BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI

BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI

1. Bài 1: Đánh giá các tích phân trong từng trường hợp
a.
 
 
22
49
D
x y dxdy

trong đó
 
D
là hình tròn
22
4xy

Hướng dẫn: Ta có
 
2 2 2 2 2
9 9 3 3 25x y x y y       

b.


 
2 2 2 2
22
D

x y x y dxdy   

trong đó
 
02
:
02
x
D
y






Ta có


2
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1x y x y x y       
nên suy ra
   
2
2 2 2 2
1 2 2 8 1 1 2 5 2 2x y x y         
Vậy
 
4 8 5 2 2I  

2. Bài 2: CMR nếu
 
fx
là hàm số khả tích trên
 
,ab
thì
     
2
2
bb
aa
f x dx b a f x dx








Giả sử
   
,f x g x
là các hàm khả tích trên
 
,

Khi đó

R


ta có:
   
 
   
22
0 , 0
b
a
f x g x x f x g x dx
   
      
   
   


       
22
20
b b b
a a a
g x dx f x g x dx f x dx

   
  

Đặt
       

22
b b b
a a a
A g x dx B f x g x dx C f x dx  
  

22
2 0 0A B C R B AC
  
         

Tức là:
       
2
22
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx


   

   

  
(*)
Đặt:
 
1gx
     

2
2
2
bb
aa
f x dx b a f x dx

  






3. Bài 3: CMR nếu
   
,f x g y
lần lượt là các hàm khả tích trên
 
,ab
và
 
,cd

thì
   
   
   
,,
bd

a b c d a c
f x g y dxdy f x dx g y dy


  

Xét hàm
     
,F x y f x g y
Bằng phép phân hoạch
P
chia hình chữ nhật
   
,,a b c d
thành các hình chữ nhật nhỏ bởi các đường thẳng sau:
0 1 1 1 2 1
, , , ; , , ,
mn
x x x x y y y y




Xét tổng
 
 
 
,.
P i j i j i i j j
i j i j

F x y f x g y
    


     




  

Do
 
,0
ij
dP max x y   
Ta được
   
   
0
,,
lim
P
dP
a b c d
f x g y dxdy







 
   
0
0
lim lim .
i
j
bd
i i j j
max x
max y
ii
ac
f x g y f x dx g y dy



   
   
   
   



4. Bài 4: Tính
 
2
D

I x ydxdy

trong đó
 
D
là một tam giác có toạ độ các đỉnh là
     
0,0 ; 1,0 ; 1,1O A B

OB
có phương trình
 
:0 1;0y x D x y x     
   
 
12
0&x x x



1
1 1 1
25
2 2 4
0 0 0 0
0
0
11
2 2 10 10
x

x
yx
I dx x ydy x dx x dx

    


   

5. Bài 5: Tính
 
D
I xydxdy

trong đó
 
D
được xác định bởi
xy
; trục hoành và
2xy

 
01
:
2
y
D
y x x





  


( Hình vẽ )
2
1
0
7

24
y
y
I dy xydx

   


6. Bài 6: Tính
2
24
2
00
4
x
y
xe
I dx dy

y





Giải:
 
2
4
y
D
xe
I dxdy
y



( Hình vẽ )
4
4
28
00

44
y
y
xe e
I dy dx
y


   



7. Bài 7: Tính
 
D
I xydxdy

trong đó
 
D
được giới hạn bởi
 
22
: ; 3P y x y x
và
;2y x y x

Đặt
 
 
2
32
3
2 4 7
11
4
13

105
12
32
,
y
x
u
u u u dv
x
y I dudv u du
v v v v
y
v
u
J u v
x
v









      








  

8. Bài 8: Tính
 
22
4
D
dxdy
I
xy



với
 
D
là nửa trên hình
 
2
2
11xy  

 
2
2
22

00
0
2
2
44
02
cos
rdrd rdr
Id
rr
r cos











      





  

9. Bài 9: Dùng phép biến đổi trong toạ độ cực. Tính

a.
 
22
1
D
x y dxdy

trong đó
 
22
:D x y x

Đặt
2 2 2
sin
x cos
x y cos cos
y

    



     




 
2
2 2 2
0
2
14
11
33
cos
D
I x y dxdy d d



    


       


  

b.
 
 
1 2 3
D
x y dxdy

trong đó

 
22
:1D x y

 
12
00
1 2 3 sinI dr rcos r rd

   
   


10. Bài 10: Tính
 
 
22
x y dxdydz



trong đó
 
2 2 2 2
: ; 0r x y R x    

Đặt
sin
sin sin 0 2 ;0 ;0
2

x cos
yR
z cos
  

      





      







   
2
2
2 2 2 2 5 5
00
4
sin
15
R
r
I d d cos d R r




       
    
  

11. Bài 11: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường
 
2
2
11xy  
;
 
2
2
24xy  

và
;0y x y

 
D
xác định như sau( trong hệ toạ độ cực )
24cos r cos


;
0
4





 
 
4
4
02
32

4
cos
D cos
S dxdy d rdr






    
  

12. Bài 12: Tính diện tích phần mặt của paraboloit
   
22
,z x y x y D  
giới hạn
bởi mặt trụ

22
1xy

   
22
,z x y x y D   
với
 
D
là hình tròn tâm
O
bán kính 1 suy ra
''
;
xy
zz

 
21
2 2 2
00
1 4 4 1 4
D
S x y dxdy S d r rdr


      
  
 
 

1
3
2
2
0
1
2 1 4 5 5 1
12 6
r


   