SKKN toán 9: Phương pháp tứ giác nội tiếp

Mục lục
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề
2
I. Lý do chọn đề tài
2
1. Cơ sở lý luận
2
2. Cơ sở thực tiễn
2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ đề tài 3
IV. Giới hạn đề tài 3
B. Giải quyết vấn đề
4
I. Phơng pháp nghiên cứu 4
II. Nội dung cụ thể 5
1. Kiến thức cơ bản 5
2. Bài tập minh hoạ 6
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
6
Phơng pháp 1 6
Phơng pháp 2 7
Phơng pháp 3 7
Phơng pháp 4 8
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội
tiếp
10
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. 10
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định. 11
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng. 13

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
15
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình. 16
III. Kết quả thu đợc 18
IV. Bài học kinh nghiệm 18
C. Kết luận
20
- 1 -
A - Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận
Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học
tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành
quá trình tự giáo dục. Nh vậy, học sinh có thể phát huy đợc năng lực sáng
tạo, t duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt đợc các vấn đề của đời sống xã hội.
Một trong những phơng pháp để giúp học sinh đạt đợc điều đó đối với
môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị
kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm đợc nh vậy có
nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức.
2. Cơ sở thực tiễn
Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đờng tròn thì chuyên
đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò
là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em
mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đờng tròn là nh thế nào, còn
ít biết vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ?
Ta biết rằng có nhiều phơng pháp để chứng minh một tứ giác là nội
tiếp đờng tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đờng tròn thì suy ra đợc góc
trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các
Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đờng tròn để tìm ra những cặp

góc bằng nhau. Với phơng pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải
một số bài toán hay và khó .
Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: Phơng
pháp tứ giác nội tiếp
II.Mục đích nghiên cứu
- 2 -
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phơng
pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phơng pháp tứ giác nội
tiếp để giải một số bài toán hay và khó nh sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình.
Nh vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu,
đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức Tứ giác nội tiếp trong một
đờng tròn.
III. Nhiệm vụ của đề tài
+ Đa ra các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa.
+ Đa ra các loại bài tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp hay và
khó có bài tập minh họa.
IV. Giới hạn đề tài
Đề tài này đợc gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn
Hình Học lớp 9.
- 3 -
B Giải quyết vấn đề
I Ph ơng pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phơng pháp cơ bản sau:
1. Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có đợc với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử

dụng các tài liệu nh:
- Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II)
- Sách bài tập Toán 9 (tập II)
- Tóan nâng cao Hình học 9 NXB Thành phố Hồ Chí Minh
- Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 NXB Giáo dục.
- Các bài tóan hay và khó về đờng tròn NXB Đà Nẵng.
2. Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A Trờng THCS Đại
Đồng và bồi dỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trờng.
3. Phơng pháp đánh giá.
Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh
giá mức độ nhận thức và suy luận của các em.
- 4 -
II Nội dung cụ thể
1 Kiến thức cơ bản
1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp
* Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn
đỉnh nằm trên đờng tròn đó.
* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và
(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
O
C
B
D
A
Hình 1
1.2.Định lý.
* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
.

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
thì tứ giác đó
nội tiếp đợc một đờng tròn.
1.3. Một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó
là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một
góc

.
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình.
- 5 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn A + C = 180
0
hoặc B + D = 180
0
2 - Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn.
Ph ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, 2 đờng cao BB,
CC. Chứng minh tứ giác BCBC nội
tiếp.
O
C'
B'
B
C
A
Chứng minh:
Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét BBC có : BBC = 90
0
(GT)
OB là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền
OB = OB = OC = r
(1)
Xét BCC có : BCC = 90
0
(GT)
Tơng tự trên OC = OB = OC = r
(2)
Từ (1) và (2) B, C, B, C (O; r)
BCBC nội tiếp đờng tròn.
Cách 2: Ta có: BB AC (GT) BBC = 90
0
.
CC AB (GT) BCC = 90
0
.

