Iđêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học

1

MỞ ðẦU

1. Lý do ch
ọn ñề tài khóa luận
Nhằm mục ñích chứng minh cho ñịnh lí lớn Fermat, Ernst Kummer
(1810 - 1893) ñã xem xét vấn ñề Fermat trong một lớp vành thực sự chứa
vành số nguyên
ℤ
. Trên lớp vành này, ông ñã gặp phải hiện tượng không
duy nhất trong phân tích thành các nhân tử bất khả quy. ðến khoảng giữa
thế kỉ XIX Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) và Dirichlet (1805 - 1859)
ñã chỉ ra sự phân tích không duy nhất thành các nhân tử bất khả quy, ñối
với phần tử không khả nghịch trong vành
ℤ
[w] (w là một căn nguyên thủy
bậc
2
n
≥
của ñơn vị). Như vậy, ðịnh lí cơ bản của Số học không còn ñúng
trong nhiều lớp vành các số ñại số. ðể khắc phục khó khăn ñó, năm 1879
Richard Dedekind (1831 - 1936) ñã ñưa ra khái niệm iñêan. Ý tưởng của
Richard Dedekind là thay vì nghiên cứu một phần tử a ông chú ý ñến tập
tất cả các bội số của a, ñược gọi là iñêan sinh bởi a, kí hiệu (a). Ông còn
chứng minh ñược loại vành ñang xét thì mọi iñêan ñều có thể phân tích duy
nhất thành các iñêan nguyên tố. Vành có tính chất này gọi là vành
Dedekind. Lý thuyết vành ña thức ñược ñưa ra bởi Kronecker (1823 -
1891) vào năm 1888, lý thuyết ñó ñược xây dựng tương ñương với lý

thuyết về iñêan của Dedekind. Tuy nhiên sự tương tự của tính phân tích
duy nhất thành các iñêan nguyên tố không còn ñúng cho các iñêan của vành
ña thức và nó ñã ñược thay thế bởi một kết quả Lasker (1868 - 1941) rằng
mọi iñêan ñều ñược phân tích thành giao của các iñêan nguyên sơ. Noether
(1882 - 1935) ñã tổng quát hóa kết quả của Lasker cho các vành giao hoán
trừu tượng, và chứng minh sự tồn tại của phân tích nguyên sơ trong lớp
vành thỏa mãn ñiều kiện dừng của các dây chuyền các iñêan (chính là vành
Noether). Hai ñịnh lí này ñược biết ñến với cái tên gọi ðịnh lí Lasker –
Noether, là tổng quát hóa ðịnh lí cơ bản của Số học là kết quả quan trọng
của ðại số giao hoán.

2

Chính Dedekind và H. Weber (1842 - 1913) ñã dùng khái niệm iñêan
trong vành ña thức ñể nghiên cứu các ñường cong ñại số mở ñầu cho Hình
học ñại số hiện ñại, một lĩnh vực mà ñối tượng của nó chính là các không
ñiểm của các iñêan trong một vành ña thức.
Iñêan nguyên sơ là một trong những ñối tượng quan trọng của ñại số
giao hoán hiện ñại và việc phân tích một Iñêan thành giao của một họ hữu
hạn các Iñêan nguyên sơ là một bước quan trọng ñể xác ñịnh ñược các yếu
tố liên quan ñến cấu trúc vành: Iñêan nguyên tố liên kết, chiều Krull (chiều
không gian topo), tập các ước của 0… Ngoài ra, sự phân tích nguyên sơ
còn mang hai ý nghĩa: về mặt số học nó là sự khái quát việc phân tích một
số tự nhiên thành tích các thừa số nguyên tố, về mặt hình học nó cho ta biết
mỗi ña tạp ñại số luôn là hợp của hữu hạn ña tạp ñại số bất khả quy. Trong
nhiều giáo trình cơ sở thuộc lĩnh vực ñại số giao hoán, người ta ñã trình bày
khá ñầy ñủ về Iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ. Tuy nhiên, ñối
với các lớp vành cụ thể thường gặp như vành chính, vành Gauss và miền
Dedekind, các vấn ñề này mới chỉ ñược trình bày dưới dạng những ví dụ
riêng lẻ.

Do ý nghĩa khoa học của iñêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ một
iñêan và với mong muốn tìm hiểu ñặc ñiểm của các iñêan nguyên sơ, ñặc
biệt là iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong một số
lớp vành số học thường gặp nên tôi chọn ñề tài “Iñêan nguyên sơ trong
một số lớp vành số học” cho khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
• Trình bày chi tiết, hệ thống các tính chất của iñêan nguyên sơ và sự
phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether.
• Cụ thể hóa các tính chất của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên
sơ một iñêan trong vành Noether vào một số lớp vành số học: vành
chính, vành Gauss và vành Dedekind.


3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu khái niệm iñêan, các phép toán về iñêan và một số khái
niệm liên quan.
• Nghiên cứu iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan
trong vành Noether.
• Nghiên cứu iñêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ một iñêan trong
một vài lớp vành số học: vành chính, vành Gauss và vành Dedekind.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trước hết nghiên cứu và hệ thống lại những kiến thức cơ bản ban
ñầu về khái niệm iñêan, các phép toán giữa các iñêan. Tiếp ñó, nghiên
cứu về khái niệm iñêan nguyên sơ, tính chất của iñêan nguyên sơ và sự
phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether (xem [5], [6], [7],
[8]). Chúng tôi thấy rằng trong vành Noether, mỗi iñêan bất khả quy là
nguyên sơ và mỗi một iñêan thực sự là giao của hữu hạn các iñêan

nguyên sơ (bất khả quy) (xem Mệnh ñề 2.2.16, Mệnh ñề 2.2.17, ðịnh lí
2.2.18). Và chúng ta cũng biết khái niệm iñêan là tổng quát hóa của khái
niệm phần tử nguyên tố. Khái niệm iñêan nguyên sơ là tổng quát hóa
của lũy thừa một phần tử nguyên tố. Vành Noether là tổng quát hóa của
vành Gauss. Vành chính là vành Gauss, nghĩa là có sự phân tích thành
tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích ñó là duy nhất. Tuy
nhiên trong vành Dedekind sự phân tích không còn duy nhất nữa (xem
[2], [3], [7], [8]). Một vấn ñề ñặt ra là trong một vài lớp vành số học như
vành chính, vành Gauss và vành Dedekind thì iñêan nguyên sơ là gì, ñặc
ñiểm của chúng trong từng lớp vành số học ra sao, và sự phân tích
nguyên sơ một iñêan trên từng lớp vành số học ñó có những ñặc trưng
gì? Iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trên từng lớp
vành ñó có những ñiểm giống và khác gì so với iñêan nguyên sơ và
phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether? ðể giải quyết ñược
một phần vấn ñề trên, cuối cùng, chúng tôi ñã cụ thể hóa và áp dụng

