Phương pháp dạy học các phép biến hình trong nhà trường phổ thông

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài khoá luận
Hình học là môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người đọc phải có sự tư
duy khả năng tưởng tượng tốt.
Cách đây khoảng mười hai năm về trước thì các phép biến hình chưa có
trong môn toán ở nhà trường phổ thông. Đến khoảng năm 2000 thì các phép
biến hình được đưa vào môn toán trong nhà trường phổ thông. Điều đó đã
chứng tỏ rằng đã chuyển hình học từ khoa học thực nghiệm sang khoa học
suy diễn. Việc chuyển như vậy là bước đầu cho việc “Đại số hóa hình học”,
tức là nghiên cứu hình học bằng công cụ đại số. Do vậy đòi hỏi người học
phải có tư duy tốt.
Hiện nay ở trường trung học phổ thông thì các phép biến hình trong
hình học phẳng và trong hình học không gian chiếm tỷ trọng không nhỏ của
nội dung môn toán.
Do vậy ta thấy sự “Ưu việt” của phép biến hình trong môn toán ở nhà
trường phổ thông. Hơn nữa có những bài toán hình học được giải thông qua
phép biến hình đôi khi nhanh và gọn hơn khi giải bằng cách thông thường.
Tuy nhiên thực tế hiện nay việc dạy và học phép biến hình trong môn
toán ở nhà trường trung học phổ thông cả thầy và trò đều gặp khó khăn. Thầy
thì gặp khó khăn chủ yếu trong phương pháp dạy. Còn trò thì e ngại khi gặp
những bài toán về phép biến hình và các bài toán liên quan đến phép biến
hình.
Do vậy để giải đuợc bài tập về phép biến hình, yêu cầu học sinh phải
nắm được những kiến thức cơ bản về những khái niệm, tính chất, có kĩ năng
giải toán, linh hoạt và sáng tạo trong việc sử dụng những phương pháp để giải
toán về phép biến hình có hiệu quả.
1
Nghiên cứu về các phép biến hình và một số phương pháp giải với
mong muốn góp phần giúp học sinh phổ thông một công cụ mới để giải toán,
đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới,
củng cố kiến thức và áp dụng vào các bài toán liên quan và các môn học khác.

Đồng thời trong giáo trình phương pháp dạy học môn toán ở đại học có
đề cập tới phương pháp dạy học các phép biến hình nhưng trình bày chưa cụ
thể, và hơn nữa là một sinh viên năm cuối việc nghiên cứu giúp chúng tôi tích
luỹ thêm những kiến thức mới trong quá trình nghiên cứu để hiểu rõ và vận
dụng kiến thức mới tốt hơn khi ra trường.
Vì những lí do đó chúng tôi chọn “Phương pháp dạy học các phép
biến hình trong nhà trường phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp đại học
của mình.
2. Mục tiêu khoá luận
Mục tiêu nghiên cứu của khoá luận là vận dụng cơ sở lý luận dạy học
các tình huống điển hình trong môn toán vào dạy học các phép biến hình
trong nhà trường trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu các tình huống điển hình trong dạy học môn toán (dạy
học khái niệm, định lí, giải bài tập).
• Tìm hiểu các tài liệu, giáo trình liên quan về các phép biến hình ở đại
học và phổ thông.
• Xác định vai trò tầm quan trọng mục đích yêu cầu của việc dạy phép
biến hình trong nhà trường trung học phổ thông.
• Hệ thống các kiến thức cơ bản, nội dung phép biến hình được trình
bày trong chương trình toán trung học phổ thông.
2
• Vận dụng lý luận về dạy học các tình huống điển hình trong môn toán
để dạy học các phép biến hình, làm rõ phép biến hình trong giải một số dạng
toán hình học.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc nghiên cứu tài liệu giáo trình
về các phép biến hình trong hình học phẳng, các phương pháp giải các bài
toán đó, phân loại và hệ thống hoá các kiến thức.
• Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi

