Tính đơn điều của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (390.25 KB, 37 trang )
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
1
SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
*O*
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI
GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
NĂM HỌC : 2010 – 2011
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
2
MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong
những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học.
Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị
trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0)
trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh
nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực
. Nếu theo chương trình sách giáo
khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và
các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét
nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình
sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến
định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm
thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức
được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi,
sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng
giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn
điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”
2/Nội dung sáng kiến
A.Mở đầu
B.Nội dung đề tài
I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa
II.Bài tập thực hành
C. Kết quả và bài học kinh nghiệm
Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011.
Người viết
Lê Quốc Hoàng
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
3
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.
Phương trình bậc hai đối với ẩn x (
x
R
) là phương trình có dạng:
2
ax 0 1 0bx c a
b)Cách giải.
Tính
2
4bac
Nếu
0
thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu
0 thì phương trình (1) có nghiệm kép
12
2
b
xx
a
.
Nếu
0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
12
,
22
bb
xx
aa
c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm
.
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn
x
R
:
2
ax 0 1 0bx c a có hai nghiệm
12
,
x
x thì
12 12
,.
bc
Sxx Pxx
aa
.
Dấu các nghiệm:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
0P
.
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0P
.
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương
0
0
0
P
S
.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
4
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm
0
0
0
P
S
.
ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là
'( ) 0,
f
xxK
đồng thời
'( ) 0fx
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là '( ) 0,
f
xxK
đồng thời '( ) 0fx chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
, khi đó nếu f có đạo hàm tại x
0
thì
0
'( ) 0fx
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x
0
và có đạo hàm
trên các khoảng (a;x
0
) và (x
0
;b) klhi đó :
Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
f
xxax và
0
'( ) 0, ( ; )
f
xxxb thì hàm số đạt cực tiểu
tại x
0
.
Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
f
xxax và
0
'( ) 0, ( ; )
f
xxxb
thì hàm số đạt cực đại
tại x
0
.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
5
2. Phương pháp giải toán
*Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
0)
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Đồng biến trên ( ; )
.
b) Đồng biến trên ( ; )
.
c) Đồng biến trên ( ; )
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
a)Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng ( ; )
() 0, ( ; )fx x
0
0
0
0
() 0
20
a
a
f
S
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
TH1: Nếu bpt: ( ) 0 ( ) ( ) ( )
f
xhmgxi
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; )
() (), ( ;)hm g x x
(;]
() ()hm Maxgx
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
() (), (; )hm gx x
[; )
() ()hm Maxgx
c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
() (), (;)hm g x x
[;]
() ()hm Maxgx
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
6
b) Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng ( ; )
() 0, (; )fx x
0
0
0
0
() 0
20
a
a
f
S
c) Hàm số(1) đồng biến trong
khoảng
(; )
() 0, (; )fx x
0
0
0
() 0
20
() 0
20
0
0
() 0
() 0
a
a
f
S
f
S
a
f
f
TH2
: Nếu bpt: ( ) 0fx không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
Khi đó ta có:
22
'()3 2(3 )3 2
y
gt at abta bc
.
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
() 0, 0.gt t
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
() 0, 0gt t
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo
về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã
hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm
hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách
giáo khoa.
*
Ví dụ 1: Cho hàm số : y =
32
1
1213211
3
mx mx mx
(1)
(1)m
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
7
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng
(;1) .
b) Đồng biến trên khoảng
(1; )
.
c) Đồng biến trên khoảng
(1;1) .
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
'()
(1) 2(21) 3(21)
yfx
mx mx m
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
(;1)
() 0, ( ; 1)fx x
0
'0
0
'0
(1) 0
2( 1) 0
a
a
f
S
2
2
10
2740
10
2740
11 4 0
0
1
m
mm
m
mm
m
m
m
1
2
41
11 2
m
m
4
11
m
Kết luận
:
4
11
m
thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng ( ; 1)
Txđ: D = R
2
'()
(1) 2(21) 3(21)
yfx
mx mx m
Ta có:
'0 ()0.yfx
2
(1) 2(21) 3(21)0.mx mx m
2
2
23
.
46
xx
m
x
x
Đặt :
2
2
23
() .
46
xx
gx
x
x
2
22
618
'( ) .