4

những vấn ñề liên quan ñến iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ
một iñêan trong vành Noether vào một vài lớp vành số học như vành
chính, vành Gauss và vành Dedekind.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
• ðối tượng: Iñêan nguyên sơ.
• Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ giới hạn nghiên cứu về một số
tính chất cơ bản ban ñầu của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ
một iñêan trong vành Noether và cụ thể vào một số lớp vành số học như:
vành chính, vành Gauss và vành Dedekind.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Kết quả nghiên cứu của khóa luận một mặt góp phần làm rõ hơn khái
niệm iñêan nguyên sơ, sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành

Noether và ñặc biệt là chúng tôi ñã làm cụ thể hơn về iñêan nguyên sơ, sự
phân tích nguyên sơ một iñêan trong một vài lớp vành số học. Qua nội
dung khóa luận, chúng ta bước ñầu thấy ñược vai trò quan trọng của iñêan
nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ trong ñại số khi nghiên cứu về cấu
trúc vành giao hoán và trong hình học khi nghiên cứu về các ña tạp ñại số.
Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên ngành toán
khi học tập và nghiên cứu về ðại số giao hoán.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài các phần: Mục lục; Mở ñầu; Kết luận; Tài liệu tham khảo, nội
dung của khóa luận ñược chia thành ba chương.
Chương 1. ðại cương về iñêan trong vành giao hoán.
Chương 2. Iñêan nguyên sơ trong vành Noether.
Chương 3. Iñêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học.

5

CHƯƠNG 1. ðẠI CƯƠNG VỀ IðÊAN TRONG
VÀNH GIAO HOÁN

Những người có công lớn trong việc phát triển lý thuyết vành và
iñêan là các nhà toán học ðức mà ñại diện là E. Kummer (1810 - 1893); R.
Dedekind (1831 - 1936) và hơn hết là nhà toán học nữ E. Noether (1882 -
1935).
Trong chương này sẽ trình bày những vấn ñề cơ bản nhất về iñêan và
vành ñể làm cơ sở lý thuyết cho hai chương sau.

1.1. Khái niệm vành, iñêan
ðịnh nghĩa 1.1.1 [2]. Ta gọi là một vành một tập R cùng hai phép toán hai
ngôi ñã cho trong R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu (+) và (.), ñược gọi là
phép cộng và phép nhân sao cho các ñiều kiện sau thỏa mãn:

(i) R là một nhóm aben với phép cộng.
(ii) R là nửa nhóm với phép nhân.
(iii) Phép nhân phân phối với phép cộng, nghĩa là:

(
)
(
)
;
x y z xz yz z x y zx zy
+ = + + = +
với mọi
, , .
x y z R
∈

• Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là: 0 và gọi là phần tử
không. Phần tử ñối xứng (với phép cộng) của phần tử
x R
∈
, kí hiệu
là : (
- x
) và gọi là
ph
ầ
n t
ử

ñố

i c
ủ
a x.

• Vành
R
ñược gọi là
vành giao hoán
nếu phép nhân trong
R
giao
hoán. Vành
R
ñược gọi là
có
ñơ
n v
ị nếu phép nhân trong
R
có phần
tử trung lập và thường kí hiệu là
1
.
Nghĩa là: có
1 sao cho: 1 1 ,
R x x x
∈ = =
với mọi
x R
∈

.
Ví dụ 1.1.2.
(i) Các tập
, , ,
ℤ ℚ ℝ ℂ
là các vành giao hoán và có ñơn vị ñối với hai
phép toán cộng và nhân thông thường.

6

(ii) Tập các ña thức n biến
1 2
, , , :
n
x x x
…
[
]
1 2
, , , ,
n
x x x
…
ℤ

[
]
[
]
[

]
1 2 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
n n n
x x x x x x x x x
… … …
ℚ ℝ ℂ
với hai phép
toán cộng và nhân ña thức thông thường lập thành một vành.
(iii) Tập các ma trận vuông cấp n, n >1 ( với các phần tử thực chẳng hạn)
cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận là một vành có ñơn
vị và vành này không giao hoán.
(iv) Tập các ma trận vuông cấp n > 1 có dạng:
1 2

0 0 0

0 0 0
n
a a a
 
 
 
 
 
 
,
, 1,
i
a i n

∈ =
ℝ

Cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận là một vành không giao
hoán, không có ñơn vị.
ðịnh nghĩa 1.1.3 [2]. Giả sử R là một vành cho trước, A là một bộ phận
của R ổn ñịnh với hai phép toán trong R nghĩa là
,
x y A xy A
+ ∈ ∈
với mọi
,
x y A
∈
. A là một vành con của vành R nếu A cùng với hai phép toán cảm
sinh trên A lập thành một vành.
Ví dụ 1.1.4.
(i) Bộ phận {0}, và bộ phận R là hai vành con của vành R.
(ii) Bộ phận
m
ℤ
các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là
một vành con của vành các số nguyên
.
ℤ

Mệnh ñề 1.1.5 [2].

Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R. Các
ñiều kiện sau là tương ñương:

(i) A là một vành con của vành R.
(ii) Với mọi
, , , , .
x y A x y A xy A x A
∈ + ∈ ∈ − ∈

(iii) Với mọi
, , , .
x y A x y A xy A
∈ − ∈ ∈

Chứng minh.
ðược suy ra từ ñịnh nghĩa.

7

ðịnh nghĩa 1.1.6 [2]. Ta gọi là ước của 0 mọi phần tử
0
a
≠
sao cho có
0
b
≠
thỏ
a mãn quan h
ệ
: ab = 0.
ðịnh nghĩa 1.1.7 [2]. Ta gọi là miền nguyên một vành có nhiều hơn một
phần tử giao hoán, có ñơn vị và không có ước của không.

Ví dụ 1.1.8. Vành các số nguyên
ℤ
là một miền nguyên.
Tuy vậy vành
ℤ
×
ℤ
không phải là một miền nguyên vì chẳng hạn ta
có (2; 0) . (0; 7) = (0; 0).
ðịnh nghĩa 1.1.9 [2]. Ta gọi là iñêan trái (iñêan phải) của một vành R, một
vành con I thỏa mãn ñiều kiện
xa I
∈
(
ax I
∈
) với mọi
a I
∈
và mọi
x R
∈
.
Một vành con
I
của một vành
R
gọi là một iñêan của
R
nếu và chỉ nếu

I
vừa
là iñêan trái vừa là iñêan phải của R.
Ví dụ 1.1.10.
(i) Vành R luôn có hai iñêan tầm thường là iñêan không {0} và iñêan R.
(ii)
{
}
n nx x= ∈
ℤ ℤ
là một iñêan của
ℤ
.
(iii)
3
S
⊂
ℝ
là một tập các ñiểm trong không gian.

(
)
[
]
(
)
{
}
, , 0
I S x y z S

ϕ ϕ
= ∈ =
ℝ
là một iñêan của vành
[
]
, ,
x y z
ℝ
.
(iv) Trong vành
(
)
n
M
ℝ
lấy ra một tập H gồm các ma trận mà các hàng
từ thứ hai ñến hàng thứ n ñều là hàng 0. Khi ñó H là một vành con
của
(
)
n
M
ℝ
, tuy nhiên H chỉ là một iñêan phải mà không phải là một
iñêan trái.
Nhận xét 1.1.11.
(i) Trong vành giao hoán: Khái iñêan, iñêan phải và iñêan là một.
(ii) Nếu R là một vành có ñơn vị và I là một iñêan của R, thì IR = RI = I.
Nếu R không có ñơn vị thì ñẳng thức vừa nêu nói chung sẽ không

ñúng.
Ví dụ. I = 4
ℤ
là iñêan của vành R = 2
ℤ
, tuy nhiên IR = 8
ℤ
khác I.


