Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn XSTK

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa với
mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành một nước công nghiệp, hội nhập
với cộng đồng quốc tế. Trước bối cảnh đó, việc chuẩn bị tiềm lực con người cả
về số lượng và chất lượng là hết sức quan trọng và cần phải được tiến hành ở tất
cả các cấp học, bậc học, trong đó có bậc Đại học: “Đào tạo trình độ Cao đẳng,
trình độ Đại học phải coi trọng việc bồi dưỡng ý thức tự giác trong học tập,
năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng
thực hành, tạo điều kiện cho người học tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng
dụng.” (Điều 40, mục 4, chương II, Luật Giáo dục 2005).
Phản ánh thực tiễn là một đặc điểm của toán học. Về vai trò công cụ của
toán học đối với sự phát triển của nhiều ngành khoa học, Mac đã khẳng định:
“Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học” [20]. Về vai
trò của toán học đối với thực tiễn, theo Anghen: “Toán học là một khoa học trừu
tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối tượng ấy
suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan” [20, tr.13]. Rõ ràng, ứng dụng
là một khía cạnh của toán học.
Môn “Xác suất thống kê” là môn học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh
vực của thực tiễn: khoa học kĩ thuật, kinh tế, quản trị, sinh học, y học, tin học,…
Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu
nhiên – các hiện tượng mà ta không thể nói trước là nó có xảy ra hay không khi
thực hiện một lần quan sát. “Lý thuyết Xác suất nhằm tìm ra những quy luật
trong những hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật” [20, tr.3]. Trong
Xác suất, các nghiên cứu về biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng. Khi đã xác định được quy luật phân phối xác
suất của một biến ngẫu nhiên thì nói chung ta đã nắm được phần lớn thông tin về
biến ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên, trong thực tế ta còn cần phải quan tâm đến những
thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của biến
ngẫu nhiên được nghiên cứu, đó chính là các tham số đặc trưng. Như vậy, các

1

tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên cho ta khảo sát kỹ lưỡng về các biến ngẫu
nhiên. Hơn nữa, các biến ngẫu nhiên tràn ngập trong thế giới hiện thực. Như vậy,
sự phản ánh thực tiễn một cách phong phú của các tham số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên là điều không thể phủ nhận.
Qua quá trình tìm hiểu việc dạy và học môn XSTK cho sinh viên sư phạm
ngành Toán của Trường Đại học Hùng Vương, qua kinh nghiệm học tập môn học
này chúng tôi thấy việc tăng cường các ví dụ và tình huống thực tiễn trong giảng
dạy môn học đã được giảng viên quan tâm và định hướng cho sinh viên tự tìm
hiểu về vấn đề vận dụng toán học vào thực tiễn. Tuy nhiên, do những hạn chế
nhất định về thời gian học tập và về khả năng tự học nên việc tìm hiểu, kết nối
kiến thức môn XSTK với thực tiễn của sinh viên nói chung còn hạn chế. Để giải
đáp phần nào câu hỏi: Các kiến thức của môn XSTK được ứng dụng vào thực tiễn
để giải quyết những vấn đề gì? Chúng tôi cho rằng việc sưu tầm, lựa chọn các bài
tập có nội dung thực tiễn của nhiều lĩnh vực khác nhau giải được bằng các kiến
thức môn XSTK là hết sức cần thiết, đặc biệt cần thiết với các bạn sinh viên sư
phạm bởi họ sẽ là người phải giải đáp câu hỏi đó cho học sinh phổ thông trong
dạy học sau này. Trong lộ trình đó, một trong những việc quan trọng đầu tiên cần
làm là xây dựng các bài tập thực tiễn nhằm mục đích khảo sát những thông tin cô
đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của các biến ngẫu
nhiên, góp phần tháo gỡ những khó khăn khi tìm hiểu vấn đề vận dụng các kiến
thức về XSTK nói chung, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nói riêng
vào thực tiễn.
Vì những lý do trên chúng tôi chọn “ xây dựng và sử dụng hệ thống bài
tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời
rạc trong môn XSTK ” (Theo chương trình dành cho sinh viên sư phạm Toán ở
trường ĐH Hùng Vương) làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu

2.1. Mục tiêu khoa học công nghệ
Sưu tầm, lựa chọn, hướng dẫn sử dụng các bài tập có nội dung thực tiễn
thuộc các lĩnh vực (kinh tế, y học, nông nghiệp, ) về một số tham số đặc trưng

