Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp : Khóa luận tốt nghiệp toán học

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG
BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN
QUA MA TRẬN PHỤ HỢP
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP
Ngành học : Toán học
Cán bộ hướng dẫn: TS. CAO HUY LINH
Huế, Khóa học 2007 - 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn
TS. Cao Huy Linh. Thầy đã luôn động viên và hướng dẫn nhiệt tình,
chu đáo trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Huế, đặc biệt là những
Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp Toán B, khóa học 2007 - 2011.
Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy và các bạn trong
nhóm Seminar Đại số tuyến tính, đã giúp tôi có cơ hội thảo luận và
trình bày về một số vấn đề trong khóa luận của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia
đình và bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian
vừa qua.
Huế, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Hương
ii
MỤC LỤC

Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii
MỤC LỤC 1
LỜI MỞ ĐẦU 2
1 NGHỊCH ĐẢO DRAZIN 4
1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Chỉ số của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nghịch đảo nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP 22
2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận phụ hợp . . . . . . . 25
2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong trường hợp
tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Quy tắc Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
1
LỜI MỞ ĐẦU
Một ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi hạng của A bằng cấp của nó.
Nhằm mở rộng khái niệm nghịch đảo thông thường, Drazin [9] đã đưa ra định nghĩa
nghịch đảo suy rộng cho ma trận vuông bất kỳ mà ngày nay được gọi là nghịch
đảo Drazin. Nghịch đảo Drazin, A
D
, của ma trận vuông A cấp n trên trường F là
ma trận X thỏa mãn các tính chất A
k

AX = A
k
, XAX = X, AX = XA với k là
chỉ số của ma trận A. Với định nghĩa này thì nghịch đảo Drazin của ma trận A
luôn luôn tồn tại duy nhất.
Lý thuyết nghịch đảo Drazin có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
như phương trình vi phân, lý thuyết đồ thị, giải tích hàm, lý thuyết mật mã, lý
thuyết điều khiển, Vì vậy mà ngay từ khi mới ra đời nó đã thu hút sự quan tâm
của rất nhiều nhà toán học trên thế giới.
Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được biểu diễn
qua ma trận phụ hợp
A
−1
=
1
det(A)
(

A).
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là có hay không một biểu diễn tương tự như thế
đối với nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ? Hay nói một cách khác
liệu có tồn tại một biểu diễn của nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp? Mục đích
chính của khóa luận là tìm câu trả lời cho câu hỏi trên.
Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Bapat,
Bhaskara, Manjunatha [4], Ben-Israel [5], Cambpbell, Meyer [7] và Ji [11]. Trong
trường hợp rank(A) = rank(A
2
) = 1, Nguyễn Tý [3] đã cho một công thức biểu
diễn nghịch đảo Drazin
A

D
=
1
(T r(A))
2
A.
Trường hợp này nghịch đảo Drazin chính là nghịch đảo nhóm của ma trận. Đây là
kết quả khá đẹp đạt được trong khóa luận của mình. Tuy nhiên, tác giả vẫn chưa
thấy được mối liên hệ của biểu diễn này với ma trận phụ hợp và công thức này
không thể mở rộng cho trường hợp tổng quát. Năm 2010, Kyrchei [12] đã biểu diễn
thành công nghịch đảo Drazin của ma trận A qua ma trận phụ hợp trong trường
hợp tổng quát. Trong công thức của Kyrchei, khái niệm ma trận phụ hợp đã được
mở rộng, nó phụ thuộc vào chỉ số và hạng của ma trận. Trong trường hợp A khả
nghịch (ind(A) = 0 và rank(A) = n) thì khái niệm ma trận phụ hợp trong kết quả
của Kyrchei lại trùng với ma trận phụ hợp cổ điển.
2
Kết quả đạt được của khóa luận là tổng quan lại một cách hệ thống các
khái niệm, tính chất cơ bản liên quan đến nghịch đảo Drazin và trình bày lại
một cách chi tiết về biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong bài
báo của Kyrchei: "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and
corresponding Cramer rules, arXiv:1004.4761v1[math. RA] 2010".
Khóa luận được chia làm hai chương. Mục đích chính của Chương 1 là trình bày
định nghĩa và một số tính chất của nghịch đảo Drazin. Phần này đã được trình bày
khá kỹ trong khóa luận của Nguyễn Tý (2010), vì vậy chúng tôi chỉ trình bày lại
và bổ sung thêm một số tính chất. Các tính chất đã có trong khóa luận Nguyễn Tý
chúng tôi không trình bày chứng minh, một số tính chất bổ sung được tổng quan
từ một số tài liệu liên quan được trình bày phần chứng minh cụ thể. Chúng tôi
cũng đã đưa nhiều ví dụ minh họa để độc giả thấy rõ ràng hơn. Một số ví dụ được
trình bày nhờ sự trợ giúp của phần mềm Maple. Mục đích chính của Chương 2 là
cho một biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. Chúng tôi sẽ trình bày

lại một cách chi tiết các kết quả trong bài báo "Analogues of the adjoint matrix for
generalized inverses and corresponding Cramer rules" của Kyrchei (2010). Trước
hết chúng tôi sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợp
trong các trường hợp đặc biệt, tức là trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặc
bằng 1. Sau đó mới đề cập đến trường hợp tổng quát hơn với ma trận vuông bất
kỳ. Một ứng dụng của công thức biểu diễn này là quy tắc Cramer cho hệ phương
trình tuyến tính qua nghịch đảo suy rộng cũng sẽ được trình bày trong chương
này.
Vì thời gian có hạn và với tầm của một sinh viên chắc chắn sẽ còn nhiều hạn
chế và sai sót. Rất mong nhận được những sự góp ý từ Thầy Cô và các bạn.
3
Chương 1
NGHỊCH ĐẢO DRAZIN
1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu
1. Chúng ta ký hiệu các vô hướng bởi λ, µ, Ta thường làm việc với các trường
số phức C và số thực R, nói chung ta gọi là trường F. Vectơ được ký hiệu bởi
x, y, Ta có thể đồng nhất không gian vectơ n chiều trên trường F với F
n
, một
phần tử của nó có dạng x =