8

Mệnh ñề 1.1.12 [2]. Một bộ phận I khác rỗng của vành R là một iñêan của
R khi và chỉ khi các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn:
(i)
;
a b I
− ∈
với mọi
, .
a b I
∈

(ii)
, ;
ax I xa I
∈ ∈
với mọi
a I
∈

, với mọi
x R
∈
.
Chứng minh. (ðược suy ra từ ñịnh nghĩa).
Mệnh ñề 1.1.13 [6]. R là một vành cho trước, ta có các khẳng ñịnh sau:
(i) Nếu
{
}
S
A
α
α
∈
là một họ lồng nhau các vành con của R thì
S
B A
α
α
∈
=
∪
cũng là một vành con của R.
(ii) Nếu
{
}
S
A
α
α

∈
là một họ tùy ý các vành con của R thì
S
C A
α
α
∈
=
∩

c
ũ
ng là m
ộ
t vành con c
ủ
a R.
(iii)
N
ế
u
{
}
S
I
α
α
∈
là m
ộ

t h
ọ
l
ồ
ng nhau các i
ñ
êan c
ủ
a R thì
S
I I
α
α
∈
=
∪

c
ũ
ng là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ
a R.
(iv)
N
ế
u

{
}
S
I
α
α
∈
là m
ộ
t h
ọ
tùy ý các i
ñ
êan c
ủ
a R thì
S
J I
α
α
∈
=
∩

c
ũ
ng là m
ộ
t i
ñ

êan c
ủ
a R.
(v)
Cho I
1,
I
2
là hai i
ñ
êan c
ủ
a vành R. Khi
ñ
ó t
ậ
p

{
}
1 2 1 2 1 1 2 2
,
I I a a a I a I
+ = + ∈ ∈
là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ

a R.
(vi)
Cho I, J là hai i
ñ
êan c
ủ
a vành R. Khi
ñ
ó:
{
}
1
, , 1,2, , , 1
n
i i i i
i
IJ a b a I b J i n n
=
= ∈ ∈ = ≥
∑

là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ
a R.
(vii)
N

ế
u I, J là hai i
ñ
êan c
ủ
a vành R th
ỏ
a mãn I +J = R
(
I và J
ñượ
c g
ọ
i là
ñố
i c
ự
c
ñạ
i
)
thì
IJ I J
= ∩

Chứng minh.
(i) Vì
A
α
là một vành con của R nên

,
A
α
≠ ∅
với mọi
S
α
∈
, do ñó
.
S
B A
α
α
∈
= ≠ ∅
∪
Với
,
x y B
∈
thì tồn tại
: , .
x y A
α
α
∈
Vì
A
α

là một
vành con của R nên
,
x y A x y A
α α
+ ∈ ∈
và ñối của x là
( ) .
x A
α
− ∈


9

Vậy B là một vành con của R.
(ii) Vì
0
A
α
∈
, với mọi
S
α
∈
nên
0
C
∈
suy ra

.
C
≠ ∅

Vớ
i
,
x y C
∈
thì
, ,
x y A
α
∈

S
α
∀ ∈
. Suy ra:
(
)
, , .
x y C x y C x C
+ ∈ ∈ − ∈
và
ñố
i c
ủ
a
x

là
( ) .
x A
α
− ∈

V
ậ
y
C
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
.
(iii)
I
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
(theo (i)).
V
ớ
i m
ọ

i
a I
∈
và m
ọ
i
vì : .
x R a I S a I
α
α
∈ ∈
⇒
∃ ∈ ∈
B
ở
i
I
α
là
i
ñ
êan c
ủ
a vành
R
nên
, ,
ax xa I ax xa I
α
∈

⇒
∈
do
ñ
ó
I
là m
ộ
t i
ñ
êan
c
ủ
a
R
.
(iv)

Theo (ii) ta có
J
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
.
V
ớ
i

,
x R
∈

a J
∈
. Vì
a J
∈
nên
a I
α
∈
,
.
S
α
∀ ∈
Mà
I
α
là i
ñ
êan c
ủ
a
vành R nên
,
ax xa I
α

∈
suy ra
,
ax xa J
∈
.
V
ậ
y J là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ
a vành R.
(v)
ðặ
t
1 2
I I I
= +
. Khi
ñ
ó
0 0 0
I
= + ∈
.
Gi
ả

s
ử

1 2
a a a I
= + ∈
,
1 2
b b b I
= + ∈
v
ớ
i
1 1 1 2 2 2
, ; , .
a b I a b I
∈ ∈

Ta có:
(
)
(
)
1 1 2 2
.
a b a b a b I
− = − + − ∈

Gi
ả

s
ử

1 2
a a a I
= + ∈
,
x R
∈
ta có:
(
)
1 2 1 2
xa x a a xa xa I
= + = + ∈
.
(
)
1 2 1 2
ax a a x a x a x I
= + = + ∈
. V
ậ
y
1 2
I I I
= +
là m
ộ
t i

ñ
êan c
ủ
a R.
(vi)

Tr
ướ
c h
ế
t ta có
0 0.0 .
IJ
= ∈
Gi
ả sử:
1 1
, ' '
m n
i i j j
i j
a a b b a b
= =
= =
∑ ∑
là những
phần tử thuộc IJ.
Khi
ñó tổng
1 1

' '
m n
i i j j
i j
a b a b a b
= =
+ = +
∑ ∑
c
ũ
ng là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c IJ.
Bây gi
ờ
v
ớ
i
1
,
m
i i
i
a a b IJ x R

=
= ∈ ∈
∑
, ta có:

( )
1 1
,
m m
i i i i
i i
xa x a b xa b IJ
= =
= = ∈
∑ ∑

( )
1 1
.
m m
i i i i
i i
a x a b x a xb IJ
= =
 
= = ∈
 
 
∑ ∑

V
ậ
y IJ là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ
a R.