2

của biến ngẫu nhiên rời rạc (theo chương trình môn XSTK dành cho sinh viên sư
phạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương) góp phần giúp các bạn sinh viên thấy rõ
hơn sự phản ánh thực tiễn của kiến thức biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn học,
rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức môn học vào thực tiễn.
2.2. Mục tiêu kinh tế, xã hội
Hệ thống bài tập được xây dựng sẽ là tài liệu tham khảo cần thiết cho sinh
viên sư phạm Toán của trường ĐH Hùng Vương, Phú Thọ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
3.1. Nghiên cứu về vấn đề bài tập trong dạy và học.
3.2. Nghiên cứu các vấn đề về biến ngẫu nhiên trong môn XSTK, một số
tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đó.
3.3. Sưu tầm, chọn lọc các bài tập có nội dung thực tiễn về một số tham số
đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc phù hợp với chương trình môn XSTK cho
sinh viên sư phạm ngành Toán ở trường ĐH Hùng Vương, đưa ra lời giải chi tiết
hoặc lời giải gợi ý cho các bài tập.
3.4. Trình bày một số định hướng sử dụng hệ thống bài tập xây dựng được
nhằm hỗ trợ sinh viên sư phạm trong việc vận dụng kiến thức môn XSTK vào
thực tiễn cuộc sống.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu.
4.1. Khách thể nghiên cứu.
Quá trình học tập môn XSTK của sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐH
Hùng Vương.
4.2. Đối tượng nghiên cứu.
Bài tập môn XSTK cho sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương.

5. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
5.1. Nghiên cứu lý luận.
Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài
liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài:

3

* Nghiên cứu về vấn đề bài tập trong dạy và học, bài tập có nội dung thực
tiễn trong môn Toán.
* Nghiên cứu các vấn đề về biến ngẫu nhiên trong môn XSTK, một số
tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đó.
5.2. Điều tra, quan sát.
Khảo sát trong phạm vi hẹp thực trạng học tập, vận dụng kiến thức môn
XSTK vào thực tiễn của sinh viên sư phạm ngành Toán ở trường ĐH Hùng Vương.
5.3. Tổng kết kinh nghiệm.
Tổng kết kinh nghiệm của các bạn sinh viên và của bản thân trong quá
trình học tập môn XSTK kinh nghiệm của các giảng viên giảng dạy môn XSTK
ở trường ĐH Hùng Vương.
6. Những đóng góp của đề tài.
6.1. Làm rõ nội hàm vấn đề bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy và học
môn Toán.
6.2. Xây dựng, trình bày hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn thuộc các
lĩnh vực (kinh tế, y học, nông nghiệp, ) về một số tham số đặc trưng của biến ngẫu
nhiên rời rạc phù hợp với chương trình môn XSTK dành cho sinh viên sư phạm
ngành Toán ở trường ĐH Hùng Vương, đưa ra lời giải chi tiết hoặc lời giải gợi ý
cho các bài tập.
6.3. Xác định được một số định hướng sử dụng hệ thống bài tập được xây
dựng nhằm hỗ trợ sinh viên sư phạm trong việc vận dụng kiến thức môn XSTK
vào thực tiễn cuộc sống.

7. Dự kiến cấu trúc, bố cục của khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tài dự
kiến gồm ba chương:
Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập về một số tham số đặc trưng
của biến ngẫu nhiên rời rạc
Chương 3: Định hướng sử dụng hệ thống bài tập

4

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và lấy
giá trị trong không gian R (R là trục số thực) được gọi là biến ngẫu nhiên với bất
kỳ
x RÎ
tập {
ω
: X(
ω
) < x} là biến cố ngẫu nhiên.
Ta thường kí hiệu biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X, Y,… Giá trị
của biến ngẫu nhiên thường kí hiệu bằng các chữ cái in thường x, y,…
Một số ví dụ về biến ngẫu nhiên:
• X là số con trai trong một lần sinh. X là biến ngẫu nhiên. Giá trị mà nó có thể
nhận là 0,1.
• X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn độc lập vào một mục tiêu. X là
biến ngẫu nhiên rời rạc. Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, , n.

• X chỉ số sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm chọn ra một cách ngẫu nhiên từ một
lô sản phẩm có 100 sản phẩm tốt và 50 sản phẩm xấu. X cũng là biến ngẫu
nhiên. Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, , 10.
• X chỉ số chấm ở trên mặt con xúc xắc khi gieo một lần một con xúc xắc cân đối
và đồng chất. X là biến ngẫu nhiên. Giá trị mà nó có thể nhận là 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• X chỉ độ cao của một cây tại thời điểm t nào đó cũng là biến ngẫu nhiên.
* Phân loại biến ngẫu nhiên: Có 2 loại
+ Biến ngẫu nhiên rời rạc
+ Biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 1.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà giá trị có
thể nhận của nó là một dãy hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (các ví dụ trên, trừ ví
dụ cuối cùng).
Định nghĩa 1.3. Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có
thể nhận của nó là tất cả mọi điểm trong khoảng (a, b) nào đó; a có thể là
- ¥
và
b có thể là
+¥
.