với một số giáo viên toán trung học phổ thông về vấn đề dạy học giải bài tập
có nội dung thực tiễn nói chung, dạy học các phép biến hình nói riêng.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc tham khảo tài liệu, giáo
trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Đó là phương pháp thu thập thông
tin, nhận định, đánh giá góp ý kiến cho đề tài bằng cách sử dụng trí tuệ của
giáo viên dạy phương pháp ở trường đại học, giáo viên phổ thông, thầy cô
hướng dẫn có trình độ về hình học nói chung và về các phép biến hình nói
riêng, nhằm nghiên cứu phương pháp dạy học các phép biến hình.
• Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm dạy
học ở một số tiết học trong môn toán lớp 11, nhằm kiểm nghiệm tính khả thi
và hiệu quả của hệ thống các phương pháp đã đề xuất.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Lý luận dạy học về các phép biến hình.
• Phạm vi: Khoá luận tập trung nghiên cứu về phương pháp dạy học
các phép biến hình trong hình học phẳng ở nhà trường trung học phổ thông.
3
6. Bố cục của khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khoá luận được chia
thành các chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Phương pháp dạy học các phép biến hình trong nhà trường
trung học phổ thông
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
4
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Các tình huống điển hình trong dạy học môn toán
1.1.1. Dạy học khái niệm toán học
a) Vị trí và yêu cầu

Trong môn Toán, việc dạy học các khái niệm Toán học có một vị trí
quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng
của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng
vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời góp phần phát triển năng
lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học.
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường phổ thông phải dần dần
làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau :
- Nắm được các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng
cho trước có thuộc một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện
khái niệm, nghĩa là biết tạo ra (vẽ, gấp hình, nêu bằng lời …) một đối tượng
là một minh họa cụ thể cho một khái niệm cho trước.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể, trong hoạt
động giải toán và ứng dụng thực tiễn.
- Nắm được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong
một hệ thống các khái niệm.
5
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư
phạm, các yêu cầu trên đây không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ
như nhau đối với từng khái niệm.
b) Các con đường hình thành khái niệm
Thứ nhất là con đường quy nạp được áp dụng cho phần lớn các khái
niệm. Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô
hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể…), bằng cách trừu tượng hóa và khái quát hóa, ta
dẫn dắt cho học sinh tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm thể hiện ở
những trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, ví dụ cụ thể,
trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn
những thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra
như sau:
- Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của
một loại đối tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc
điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng
cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm.
Thứ hai là con đường suy diễn. Con đường suy diễn, trong đó định
nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra
như sau:
6
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm
đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa
nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một
bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa
Thứ ba là con đường kiến thiết. Con đường tiếp cận khái niệm theo
con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được
hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ
toán học hay thực tiễn.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
- Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước trước.
Con đường này mang cả yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn
thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối
tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ

khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc
điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
c) Dạy học định nghĩa khái niệm
Thứ nhất là các định nghĩa
Việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm.
Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để định
nghĩa khái niệm.
7
Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng là cách định nghĩa có
cấu trúc dạng:
B(x)
⇔
A(x) và C(x).
Trong cấu trúc trên, tính chất B gọi là tính chất của khái niệm
chủng còn tính chất A là tính chất của một khái niệm loại, thường là loại gần
nhất với đối tượng phần tử x được định nghĩa, còn C là sự khác biệt đặc trưng
giữa các đối tượng có tính chất B và các đối tượng còn lại mang tính chất A.
Ví dụ: Trong định nghĩa phép vị tự, một phép biến hình là phép vị tự
(B) khi và chỉ khi phép biến hình ấy là (A) và có tính chất (C) biến mỗi điểm
M thành điểm M' sao cho
'OM kOM=
uuuur uuuur
.
Định nghĩa như vậy là tường minh, trong đó các khái niệm được định
nghĩa và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với nhau. Điều đó cho
phép ta thay thế cái được định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược
lại. Sự thay thế như vậy rất hay được sử dụng khi chứng minh định lí hay giải toán.
Nhưng không phải tất cả các khái niệm toán học đều được định nghĩa
theo cấu trúc nêu ở trên. Lần ngược lại quá trình logic định nghĩa các khái
niệm, tất phải đến những khái niệm xuất phát đầu tiên không được định nghĩa

qua các khái niệm khác của hệ thống lí thuyết đã cho, bởi vì trong hệ thống này
trước chúng không có một khái niệm nào. Nhưng điều đó không có nghĩa là
những khái niệm đầu tiên này không được định nghĩa. Thực ra, các khái niệm
xuất phát này được định nghĩa một cách không tường minh, gián tiếp bằng mô
tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên
đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ), chẳng hạn như khái niệm "điểm",
"đường thẳng", "hướng của vectơ", Như vậy, khi nói rằng các khái niệm
"điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" là những khái niệm xuất phát nên không
8
được định nghĩa thì phải hiểu là "chúng không được định nghĩa tường minh
qua các khái niệm khác".
Tóm lại, trong dạy học ở trường Phổ Thông, có những khái niệm không
được định nghĩa vì hai lí do khác nhau: Vì chúng là những khái niệm xuất
phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí do sư phạm.