B, C cùng nhìn cạnh BC dới một góc vuông
B, C nằm trên đờng tròn đờng kính BC
Hay BCBC nội tiếp đờng tròn đờng kính BC.
- 6 -
Ph ơng pháp 2 : Dựa vào định lý
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đờng cao BB, CC.
a/ Chứng minh tứ giác BCBC nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt BC ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC nội tiếp.
I
O
C'
B'
B
A
C
D
Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
b/ Từ câu a C + BCB = 180
0
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : C = D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
D + BCI = 180
0
BDIC nội tiếp đờng tròn.
Ph ơng pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc

Bài toán 3:

Cho ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên
tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia
đối của tia CA lấy điểm N sao cho
AM=CN.
Chứng minh AMNO nội tiếp.
B
1
1
O
2
C
M
N
A
Chứng minh:
Ta có: ABC cân ở A và O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC
- 7 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn A + C = 180
0

hoặc B + D = 180
0
A
1
= A
2
AOC cân tại O (vì OA = OC)
A

2
= C
1
nên A
1
= A
2
= C
1

Mà A
1
+ OAM = 180
0
và C
1
+ OCN= 180
0
.
AOM = OCN
Xét OAM và OCN có : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN
OAM = OCN (c.g.c)
AMO = CNO hay AMO = ANO
AMNO nội tiếp đờng tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA
dới cùng một góc).
Ph ơng pháp 4 : Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của
đỉnh đối diện.
Bài toán 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),
M là điểm chính giữa của cung AB.

Nối M với D, M với C cắt AB lần lợt ở
E và P.
Chứng minh tứ giác PEDC nội
tiếp đợc đờng tròn.
A
E
P
C
O
B
D
M
Chứng minh:
Ta có : MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
ã
ằ
ẳ
đ(AD )
MEP
2
s MB+
=
M
ã
ẳ
=
đDM
2
s
DCP

(góc nội tiếp)
Hay
ã
ằ
ẳ
+
=
đ(AD )
2
s MA
DCP
Lại có :
ẳ
ẳ
=AM MB
Nên :
ã
MEP
=
ã
DCP
Nghĩa là: PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy PEDC nội tiếp đợc đờng tròn.
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
- 8 -
Cho hình vẽ:
Biết AC BD tại O, OE AB
tại E; OF BC tại F; OG DC tại
G; OH AD tại H.
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp

trong hình vẽ bên.
F
H
E
G
O
A
C
B
D
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện
AEFC; AHGC; BEHD; BFGD
Thật vậy: Xét tứ giác AEFC
Ta có: EAC = EOB (cùng phụ với ABO)
BFE = EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
EAC = BFE.
Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tơng tự.
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180
0
Thật vậy: Ta có : OEH = OAH ( vì cùng chắn cung OH)
OAH = HOD (vì cùng phụ với AOH)
HOD = HGD ( vì cùng chắn cung HD)
OEH =HGD
Chứng minh tơng tự ta đợc : OEF = FGC
Từ đó : OEH + OEF =HGD + FGC
FEH =HGD + FGC

Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 180
0
FEH + HGF = 180
0
( điều phải chứng minh)
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng ph ơng pháp tứ giác nội tiếp .
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ ờng tròn .
- 9 -
a. Phơng pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đờng
tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đờng tròn. Hai đờng
tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đờng
tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên
một đờng tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đờng tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong một
tam giác bất kì, ba trung điểm của
các cạnh, ba chân của các đờng
cao, ba trung điểm của các đoạn
thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở
trên một đờng tròn.
l
O
N
P
M
H
L
K