x
1
.
.
.
x

n




, hay x = (x
i
), i = 1 n, x
i
∈ F.
Vectơ đơn vị e
i
thứ i là vectơ có thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phần
khác đều bằng 0.
Tập hợp ε
n
= {e
1
, e
2
, , e
n
} được gọi là cơ sở chính tắc của F
n
.
2. Tổng của hai tập L, M trong C
n
được xác định như sau:
L + M = {y + z|y ∈ L, z ∈ M}.
Nếu L và M là các không gian con của C

n
thì L + M cũng là không gian con của
C
n
. Nếu có thêm điều kiện L ∩ M = {0} thì L + M được gọi là tổng trực tiếp của
L và M, được ký hiệu bởi L ⊕ M. Hai không gian con L và M của C
n
được gọi là
bù nhau nếu
C
n
= L ⊕ M.
Trong trường hợp này, mỗi vectơ x ∈ C
n
được biểu diễn duy nhất dưới dạng
x = y + z, y ∈ L, z ∈ M.
Ta gọi y là ảnh của phép chiếu x lên L.
4
3. Tập hợp các ma trận cấp m × n trên C được ký hiệu là C
m×n
. Một ma trận
A ∈ C
m×n
với m = n được gọi là ma trận vuông.
Cho ma trận A = (a
ij
)
m,n
∈ C
m×n

. Ma trận A được gọi là ma trận chéo nếu
a
ij
= 0 với mọi i = j. Đường chéo của ma trận A cấp m × n được ký hiệu là
A = diag(a
11
, a
22
, , a
pp
) trong đó p = min{m, n}.
Cho ma trận A = (a
ij
) ∈ C
m×n
+ Ma trận chuyển vị của nó ký hiệu là A
T
∈ C
n×m
.
+ Ma trận liên hợp của nó ký hiệu là A
∗
= (a
∗
ji
) ∈ C
n×m
với a
∗
ji

=
a
ij
với mọi
i = 1, , m và j = 1, , n.
Một ma trận vuông A được gọi là
- Hermit nếu A = A
∗
. Đặc biệt, A là ma trận thực thì A là Hermit nếu A = A
T
.
- Chuẩn nếu AA
∗
= A
∗
A.
- Trực giao nếu A
∗
= A
−1
. Đặc biệt, A là ma trận thực thì A trực giao nếu
A
T
= A
−1
.
4. Cho hai không gian vectơ U, V trên C có số chiều lần lượt là n và m. Ký hiệu
L(U, V) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V. Ta đã biết rằng L(U, V) là
C− không gian vectơ đẳng cấu với không gian C
m×n

. Do đó với ma trận A ∈ C
m×n
,
ta có thể đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính
A : C
n
−→ C
m
,
với Im(A) = {y ∈ C
m
: y = Ax, ∀x ∈ C
n
} được ký hiệu là R(A)
và Ker(A) = {x ∈ C
n
: Ax = 0} ký hiệu là N(A).
5. Cho A ∈ C
n×n
và λ ∈ C. Nếu trong C
n
tồn tại x = 0 sao cho Ax = λx thì
ta nói λ là một giá trị riêng của A. Khi đó, vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với
giá trị riêng λ. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A và
được ký hiệu là λ(A). Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập hợp
{x ∈ C
n
: Ax = λx}
là một không gian con của C
n

và được gọi là không gian con riêng của A ứng với
λ.
6. Một ma trận vuông A trên C được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma
trận khả nghịch C sao cho B = C
−1
AC có dạng chéo.
5
Nếu xem A là một tự đồng cấu tuyến tính trên C
n
thì có thể nói A chéo hóa
được nếu tồn tại một cơ sở S của C
n
sao cho ma trận của tự đồng cấu A đối với
cơ sở S có dạng chéo.
7. Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa Jordan được nếu tồn tại một ma
trận khả nghịch P sao cho
J = P
−1
AP =







J
1
J
2

.
.
.
J
k







,
trong đó J
i
là các ma trận vuông có dạng
J
i
=










λ

i
1 0 0
0 λ
i
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.

λ
i
1
0 · · · · · · 0 λ
i










.
Mỗi ma trận con J
i
ở trên được gọi là một khối Jordan ứng với giá trị riêng λ
i
.
Ma trận J trong định nghĩa được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của A, hay còn
gọi là dạng chuẩn tắc Jordan của A. Rõ ràng một ma trận A chéo hóa được thì ma
trận chéo đồng dạng với A là một trường hợp đặc biệt của biểu diễn dạng chuẩn
tắc Jordan của A. Người ta có thể chứng minh được rằng mọi ma trận vuông trên
C đều có thể chéo hóa Jordan được.
8. Cho A ∈ C
m×n
, ta xem A là một ánh xạ tuyến tính A : C
n