(46)
x
gx
xx
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
(;1)
'0, (1; )yx
(), ( ;1)mgx x
(;1]
()mMaxgx
Xét :
(), ( ;1]ygx x
Ta có bảng biến thiên:
x
-1
g’(x)
+
g(x)
4
11
-1
Từ bảng biến thiên ta được :
4
11
m
Kết luận
:
4
11
m
thì hàm số (1) đồng
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
8
biến trong khoảng ( ; 1)
b)Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )
() 0, (1; ).fx x
0
'0
0
'0
(1) 0
2.1 0
a
a
f
S
2
2
10
2740
10
2740
30
2
0
1
m
mm
m
mm
m
m
m
1
2
1
0
2
m
m
0m
Kết luận
:
0m
thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng
(1; )
b)Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )
'0, (1; )yx
(), (1; )mgx x
[1; )
()mMaxgx
Xét :
(), [1; )ygx x
Ta có bảng biến thiên:
x
1 3
g’(x)
- 0 +
g(x)
0 -1
-4
Từ bảng biến thiên ta được :
0m
Kết luận
: 0m thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng
(1; )
c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)
() 0, (1;1)fx x
c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)
'0, (1;1)yx
(), (1;1)mgx x
[1;1]
()mMaxgx
Xét :
(), [1;1].ygx x
Ta có bảng biến thiên:
x
-1 0 1
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
9
0
'0
0
(1) 0
2( 1) 0
(1) 0
2.1 0
'0
0
(1) 0
(1) 0
a
a
f
S
f
S
a
f
f
2
2
10
2740
2740
30
2
0
1
11 4 0
0
1
10
10
30
11 4 0
m
mm
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
2
m
Kết luận
:
1
2
m
thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng ( 1;1)
g’(x)
+ 0 -
g(x)
1
2
4
11
0
Từ bảng biến thiên ta được :
1
2
m
Kết luận
:
1
2
m
thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng ( 1;1)
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
10
Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta
đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải
quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú
cho học sinh.
*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
(; )
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
a)Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng
(;)
() 0, ( ; )fx x
0
0
0
0
() 0
20
a
a
f
S
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
TH1: Nếu bpt:
() 0 () ( ) ()
f
xgxhmi
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(;)
() (), ( ;)hm g x x
(;]
() ()hm Maxg x
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(; )
() (), (; )hm gx x
[; )
() ()hm Maxg x
c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
11
b) Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
() 0, ( ; )fx x
0
0
0
0
() 0
20
a
a
f
S
c) Hàm số(1) nghịch biến trong
khoảng
(; )
() 0, ( ; )fx x
0
0
0
() 0
20
() 0
20
0
0
() 0
() 0
a
a
f
S
f
S
a
f
f
() (), (;)hm g x x
[;]
() ()hm Maxg x
TH2: Nếu bpt: ( ) 0fx không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
Khi đó ta có:
22
'()3 2(3 )3 2
y
gt at a bt a b c
.
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(;)
() 0, 0gt t
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(; )
() 0, 0gt t
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =
23 2
1
1121
3
mxmxx
(1)
(1)m
Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng (;2)
.
b) Nghịch biến trên khoảng
(2; )
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
12
Txđ : D = R
y’ = f(x) =
22
(1)2(1)2mx mx
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(;2)
() 0, ( ;2)fx x
0
'0
0
'0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
2
2
2
2
2
10
3210
10
3210
44100
46
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m
1
1
3
m
Kết luận:
Với
1
1
3
m
thì hàm số
(1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)
Txđ : D = R
y’ = f(x) =
22
(1)2(1)2mx mx
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =
22 2 2
( 1) (4 2 6) 4 4 10mt mmxmm
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(;2)
() 0, 0gt t
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
2
2
2
2
2
10
3210
10
3210
44100
23
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m
1
1
3
m
Kết luận:
Với
1
1
3
m
thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng ( ; 2)
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
() 0, (2; )fx x
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
13
0
'0
0
'0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
2
2
2
2
2
10
3210
10
3210
44100
46
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m
11m
Kết luận:
Với 11m
thì hàm số
(1) nghịch biến trong khoảng (2; )
() 0, 0gt t
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
2
2
2
2
2
10
3210
10
3210
44100
23
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m
11m
Kết luận:
Với
11m
thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng (2; )
*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài
toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến
thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự
hứng thú đối với học sinh.
*Bài toán 3: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
yad
dx e
.