5

1.1.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Ta nhận thấy rằng tập [
ω
:X(
ω
) < x],
x RÎ
thay đổi nếu

x
thay đổi. Do đó
xác suất P[
ω
:X(
ω
) <
x
] cũng thay đổi, tức là xác suất này phụ thuộc vào
x
. Nó
là hàm của biến số
x
.
Định nghĩa 1.4. Gọi hàm số F(x) = P[
ω
:X(
ω
) <
x
],
x RÎ
là hàm phân
phối của biến ngẫu nhiễn X
1.1.2.1. Các tính chất của hàm phân phối
a)
( )F x
là hàm đơn điệu tăng, tức là nếu
1 2
x x<

thì
1 2
( ) ( )F x F x<
Hệ quả: Nếu F(x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X thì với hai số
thực a, b bất kỳ ta có: P
[ ]
X b ( ) ( )a F b F a£ < = -
b) Hàm phân phối là hàm liên tục bên trái đối với biến
x
, tức là:

0
lim ( ) ( )
x a
F x F a
® -
=
c)
lim ( ) 0
x
F x
®- ¥
=
và
lim ( ) 1
x
F x
®+¥
=
Hệ quả: Nếu biến ngẫu nhiên

X
chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì:
Với
, ( ) 0x a F x£ =
Với
, ( ) 1x b F x³ =
Đặc biệt ở trường trung học phổ thông hệ quả này được thể hiện:
( ) 0 à ( ) 1P v PÆ = W =
Thật vậy:
Với
ì ( ) ( ),( ) , ( ) 0 ê ( ) 0x a th P X x F x X x P n n F x£ < = < =Æ Æ = =
Với
ì ( ) ( ), ( ) , ( ) 1 ê ( ) 1x b th P X x F x X x P n nF x³ < = < =W W = =
Đồ thị của hàm phân phối thường ở một trong hai dạng: đường cong liên
tục và đường gián đoạn.
Đối với hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc thì đồ thị của nó có dạng
bậc thang hình (2.2)

6

1.1.2.2. Phân phối rời rạc
a) Định nghĩa 1.5. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu
miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được.
Hàm số
[X=x ]
( ) ( ) [ ]
0
i i
x
i

P khi x x
f x x P X x i N
khi x x
f
ì
=
ï
ï
= = = = " Î
í
ï
¹
ï
î
được gọi là mật độ rời rạc của X. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại
mỗi điểm cho biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó.
b) Các tính chất
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm mật độ rời rạc
( ) ( )
x
f x f x=
miền giá
trị

{ }
,
i
x i NÎ
ta có:
i)

( ) 1
i
i N
f x
Î
=
å
ii) F(x) =
,
( )
i
i
i N x x
f x
Î <
å

x R" Î
iii)
,
[ ] ( ) , ;
i
i
i N a x b
P a X b f x a b R a b
Î £ <
£ £ = " Î <
å
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X với
Im X = {x

1
, x
2
,…,x
n
} và
( ); 1,2,
i i
p P X x i= = =


F(x)
x
7
Hình 2.2

X X
1
x
2
… x
k
…
P P
1
p
2
… p
k
…

Đặc biệt X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị {x
1
, x
2
, … ,x
n
} ta
có bảng phân phối xác suất (thể hiện trong sách giáo khoa THPT lớp 11- chương
trình nâng cao):
X
x
1
x
2
…
x
n
P
p
1
p
2
…
p
n
Nhận xét: Tính chất i,
( ) 1
i
i N
f x

Î
=
å
được thể hiện trong chương trình toán
THPT vì hợp của các biến cố X= x
i
(i= 1, 2, …) là biến cố chắc chắn và các biến
cố ấy đôi một xung khắc nên theo qui tắc cộng ta có:
1 2
1 1
1 [ ]
n n
i i n
i i
P X x p p p p
= =
= = = = + + +
å å
1.1.3. Một số phân phối rời rạc quan trọng
1.1.3.1. Phân phối nhị thức
Định nghĩa 1.6. Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị
thức với tham số n, p (0<p<1) nếu các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, 2, …, n
với xác suất
( ) (1 )
k
k n k
n
P X k p p
C
-

= = -
Kí hiệu:
~ ( ; )X n pB
Hàm phân phối:
0
( )
m
k k n k
X n
k
F x C p q
−
=
=
∑
;
1m x m≤ < +
;
m n≤
1.1.3.2. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.7. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị
0,1, 2, k =
với xác
suất
( )
!
k
P X k e
k
- l

l
= =
;
0,1, 2 k =
gọi là có phân phối Poisson tham số
0l >
Kí hiệu:
~ ( )X
P
λ

8

Hàm phân phối:
0
( )
!
k
n
X
k
F x e
k
−λ
=
λ
=
∑
;
1n x n≤ < +

1.2. Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
1.2.1. Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 1.8. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị
{x
i
,i
∈
I} nếu
[ ]
i
x P
i
i I
X x
∈
=
∑
hội tụ thì đại lượng E(X)=
[ ]
i i
i I
x P X x
∈
=
∑
được gọi
là kỳ vọng toán của X.
- Trong phân phối nhị thức
EX np=
1.2.1.1. Các tính chất của kỳ vọng toán (được phát biểu với các biến ngẫu

nhiên có kỳ vọng)
Tính chất 1: Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó:
( )E C C=
Tính chất 2: Kỳ vọng toán của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu
nhiên bằng tích giữa hằng số đó và kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên ấy:
( ) ( )E CX CE X=
Tính chất 3: Kỳ vọng toán của tổng (hiệu) hai biến ngẫu nhiên bằng tổng
(hiệu) các kỳ vọng toán thành phần:
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y± = ±
Mở rộng: Kỳ vọng toán của tổng n biến ngẫu nhiên bằng tổng n kỳ vọng
toán thành phần:
1 1
( ) ( )
n n
i i
i i
E X E X
= =
=
å å
Tính chất 4: Kỳ vọng toán của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích
các kỳ vọng toán thành phần:
( ) ( ) ( )E XY E X E Y=
Mở rộng: Kỳ vọng toán của tích n biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
, , X
n
độc lập

bằng tích n kỳ vọng toán thành phần:
E
(
∏
=
n
i
i
X
1
) =
∏
=
n
i
i
XE
1
(
)
1.2.1.2. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng
Bản chất: Kì vọng toán là trung bình theo nghĩa xác suất của biến ngẫu nhiên.