−→ C
m
.
- A là đơn cấu khi và chỉ khi rank(A) = n.
- A là toàn cấu khi và chỉ khi rank(A) = m.
Trường hợp rank(A) = n thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo cột. Nếu
rank(A) = m thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo dòng.
Gọi P : C
n
−→ C
n
/ Ker(A) là phép chiếu chính tắc. Lúc đó theo định
lý về nhân tử hóa ánh xạ tuyến tính, tồn tại duy nhất đơn cấu tuyến tính
Q : C
n
/ Ker(A) −→ C
m
sao cho A = QP . Do P là toàn cấu nên có thể xem
P là ma trận đầy đủ hạng theo dòng và Q là đơn cấu nên có thể xem Q là ma trận
đầy đủ hạng theo cột. Như vậy với mỗi ma trận A ∈ C
m×n
, luôn luôn tồn tại duy
nhất một cách phân tích thành nhân tử A = QP . Lúc đó, ta nói A được phân tích
6
thành nhân tử hóa đầy đủ hạng P và Q.
9. Chuẩn của ma trận A ∈ C
m×n
, ký hiệu A là một hàm: C
m×n
−→ R thỏa

mãn các điều kiện sau:
A ≥ 0, A = 0 ⇔ A = 0 ,
αA = |α|A,
A + B ≤ A + B,
với mọi A, B ∈ C
m×n
, α ∈ C.
Nếu thỏa mãn thêm điều kiện AB ≤ AB thì  được gọi là chuẩn nhân.
Sau đây là một số mệnh đề và bổ đề mà chúng ta sẽ sử dụng đến trong các
phần sau.
Giả sử L là không gian con bù của M trong C
n
, tức là C
n
= L ⊕ M và
A ∈ C
n×n
. Ta có thể xem A là tự đồng cấu tuyến tính trên C
n
. Với mỗi x ∈ C
n
,
tồn tại duy nhất (y, z) ∈ L × M sao cho x = y + z, nếu Ax = y thì ta nói A là
phép chiếu của C
n
lên L. Ta dễ dàng nhận thấy rằng A
2
= A. Một cách tổng quát,
một ma trận vuông A được gọi là ma trận phép chiếu nếu A
2

= A. Một tính chất
mà chúng ta đều biết qua đại số tuyến tính đó là nếu A là ma trận phép chiếu
thì F
n
= R(A) ⊕ N(A). Điều ngược lại của khẳng định trên là không đúng. Mệnh
đề sau đây cho chúng ta biết điều kiện cần và đủ để C
n
là tổng trực tiếp của hai
không gian con R(A) và N(A).
Mệnh đề 1.1.1. ([3, Mệnh đề 1.1.2]) Cho A ∈ C
n×n
. Lúc đó, R(A) và N(A) là
các không gian con bù nhau trong C
n
khi và chỉ khi rank(A) = rank(A
2
).
Bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại một số vấn đề liên quan đến không gian bất biến.
Định nghĩa 1.1.2. ([2, Chương 5, Mục 5.2]) Cho E là một không gian vectơ hữu
hạn sinh trên trường C và ϕ là một toán tử tuyến tính của E. Một không gian con
E

của E được gọi là một không gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E

) ⊆ E

.
Không gian {0} và E đều là những không gian bất biến của ϕ. Người ta gọi
chúng là các không gian bất biến tầm thường của ϕ.
Có thể thấy ngay rằng ker ϕ và Im ϕ cũng là các không gian con bất biến của

ϕ. Nếu ϕ không phải là một tự đẳng cấu thì ker ϕ = {0} sẽ là một không gian bất
biến không tầm thường của ϕ.
7
Bổ đề 1.1.3. ([2, Bổ đề 5.2.1]) Không gian con E

của E là một không gian bất
biến khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E

nằm trong E

.
Bổ đề 1.1.4. ([2, Bổ đề 5.2.2]) Cho E

là một không gian con của E với dim E

=
r. Giả sử S = {x
1
, , x
n
} là một cơ sở của E sao cho R = {x
1
, , x
r
} là một cơ
sở của E

. E

là một không gian bất biến của ϕ khi và chỉ khi ma trận A của ϕ

theo S có dạng
A =

A

B
0 C

với A

là một ma trận vuông cấp r. Khi đó A

là ma trận của ánh xạ thu hẹp ϕ

của ϕ theo R.
Bổ đề 1.1.5. Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định. Ta luôn có
rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}.
Chứng minh. Giả sử A ∈ C
m×n
và B ∈ C
n×p
thì AB ∈ C
m×p
. Với mọi x ∈ C
p
,
Bx = 0. Suy ra ABx = 0. Do đó N(B) ⊂ N(AB), nên dim(B) ≤ dim(AB). Điều
này dẫn đến p − rank(B) ≤ p − rank(AB). Suy ra rank(AB) ≤ rank(B). Tương
tự ta có rank(B
T

A
T
) ≤ rank(A
T
). Nhưng vì rank A
T
= rank A nên ta suy ra
rank(AB) ≤ rank(A). Vậy rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}.
Định nghĩa 1.1.6. Cho A ∈ C
n×n
và 1 ≤ i
1
< < i
r
≤ n (r = 1, , n) là
một dãy số tùy ý. Lúc đó ma trận gồm các phần tử nằm trên các dòng và các cột
i
1
, , i
r
của A được gọi là ma trận con chính cấp r của A và định thức của ma
trận đó được gọi là định thức con chính cấp r của A.
Nhận xét 1.1.7. Giả sử d
r
là tổng các định thức con chính cấp r của A ∈ C
n×n
.
Lúc đó đa thức đặc trưng p
A
(t) của ma trận A có thể biểu diễn như sau:

p
A
(t) = det(tI − A) = t
n
− d
1
t
n−1
+ d
2
t
n−2
− · · · + (−1)
n
d
n
.
1.2 Chỉ số của ma trận
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên C. Ta luôn có
R(A
0
) ⊃ R(A) ⊃ · · · ⊃ R(A
k−1
) ⊃ R(A
k
) = R(A
k+1
) = R(A
k+2
) = · · ·