Đối với những khái niệm
như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để giúp học
sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy.
Thứ hai là các yêu cầu của một định nghĩa
Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nó đúng hay sai. Một
định nghĩa có thể hợp lí (chấp nhận được) hay không hợp lí (không chấp nhận
được) phụ thuộc vào sự thỏa mãn hay không thỏa mãn những yêu cầu tối
thiểu của định nghĩa.
Yêu cầu quan trọng nhất là định nghĩa không được vòng quanh. Việc vi
phạm nguyên tắc này thể hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng (tường
minh hay không tường minh) trong cái dùng để định nghĩa.
Yêu cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của một định
nghĩa, đó là định nghĩa phải có trị nhưng không được đa trị. Định nghĩa phải
có trị tức là phải tồn tại ít nhất một đối tượng thỏa mãn các điều kiện trong
định nghĩa. Định nghĩa không được đa trị tức là mỗi thuật ngữ hay kí hiệu chỉ

được dùng để chỉ một cái được định nghĩa.
Thứ ba là những hoạt động củng cố khái niệm
Để củng cố khái niệm cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh tập
luyện những hoạt động: nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn
ngữ, khái quát hóa và đặc biệt hóa, hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái
niệm,…
9
Thứ tư là dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hóa khái niệm
- Dạy học phân chia khái niệm: Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới
dạng tường minh hoặc không tường minh) thì nội dung của khái niệm (tức là
tập hợp các đối tượng thỏa mãn định nghĩa ) được xác định. Phạm vi của một
khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm (vạch rõ
phạm vi của khái niệm ). Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu
hiện của việc nắm vững khái niệm toán học cũng như những khái niệm thuộc
môn học khác. Chẳng hạn, học sinh sẽ nắm vững khái niệm hàm số hơn nếu
cùng với việc hiểu định nghĩa, học sinh còn biết rằng có những hàm số chẵn
và hàm số không chẵn, những hàm số lẻ và hàm số không lẻ.
- Hệ thống hóa khái niệm: Trong việc dạy học các khái niệm, bao giờ
cũng phải nêu lên mối quan hệ giữa các khái niệm, đặt khái niệm mới vào hệ
thống các khái niệm có sẵn, tức là sau mỗi phần, mỗi chương cần phải hệ
thống hóa khái niệm.
1.1.2. Dạy học định lí toán học
a) Vị trí yêu cầu
Việc dạy học các định lí toán học nhằm cung cấp cho học sinh một
trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là những cơ hội rất
thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần
phát triển năng lực trí tuệ.
Việc dạy học các định lí toán học cần đạt được các yêu cầu sau:
• Học sinh nắm được hệ thống định lí, mối quan hệ giữa chúng, từ đó
có khả năng vận dụng chúng vào.

• Hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
10
• Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí. Thấy được
chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên
lĩnh vực toán học.
• Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ đó
hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết suy
nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình trung học phổ thông.
b) Các con đường dạy học định lí
Việc dạy học các định lí toán học có thể được thực hiện theo hai con
đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Hai con đường
này được minh họa bằng sơ đồ sau:
Tạo động cơ
Phát hiện định lí
Suy luận logic dẫn tới
định lí
Chứng minh định lí
lililý
Phát biểu định lí
Củng cố định lí
11
Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện mà tùy theo nội
dung định lí và tùy điều kiện cụ thể của học sinh.
Trong dạy học hình học, việc phát hiện định lí có thể được tiến hành
thông qua vẽ hình hoặc thông qua hoạt động thực hành dưới sự hướng dẫn
của giáo viên.
c) Dạy học chứng minh định lí
Trong dạy học định lí một khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh
năng lực chứng minh toán học. Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan
điểm hoạt động, ta cần lưa ý giải quyết các vấn đề sau :