9

Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng EX là trung bình có trọng lượng. Nếu lặp
lại n lần độc lập phép đo đại lượng ngẫu nhiên X ta nhận được kết quả X
1
, X
2

, ,
X
n
. Khi
n → ∞
thì
X
=
1 2

n
X X X
n
+ + +
hội tụ về EX. Vì vậy với n đủ lớn ta
có thể xem
X EX≈
tức là kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
1.2.1.3. Ứng dụng thực tế của kỳ vọng toán
Trong kinh doanh và quản lý kinh tế, kỳ vọng toán được xem như là một
tiêu chuẩn để ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn một chiến lược tối ưu
trong nhiều chiến lược kinh doanh khác nhau. Giá trị EX trong kinh tế thường
được gọi là lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng.
1.2.2. Phương sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng
EX
, nếu tồn tại
2
( ( ))E X E X-

thì ta nói đó là phương sai của X, kí hiệu là
( )V X
:
2
( ) ( ( ))V X E X E X= -
- Nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc X là {
i
x ,i ∈N
},
( )
i i
P X x p= =
thì:
( )V X
=
2
( )
i
i I
x EX
Î
-
å
p
i
- Trong phân phối nhị thức
(1 )DX np p= −
1.2.2.1. Các tính chất của phương sai
Tính chất 1: Phương sai của biến ngẫu nhiên X bằng hiệu của kỳ vọng
biến ngẫu nhiên bình phương và bình phương kỳ vọng của biến ngẫu nhiên:

2 2
( ) ( )V X EX EX= -
Tính chất 2: Phương sai của một hằng số bằng 0:
( ) 0V C =
Tính chất 3: Phương sai của tích giữa một hằng số của một biến ngẫu nhiên
bằng tích giữa bình phương hằng số đó và phương sai của biến ngẫu nhiên ấy:
V(CX) = C
2
V(X)

10

Tính chất 4: Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng
các phương sai thành phần: V(X+Y) = V(X) + V(Y)
Hệ quả 1: Phương sai của tổng n biến ngẫu nhiên độc lập với nhau X
1
,
X
2
, , X
n
bằng tổng các phương sai thành phần:
V(
∑
=
n
i
i
X
1

) =
1
( )
n
i
i
V X
=
∑
Hệ quả 2: Phương sai của tổng một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng
phương sai của chính biến ngẫu nhiên đó: V(C+X) = V(X)
Hệ quả 3: Phương sai của hiệu hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các
phương sai thành phần: V(X-Y) = V(X) + V(Y)
1.2.2.2. Bản chất của phương sai
Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên thì
chưa đủ để xác định biến ngẫu nhiên đó. Ta còn phải xác định mức độ phân tán
của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Ta có
thể nghĩ rằng để đặc trưng cho mức độ phân tán thì đơn giản nhất là tìm tất cả
sai lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó và lấy giá
trị trung bình số học của các sai lệch đó, song cách làm này không mang lại hiệu
quả vì E(X-EX) = 0. Để khắc phục điều đó người ta không tính trực tiếp trung
bình của các sai lệch mà tính trung bình của bình phương các sai lệch. Đó chính
là phương sai.
Vậy, phương sai của biến ngẫu nhiên X là độ lệch bình phương trung bình
quanh giá trị trung bình
E X
.
1.2.2.3. Ý nghĩa của phương sai
Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, nói lên mức độ tập
trung (hoặc mức độ tản mát, phân tán) của các giá trị của biến ngẫu nhiên X so

với giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai càng nhỏ, các giá trị của biến ngẫu
nhiên X càng tập trung quanh EX; còn nếu phương sai càng lớn thì các giá trị của
biến ngẫu nhiên X càng phân tán xa EX.
1.2.2.4. Ứng dụng thực tế của phương sai