và
N(A
0
) ⊂ N(A) ⊂ · · · ⊂ N(A
k−1
) ⊂ N(A
k
) = N(A
k+1
) = N(A
k+2
) = · · ·
8
Từ dãy thứ nhất ta suy ra rằng
rank(A
0
) ≥ rank(A) ≥ · · · ≥ rank(A
k
) = rank(A
k+1
) = rank(A
k+2
) = · · ·
Như vậy sẽ luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho rank(A
m
) = rank(A
k
), với mọi
m ≥ k. Từ nhận xét trên ta đi đến định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên C. Số nguyên không âm

nhỏ nhất k sao cho rank(A
k
) = rank(A
k+1
) được gọi là chỉ số của ma trận A, ký
hiệu là ind(A).
Từ định nghĩa trên ta dễ thấy được rằng ma trận 0 có chỉ số là 1.
Ta có một số tính chất đơn giản sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.2.2. ([3, Mệnh đề 2.2.2]) Cho A là ma trận vuông cấp n và k =
ind(A). Khi đó,
(1) 0 ≤ k ≤ n.
(2) k = 0 khi và chỉ khi A không suy biến.
(3) Nếu A là ma trận phép chiếu và A suy biến thì ind(A) = 1.
(4) R(A
l
) = R(A
k
) và N(A
l
) = N(A
k
) với mọi l ≥ k.
Ta đã biết rằng k = ind(A) = 1, tức là rank(A) = rank(A
2
) khi và chỉ khi
C
n
= R(A) ⊕ N(A). Trong trường hợp tổng quát thì ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2.3. ([3, Mệnh đề 2.2.3]) Giả sử A là ma trận vuông cấp n và k =
ind(A). Khi đó, C

n
= R(A
l
) ⊕ N(A
l
) khi và chỉ khi l ≥ k.
1.3 Nghịch đảo nhóm
Định nghĩa 1.3.1. Cho A ∈ C
n×n
. Nếu ma trận X ∈ C
n×n
thỏa mãn
AXA = A, (1)
XAX = X, (2)
AX = XA. (3)
thì X được gọi là nghịch đảo nhóm của A và được ký hiệu là A
#
.
Từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng
- Nếu A khả nghịch thì A
#
= A
−1
.
- Nếu A là ma trận phép chiếu thì A
#
= A.
9
Không phải mọi ma trận vuông A đều tồn tại nghịch đảo nhóm. Chẳng hạn
ta xét ma trận sau đây:

A =




1 0 0
0 0 1
0 0 0




.
Ta có rank(A) = 2 và rank(A
2
) = rank(A
3
) = 1. Do đó ind(A) = 2. Giả sử A có
nghịch đảo nhóm là X =




x
11
x
12
x
13
x

21
x
22
x
23
x
31
x
32
x
33




. Lúc đó X phải thỏa mãn 3 điều kiện
(1), (2), (3).
Ta có AXA =




x
11
0 x
12
x
31
0 x
32

0 0 0




. Từ (1) ta suy ra

















x
11
= 1
x
12
= 0
x

31
= 0
x
32
= 1
. (*)
Ta lại có AX =




x
11
x
12
x
13
x
31
x
32
x
33
0 0 0




và XA =





x
11
0 x
12
x
21
0 x
22
x
31
0 x
32




.
Từ (3) ta suy ra



x
12
= x
13
= x
21

= x
31
= x
32
= 0
x
33
= x
22
(∗∗)
Rõ ràng có sự mâu thuẫn giữa (*) và (**). Vậy không thể tồn tại ma trận X
nào đồng thời thỏa mãn cả 3 điều kiện (1), (2), (3) ở trên. Tức là A không tồn tại
nghịch đảo nhóm. Vậy thì khi nào nghịch đảo nhóm của một ma trận vuông A bất
kỳ sẽ tồn tại? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời.
Định lý 1.3.2. Một ma trận vuông A có nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi ind(A) ≤
1, tức là rank(A) = rank(A
2
). Hơn nữa nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó là duy
nhất.
Chứng minh. Nếu A là ma trận khả nghịch thì định lý hiển nhiên đúng. Ta xét
trường hợp A là ma trận suy biến. Ta đã biết nghịch đảo của ma trận A tồn tại
khi và chỉ khi C
n
= R(A) ⊕ N(A). Điều này lại tương đương với chỉ số của ma
trận A bằng 1.
Ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghịch đảo nhóm.
Giả sử X, Y là nghịch đảo nhóm của ma trận A.
Ta có
AX = AY AX = Y AXA = Y A.
10

Như vậy
AX = XA = AY = Y A.
Do đó
X = XAX = Y AX = Y AY = Y.
Mệnh đề 1.3.3. ([3, Mệnh đề 2.3.3]) Cho A ∈ C
n×n
và A tồn tại nghịch đảo
nhóm. Khi đó,
(1) (A
#
)
#
= A;
(2) (A
∗
)
#
= (A
#
)
∗
;
(3) (A
T
)
#
= (A
#
)
T

;
(4) (A
l
)
#
= (A
#
)
l
với mọi số nguyên dương l.
Các độc giả có thể xem phần chứng minh của mệnh đề này trong tài liệu tham
khảo [3].
Định lý 1.3.4. Cho A là ma trận vuông và A có sự phân tích đầy đủ hạng là F
và G,
A = F G.
Khi đó, A có nghịch đảo nhóm nếu và chỉ nếu GF là không suy biến, trong trường
hợp này ta có công thức
A
#
= F(GF )
−2
G.
Chứng minh. Giả sử rank(A) = r. Khi đó GF ∈ C
r×r
. Ta có
A
2
= FGF G
và
rank(A