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(;)
.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
14
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; )
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (; )
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: \
e
DR
d
2
22
2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )
f
xgxhmi
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )
(;]
() ( ),
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx
b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng (; )
[; )
() ( ),
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx
Txđ: \
e
DR
d
2
22
2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
a)Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ; )
'0, ( ;)
() 0, ()
yx
e
d
f
xxI
0
0
0
()
0
() 0
20
ad
ad
I
f
S
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ; )
[;]
;
() ( ), ( ; )
;
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
15
b)Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ; )
'0, (; )
() 0, ()
yx
e
d
f
xxI
0
0
0
()
0
() 0
20
ad
ad
II
f
S
TH2:
Nếu bpt: () 0fx không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
Khi đó bpt:
() 0fx trở thành : () 0gt , với:
22
() 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be d
c
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng
(;)
() 0, 0( )
e
d
gt t ii
0
0
0
()
0
0
0
a
a
ii
S
P
c) Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ; )
'0, (;)
(; )
() 0, (; )( )
yx
e
d
f
xx III
b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )
() 0, 0( )
e
d
gt t iii
0
0
0
()
0
0
0
a
a
iii
S
P
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
16
(III)
0
0
0
() 0
20
() 0
20
0
0
() 0
() 0
ad
ad
f
S
f
S
ad
f
f
*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với
cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà
không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã
được giảm tải
*Ví dụ 3: Cho hàm số:
2
23
(2).
1
xxm
y
x
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(;1)
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; )
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
17
Txđ : D = R
2
22
243 ()
'.
(1) (1)
x
xmfx
y
xx
a)Hàm số (2) đồng biến trên
(;1)
'0, ( ;1)
() 0, 1
yx
fx x
0
'0
0
'0
(1) 0
2( 1) 0
a
a
f
S
1
1
90
m
m
m
9m
Kết luận:
Vậy
9m
thì hàm số (2)
đồng biến trên
(;1)
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; )
'0, (2; )
() 0, 2
yx
fx x
0
'0
0
'0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
1
1
30
m
m
m
3m
Kết luận:
Vậy 3m thì hàm số (2)
đồng biến trên (2; )
Txđ : D = R
2
22
243 ()
'.
(1) (1)
x
xmfx
y
xx
Ta có:
2
() 0 2 4 3
f
xmxx
Đặt :
2
() 2 4 3gx x x
'( ) 4 4gx x
a)Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)
(;1]
'0, ( ;1)
()
yx
mMingx
Ta có bảng biến thiên của
hàm số:
(), ( ;1]gx x
x
-1
g’(x)
g(x)
9
Kết luận:
Vậy 9m
thì hàm số (2) đồng
biến trên
(;1)
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; )
[2; )
'0, (2; )
()
yx
mMingx
Ta có bảng biến thiên của
hàm số:
(), [2; )gx x
x
2
g’(x)
+
g(x)
3
Kết luận: Vậy
3m
thì hàm số (2) đồng biến
trên (2; )
c)Hàm số (2) đồng biến trên (1;2)
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
18
c)Hàm số (2) đồng biến trên (1;2)
'0, (1;2)
() 0, (1;2)
yx
fx x
'0
'0
(1) 0
2.1 0
(2) 0
2.2 0
f
S
f
S
1
1
10
00
30
20
m
m
m
m
1m
Kết luận:
Vậy
1m thì hàm số (2) đồng biến
trên (1;2)
[1;2]
'0, (1;2)
()
yx
mMingx
Ta có bảng biến thiên của
hàm số:
(), [1;2].gx x
x
1 2
g’(x)
+
g(x)
3
1
Kết luận:
Vậy
1m
thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài
toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng
hơn rất nhiều.
*Bài toán 4: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
yad
dx e
.
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
19
Txđ: \
e
DR
d
2
22
2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )
f
xgxhmi
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )
(;]
() ( ),
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
(; )
[; )
() ( ),
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx
Txđ: \
e
DR
d
2
22
2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
a)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
'0, ( ;)
() 0, ()
yx
e
d
f
xxI
0
0
0
()
0
() 0
20
ad
ad
I
f
S
c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng ( ; )
[;]
;
() ( ), ( ; )
;
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
20
b)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
'0, (; )
() 0, ()
yx
e
d
f
xxI
0
0
0
()
0
() 0
20
ad
ad
II
f
S
TH2:
Nếu bpt: () 0fx
không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
Khi đó bpt:
() 0fx
trở thành : () 0gt , với:
22
() 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
(;)
() 0, 0( )
e
d
gt t ii
0
0
0
()
0
0
0
a
a
ii
S
P
c) Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
'0, (;)
(; )
() 0, (; )( )
yx
e
d
f
xx III
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )
() 0, 0( )
e
d
gt t iii
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
21
(III)
0
0
0
() 0
20
() 0
20
0
0
() 0
() 0
ad
ad
f
S
f
S
ad
f
f
0
0
0
()
0
0
0
a
a
iii
S
P
*Ví dụ 4: Cho hàm số:
22
23
(2).
2
xmxm
y
mx
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
(;1)
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
22
22
4()
'.