11

+ Trong kỹ thuật: Phương sai đặc trưng cho sai số của thiết bị, chi tiết gia
công so với kích thước tiêu chuẩn.
+ Trong lĩnh vực kinh tế: Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các
quyết định.
1.2.3.5. Độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.10: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là căn bậc hai của
phương sai, kí hiệu là
x
σ
x
σ
=
)(XV
Ta thấy rằng đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của biến
ngẫu nhiên X. Vì vậy, độ lệch chuẩn có cùng đơn vị như biến ngẫu nhiên X hoặc
như đơn vị của EX.
1.2.3. Một số đặc trưng khác
1.2.3.1. Mod (Yếu vị)
Định nghĩa 1.11: Mốt (Mode) của biến ngẫu nhiên X là giá trị mà biến ngẫu
nhiên X nhận với xác suất lớn nhất. Một biến ngẫu nhiên có thể có nhiều Mod.
• Mod của biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố:
X
1

x
X
2

P p
x
(x
1
) p
x
(x
2
)
được xác định như sau:
{ }
0 0
1 2
Mod ( ) max ( ), ( ),
i X i X X
x X p x p x p x
= ⇔ =
Như vậy, Mod của biến ngẫu nhiên rời rạc X là giá trị của biến ngẫu nhiên
mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất.
- Trong phân phối nhị thức Mod [X] = m
0
= [np+p-1]+1 (khả năng xảy ra
nhiều nhất của một giá trị của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)
1.2.3.2. Median (Trung vị)

12

Định nghĩa 1.12. Median (số trung vị) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu x
med
là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó giá trị của hàm phân phối bằng
1
2
, nghĩa
là F(x
med
)
1
2
=
. Nói cách khác, x
med
là số trung vị nếu :
P[X < x
med
] >
2
1
< P[X > x
med
].
Như vậy, Median là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành 2 phần bằng
nhau. Với một biến ngẫu nhiên X có thể có một điểm Median hoặc có thể một
khoảng Median.
Khi hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên có tính đối xứng thì Mod,
Median, kỳ vọng sẽ trùng nhau.
1.3. Về bài tập có nội dung thực tiễn

1.3.1. Thực tế, thực tiễn
Theo từ điển Tiếng Việt, thực tế là “tổng thể nói chung những gì đang tồn
tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống
con người”; thực tiễn là “những hoạt động của con người, trước hết là lao động
sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói
tổng quát)” [11, tr.957]. Như vậy, ta thấy thực tiễn là một dạng tồn tại của thực
tế nhưng không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó có hàm chứa hoạt động của
con người cải tạo, biến đổi thực tế với một mục đích nào đó.
1.3.2. Bài toán, bài toán có nội dung thực tiễn
Theo quan niệm của L.N. Lanđa, A. N. Lêonchiep thì: Bài toán là mục
đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể cần phải hành động,
tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết. Theo cách quan niệm
của Pôlya: “Bài toán đặt ra là sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương
tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được
ngay. Giải bài toán là tìm ra phương tiện đó” [12, tr.61].
Theo Bùi Huy Ngọc: “Bài toán thực tế là một bài toán mà trong giả thiết
hay kết luận có các nội dung liên quan đến thực tế” [9, tr.22]. Dựa trên quan

13

điểm này và các quan điểm về bài toán, các quan niệm về thực tế, thực tiễn đã
trình bày, chúng tôi quan niệm rằng: Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán
mà trong giả thiết hay kết luận có chứa đựng nội dung liên quan đến các hoạt
động thực tiễn.
1.3.3. Bài tập, bài tập có nội dung thực tiễn
Theo Thái Duy Tuyên: Bài tập là một hệ thông tin xác định bao gồm hai
tập hợp gắn bó chặt chẽ và tác động qua lại với nhau.
Những điều kiện, tức là tập hợp những dữ liệu xuất phát, diễn tả trạng thái
ban đầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải; theo ngôn ngữ thông dụng thì đó là
“cái cho”; trong toán học thì người ta gọi là giả thiết.

Những yêu cầu là trạng thái mong muốn đạt tới, theo ngôn ngữ thông
dụng thì đây là “cái phải tìm”.
Bài tập được đặt ra cho người học như một yêu cầu nhất thiết phải thực
hiện, thực hành trên những hiểu biết về kiến thức lý thuyết nhằm củng cố các
kiến thức lý thuyết đã tích lũy được.
Tóm lại, có thể hiểu bài tập là một hệ thống thông tin xác định bao gồm
những điều kiện và những yêu cầu được đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi
người học một lời giải đáp từ quá trình vận dụng các kiến thức lý thuyết đã biết,
mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của
người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra.
Như vậy, bài tập chính là bài toán hiểu theo nghĩa hẹp. Có những bài toán
không hẳn chỉ đơn giản là một bài tập. Tuy nhiên, giải bài tập đồng nghĩa với
việc giải quyết bài toán.
Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ “bài tập có nội dung
thực tiễn” để chỉ những bài toán có nội dung thực tiễn được đặt ra cho người học
dưới hình thức bài tập sau quá trình nghiên cứu lý thuyết, đòi hỏi người học một
lời giải đáp cụ thể nhằm mở rộng, khắc sâu kiến thức lý thuyết.
1.3.4. Phân loại bài toán có nội dung thực tiễn
Có nhiều cách phân loại các bài toán dựa vào những căn cứ khác nhau:
phân loại theo mức độ khó của bài toán, phân loại theo trình độ của người học,

14

phân loại theo nội dung các chủ đề kiến thức trong chương trình môn học [16].
Ngoài ra, đối với các bài toán thực tiễn, còn có thể phân loại theo từng lĩnh vực
thực tiễn (kinh tế, sinh học, vật lý,…) được thể hiện qua nội dung bài toán, phân
loại theo giá trị sử dụng hệ thống bài toán trong môn học, phân loại theo mức độ
phức tạp về mặt toán học của bài toán,…
Một số cách phân loại bài toán thực tiễn của một số tác giả:
Theo cách phân loại dựa vào giá trị sử dụng các bài toán trong môn học của