2
) = rank(GF ).
Nếu GF không suy biến thì rank(GF ) = r. Do đó rank(A) = rank(A
2
). Điều
này lại tương đương với A có nghịch đảo nhóm. Bằng cách kiểm chứng trực tiếp
các điều kiện (1), (2), (3) với ma trận A = FG và ma trận X = F (GF )
−2
G thì ta
được các đẳng thức đúng. Vậy ta đã chứng minh xong định lý.
Định lý 1.3.5. Cho A ∈ C
n×n
. Lúc đó A có chỉ số bằng 1 khi và chỉ khi giới hạn
lim
λ→0
(λI
n
+ A)
−1
A tồn tại.
Ngoài ra
lim
λ→0
(λI
n
+ A)
−1
A = AA
#
.

11
Chứng minh. Giả sử rank(A) = r và A có sự phân tích đầy đủ hạng là A = FG.
Lúc đó ta luôn có đẳng thức
(λI
n
+ A)
−1
A = F (λI
r
+ GF )
−1
G.
Do đó sự tồn tại của lim
λ→0
(λI
n
+ A)
−1
A tương đương với sự tồn tại của
lim
λ→0
(λI
r
+ GF )
−1
. Điều này lại tương đương với GF là không suy biến. Theo Định
lý 1.3.4 thì tương đương với A có chỉ số 1.
Ta lại có
lim
λ→0

(λI
n
+ A)
−1
A = lim
λ→0
F (λI
r
+ GF )
−1
G
= F(GF )
−1
G = F GF(GF )
−2
G = AA
#
.
Định lý đã được chứng minh xong.
1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin
Chúng ta đã biết một ma trận vuông A tồn tại nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi
ind(A) ≤ 1. Trong trường hợp tổng quát, tức là với ind(A) = k bất kỳ, người ta
đã tìm cách mở rộng khái niệm nghịch đảo của ma trận. Năm 1958, nhà toán học
Drazin đã mở rộng khái niệm nghịch đảo cho ma trận bất kỳ. Ông ta gọi là nghịch
đảo suy rộng mà sau đó người ta gọi là nghịch đảo Drazin.
Định nghĩa 1.4.1. Cho A ∈ C
n×n
và ind(A) = k. Nếu ma trận X ∈ C
n×n
thỏa

mãn
A
k
XA = A
k
, (4)
XAX = X, (5)
AX = XA. (6)
thì X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là A
D
.
Ví dụ 1. Nghịch đảo nhóm là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin khi
k ≤ 1.
Ví dụ 2. Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận 0.
Ví dụ 3. Ta xét lại ma trận A =




1 0 0
0 0 1
0 0 0




với ind(A) = 2. Ta đã chứng minh
được A không tồn tại nghịch đảo nhóm nhưng ta kiểm chứng được rằng ma trận
12
X =





1 0 0
0 0 0
0 0 0




là nghịch đảo Drazin của A bằng cách thử trực tiếp các điều kiện
(4), (5), (6).
Như vậy một ma trận vuông bất kỳ có thể không tồn tại nghịch đảo nhóm
nhưng nghịch đảo Drazin của nó thì luôn luôn tồn tại. Điều này sẽ được khẳng
định bằng định lý sau đây.
Định lý 1.4.2. Cho A ∈ C
n×n
và ind(A) = k. Khi đó nghịch đảo Drazin của A
luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Vì A là một ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biến
đổi tuyến tính.
Ta có AR(A
k
) = R(A
k+1
) = R(A
k
). Do đó A
|R(A

k
)
là một đẳng cấu nên
A
|R(A
k
)
khả nghịch.
Bây giờ ta cho X ∈ C
n×n
được định nghĩa như sau:
Xu =



A
−1
|R(A
k
)
u nếu u ∈ R(A
k
),
0 nếu u ∈ N(A
k
).
Từ đây ta suy ra
Với u ∈ R(A
k
), ta có AXu = XAu = u và XAXu = Xu.

Với u ∈ N(A
k
), ta có AXu = A0 = 0. Đồng thời do u ∈ N(A
k
) nên Au ∈ N(A
k
).
Suy ra XAu = 0. Vậy X thỏa mãn điều kiện (5),(6).
Mặt khác, với mọi x ∈ C
n×n
thì sẽ tồn tại u ∈ R(A
k
) và v ∈ N(A
k
) sao cho
x = u + v. Ta có AXx = AX(u +v) = AX(u) = u. Suy ra A
k
XAx = A
k
u = A
k
x.
Vậy X thỏa mãn điều kiện (4).
Tóm lại X là nghịch đảo Drazin của A. Như vậy nghịch đảo Drazin của một
ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại. Bây giờ ta chứng minh sự duy nhất của
nghịch đảo Drazin.
Giả sử X và Y là nghịch đảo Drazin của ma trận A, lúc đó ta có
AX = AXAX = AXAXAX =
Suy ra AX là ma trận lũy đẳng, tức là AX = A
m

X
m
với m là số nguyên dương.
Do đó
XA = X
k
A
k
= X
k
A
k
Y A = XAY A = AXAY = AY.
13
Như vậy
XA = AX = AY = Y A.
Suy ra
X = XAX = Y AX = Y AY = Y.
Vậy nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại và duy
nhất.
1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin
Định lý 1.5.1. ([3, Định lý 2.4.5]) (Nghịch đảo Drazin bảo toàn tính đồng dạng
của ma trận)
Cho B là một ma trận vuông. Nếu X là ma trận khả nghịch thì
(XBX
−1
)
D
= XB
D