- Gợi động cơ chứng minh.
- Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh.
- Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh.
- Phân bậc hoạt động chứng minh.
Thứ nhất gợi động cơ chứng minh. Hình thành động cơ chứng minh có
vai trò quan trọng đối với những định lí, nó phát huy tính tự giác và tính cực
của học sinh trong học tập.
Ở những bài toán chứng minh đầu tiên ở trường phổ thông, học sinh
thường chưa thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán học.
Nhiều học sinh vẫn chưa hết băn khoăn tại sao phải tốn công sức phải chứng
minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ. Để khắc phục tình hình này, cần
tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh
định lí.
Thứ hai rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong
chứng minh. Cần phải chú ý tập luyện cho học sinh những hoạt động thành
phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát
12
Điều quan trọng là những thao tác kết luận logic theo những qui tắc
thông thường không được dạy tường minh ở trường phổ thông và thường
được sử dụng dưới dạng tắt.
Thứ ba truyền thụ những tri thức phương pháp liên quan tới chứng
minh. Trong quá trình dạy học chứng minh, còn cần phải truyền thụ những tri
thức phương pháp liên quan tới chứng minh.
Đó trước hết là những tri thức về các qui tắc kết luận logic mà ở trường
phổ thông chúng chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh.
Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp
suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, lùi), suy xuôi, phản
chứng theo con đường thông báo chúng nhân cơ hội tiến hành các phép chứng
minh. Đặc biệt, cần luyện tập dần để học sinh nắm được những tri thức sau:
- Phép suy xuôi có sơ đồ sau, trong đó

i
A
là một định nghĩa, tiên đề
hoặc một mệnh đề đúng nào đó, còn B là một mệnh đề cần chứng minh :
0
1
A A B→ → →

- Phép suy ngược có hai trường hợp: Suy ngược tiến và suy ngược lùi
với các sơ đồ lần lượt như sau:



n
n
B A A
B A A
→ → →
¬ ¬ ¬
Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong
khi phép suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán.
1.1.3. Dạy học quy tắc, phương pháp toán học
Các qui tắc, phương pháp không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và
định lí. Có những qui tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lí,
có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lí.
13
a) Những thuật giải và những qui tắc tựa thuật giải
Thứ nhất, khái niệm về thuật giải và qui tắc tựa thuật giải. Thuật giải
theo định nghĩa trực giác được hiểu như một dãy những chỉ dẫn thực hiện một
cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi

thông tin vào của một bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài
toán đó. Ví dụ như mô tả tỉ mỉ cách giải phương trình bậc hai
2
ax 0bx c+ + =
(
0a ≠
).
Trong quá trình dạy học, một số qui tắc tuy chưa mang đủ các đặc điểm
đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó tỏ ra có hiệu
lực trong việc chỉ dẫn hoạt động và giải toán. Đó là những qui tắc dựa tựa
thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo
một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành
thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó.
Thứ hai, dạy học thuật giải và qui tắc tựa thuật giải. Trong dạy học
thuật giải và qui tắc tựa thuật giải có một số chú ý:
• Nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một qui tắc.
• Cần trình bày rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ
đồ nhất quán.
• Cần tập luyện cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong
thuật giải hoặc trong qui tắc tựa thuật giải.
• Cần cho học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển
cơ bản để quyết định trình tự các bước.
• Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
14
b) Những qui tắc, phương pháp tìm đoán
Cùng với những thuật giải và qui tắc tựa thuật giải, ta còn có qui tắc,
phương pháp có tính chất tìm đoán như qui lạ về quen, khái quát hóa, tương
tự hóa, phương pháp tìm lời giải của bài toán.
Những qui tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn
đề chứ không phải là những thuật giải đảm bảo chắc chắn dẫn đến thành công.

Vì vậy khi cho học sinh sử dụng chúng, cần rèn luyện cho họ tính mềm dẻo,
linh hoạt, thay đổi phương pháp khi cần thiết.
1.1.4. Dạy học giải bài tập toán học
Ở trường trung học phổ thông, dạy học giải bài tập toán là dạy hoạt
động toán học. Đối với học sinh, có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ
yếu của hoạt động toán học.
Các bài toán ở trường trung học phổ thông là phương tiện rất có hiệu
quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,
phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực
tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện mục đích
dạy học toán ở trường trung học phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc
dạy học giải bài tập toán học có vai trò quyết định với chất lượng dạy học
toán học. Trong thực tiễn, dạy học bài tập toán được sử dụng với nhiều mục
đích khác nhau. Một bài tập toán có thể tạo tiền đề xuất phát gợi động cơ, để
làm việc với nội dung mới để củng cố hoặc kiểm tra…
Trong môn Toán, bài tập có chức năng sau:
• Chức năng dạy học: Nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri
thức, kỹ năng, kỹ xảo ở giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
15
• Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển tư duy của học sinh, đặc
biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất của tư duy khoa học.
• Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và đạo đức người lao động mới.
• Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá chức năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
a) Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, là giá mang hoạt
động của học sinh. Thông qua giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt
động nhất định bao gồm nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc,
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp chung trong toán học.