10

(vii)

Rõ ràng:
IJ I J
⊂ ∩
.
Ta c
ầ
n ch
ứ
ng minh:
I J IJ
∩ ⊂
. Th
ậ
t v
ậ
y: v

ớ
i m
ọ
i
x I J
∈ ∩
suy ra
, .
x I x J
∈ ∈
Mà
I J R
+ =
suy ra t
ồ
n t
ạ
i
,
a I b J
∈ ∈

ñể

1.
a b
+ =

Ta có th
ể

m
ở
r
ộ
ng thành
x x a xb
= +
suy ra
1.
a b
+ =
V
ậ
y
IJ I J
= ∩
.
ðịnh nghĩa 1.1.14 [6].
(i) Iñêan
1 2
I I
+
ñược gọi là tổng của hai iñêan I
1,
I
2
.
(ii) Iñêan IJ nói trong Mệnh ñề 1.1.13 ñược gọi là tích của hai
iñêan I, J.
(iii) Giao của tất cả các vành con của R chứa tập A ñược gọi là

vành con của R sinh bởi tập A.
(iv) Giao của tất cả các iñêan của vành R chứa I là một iñêan bé
nhất của R, chứa I ñược gọi là iñêan sinh bởi I và viết (I).
• Nếu I là một tập hữu hạn thì iñêan sinh bởi I ñược gọi là iñêan
hữu hạn sinh.
• Nếu I =
1 2
{ , , , }
n
a a a
thì iñêan sinh bởi I ñược viết là
1 2
( , , , )
n
a a a
.
• Nếu I = {a} thì iñêan sinh bởi I ñược gọi là iñêan chính sinh bởi
phần tử a và ký hiệu ñơn giản là
( )
a
.
• ðặc biệt khi I =
∅
thì iñêan sinh bởi tập rỗng là không, viết là 0.
• Nếu
I
≠ ∅
: iñêan sinh bởi I là tập các phần tử có dạng:
1
, ,

n
i i i i
i
x a x R a I
=
∈ ∈
∑
, n là số tự nhiên không cố ñịnh.
• Từ ñịnh nghĩa tổng các iñêan ta có:
(
)
(
)
(
)
1 1
, ,
n n
a a a a
= + +
.
Nghĩa là iñêan với cơ sở gồm n phần tử là tổng của n iñêan chính.
Ví dụ 1.1.15.
Trong vành các số nguyên
ℤ
tổng
m n
+
ℤ ℤ
là iñêan chính

d
ℤ
, với d
là ước chung lớn nhất của m và n.

11

Giao
m n
∩
ℤ ℤ
là iñêan chính
b
ℤ
với b là bội chung nhỏ nhất của m
và n. Hơn nữa ta có
(
)
(
)
,
m n mn
=
ℤ ℤ ℤ
và do ñó
(
)
(
)
m n m n

∩ =
ℤ ℤ ℤ ℤ
khi
và chỉ khi m, n nguyên tố cùng nhau.
Nhận xét 1.1.16. Nếu I là một iñêan của vành giao hoán R có ñơn vị
1
khác
0, khi ñó ta có:
(i)
IR RI I
= =
.
(ii)
IR R
=
tức
I R
=
khi và chỉ khi I chứa ñơn vị của R.
(iii) Nếu I và J là hai iñêan của R thì IJ = JI.
ðịnh nghĩa 1.1.17 [2]. Ta gọi là trường một miền nguyên R trong ñó mọi
phần tử khác không ñều có phần tử nghịch ñảo trong vị nhóm nhân R. Vậy
một vành giao hoán R, có ñơn vị, có nhiều hơn một phần tử nghịch ñảo là
một trường nếu và chỉ nếu
R
{
}
0
là một nhóm với phép nhân của R.
Ví dụ 1.1.18. Tập

ℚ
các số hữu tỉ cùng với hai phép toán cộng và nhân các
số là một trường. Ta cũng có trường số thực
ℝ
và trường số phức
ℂ
.

1.2. Vành th
ương
Cho I là một iñêan của vành R. Do nhóm cộng R là aben nên I là một
nhóm con chuẩn tắc của R.
Khi ñó ta có nhóm thương
{
}
/
R R I x x I x R
= = = + ∈
với phép cộng
cho bởi
(
)
(
)
(
)
x I y I x y I
+ + + = + +
.
Hơn nữa, ñó là một nhóm aben. Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng phép nhân trên R

cảm sinh một phép nhân trong
R
, biến nhóm aben
R
thành một vành.
ðịnh lý 1.2.1 [2]. Giả sử I là một iñêan của vành R. Khi ñó tương ứng:

( )
,
R R R
x I y I xy I
× →
+ + +
֏

là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương
R
trở thành một vành với phép
nhân:
( )( ) .
x I y I xy I
+ + = +


12

Chứng minh.
ðể chứng minh quy tắc nói trong mệnh ñề là một ánh xạ ta cần
chứng tỏ rằng nó không phụ thuộc vào ñại diện các lớp.
Thật vậy, giả sử:

' , ' ,
x I x I y I y I
+ = + + = +
khi ñó
' , ' .
x x I y y I
− ∈ − ∈

Ta có:
' , ' ,
x x a y y b
= + = +
với
, .
a b I
∈

T
ừ ñó suy ra:
' ' ,
x y xy xb ay ab xy c
= + + + = =
với
.
c I
∈

V
ậy
' ' .

x y I xy I
+ = +

Ánh x
ạ nói trên xác ñịnh một phép toán hai ngôi trên tập thương
R
cho bởi
( )( ) .
x I y I xy I
+ + = +

Có th
ể kiểm tra ñược rằng nhóm cộng giao hoán
R
cùng với phép nhân
vừa ñịnh nghĩa là một vành.
ðịnh nghĩa 1.2.2 [2]. Vành
R
nói trong ñịnh lý 1.2.1 ñược gọi là vành
thương của vành R theo iñêan I.
Hai phép toán trong vành thương
R
ñược ký hiệu bởi:
. .
x y x y
x y x y
+ = +
=

Nhận xét 1.2.3. Nếu R là một vành giao hoán thì vành thương

R
cũng là
vành giao hoán. Nếu vành R có ñơn vị thì
R
là vành có ñơn vị
.
e e I
= +

Ví dụ 1.2.4. ðối với iñêan
m
ℤ
của vành số nguyên ta có:

{
}
/ :
m
m a a m a
= = = + ∈
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ

là vành thương của vành
ℤ
theo iñêan
m
ℤ
với phép cộng và phép nhân
cho bởi:
, . .

a b a b a b a b
+ = + =
với mọi
,
a b
∈
Z

Hơn nữa ta có thể chứng minh ñược rằng vành thương
m
ℤ
là một
trường khi và chỉ khi m là số nguyên tố. Còn nếu m là hợp số,
,1 ,
m pq p q m
= < <
thì
m
ℤ
có các ước của không là
, .
p q




13


1.3.

ðồng cấu vành
ðịnh nghĩa 1.3.1 [2]. Một ñồng cấu vành là một ánh xạ f từ vành R ñến
vành R’ sao cho :
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )


f a b f a f b
f ab f a f b
+ = +



=


, với mọi
, .
a b R
∈

ðặc biệt
(
)
(

)
: 0 0, ( ),
f f x f x
= − = −
với mọi
.
x R
∈

Khi R = R’ ta gọi f là một tự ñồng cấu trên R.
ðịnh nghĩa 1.3.2.
(i) Một ñồng cấu vành ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một
ñơn cấu vành hay một phép nhúng.
(ii) Một ñồng cấu vành ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một
toàn cấu vành.
(iii) Một ñồng cấu vành ñồng thời là một song ánh ñược gọi là một
ñẳng cấu vành.
Nhận xét 1.3.3 [2].
(i) Giả sử
, ', ''
R R R
là các vành.