X
−1
.
Định lý 1.5.2. ([3, Định lý 2.4.6]) Cho A ∈ C
n×n
. Khi đó,
(1) (A
∗
)
D
= (A
D
)
∗
;
(2) (A
T
)
D
= (A
D
)
T
;
(3) (A
l
)
D
= (A
D

)
l
; với l = 1, 2,
(4) (A
D
)
D
= A nếu và chỉ nếu A có chỉ số bằng 1.
Các tính chất trên đã được chứng minh chi tiết trong khóa luận của Nguyễn
Tý (2010). Các độc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [3].
Sau đây chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ cho
việc đi tìm công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp.
Định lý 1.5.3. Cho A ∈ C
n×n
và ind(A) = k > 0. Lúc đó luôn tồn tại một ma
trận P không suy biến sao cho
A = P

C 0
0 N

P
−1
,
trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Đồng thời
A
D
= P

C

−1
0
0 0

P
−1
.
Chứng minh. Vì A là ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biến đổi
tuyến tính. Giả sử E = {e
1
, e
2
, , e
r
, e
r+1
, , e
n
} là cơ sở của C
n
và rank(A
k
) = r.
14
Vì C
n
= R(A
k
) ⊕ N(A
k

) nên S = {e
1
, e
2
, , e
r
} và T = {e
r+1
, , e
n
} lần lượt là
cơ sở của R(A
k
) và N(A
k
).
Mặt khác R(A
k
) và N(A
k
) là các không gian con bất biến của A và A
k
(N(A
k
)) =
{0} nên theo Bổ đề 1.1.4 thì A sẽ có dạng như trên với C là không suy biến và N
là ma trận luỹ linh bậc k.
Ta cũng dễ dàng kiểm chứng được A
D
= P


C
−1
0
0 0

P
−1
thoả mãn 3 điều
kiện trong định nghĩa nghịch đảo Drazin.
A
k+1
A
D
= A
k
,
A
D
AA
D
= A
D
,
AA
D
= A
D
A.
Vậy ta đã chứng minh xong định lý.

Định lý này đóng một vai trò rất quan trọng, nó sẽ giúp ta chứng minh được
rất nhiều tính chất của nghịch đảo Drazin.
Định nghĩa 1.5.4. Cho A ∈ C
n×n
, lúc đó ta có C
A
= AA
D
A = A
2
A
D
= A
D
A
2
được gọi là nhân của ma trận A.
Một cách trực giác, ta thấy rằng "nhân" của A có nghĩa nó là cơ sở trong cấu
trúc của A. Tức là nếu loại bỏ C
A
từ A thì phần còn lại sẽ không đáng kể. Định
lý sau đây sẽ cho chúng ta thấy điều cảm giác trên là đúng.
Định lý 1.5.5. Cho A ∈ C
n×n
và ind(A) = k thì A − C
A
= N
A
là một ma trận
lũy linh bậc k.

Chứng minh. Nếu ind(A) = 0 thì C
A
= A. Do đó N
A
= 0. Nếu ind(A) ≥ 1 thì ta
có
(N
A
)
k
= (A − AA
D
A)
k
= (A(I − AA
D
))
k
= A
k
(I − AA
D
) = A
k
− A
k
= 0.
Mặt khác A
l
− A

l+1
A
D
= 0 ∀l < k nên k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
(N
A
)
k
= 0. Vậy N
A
là ma trận lũy linh bậc k.
Định nghĩa 1.5.6. Cho A ∈ C
n×n
, ma trận N
A
= A − C
A
= (I − AA
D
)A được
gọi là phần lũy linh của ma trận A.
Định lý 1.5.7. Nếu A ∈ C
n×n
và ind(A) = k thì A sẽ có sự phân tích duy nhất
thành A = C
A
+ N
A
sao cho ind(C
A

) ≤ 1, N
A
là ma trận lũy linh bậc k và
N
A
C
A
= C
A
N
A
= 0.
15
Chứng minh. Giả sử A được viết dưới dạng
A = P

C 0
0 N

P
−1
,
trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Lúc đó ta
dễ dàng thấy rằng C
A
= P

C 0
0 0


P
−1
và N
A
= P

0 0
0 N

P
−1
. Đồng thời C
A
và
N
A
thỏa mãn các điều kiện của định lý trên.
Ta chứng minh sự phân tích trên là duy nhất.
Giả sử A có một sự phân tích khác thành A = X + Y sao cho XY = Y X = 0,
ind(X) ≤ 1 và Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A).
Nếu ind(X) = 0 thì Y = 0 và A = X là ma trận khả nghịch.
Nếu ind(X) = 1 thì sẽ tồn tại P, X
1
là hai ma trận khả nghịch sao cho
X = P

X
1
0
0 0


P
−1
. Suy ra Y = P

0 0
0 Y
2

P
−1
vì XY = Y X = 0 và X
1
là khả
nghịch. Do Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A) nên Y
2
cũng là ma trận lũy linh
bậc k. Nhưng A = X + Y = P

X
1
0
0 Y
2

P
−1
, do đó X = C
A
, Y = N

A
.
Hệ quả 1.5.8. Cho A ∈ C
n×n
và p là một số nguyên dương, ta có C
p
A
= C
A
p
,
N
p
A
= N
A
P
, và A
p
= C
A
p
+ N
A
p
= C
p
A
+ N
p

A
. Nếu p ≥ ind(A) thì A
p
= C
p
A
.
Định lý 1.5.9. Cho A ∈ C
n×n
. Lúc đó tồn tại một đa thức p(x) sao cho A
D
=
p(A).
Chứng minh. Giả sử A được viết dưới dạng
A = P