(2) (2)
xmxm fx
y
x
mxm
a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)
'0, ( ;1)
21
() 0, 1()
yx
m
f
xxI
'0
'0
()
(1) 0
2.1 0
I
f
S
Txđ : D = R\{2m}
22
22
4()
'.
(2) (2)
xmxm fx
y
x
mxm
Đặt : t = x-1
Khi đó bpt:
() 0fx
trở thành :
22
() 2(1 2 ) 4 1 0gt t mt m m
a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)
'0, ( ;1)
21
() 0, 0 ()
yx
m
gt t i
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
22
2
0
0
410
420
m
m
mm
m
0
23
m
m
Kết luận: Với 23m thì hàm số
(2) nghịch biến trên ( ;1)
'0
'0
()
0
0
i
S
P
2
0
0
420
410
m
m
m
mm
0
23
m
m
Kết luận
: Với 23m thì hàm số (2)
nghịch biến trên ( ;1)
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
'0, (1; )
21
() 0, 1( )
yx
m
f
xxII
'0
'0
()
(1) 0
2.1 0
II
f
S
2
0
0
410
420
m
m
mm
m
23m
Kết luận
: Với 23m thì hàm số
(2) nghịch biến trên (1; )
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
'0, (1; )
21
() 0, 0 ( )
yx
m
gt t ii
'0
'0
()
0
0
ii
S
P
2
0
0
420
410
m
m
m
mm
23m
Kết luận
: Với 23m thì hàm số (2)
nghịch biến trên (1; )
*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
0).
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Có cực trị trong ( ; )
.
b) Có cực trị trong ( ; )
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
xx
.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
23
e) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(;)
() 0fx có nghiệm trong
khoảng ( ; )
.
() 0
'0
() 0
20
af
af
S
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
khi đó :
22
'()3 2(3 )3 2
y
gt at a bt a b c
.
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )
() 0fx
có nghiệm trong khoảng ( ; )
.
() 0gt
có nghiệm: t < 0
0
'0
0
0
P
S
P
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(; )
() 0fx
có nghiệm trong
khoảng
(; )
.
() 0
'0
() 0
20
af
af
S
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )
() 0fx
có nghiệm trong khoảng ( ; )
.
() 0gt
có nghiệm: t > 0
0
'0
0
0
P
S
P
c)Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
.
() 0fx có hai nghiệm x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
() 0af
c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
.
() 0gt
có hai nghiệm t
1
,t
2
thõa mãn :
12
0tt
0P
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
24
d) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
xx
() 0fx
có hai nghiệm x
1
, x
2
thõa mãn :
12
xx
'0
() 0
20
af
S
d) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
xx
.
() 0gt
có hai nghiệm t
1
,t
2
thõa mãn :
12
0tt
'0
0
0
S
P
e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
() 0fx
có hai nghiệm x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
'0
() 0
20
af
S
e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x
() 0gt
có hai nghiệm t
1
,t
2
thõa mãn :
12
0 tt
'0
0
0
S
P
Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các
nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực
. Nhưng với cách làm trên ta đã
đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng
quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương
tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai.
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =
322
1
(1)1
3
x
mx m m x
(1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong
(;1) .
b) Có cực trị trong
(1; )
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
1
x
x
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
1xx
.
e) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
1
x
x
.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
25
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
y’ = f(x) =
22
21xmxmm
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(;1)
() 0fx có nghiệm trong
khoảng ( ;1)
.
(1) 0
'0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
2
2
320
10
320
220
mm
m
mm
m
12m
Kết luận
: Với 12mthì hàm
số(1) có cực trị trong khoảng
(;1)
Txđ: D = R
y’ = f(x) =
22
21xmxmm
Đặt
11tx xt
ta được :
22
'() 21 32ygtt mtm m
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1)
() 0fx
có nghiệm trong khoảng ( ;1) .
() 0gt
có nghiệm: t < 0
0
'0
0
0
P
S
P
2
2
320
10
220
320
mm
m
m
mm
12m
Kết luận
: Với 12m
thì hàm số(1) có cực trị
trong khoảng ( ;1)
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(1; )
() 0fx có nghiệm trong
khoảng
(1; )
.
(1) 0
'0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
2
2
320
10
320
220
mm
m
mm
m
1 m
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )
() 0fx
có nghiệm trong khoảng (1; )
.
() 0gt
có nghiệm: t > 0
0
'0
0
0
P
S
P
2
2
320
10
220
320
mm
m
m
mm
1 m
Kết luận
:Với 1m thì hàm số(1) có cực trị
trong khoảng
(1; )