I
D
F
E
B
C
A
Chứng minh:
Ta có: ME là đờng trung bình của AHC
ND là đờng trung bình của BHC
ME = ND = HC/2
tứ giác MNDE là hình bình hành (1)
Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đờng trung bình của HAB)
Mà CH AB (GT)
ME MN (2)
Từ (1) và (2) Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tơng tự ta đợc hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
Vì MID = 90
0
I (O; OM)
- 10 -
Vì FLP = 90
0
; NKE = 90
0
L; K (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L (O; OM)
(Điều phải chứng minh)

c.Bài tập:
1. Cho hình bình hành ABCD có A nhọn. Đờng tròn tâm A bán kính AB
cắt đờng thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đờng tròn tâm C bán kính CB cắt đờng thẳng
AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đờng tròn.
2. Cho hai đờng tròn (O) và (O) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và AB, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A, C, E (O); B,
B, D, F (O)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và
AB. H là giao điểm của MN là OO. Chứng minh rằng:
a. MN OO
b. năm điểm O, B, M, H, F cùng thuộc một đờng tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đờng tròn
Bài tóan 2. Chứng minh đ ờng tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phơng pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đờng tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đờng tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đờng tròn (ABC) sau đó ta đi chứng
minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1:
- 11 -
Cho đờng tròn tâm O đờng kính
AB, điểm C cố định trên đờng
kính ấy (C khác O). Điểm M
chuyển động trên đờng tròn. Đ-
ờng vuông góc với AB tại C cắt
MA, MB theo thứ tự ở E và F.
Chứng minh rằng đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi

qua một điểm cố định khác A.
2
1
K
F
E
A
O
B
C
M
Chứng minh:
Gọi K là giao điểm của đờng tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB.
Nối K với F
Ta có F
1
= A ( cùng bằng nửa số đo cung KE)
F
2
= A ( cùng phụ với MBA)
F
1
= F
2

K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định
Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.
Ví dụ 2:
Từ một điểm A ở ngoài

đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đờng tròn.
Lấy điểm D nằm giữa B và
C. Qua D vẽ một đờng thẳng
vuông góc với OD cắt AB,
AC lần lợt tại E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đờng
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
F
E
A
O
C
B
D
Chứng minh:
Ta có : EBO = 90
0
(AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
EDO = 90
0
(GT)
- 12 -
hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dới một góc vuông.
EBOD nội tiếp đờng tròn
BEO = BDO (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tơng tự ta có : ODCF nội tiếp đờng tròn
OFC = BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối

diện)
Từ (1) và (2) OFC = BEO
AEOF nội tiếp đờng tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc
ngoài tại đỉnh đối diện)
Vậy đờng tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
c. Bài tập:
1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không
chứa A. Vẽ (O
1
) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O
2
) đi qua I và tiếp
xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đờng tròn (O
1
) và
(O
2
).
a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.
b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao
cho BD = CE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi
qua một điểm cố định khác A.
Bài tóan 3. Chứng minh quan hệ về đại l ợng.
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lợng nh:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (nh hai đoạn thẳng bằng nhau,
đoạn này gấp đôi đoạn kia .) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là
không đổi
* Định lý Ptô - lê mê.
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đờng chéo bằng

tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
- 13 -
Chứng minh:
Ta có : ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E BD sao cho BAC =
EAD
DAE CAB (g. g)

AD DE
AC BC
=
C
O
B
D
A
E
AD. BC = AC. DE (1)
Tơng tự: BAE CAD (g. g)

BE AB
CD AC
=
BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)
c. Bài tập

1.Sử dụng Định lý Ptô - lê mê để chứng minh ( Định lý Các nô)
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đờng tròn ngoại tiếp
một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của
đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác đó.
2. Cho ABC nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đờng thẳng
qua D và song song với BC cắt đờng thẳng AH tại E.
a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
b.Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh:
BAE = OAC và BE = CD.
c. Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh
G là trọng tâm của ABC.
- 14 -
Bài tóan 4. Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
a. Các bớc giải bài toán quỹ tích:
B ớc1 : Chứng minh phần thuận
Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H
+ Giới hạn quỹ tích
B ớc 2: chứng minh phần đảo
Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
B ớc 3: Kết luận
b. Ví dụ 1 :
Cho hình vuông ABCD, tâm O.
Một đờng thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần lợt
tại M và N. Trên CD lấy điểm K
sao cho DK = DM. Gọi H là
hình chiếu của K trên xy. Tìm
quỹ tích điểm H.
2
1