C 0
0 N

P
−1
,
trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Vì C là ma
trận không suy biến nên sẽ tồn tại một đa thức q(x) sao cho C
−1
= q(C). Giả sử
p(x) là đa thức được viết dưới dạng p(x) = x
k
[(q(x)]
k+1

. Lúc đó ta có
p(A) = A
k
[q(A)]
k+1
= P

C
k
0
0 0

q(C) 0
0 q(N)

k+1
P
−1
= P

C
k
[q(C)]
k+1
0
0 0

P
−1
= P


C
−1
0
0 0

P
−1
= A
D
.
16
Định lý 1.5.10. Cho A, B ∈ C
n×n
. Khi đó
i) (AB)
D
= A[(BA)
2
]
D
B;
Nếu AB = BA thì
ii) (AB)
D
= B
D
A
D
= A

D
B
D
;
iii) A
D
B = BA
D
và AB
D
= B
D
A.
Chứng minh. i) Ta đặt Y = A[(BA)
2
]
D
B. Rõ ràng ta thấy rằng Y ABY = Y và
ABY = Y AB = A(BA)
D
B.
Đặt k = max{ind(AB), ind(BA)}. Khi đó ta có
(AB)
k+2
Y = (AB)
k+2
A[(BA)
2
]
D

B = (AB)
k+1
ABA[(BA)
2
]
D
B
= (AB)
k+1
A(BA)
D
B = A(BA)
k+1
(BA)
D
B = A(BA)
k
B = (AB)
k+1
.
Vậy Y = (AB)
D
.
ii) và iii) Theo Định lý 1.5.9 ta có A
D
là một đa thức trong A và B
D
là một đa
thức trong B. Do đó ta chứng minh được ii) và iii).
Định lý 1.5.11. Cho A ∈ C

n×n
, B ∈ C
n×n
là ma trận sao cho A
l+1
B = A
l
với
mọi l ≥ ind(A) = k. Lúc đó A
D
= A
l
B
l+1
.
Chứng minh. Ta giả sử A được biểu diễn dưới dạng A = P

C 0
0 N

P
−1
và
A
l+1
B = A
l
. Ta có
P


C
l+1
0
0 0

P
−1
B = P

C
l
0
0 0

P
−1
.
Suy ra
B = P

C
−1
0
B
1
B
2

P
−1

.
Do đó
A
l
B
l+1
= P

C
l
0
0 0

C
−l−1
0
X
1
X
2

P
−1
= P

C
−1
0
0 0


P
−1
= A
D
.
Để thấy được một cách tường minh về nghịch đảo Drazin thì định lý sau đây
sẽ giúp chúng ta tìm được nghịch đảo của một ma trận vuông bất kỳ. Bằng cách
biểu diễn ma trận A dưới dạng Jordan ta sẽ dễ dàng tìm được nghịch đảo Drazin
của nó.
17
Định lý 1.5.12. Giả sử A được viết dưới dạng Jordan
A = P JP
−1
= P

J
1
0
0 J
0

P
−1
,
trong đó J
0
và J
1
là thành phần của J tương ứng với giá trị riêng 0 và khác 0. Khi
đó

A
D
= P

J
−1
1
0
0 0

P
−1
.
Chứng minh. Rõ ràng ta thấy có sự tương ứng giữa J
1
và J
0
với ma trận C và
N trong Định lý 1.5.3. Dựa vào định lý đó ta suy ra được điều cần phải chứng
minh.
1.6 Các ví dụ
Ví dụ 1.6.1. Cho ma trận A =




1 0 0
0 1 1
0 1 1





. Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma
trận A.
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A) = rank(A
2
) = 2. Suy ra ind(A) = 1.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A là
J = P
−1
.A.P
với
J =




0 0 0
0 1 0
0 0 2




và
P =





0 1 0
1
2
0
1
2
−1
2
0
1
2




.
Ma trận A có ba giá trị riêng là λ = 0(bội 1), λ = 1(bội 1), λ = 2(bội 1).
Theo Định lý 1.5.12 ta có
A
D
= P.




0
(J
1
(1))

−1
(J
1
(2))
−1




.P
−1
= P.




0 0 0
0 1 0
0 0
1
2




.P
−1
=





1 0 0
0
1
4
1
4
0
1
4
1
4




.
18
Ví dụ 1.6.2. Cho ma trận
A =











1 1 −1 0 1
0 1 0 −1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 −1 0 −2 1










.
Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A.
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A
2
) = rank(A
3
) = 3 nên ind(A) = 2.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A
J = P
−1
.A.P
với
J =











0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1










và
P =











1 −3 2 −3 1
0 1 0 0 −2
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 3 0 2 −1










.
Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 0(bội 2) và λ = 1(bội 3).
Theo Định lý 1.5.12 ta có
A
D
= P.

0
(J

3
(1))
−1

.P
−1
= P.










0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 −1 1
0 0 0 1 −1
0 0 0 0 1











.P
−1
=










1 −2 −1 8 −1
0 1 0 −1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 −4 1











.
19
Ví dụ 1.6.3. Cho ma trận A =







3 1 −2 0
0 0 2 0
0 −2 4 2
0 1 0 −1







. Hãy tìm nghịch đảo Drazin
của ma trận A.
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A
2
) = rank(A
3
) = 2 nên ind(A) = 2.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A là
J = P

−1
.A.P
với
J =







3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0







và
P =








8
9
5
27
−4
9
−5
27
0
−4
9
4
3
13
9
0
−2
3
0
2
3
0
−1
9
4
3
1
9








.
Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 3(bội 2) và λ = 0(bội 2).
Theo Định lý 1.5.12 ta được
A
D
= P.