Trần Vui [21], bài toán thực tiễn được chia thành ba loại:
- Bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với quan niệm thực tiễn. Quan
niệm thực tiễn trong các bài toán này gần gũi với người học, có thể cảm nhận,
kiểm nghiệm được.
- Bài toán có nội dung thực tiễn để chuyển tải các ý tưởng toán học. Quan
niệm thực tiễn trong các bài toán loại này có thể không gần gũi với đối tượng
tiếp cận. Các bài toán này được đưa ra với mục đích chuyển tải một ý tưởng,
một nội dung toán học nào đó.
- Bài toán thực tiễn thuần tuý toán học. Quan niệm thực tiễn trong các bài
toán này có thể không gần gũi với đối tượng nào, các bài toán loại này được đưa
vào chủ yếu là để tăng tính sinh động, hấp dẫn.
Theo Bùi Huy Ngọc [9], căn cứ vào mức độ phức tạp về mặt toán học của
bài toán, các bài toán thực tiễn được chia thành hai dạng sau:
- Bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản. Các bài toán loại này có mô hình
toán học dễ phát hiện và khi giải chỉ sử dụng trực tiếp một vài kiến thức toán
học (ví dụ được tác giả đưa ra: “Một hình chữ nhật có một cạnh là 2a, một cạnh
là b. Hỏi chu vi và diện tích là bao nhiêu?” [9, tr.95]). Nói chung, các bài toán
loại này được coi là các bài toán ứng dụng “thô” của toán học
- Bài toán thực tiễn phức tạp: Các bài toán loại này có bước xây dựng mô
hình toán học thường phức tạp, khi giải thường phải phối hợp nhiều loại kiến
thức. Thuật ngữ “phức tạp” ở đây không chỉ hiểu theo nghĩa là mô hình toán học
của bài toán khó xây dựng hơn mô hình toán học của các toán có nội dung thực
tiễn đơn giản mà còn được hiểu theo nghĩa việc chuyển tải các ý tưởng, các
phương pháp toán học vận dụng vào thực tiễn cũng đòi hỏi phức tạp hơn.

15

Cả hai sự phân chia trên chỉ có tính chất tương đối. Cần lưu ý rằng, khi nói
về độ phức tạp về mặt toán học của bài toán, không đòi hỏi sinh viên sư phạm xét
tới những bài toán thực tiễn ở mức độ chuyên sâu (mức độ hoạt động nghề nghiệp

của các chuyên gia về lĩnh vực ứng dụng toán học) mà chỉ nói tới những bài toán
thực tiễn ở mức độ phổ biến (mức độ cung cấp kiến thức về vận dụng toán học
vào thực tế cho người có học vấn phổ thông và những người không nghiên cứu
sâu về ứng dụng toán học phục vụ cho hoạt động nghề nghiệp).
Trong khoá luận này, chúng tôi kết hợp các căn cứ, các cách phân loại bài
toán thực tiễn đã trình bày, vai trò của các bài toán thực tiễn trong việc học tập
môn XSTK ở trường sư phạm và trong công tác dạy học toán của sinh viên sau
khi tốt nghiệp làm căn cứ phân loại các bài toán thực tiễn trong môn XSTK.
Theo đó, các bài toán thực tiễn trong khóa luận về chủ đề một số tham số đặc
trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn XSTK được trình bày gồm hai loại
chính như sau:
Loại 1: Các bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản, gần gũi với thực tế.
Loại này bao gồm các bài toán có mô hình toán học dễ phát hiện và khi
giải chỉ sử dụng trực tiếp một vài kiến thức liên quan tới khái niệm, tính chất của
các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc. Giải các bài tập loại này chủ
yếu nhằm củng cố kiến thức lý thuyết về các tham số đặc trưng, không đòi hỏi
sự kết hợp với các kiến thức khác, không đòi hỏi khả năng kết nối, liên tưởng
các ý tưởng toán học một cách phức tạp.
Loại 2: Các bài toán có nội dung thực tiễn chuyển tải ý tưởng, phương
pháp vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn
Loại này bao gồm các bài toán làm xuất phát điểm dẫn đến việc xây dựng
kiến thức môn học; các bài toán có mô hình toán học tổng quát ăn khớp với một số
kiến thức môn học.
Các bài toán này có mô hình toán học phức tạp hơn các bài toán của loại 1
bởi đòi hỏi sự liên tưởng, kết nối ý tưởng toán học với thực tiễn một cách sâu
sắc hơn, khi giải thường phải phối hợp nhiều loại kiến thức. Giải các bài tập loại
này chủ yếu nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức

16

môn học vào thực tiễn qua lập luận, phân tích, xây dựng mô hình toán học cho
bài toán và giải bài toán; củng cố cho người học một số phản ánh thực tiễn của
tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên; rèn luyện khả năng khái quát hoá một lớp
bài toán theo một mô toán học; góp phần hình thành thói quen trực giác toán học
đối với các tình huống thực tiễn.
Tuy nhiên, gianh giới giữa hai loại bài tập chỉ có tính chất tương đối bởi
mức độ giãn yếu về độ phức tạp toán học trong nội dung hay trong việc lập mô
hình toán học của bài toán cũng chỉ có tính chất tương đối.