2
1
l
K
H
N
O
B
A
D
C
M
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
CK = CN
Lại có MHKD và NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)
M
1
= H
1
= 45
0
và N
2
= H
2
= 45
0

DHC = 90
0
Vậy H nằm trên đờng tròn đờng kính DC
Giới hạn:
Vì đờng thẳng xy quay quanh O nhng phải cắt hai cạnh AD và BC lần lợt
tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đờng tròn đờng kính CD nằm
trong hình vuông.
Phần đảo:
- 15 -
Lấy điểm H bất kì trên nửa đờng tròn đờng kính CD.
Vẽ đờng thẳng HO cắt AD và BC lần lợt tại M và N.
Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.
Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.
Thật vậy,
Vì DHC =90
0
;
DOC = 90
0
nên HOCD nội tiếp
DHM = DCO = 45
0
Mặt khác DKM = 45
0
nên DHM = DKM
HKDM nội tiếp KHM = 90
0

KH NM

H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đờng tròn đờng kính CD, nửa đờng tròn
này nằm trong hình vuông.
Bài tóan 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng tròn để dựng hình.
a. Ví dụ:
Cho tam giác ABC nhọn (AB <
AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE AB, DF AC.
Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có độ dài lớn nhất.
a
M
O
F
E
B
C
A
D
Chứng minh:
Gọi O là trung điểm của AD
Tứ giác AEDF có : AED + AFD = 90
0
+ 90
0
= 180
0
- 16 -

AEDF nội tiếp (O; OA)
Vẽ OM EF ME = MF
Đặt BAC = a
Ta có : EOM = EOF: 2 = BAC = a
Xét MOE có OME = 90
0
.
EM = OE. sin a
EF = 2 OE. sin a
EF = AD. sin a (*) ( vì AD = 2OE)
a/ Do a không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất AD
BC D là hình chiếu của A trên BC.
b/ Vì D BC và AB < AC nên AD AC
Từ (*) EF lớn nhất AD lớn nhất
D trùng với C.
b. Bài tập:
1. Cho ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi M là một điểm trên cung ABC. Vẽ MD
BC; ME AC; MF AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn
nhất.
- 17 -
III Kết quả thu đ ợc
Sau chuyên đề Phơng pháp tứ giác nội tiếp tôi đã tiến hành dạy cho các
đối tợng học sinh, đã thu đợc kết quả nh sau:
1. Đối với đội tuyển học sinh giỏi của trờng THCS Đại Đồng.
Kết quả bài kiểm tra cuối chuyên đề của 5 học sinh.
Phơng : 9 Hoa : 8,5
Tiền : 8,5 Huyền : 6
Đức : 7
2. Đối với học sinh lớp 9A.
Sĩ số : 42 Số lợng bài làm : 42

Điểm 9 - 10 : 11 Điểm 7 - 8 : 21
Điểm 5 6 : 9 Điểm 1 4 : 1
IV bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi
có lấy ý kiến của học sinh. Thấy đợc:
+ Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp.
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đa ra và yêu cầu học sinh dựa vào
cách học nh vậy tự nghiên cứu trớc ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ
hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Nh vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức
bằng cách tự học.
- 18 -
C. Kết luận
Trên đây là một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
đồng thời sử dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán
hay và khó. Do kinh nghiệm của mình qua thực tế giảng dạy còn ít nên sáng
kiến kinh nghiệm của tôi chắc sẽ còn nhiều thiếu xót. Rất mong nhận đợc
những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp giúp tôi sửa chữa và bổ sung đ-
ợc đầy đủ và tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
- 19 -