
 
2;2

16. Bài 16: Cho
     
1 1,2,
n
n
f x nx x n  
CMR:
   
11
00
lim lim
nn
nn
f x dx f x dx
 




6
Ta thấy

 
 
 
0
n
f x f
trên
 
0;1
Mặt khác
     
1 1 1
0 0 0
1 1
12
n
n
n
nn
f x dx nx x dx n t t dt
nn
      

  


(đpcm)
17. Bài 17: Tính tổng
 
2 3 4

1 2 3 4
x x x x
fx    

Vì chuỗi có bán kính bằng 1 nên nếu
1x 
thì
 
'2
1
1
1
f x x x
x
    


Từ đó
   
ln 1
1
dx
f x x C
x
    



Với

00xC  
Vậy
 
1;1x  

   
ln 1f x x

Chuỗi hội tụ tại
1x 
nên
   
1
1 1 1
lim ln 1 1 1
2 3 4
x
fx

      

Vậy ta có:
 
1
1
1
ln2
n
n
n








18. Bài 18: Khai triển Taylor hàm
   
1
1
f x x
x



Trong đó
 
2
1
0
00
x
ex
x
x












Ta có
 
 
00
k


với
0,1,2, k
và
 
 
1
1!
1
1
k
k
k
x
x









Do đó
 
 
0 ! 0 !
k
f k k  
Từ đó khai triển Taylor của
 
fx
là:
 
 
 
00
0
1
!1
n
nn
nn
f
S x x x
nx



  



       
1;1 \ 0S x f x x    

19. Bài 19: Tính tổng
46

3.4 5.6
xx
x   

Ta cần tính
   
4 6 3 5
'
1
3.4 5.6 3 5
x x x x
S x x S x        
     
 
22
'' 2 4 6 ' ''
22
'
2

11
; 0 1 1
1
xx
S x x x x S x S x dx dx
xx
dx
x x arctgx C S C
x

         

         



     
2
'
1
2
x
S x S x dx x arctgx dx x arctgxdx        
  
 
 
2
2
1

ln 1
22
x
S x x xarctgx x      

20. Bài 20: Chứng tỏ dãy hàm
 
1
n
fx
nx

hội tụ đều trên mọi


,


,
 
0


nhưng
không hội tụ đều trên
 
0,

Ta có
   

 
1
nn
f x x f x
nx

   
hội tụ đều trên


,


đến
 
0fx
Do đó hội
tụ điểm trên
 
0,
Ta chọn
       
0
0
2
2
1
1
1
1

1
.
n n n n
n
f x f x f x n
x
n
n
n





      






7
Vậy
 
 
n
fx
không hội tụ đều đến hàm
 
0fx

21. Bài 21: Xét tính liên tục đều của tổng chuỗi hàm
1
1
n
x
n







Với mọi

sao cho
01


có
1 1 1
1
nn
n
nn
x
n n n
  


   
      
   
   
Suy ra
1
1
n
x
n






hội tụ tuyệt đối và đều trên
 
;


. Vì

bất kỳ có thể gần 1 nên tổng chuỗi
hàm đã cho liên tục trên
 
1;1

22. Bài 22: Tính tổng của chuỗi luỹ thừa
23

1.2 2.3 3.4 x x x  

 
23
1.2 2.3 3.4 S x x x x   

   
23
1.2 2.3 3.4 F x S x dx xdx x dx x dx     
   
 
2 3 4 2 2
0
0
2
2 3 1 2 3
C
x x x C x x x
x


          


 
 
 
 
2
0

22
2 2 3
00
1
22
'
0 0 0
11
2
22
1 2 3
1 2 3 2 3
1
11
1
Fx
C
xx
xx
Fx
CC
dx x x dx x x x C
x x x
Fx
C C C
xx
CC
x x x x x x
x


     


          



        





 
 
2
2
1
x
Fx
x



Mặt khác có
 
 
   
'
2

'
23
2
11
x
xx
S x F
xx

  