: ' và : ' ''
f R R g R R
→ →

là các ñồng cấu vành.
Khi

ñó ta có tích ánh xạ:
: ''
g f R R
→

cũng là một ñồng cấu vành.
ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu.
(ii)
Ta không ñòi hỏi mọi vành ñều có ñơn vị nên không bắt buộc mọi
ñồng cấu vành
: '
f R R
→
phải có tính chất
(
)
1 1’
f
=
, ngay cả trong
tr
ường hợp R, R’ có ñơn vị (tương ứng là 1, 1’). Tuy nhiên nếu
0
f
≠
và R’ là một miền nguyên thì từ hệ thức
(
)
(
)

(
)
1 1 1 ,
f f f
=
(1) 0
f
≠
, suy ra
(
)
1 1’
f
=
.
Ví dụ 1.3.4.
(i) Ánh xạ ñồng nhất trên một vành A là một ñẳng cấu và gọi là tự ñẳng
cấu ñồng nhất trên A.

14

(ii) Giả sử A là một vành con của vành R. ðơn ánh chính tắc :
: ',
i A R a a
→
֏
là một ñồng cấu và gọi là ñơn cấu chính tắc.
(iii)
[
]

(
)
{
}
, 0,0 0
I f R x y f
= ∈ =

Khi ñó, ánh xạ:
[
]
{ }
,
: ,
R x y
f R a a R
I
a a
→ = ∈
֏
là một ñẳng cấu.
Vì vậy ta có:
[
]
,
.
R x y
R
I
≅

(iv) Giả sử I là một iñêan của vành R. Ánh xạ:
: , ( ) .
R
h R h x x I
I
→ = +

là một ñồng cấu vành. ðồng cấu này là toàn cấu và gọi là toàn cấu
chính tắc.
(v) Giả sử R, R’ là hai vành, ánh xạ
: '
f R R
→
, f(x) = 0
R’
, là một ñồng
cấu và gọi là ñồng cấu không.
Mệnh ñề 1.3.5. Giả sử
: '
f R R
→
là ñồng cấu vành. Khi ñó ta có:
(i) Ảnh của mỗi vành con của R qua f là một vành con của R’.
(ii) Ảnh của mỗi iñêan của R qua f là một iñêan cuả Im f.
(iii) Nghịch ảnh của mỗi vành con của R’ qua f là một vành con
của R.
(iv) Nghịch ảnh của mỗi iñêan của R’ qua f là một iñêan của R.
Chứng minh.
(i) Giả sử A là một vành con của R. Ta có:

( ) vì 0 (0) .
f A f A
≠ ∅ = ∈

Với mọi
, ( )
x y f A
∈
suy ra tồn tại
1 2
,
x x A
∈
ñể
1 2
( ) , ( )
f x x f x y
= =
.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
, .

x y f x x f A xy f x x f A
− = − ∈ = ∈

Vậy
(
)
f A
là một vành con của R’.
(ii) Giả sử I là một iñêan của R, ta chứng minh

(
)
f I
là một iñêan của
Imf.
Thật vậy, ta có:
( ) vì 0 ( ) ( ).
f I f I f I
≠ ∅ = ∈


15

Với mọi
, ( )
x y f I
∈
suy ra tồn tại
,
u v I

∈
ñể
( ) , ( )
f u x f v y
= =
nên
ta có
(
)
(
)
x y f u v f I
− = − ∈
.
Với mọi
Im
a f
∈
suy ra tồn tại
b R
∈
ñể
(
)
a f b
=
nên ta có
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
, .
xa f ub f I ax f b f u f bu f I
= ∈ = = ∈

Vậy
(
)
f I
là một iñêan cuả Im f.
(iii) Giả sử B là một vành con của R’ thì
(
)
1
0 0
f
−
= suy ra
(
)
1
f B

−
≠ ∅
.
Ngoài ra, v
ớ
i
(
)
1
,
x y f B
−
∀ ∈
thì , : ( ), ( )
a b B a f x b f y
∃ ∈ = =

Suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
,
a b f x f y f x y B ab f xy B
− = − = − ∈ = ∈
nên ta có

(
)
1
x y f B
−
− ∈
và
(
)
1
xy f B
−
∈
. Vậy
(
)
1
f B
−
là một vành con cuả R.
(iv)
Giả sử J là một là một iñêan cuả R’. Ta có
(
)
(
)
1 1
0 0f f J
− −
∈

⇒
≠ ∅
.
Với
`
( ),
a f J x R
−
∀ ∈ ∀ ∈
suy ra tồn tại
: ( )
b J f a b
∈ =
nên
(
)
(
)
(
)
(
)
bf x f a f x f ax
= =
suy ra
(
)
1
.
ax f J

−
∈

T
ương tự:
(
)
1
.
xa f J
−
∈
Vậy
(
)
1
f J
−
là một iñêan của R.
Hệ quả 1.3.6 [2]. Cho
: '
f R R
→
là ñồng cấu vành, khi ñó Im f là một
vành con của R’ và Ker f là iñêan cuả R.
Mệnh ñề 1.3.7. Cho R là vành giao hoán có ñơn vị 1 khác 0. Các phát biểu
sau là tương ñương:
(i) R là một trường.
(ii) R chỉ hai iñêan là 0 và
(

)
1 .

Mệnh ñề 1.3.8. Giả sử A là một iñêan của vành R. Khi ñó mỗi iñêan của
vành thương
R
A
ñều có dạng
B
A
trong ñó B là một iñêan của vành R
chứa A. Hơn nữa ta có ñẳng cấu vành:
(
)
( )
R
A
R
B
B
A
≅ .

Chứng minh.

16

Xét phép chiếu chính tắc
:
R

p R
A
→
. Giả sửa B’ là một iñêan của
R
A
thì
(
)
1
'
B p B
−
=
là một iñêan của vành R và
(
)
'
B
B p B
A
= =
.
Khi ñó p cảm sinh ra ñơn cấu vành
(
)
( )
:
R
A

R
p
B
B
A
→ ; do p là toàn
ánh nên
p
là toàn ánh.
Vậy
p
là một ñẳng cấu vành.
ðịnh lí 1.3.9 [2]. ðịnh lí ñồng cấu.
Cho
:
f X Y
→
là một ñồng cấu vành,
:
X
p X
Ker f
→ là toàn c
ấ
u chính
t
ắ
c. Khi
ñ
ó:

(i)

T
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t
ñồ
ng c
ấ
u
:
X
f Y
Ker f
→

ñể

.
f p f
=


(ii)

f
là

ñơ
n c
ấ
u và Im
f
= f(X).