(J
2
(3))
−1
0

.P
−1
= P.







1

3
−1
9
0 0
0
1
3
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0







.P
−1
=







1
3
−1

27
4
27
4
27
0
−4
27
8
27
4
27
0
−2
9
4
9
2
9
0
−1
27
2
27
1
27








.
Ví dụ 1.6.4. Cho ma trận A =










1 2 3 5 −2
1 1 2 3 0
0 −1 −1 −2 1
0 3 4 6 −3
1 6 9 13 −5











. Hãy tìm nghịch đảo
Drazin của ma trận A.
20
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A
3
) = rank(A
4
) = 2 nên ind(A) = 3.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A là
J = P
−1
.A.P
với
J =










1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0











và
P =










0 3 1 −2 −5
3 3 2 −6 −3
0 0 0 −1 1
0 0 −1 4 0
3 3 0 1 −3











.
Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 0 (bội 3) và λ = 1 (bội 2).
Theo Định lý 1.5.12 ta được
A
D
= P.

(J
2
(1))
−1
0

.P
−1
= P.











1 −1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0










.P
−1
A
D
=











1 3 5 7 −3
−1 −1 −2 −3 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−1 −1 −2 −3 2










.
21
Chương 2
BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN
QUA MA TRẬN PHỤ HỢP
Trước hết chúng ta quy ước sử dụng một số ký hiệu trong chương này như sau:
- a
i.
là dòng thứ i của ma trận A.
- a
.j
là cột thứ j của ma trận A.
- A

k
= (a
(k)
ij
)
n
.
- a
(k)
i.
và a
(k)
.j
lần lượt là dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A
k
.
- A
.j
(b) là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j của A bằng cột b.
- A
i.
(a) là ma trận thu được từ A bằng cách thay dòng thứ i của A bằng dòng a.
Với α := {α
1
, , α
k
} ⊆ {1, , n} và 1 ≤ k ≤ n, ta ký hiệu
- L
k,n
:= {α = (α

1
, , α
k
), 1 ≤ α
1
≤ ≤ α
k
≤ n}.
- L
k,n
(β) := {J : J ∈ L
k,n
, J ⊇ β}.
- J
k,n
{i} := {α : α ∈ L
k,n
, i ∈ α}.
- |A
α
α
| là định thức con chính được xác định bởi các dòng và các cột α.
Ví dụ. Với α ∈ L
n,n
thì |A
α
α
| = |A|. Khi α ∈ L
1,n
({i}) thì α = (i), trong trường

hợp này thì |A
α
α
| = a
ii
là phần tử thuộc đường chéo chính.
L
2,3
({1}) = {α
1
= (1, 2), α
2
= (1, 3)}. Lúc đó |A
α
1
α
1
| là định thức con chính
xác định bởi các dòng và các cột 1, 2. |A
α
2
α
2
| là định thức con chính xác định bởi
các dòng và các cột 1, 3.
- C
n×n
r
là tập con của C
n×n

bao gồm các ma trận vuông cấp n và có hạng bằng r.
- . = .
2
là ký hiệu của chuẩn Euclid.
Nếu ma trận vuông A khả nghịch (ind A = 0) thì ta đã biết một công thức
quen thuộc biểu diễn ma trận nghịch đảo của A là
A
−1
=
1
det(A)
(

A), (7)
22
trong đó (

A) là ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau:

A = (

a
ij
)
n
= (A)
T
,
với A là ma trận gồm các phần tử a
ij

= (−1)
i+j
D
ij
, trong đó D
ij
là định thức con
cấp n − 1 của ma trận A thu được bằng cách xóa hàng i và cột j của A. Một câu
hỏi đặt ra liệu rằng có hay không một biểu diễn tương tự như thế đối với nghịch
đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ. Câu hỏi này đã thu hút nhiều nhà toán
học quan tâm. Ta đã biết rằng nếu rank(A) ≤ n − 1 và với định nghĩa ma trận
phụ hợp theo quan niệm như trên thì

A = 0, với n ≥ 2. Do đó nếu tồn tại một
công thức tương tự thì khái niệm ma trận phụ hợp nhất thiết phải được mở rộng.
2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp
Như vậy là chúng ta đã biết khái niệm ma trận phụ hợp trong trường hợp A
là ma trận khả nghịch, tức là k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n, còn trong
trường hợp A là ma trận suy biến, k = ind(A) > 0 và r = rank(A) < n thì ma
trận phụ hợp sẽ được biểu diễn như thế nào? Dựa theo kết quả bài báo "Analogues
of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules" của
Kyrchei, sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một khái niệm mở rộng hơn về ma trận phụ
hợp. Theo khái niệm này thì ma trận phụ hợp được biểu diễn qua các định thức
và nó sẽ bao quát hết tất cả các trường hợp.
Trước tiên chúng ta để ý đến trường hợp A là ma trận không suy biến, tức là
k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n. Trong trường hợp này

A là ma trận phụ hợp
của A sẽ gồm các phần tử


a
ij
được xác định bởi công thức

a
ij
= |A
.i
(a
(0)
.j
)| (8)
tức là các phần tử

a
ij
bằng định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay
cột i bởi cột j của ma trận A
0
= I.
Thật vậy, ta có |A
.i
(a
(0)
.j
)| =


















a
11
a
12
0 a
1n
a
21
a
22
0 a
2n
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
1 a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
0 a

nn

















= (−1)
j+i
D
ji
= a
ji
=

a
ij
.
23