17

KÕt luËn ch¬ng I

Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ về biến ngẫu nhiên rời rạc
(khái niệm, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên, các tính chất của hàm phân
phối, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc: kỳ vọng, phương sai, độ
lệch chuẩn, mod, median, các tính chất của các tham số đó). Trong đó, chúng tôi
chú ý phân tích bản chất, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên rời rạc nhằm giúp người học thấy được một số phản ánh thực tiễn
của kiến thức các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc. Ngoài ra,
chương 1 trình bày lý luận cơ bản về bài tập có nội dung thực tiễn, phân tích các
quan niệm về thực tế, thực tiễn, bài toán có nội dung thực tiễn để làm căn cứ
phân loại bài tập có nội dung thực tiễn về tham số đặc trưng của biến ngẫu
nhiên. Đây là cơ sở quan trọng để trình bày tiếp chương 2 của khóa luận.

18

Chương 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ THAM SỐ ĐẶC
TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

2.1. Các định hướng, nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập
2.1.1. Các định hướng
Định hướng 1: Việc xây dựng hệ thống bài tập nhằm góp phần giúp
người học nắm vững những kiến thức và kỹ năng cơ bản về các tham số đặc
trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Các kiến thức về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc là một
trong những nội dung quan trọng trong môn XSTK và cần được đặc biệt chú ý
do tính ứng dụng của nó. Các bài toán có nội dung thực tiễn về các tham số đặc
trưng của biến ngẫu nhiên là điều kiện để người học rèn luyện khả năng ứng
dụng kiến thức này trong những tình huống thực tế, tiến tới nắm vững những
kiến thức đó. Vì vậy, không thể coi nhẹ việc giải các bài toán loại này. Điều
quan trọng là người học cần hiểu thấu đáo kiến thức về tham số đặc trưng của
biến ngẫu nhiên và cách thức vận dụng những kiến thức đó. Đây chính là tinh
thần cơ bản của định hướng thứ nhất. Theo đó, các bài tập về các số đặc trưng
của biến ngẫu nhiên rời rạc có thể xem như là những “phương tiện” để giúp
người học nắm vững các kiến thức và kỹ năng cơ bản của môn toán xác suất
thống kê, đồng thời làm đậm nét hơn nữa những khía cạnh ứng dụng của các số
đặc trưng trong thực tế
Định hướng 2: Việc xây dựng hệ thống bài tập phải góp phần rèn luyện
cho người học ý thức và khả năng kết nối các ý tưởng toán học trước tình
huống thực tiễn
Định hướng này xuất phát từ mục đích rèn luyện thói quen và ý thức liên
hệ với thực tế, một thành tố cơ bản của “văn hóa toán học” cần phải có của
người lao động trong xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa, mà toán học nhà
trường đóng vai trò chủ yếu.
Biết cách sử dụng toán học như một công cụ trong các các hoạt động lao
động sản xuất vừa là nguyện vọng, vừa là một trong những đòi hỏi đối với mỗi

19

người lao động chân chính. Vì vậy, với kiến thức môn XSTK nói chung, kiến
thức tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nói riêng thì người học cần có thói
quen và ý thức ứng dụng các tham số đặc trưng trong suy nghĩ cũng như trong
việc làm. Từ đó, người học sẽ có ý thức luôn tự tìm cách thức để liên tới tưởng
tới các số đặc trưng trong học tập, trong lao động sản xuất và đời sống. Chẳng
hạn như tìm ra sai số của các thiết bị, chi tiết gia công so với kích thước tiêu
chuẩn, tìm ra mức độ rủi ro của các quyết định trong lĩnh vực kinh tế… từ đó ta
đưa ra các phương án điều chỉnh. Rõ ràng, không thể đạt được điều đó, nếu
người học xem nhẹ tuyến các bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc
trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Định hướng 3: Tạo điều kiện để người học thấy được sự thể hiện của bài
tập toán thực tiễn của môn học trong chương trình phổ thông
Nhà giáo dục học Xô Viết Firxôv V.V khẳng định: việc dạy học toán ở
phổ thông cần chú ý đến việc phản ánh khía cạnh ứng dụng của toán học, điều
đó được thực hiện qua việc dạy cho học sinh biết ứng dụng toán học để giải
quyết các bài toán thực tiễn [23, tr.62]. Rõ ràng, vai trò của các bài toán thực
tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông trong việc khai thác khía
cạnh vận dụng toán học vào thực tiễn là không thể phủ nhận. Các bài toán thực
tiễn trong chương trình, SGK Toán phổ thông nước ta hiện nay là các bài toán
thuộc loại 1 theo cách phân loại bài toán thực tiễn ở trên. Việc tiếp cận các bài
toán thực tiễn của môn học trong chương trình phổ thông đòi hỏi xem xét các bài
toán đó một cách toàn diện về nội dung, lĩnh vực thực tiễn được phản ánh, yêu
cầu sử dụng kiến thức môn học để giải quyết, sắp xếp, tổng hợp các bài tập
thành các tuyến cụ thể. Hiện nay, trong Chương trình môn Toán THPT, các bài
toán về biến ngẫu nhiên rời rạc được cho dưới dạng tính toán xác suất xảy ra các
giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đã cho trước quy luật phân phối xác suất. Khi
xây dựng hệ thống bài tập, chúng tôi có chú ý bao quát các bài toán ở phổ thông
nhằm tạo điều kiện cho người học tầm kiến thức phổ rộng và chiều sâu để dạy
học tốt chủ đề này trong chương trình phổ thông.