Chứng minh.
(i) ðặt A = Ker f cho tương ứng mỗi phần tử
X
x A
A
+ ∈
với phần tử
(
)
f x Y
∈
thì quy tắc
: , ( )
X
f Y x A f x
A
→ + ֏
cho ta một ánh
xạ. Ngoài ra
f
là một ñồng cấu.
Với mọi

(
)
(
)
(
)
: .
x X f p x f x A f x
∈ = + =

V
ậ
y
.
f p f
=


Ta có
ñồ
ng c
ấ
u
f
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề

u ki
ệ
n c
ủ
a
ñị
nh lí là duy nh
ấ
t.
(ii)

Gi
ả
s
ử
:
X
x A
A
+ ∈
sao cho:
(
)
(
)
0 thì 0
f x A f x
+ = =
suy ra
.

x Ker f A
∈ =

V
ậ
y
Ker 0
f
=
hay
f
là m
ọ
t
ñơ
n c
ấ
u, ngoài ra
(
)
Im Im .
f f f X
= =

Hệ quả 1.3.10 [2].
N
ếu
:
f X Y
→

là một ñồng cấu vành thì:
(
)
.
Ker
X
f X
f
≅


17

ðặc biệt, nếu f là một toàn cấu thì:
.
Ker
X
Y
f
≅


1.4. Iñêan nguyên tố và iñêan cực ñại


Trong phần này vành R ñược giả thiết là vành giao hoán, có ñơn vị 1
khác 0.
ðịnh nghĩa 1.4.1[8].
(i) Iñêan P của vành R ñược gọi là iñêan nguyên tố nếu
P

khác
R
và từ
ab P
∈

suy ra
a P
∈
hoặc
b P
∈
với mọi
, .
a b R
∈

(ii) Iñêan M ñược gọi là iñêan cực ñại (tối ñại ) của vành R nếu
M
khác
R
và với bất kỳ iñêan B của R sao cho
thì
M B R B R
⊂ ⊂ =
hoặc
B M
=
.
Tập tất cả các iñêan nguyên tố của R kí hiệu là: Spec R.

Ví dụ 1.4.2 [8].
(i) 0 là iñêan nguyên tố của vành số nguyên
ℤ
nhưng không là iñêan
cực ñại của
ℤ
.
(ii) Trong vành số nguyên
ℤ
mọi iñêan ñều có dạng
m
ℤ
. Chúng là
iñêan nguyên tố của
ℤ
khi m là nguyên tố. Thật vậy: ðặt
P m
=
ℤ
=
(
m), nếu
ab P
∈
kéo theo ab chia hết cho m. ðiều này dẫn ñến hoặc
a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m hay
a P
∈
hoặc
b P

∈
. Vậy
nếu m là nguyên tố mọi iñêan ñều có dạng
m
ℤ
là iñêan nguyên tố
của
ℤ
. Khi ñó
m
ℤ
cũng là iñêan cực ñại của
ℤ
. Thật vậy, nếu I là
một iñêan thực sự của
ℤ
chứa (m), thì tồn tại
, và ( ),
a I a m
∈ ∉
có
nghĩa là a không chia hết cho m. Vì a không chia hết cho m nên tồn
tại
,
x y
∈
ℤ
ñể
1.
ax my

+ =
Do ñó
1
I
∈
và dẫn ñến
I
=
ℤ
.
(iii) Nếu K là một trường thì 0 vừa là iñêan nguyên tố vừa là iñêan cực
ñại của K.
(iv)
Nghịch ành của một iñêan cực ñại không là iñêan cực ñại. Chẳng hạn
:

18

(v) Nếu:
:
i
→
ℤ ℚ
là một phép nhúng thì iñêan 0 là cực ñại trong
ℚ

nhưng không cực ñại trong
ℤ
.
Mệnh ñề 1.4.2 [2]. Cho vành giao hoán có ñơn vị 1 khác 0, R và J là một

iñêan của R. Khi ñó:
(i) J là một iñêan nguyên tố trong vành R khi và chỉ khi vành
thương
/
R J
là một miền nguyên.
(ii) J là một iñêan cực ñại trong vành R khi và chỉ khi vành
th
ương
/
R J
là một trường.
Chứng minh.
(i) Giả sử J là một iñêan nguyên tố của vành R,
{
}
/
R J x x J x R
= = + ∈

là vành thương của vành R trên J. Vì J nguyên tố nên
J R
≠
, do ñó
/
R J
nhiều hơn một phần tử. ðơn vị của
/
R J
là

1 1
J
= +
với 1 là
ñơn vị của vành R. Do R là vành giao hoán nên
/
R J
cũng là vành
giao hoán.
Gi
ả sử
,
x y
là hai phần tử tùy ý của vành
/
R J
.
N
ếu
. 0
x y
=
thì
xy J
∈
. Vì J là iñêan nguyên tố nên hoặc
x J
∈

ho

ặc
y J
∈
. Từ ñó suy ra
0
x
=
hoặc
0
y
=
. Vậy
/
R J
không có
ước của không, và do ñó
/
R J
là một miền nguyên.
Ng
ược lại, giả sử
/
R J
là một miền nguyên. Khi ñó
/
R J
có nhiều
h
ơn một phần tử, do ñó
J R

≠
. Nếu x, y là hai phần tử thuộc R sao
cho
xy J
∈
thì
. 0.
x y xy
= =
Vì
/
R J
không có ước của
0
nên suy
ra:
0
x
=
hoặc
0
y
=
. Từ ñó
x J
∈
hoặc
y J
∈
.

V
ậy J là iñêan nguyên tố.
(ii) Gi
ả sử J là iñêan cực ñại trong vành R, và giả sử
/ , 0.
u R J u
∈ ≠


19

Thế thì tồn tại
/
r R J
∈
sao cho:
.
u r r J
= = +
Khi ñó
,
J rJ R
+ =
do
ñó:
1 , , .
y Rx y J x R
= + ∈ ∈
Từ ñó:
1 0 .

r x
= +
, nghĩa là
r
có nghịch
ñảo. Vậy
/
R J
là một trường.
Ng
ược lại, giả sử
/
R J
là một trường. Thế thì
/
R J
khong có iñêan
th
ực sự. Khi ñó nếu
B
là một iñêan của
R
sao cho
J B R
⊂ ⊂
thì
/
B J
là iñêan của
/

R J
. Do trong
/
R J
không có iñêan thực sự
nên
/ 0
B J
=
hoặc
/
B J
=
/
R J
, nghĩa là
B J
=
hoặc
.
B R
=
ðiều
này chứng tỏ
J
là iñêan cực ñại trong
R
.
M
ệ

nh
ñề
trên cho ta th
ấ
y m
ọ
i i
ñ
êan c
ự
c
ñạ
i
ñề
u là i
ñ
êan
nguyên t
ố
.
ð
i
ề
u ng
ượ
c l
ạ
i nói chung không
ñ
úng.

Tuy nhiên ta có
m
ệnh ñề sau.
Mệnh ñề 1.4.3 [2]. Trong vành số nguyên
ℤ
mọi iñêan nguyên tố khác
không ñều là iñêan cực ñại.
Chứng minh.
Giả sử
0
m
≠
ℤ
là một iñêan nguyên tố. Nếu
n m
⊃
ℤ ℤ
thì
m n
∈
ℤ
và
.
m nr
=
Theo ñịnh nghĩa của iñêan nguyên tố nếu
n m
∉
ℤ
thì

r m
∈
ℤ
,
nghĩa là
, .
r mt t
= ∈
ℤ
Từ ñó
.
m nr ntm
= =

Do
0 nên 1, suy ra .
m nt n
≠ = =
ℤ ℤ
Vậy
m
ℤ
là iñêan cực ñại của
vành
ℤ
.
Mệnh ñề 1.4.4 [8]. Cho R là một vành P là một iñêan nguyên tố,
,
α β
là

các iñêan của R. Khi ñó nếu
P
α β
⊂
thì
P
α
⊂
hoặc
P
β
⊂
.
Chứng minh.
Giả sử
P
α
⊄
và
P
β
⊄
. Khi ñó tồn tại
,
x y
α β
∈ ∈
sao cho
x P
∉

và
y P
∉
. Suy ra
xy P
∉
(vì P là iñêan nguyên tố). Mặt khác
xy P
αβ
∈ ⊂

suy ra
x P
∈
(vô lý). Vậy
P
α
⊂
hoặc
P
β
⊂
.
Mệnh ñề 1.4.5 [8]. Giả sử P là một iñêan nguyên tố A
1,
A
2
, …, A
n

là những
iñêan của R. Khi ñó:

20

(i) Nếu
1
n
i
i
A P
=
⊂
∩
thì tồn tại i sao cho
i
A P
⊂
.
(ii) Nếu
1
n
i
i
A P
=
=
∩
thì tồn tại i sao cho
i

A P
=
.
Chứng minh.
(i) Giả sử
,
i
A P
⊄
với mọi
1,
i n
=
suy ra tồn tại
i i
f A
∈
nhưng
, 1,
i
f P i n
∉ ∀ =
. Suy ra
1
n
i
i
f P
=
∉

∏
(vì P là iñêan nguyên tố).
Mặt khác do
i i
f A
∈
, với mọi
1,
i n
=
suy ra
1 1
1
.
n
n n
i i i
i i
i
f A A
= =
=
∈ ⊂
∏ ∏
∩

Theo giả thiết:
1
n
i

i
A P
=
⊂
∩
nên ta có
1
n
i
i
f P
=
∈
∏
(mâu thuẫn với
1
n
i
i
f P
=
∉
∏
).
Vậy tại i sao cho
i
A P
⊆
.
(ii) ðặc biệt nếu:

1
n
i
i
A P
=
=
∩
suy ra
, 1,
i
P A i n
⊂ ∀ =
. Mặt khác do kết quả
trên thì tồn tại
0
i
sao cho
0
i
A P
⊆
. Vậy tồn tại
0
i
sao cho
0
i
A P
=

.
Bổ ñề 1.4.6 [1]. (Bổ ñề Zorn) Cho tập S khác rỗng ñược sắp thứ tự bộ
phận. Nếu tập con T của S ñược sắp thứ tự toàn phần có cận trên trong S
thì S có phần tử cực ñại.
ðịnh lý 1.4.7 [8]. Trong một vành giao hoán R có ñơn vị 1 khác 0 có ít
nhất một iñêan cực ñại của R.
Chứng minh. Gọi F là tập tất cả các iñêan của vành R khác R. Khi
ñó
0 nên .
F F
∈ ≠ ∅
Giả sử
{
}
i
i S
I
∈
là họ tùy ý các iñêan lồng nhau của F,
xét
i
i S
I I
∈
=
∪
thì
I
là iñêan của R và nếu
1

I
∈
, thì tồn tại
i S
∈
ñể
1 hay
i i
I I R
∈ =
(không ñược vì
i
I F
∈
). Vậy
I F
∈
và
I
bị chặn trên của
họ
{
}
i
i S
I
∈
, do ñó theo bổ ñề Zorn thì trong F với quan hệ bao hàm có phần
tử cực ñại. Tóm lại
R

có ít nhất một iñêan cực ñại.
Hệ quả 1.4.8 [8].

21

(i)
N
ếu
(
)
1
J
≠
là iñêan của vành R thì J ñược chứa trong một
iñêan cực ñại của R.
(ii) Mọi phần tử không khả nghịch của vành R ñều ñược chứa
trong một iñêan cực ñại của R.
Mệnh ñề 1.4.9. Cho
: '
f R R
→
là một ñồng cấu vành. Nếu P là một iñêan
nguyên tố của R’ thì
(
)
1
Q f P
−
= là m
ộ

t i
ñ
êan nguyên t
ố
c
ủ
a R.
Chứng minh.
Ta có theo Mệnh ñề 1.3.3. thì Q là một là một iñêan của R. Ta cần
chứng minh Q là một là một iñêan nguyên tố của R.
Thật vậy, với mọi
,
x y R
∈
mà
xy Q
∈
ta có
(
)
(
)
(
)
nên
f x f y P f x P
∈ ∈
hoặc
(
)

f y P
∈
(Vì P là nguyên tố) suy ra
(
)
1
x f P
−
∈
hoặc
(
)
1
y f P
−
∈
, suy ra
x Q
∈
hoặc
y Q
∈
.
Vậy
Q
là nguyên tố.
Hệ quả 1.4.10.
N
ếu A là một vành con của R, Q là một iñêan nguyên tố của
R thì

Q A
∩
là một iñêan nguyên tố của A.
Hệ quả 1.4.11 . Một iñêan P chứa I là một iñêan nguyên tố trong vành R
khi và chỉ khi
P
I
là iñêan nguyên tố trong
R
I
.
Chứng minh.
Lấy
'
R
R
I
=
. Vì
:
R
f R
I
→
là toàn ánh nên f cảm sinh một ñẳng
cấu
:
R R
f
P Q

→
với
P
Q
I
=
. Do ñó P là iñêan nguyên tố của R khi và
chỉ khi Q là iñêan nguyên tố của R’.

1.5. Linh căn, căn iñêan và căn Jacobson
ðịnh nghĩa 1.5. 1 [8]. Cho vành R có ñơn vị 1 khác 0, phần tử
a R
∈
ñược
gọi là
l
ũy linh nếu tồn tại số tự nhiên
1
n
≥
mà
0.
n
a
=


22

Mệnh ñề 1.5.2: Tập tất cả các phần tử lũy linh của vành R là một iñêan

của R.
Chứng minh.
Gọi I là tập tất cả các phần tử lũy linh của R.
Nếu
,
a b I
∈
thì tồn tại
,
m n
∈
ℕ
sao cho
0 .
m n
a b
= =

Khi ñó:

0
( ) 0
m n
m n k k m n k
m n
k
a b C a b
+
+ + −
+

=
+ = =
∑
(Do
0, và 0,
k k
a k m b k n
= ∀ ≥ = ≥
)
Suy ra
.
a b I
+ ∈
Ngoài ra:
(
)
(
)
(
)
1 0 .
m m
m
a a a I
− = − =
⇒
− ∈

(
)

0 , .
m
m m
xa x a xa I x R
= =
⇒
∈ ∀ ∈

Tương tự ta có
.
ax I
∈
Vậ
y I là i
ñ
êan c
ủ
a R.
ðịnh nghĩa 1.5.3 [8]. Iñêan các phần tử lũy linh của R gọi là linh căn của
R. Kí hiệu: N(R).
Ví dụ:
(i) Mỗi miền nguyên có linh căn là 0.
(ii)
m
ℤ
có linh căn là 0 khi và chỉ khi m là tích của các số nguyên tố
phân biệt.
(iii) Mỗi vành R có linh căn là N(R), vành
( )
R

N R
có linh căn là 0.
Vì
( )
R
N R
có phần tử lũy linh duy nhất là
0.