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học trong nhà
trường phổ thông là giá mang hoạt động trong việc thực hiện hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục tiêu, cụ thể:
• Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học trong thực tiễn.
• Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành phẩm chất trí tuệ.
• Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biên chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định.
16
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác.
b) Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, cần nắm vững những yêu
cầu của lời giải:
• Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
• Lập luận chặt chẽ.
• Lời giải đầy đủ.
• Ngôn ngữ chính xác.
• Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
• Tìm ra nhiều lời giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
• Nghiên cứu giải những bài tập tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
c) Dạy học phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Polya
về cách giải bài tập đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu
lên phương pháp chung giải bài toán như sau:
• Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
• Bước 2: Tìm lời giải
17
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán.
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biết hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan.
- Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí.
• Bước 3: Trình bày lời giải
• Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài tập tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những gợi
ý để thầy hỗ trợ cho trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải. Sau đây là một
bản gợi ý về căn bản dựa theo Polya, có điều chỉnh phù hợp với cấu trúc của
phương pháp chung:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
• Đâu là cái phải tìm, cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các
điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay mâu thuẫn?
• Hãy vẽ hình.
• Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện.
Bước 2: Tìm cách giải
• Bạn đã gặp bài tập này lần nào chưa? Hay ở dạng tương tự?
• Hãy xét cái chưa biết và nhớ lại có bài tập nào tương tự chưa?
• Bạn có biết bài tập nào có liên quan không? Có thể sử dụng định lí nào?
• Thấy được một bài tập có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể
sử dụng nó không? Hãy sử dụng phương pháp giải bài tập đó.
18

• Có thể phát biểu bài tập cách khác không? Quay về những định nghĩa.
• Nếu bạn chưa giải được bài tập đã đề ra thì hãy thử giải một bài tập
có liên quan mà dễ hơn? Một bài tập tổng quát hơn? Một trường hợp riêng?
Để có thể giúp bạn xác định được cái cần tìm.
• Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?
• Bạn có thể kiểm tra lại kết quả. Có thể kiểm tra kết quả từng bước, và
toàn bộ lời giải của bài tập.
• Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp
ngay kết quả không?
• Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải để tìm ra
cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
• Nắm lại toàn bộ cách giải tìm ra trong quá trình suy đoán ở bước 2.
• Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán và
điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
d) Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán
Học phương pháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải
mà là học kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện:
• Thông qua việc giải những bài tập cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh
nắm được phương pháp chung và có ý thức vận dụng sang các bài tập khác.
• Thông qua việc giải những bài tập cụ thể, cần đặt cho học sinh những
câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi
19
này như những phương tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để
từng bước thực hiện phương pháp chung giải toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một
quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải
toán của bản thân thông qua giải các bài tập cụ thể.
1.2. Các phép biến hình trong nhà trường trung học phổ thông

1.2.1. Vị trí tầm quan trọng của phép biến hình trong nhà trường trung học
phổ thông
Trong chương trình hình học trung học cơ sở, các phép biến hình có
được giới thiệu cho học sinh nhưng nó chỉ đóng vai trò thứ yếu, nó không là
công cụ chứng minh tính chất các hình, nó cũng không là công cụ để giải toán
hình học phẳng. Tuy nhiên, việc dạy học về các phép biến hình ở trường trung
học phổ thông thì đã đề cập với mức độ khá chi tiết với ba cấp độ:
Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc
giữa hai phần của một hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt).
Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng
quát hơn, từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được
nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm.
Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học.
Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp thế
nào là tùy vào từng thể chế dạy học.
Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán phổ thông
là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải toán đồng thời tập
cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới.
20
1.2.2. Mục tiêu, nội dung phép biến hình trong chương trình SGK môn
toán ở nhà trường trung học phổ thông
1.2.2.1. Mục tiêu phép biến hình trong chương trình SGK môn toán ở nhà
trường trung học phổ thông
- Cho học sinh làm quen với một số phép biến hình cụ thể, có nhiều
ứng dụng trong thực tế như : Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối
xứng tâm, phép quay, phép vị tự. Có giới thiệu nhưng không đi sâu vào khái
niệm hợp thành của các phép đó vì vậy không nói đến dạng chính tắc của
phép dời hình và phép đồng dạng.
- Học sinh bước đầu có thể áp dụng các phép biến hình để giải một số
bài toán không quá khó.