Mệnh ñề 1.5.4 [8].
(
)
N R
là giao của tất cả các iñêan nguyên tố trong
vành R.
Nghĩa là:
(
)
P SpecR
N R P
∈
=
∩

(
Spec R là t
ậ
p t
ấ
t c

ả
các i
ñ
êan nguyên t
ố

c
ủ
a R
).
Chứng minh.
ðặt:
' .
P SpecR
N P
∈
=
∩

•
Ta ch
ứ
ng minh:
' ( )
N N R
⊃
.

23

Ta có: V
ớ
i m
ọ
i
(
)
x N R
∈
suy ra t
ồ
n t
ạ
i

: 0
n
n x
∈ =
ℕ

mà
0
Spec R
∈

nên
0 '
N
∈

. Suy ra
0 '
n
x N
= ∈ và
nên '.
P Spec R x N
∈ ∈

•

' ( )
N N R
⊂
: Thật vậy, nếu
' thì 0,
n
f N f
∉ ≠
với mọi
0.
n
≠

G
ọi
∑
là tập tất cả các iñêan I của R thỏa mãn:
* thì .
n

n N f I
∈ ∉

do 0 .
∑≠ ∅ ∈ ∑
Theo bổ ñề Zorn thì
∑
có phần tử cực ñại, giả sử là
0
P
.
Ta ch
ứng minh
0
P
là nguyên tố.
L
ấy
0
,
x y P
∉
thì
(
)
(
)
0 0 0 0
và
P x P P y P

+ ⊃ + ⊃
. Do
0
P
cực ñại nên
(
)
(
)
0 0
và
P x P y
+ ∉
∑
+ ∉
∑
. Suy ra: tồn tại
, :
m n
∈
ℕ

(
)
0
m
f P x
∈ +
(
)

0
và
m
f P y
∈ + . V
ậ
y
1 1 2 2
và
m n
f p a x f p a y
= + = + .
Ta có
(
)
(
)
1 1 2 2 0 1 2
.
m n
f p a x p a y p a a xy
+
= + + = +
Hay
0
( )
m n
f P xy
+
∈ +

suy ra
0
( )P xy
+ ∉ ∑
do
ñ
ó
0
xy P
∉
. V
ậ
y
0
P
là nguyên t
ố
.
ðịnh nghĩa 1.5.5 [6]. Giả sử R là một vành giao hoán có ñơn vị. Tập J(R)
là giao của tất cả các iñêan cực ñại của R ñược gọi là căn Jacobson của R.
Mệnh ñề 1.5.6. Phần tử a bất kì thuộc
(
)
J R
khi và chỉ khi
1
ab
+
là ñơn

vị, với mọi
b R
∈
.
Chứng minh.
(
)
⇒
: Giả sử tồn tại
( )
a J R
∈
và
b R
∈
mà 1+ab không là ñơn vị. Khi ñó
tồn tại một iñêan cực ñại m của R mà
1
ab m
+ ∈
.
T
ừ

( ) nên
a J R a m
∈ ∈

kéo theo
1

m
∈
. (Mâu thu
ẫn do m là iñêan cực ñại). Vậy 1+ab là ñơn vị.
(
)
⇐
: Ngược lại giả sử 1+ab là ñơn vị, với mọi
b R
∈
. Và giả sử tồn tại
m
ột iñêan cực ñại m của R mà
a m
∉
, khi ñó :
(
)
m Ra R
+ =

0
vì 1 ;
a ba
= −

0
,
a m b R
∈ ∈

.Tức là
0
1
a ab
= +
là ñơn vị suy ra
m R
=
. (Mâu thuẫn với
m R
≠
). Vậy
(
)
.
a J R
∈

ðịnh nghĩa 1.5.7 [6]. Cho I là một iñêan của vành R. Khi ñó tập hợp:

24

{
}
1:
n
a R n a I
∈ ∃ ≥ ∈
là một iñêan của R và ñược gọi là căn (radical) của
iñêan I ký hiệu là Rad (I) hay

I
. Vậy
{
}
1:
n
I a R n a I
= ∈ ∃ ≥ ∈
.
Ví dụ 1.5.8.
(i) Nếu I = 0 thì
I
= N(R) chính là linh căn của R.
(ii) Nếu
2
[ , ], ( , ) thì ( , ).
R K x y I x y I x y
= = =

(iii) Trong vành các số nguyên
ℤ
, ta có
( ) 0 ( ).
N J
= =
ℤ ℤ


Mệnh ñề 1.5.9.
(i) Với mỗi iñêan I của vành R,

I
là giao của tất cả các iñêan
nguyên tố chứa I:
.
P SpecR
I P
∈
=
∩

(ii) I và J là hai iñêan cực ñại của vành R khi và chỉ khi
I
là
ñối cực ñại.
Chứng minh.
(i) Xét phép chiếu
:
R
p R
I
→

rõ ràng
(
)
(
)
1
R
I p N

I
−
=
.
Theo Hệ quả 1.4.11, ta có
P I
⊃
là một iñêan nguyên tố trong vành R
khi và chỉ khi
P
I
là iñêan nguyên tố trong
R
I
, mà
( )
R
N
I
là giao
của tất cả các iñêan nguyên tố của
R
I
. Do ñó
I
là giao của tất cả
các iñêan nguyên tố chứa I.
(iii) Nếu I, J ñối cực ñại, nghĩa là I + J = R mà
,
I I J J

⊂ ⊂
nên
I J R
+ =
. Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u
I J R
+ =
thì t
ồ
n t
ạ
i
,
a I b J
∈ ∈
sao cho
1
a b
= +
, khi
ñ
ó t
ồ
n t

ạ
i các s
ố
t
ự
nhiên
, 1: ,
m m
m n a I b J
≥ ∈ ∈
.
Suy ra
( )
0
1 .
m n
m n
k k m n k
m n
k
a b C a b I J I J R
+
+
+ −
+
=
= + = ∈ + ⇒ + =
∑

V

ậ
y I, J
ñố
i c
ự
c
ñạ
i.

25


1.6. Iñêan nguyên sơ
Trong phần này vành R ñược giả thiết là vành giao hoán, có ñơn vị 1
khác 0. M là một iñêan của R.
ðịnh nghĩa 1.6.1 [6]. Cho R là vành và I là iñêan trong R, I khác R. Khi
ñó, I ñược gọi là iñêan nguyên sơ của R nếu với mọi
, ,
a b R ab I
∈ ∈
thì
hoặc
a I
∈
hoặc tồn tại
*
n
∈
ℕ
sao cho

n
b I
∈
.
ðịnh lí 1.6.2 [6]. Giả sử I là một iñêan của vành R. Khi ñó :
Nếu I là iñêan nguyên sơ thì
P I
=
là iñêan nguyên tố. Khi ñó I ñược
gọi là iñêan P – nguyên sơ của R.
Chứng minh.
Giả sử I là một iñêan của vành R . Rõ ràng
1
I
∉
, do ñó
I R
≠
. Giả
sử
ab I
∈
với
, ;
a b R a I
∈ ∉
. Khi ñó tồn tại số nguyên dương n sao
cho
(
)

n
n n
ab a b I
= ∈
. Vì
n
a I
∉
và
I
là nguyên sơ nên tồn tại số nguyên
dương
m
sao cho
(
)
m
n mn
b b I
= ∈
. Như thế
b I
∈
. Vậy
P I
=

là iñêan
nguyên tố.