1.2.2.2. Nội dung phép biến hình trong chương trình SGK môn toán ở nhà
trường trung học phổ thông
Nội dung phép biến hình trong chương trình SGK hình học lớp 11 như
sau : Gồm 7 tiết :
Tiết 1 : Mở đầu về phép biến hình
Tiết 2 : Phép tịnh tiến và phép dời hình
Tiết 3 : Phép đối xứng trục
Tiết 4 : Phép quay và phép đối xứng tâm
Tiêt 5 : Hai hình bằng nhau
Tiết 6 : Phép vị tự
Tiết 7 : Phép đồng dạng
21
1.2.3. Mục đích yêu cầu dạy phép biến hình ở nhà trường trung học phổ
thông
Về nội dung phép biến hình đây là vấn đề mới và khó đối với học sinh
lớp 11, nhưng những kiến thức này rất cần thiết. Thông qua các phép biến
hình, học sinh được làm quen với việc nghiên cứu hình học theo ‘‘Quan điểm
động’’ thấy được những yếu tố thay đổi và không thay đổi của một hình trong
quá trình biến đổi.
Vậy mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương
trình toán trung học phổ thông là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ
mới để giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và
suy luận mới.
22
Kết luận chương 1
Trong chương 1, khóa luận đã nêu được cơ sở lý luận dạy học các tình
huống điển hình trong môn toán (dạy học khái niệm, định lí, giải bài tập).
Việc vận dụng cơ sở lý luận dạy học các tình huống điển hình trong môn toán
đúng với lý luận dạy học bộ môn và đảm bảo nội dung chương trình SGK, từ
đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học.

Hơn nữa trong chương 1, khóa luận nêu được tầm quan trọng của phép
biến hình và mục tiêu, nội dung phép biến hình trong chương trình SGK của
môn toán trong nhà trường trung học phổ thông. Vậy qua việc tìm hiểu thực
tiễn đó, chúng tôi thấy việc dạy học nội dung phép biến hình trong mặt phẳng
ở trường trung học phổ thông còn nhiều hạn chế. Do vậy chúng tôi đưa ra
phương pháp dạy học phép biến hình ở chương 2.
23
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
NHÀ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Dạy học định nghĩa các phép biến hình
2.1.1. Phép biến hình
Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với
một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình
trong mặt phẳng.
Phương pháp dạy học định nghĩa phép biến hình:
HĐ1: Gợi động cơ hình thành khái niệm
- BT1: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M không thuộc
d. Tìm hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d ? Điểm M’
xác định được có phải duy nhất không?
- BT2: Trong mặt phẳng, cho vectơ
u
r
và điểm M. Tìm điểm M’ sao cho
vectơ
'MM u=
uuuuur r
? Điểm M’ xác định được có phải duy nhất không?
- GV khẳng định: Như vậy, cả 2 bài toán trên đều đề cập tới một vấn
đề. Đó là “ Với mỗi điểm M cho trước xác định được điểm M’, biết điểm M'’

thỏa mãn điều kiện gì đó, và điểm M’ xác định là duy nhất”.
HĐ2: Hình thành khái niệm
- Thông qua HĐ1 giáo viên yêu cầu một học sinh phát biểu định nghĩa
phép biến hình. Sau đó, chính xác hóa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M
của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi
là phép biến hình trong mặt phẳng.
24
HĐ3: Củng cố khái niệm
- Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài
đường tròn (O). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ như sau có
là một phép biến hình không? Vì sao?
a) M’ là giao điểm của đoạn thẳng OM với đường tròn.
b) M’ là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn.
Giải
a) Quy tắc này là một phép biến hình, vì với mỗi điểm M ta chỉ xác
định được duy nhất điểm M’.
b) Quy tắc này không là phép biến hình, vì với mỗi điểm M ta xác định
được 2 điểm M’.
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có
những hình dung ban đầu về phép biến hình.
- HĐ2 nhằm khơi dậy đồng thời kiểm tra tính đúng đắn quá trình tư
duy đó của học sinh về phép biến hình.
- HĐ3 là HĐ củng cố ở mức độ thấp nhất thông qua thao tác thực hành
của bản thân người học.
Thực hiện xong các HĐ nói trên, học sinh sẽ nắm được khái niệm của
phép biến hình. Với sự phân bậc các HĐ như trên, mức độ nhận thức của học
sinh đã được chuyển từ nhận biết → thông hiểu.
2.1.2. Phép tịnh tiến
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ

0u ≠
r r
, phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
'MM u=
uuuuur r
, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
u
r
.
25