20

2.1.2. Các nguyên tắc
Nguyên tắc lựa chọn và xây dựng hệ thống bài tập các tham số đặc trưng
của biến ngẫu nhiên rời rạc được trình bày ở mục này là sự cụ thể hóa những
định hướng chỉ đạo xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập với chủ ý làm đậm nét
hơn ý nghĩa của việc xây dựng hệ thống bài tập .
Nguyên tắc 1: Bám sát chương trình môn xác suất thống kê ở trường
sư phạm
Hệ thống bài tập các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc được
xây dựng nhằm tạo ra những tình huống để góp phần cho sinh viên sư phạm
nắm vững kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, đồng thời rèn luyện cho họ khả
năng và ý thức ứng dụng “tham số đặc trưng” nói riêng và ứng dụng toán học
nói chung. Vì vậy, hệ thống này phải xem xét và đặt trong toàn cảnh của quá
trình học tập môn XSTK của sinh viên ở trường sư phạm. Trên cơ sở tôn trọng
chương trình môn toán XSTK, sử dụng tối đa những tình huống và bài tập có
nội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên đã có trong
giáo trình dành cho sinh viên sư phạm. Ngoài ra, chúng tôi bổ sung, khai thác
những những bài toán có nội dung thực tiễn trong các tài liệu XSTK dành cho
sinh viên một số ngành khác để bạn học có thể tham khảo thêm.
Nguyên tắc 2: Đảm bảo tính đa dạng của hệ thống bài toán đối với các
lĩnh vực thực tế
Đảm bảo tính phong phú, đa dạng của các lĩnh vực thực tiễn trong nội
dung nhằm góp phần làm rõ giá trị ứng dụng thực tiễn của kiến thức môn học
đối với các lĩnh vực khác. Sự phong phú về các lĩnh vực thực tiễn giúp người
học hình dung được phần nào bức tranh phác họa thực tiễn bằng công cụ kiến
thức môn học, phát triển ở họ thói quen tiếp cận các vấn đề thực tiễn bằng công
cụ toán học của một hay nhiều hơn một môn học. Các bài tập cần được sắp xếp
từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm tạo nên sự trải nghiệm thành công
ở người học khi giải bài tập, tạo cho người học thêm tự tin phấn khởi, hào hứng

thực hiện yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn. Sự đa dạng về nội
dung của các bài tập về các tham số đặc trưng thể hiện ở sự đa dạng của các tình
huống thực tế, ở phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất, đời sống được phản

21

ánh trong các bài tập về các tham số đặc trưng. Sự đa dạng làm cho người học
thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các tham số đặc trưng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của các số đặc trưng. Tuy vậy,
cần tránh sự phức tạp hóa do cố liên hệ liên môn, liên hệ với thực tế một cách
miễn cưỡng.
Nguyên tắc 3: Lưu ý những thuật ngữ chuyên môn của một số lĩnh vực
thực tiễn
Một trong những ưu điểm của việc sử dụng các bài toán thực tiễn trong các
lĩnh vực thực tiễn khác nhau là người học được tiếp cận với một số yếu tố đặc thù
về mặt chuyên môn trong các lĩnh vực đó. Mỗi lĩnh vực thực tiễn có một số thuật
ngữ chuyên môn riêng mà bình thường nếu không có cơ hội tiếp cận thì người
học không thể biết, chẳng hạn, trong y học có thuật ngữ “độ nhạy”, “độ đặc
hiệu” của phản ứng; trong kinh tế có thuật ngữ “lợi nhuận kỳ vọng” hay thuật
ngữ “đánh giá thị trường tiềm năng” của một sản phẩm,…Vì vậy, trong quá trình
xây dựng các bài toán thực tiễn, chúng tôi có chú ý tới những bài toán mang
những đặc trưng riêng của một số lĩnh vực khác nhằm cung cấp những hiểu biết
mới, tạo cho bạn học tiềm năng rèn luyện ngôn ngữ chính xác, linh hoạt (cả về
mặt cú pháp và ngữ nghĩa) cho học sinh phổ thông trong dạy học sau này.
Nguyên tắc 4: Chú ý một số bài tập có thể dẫn tới sai lầm trong vận
dụng lý thuyết các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên để giải bài toán
Việc cài đặt sai lầm vào các bài toán nhằm tạo cho người học “phát triển
óc phê phán, khả năng không những chỉ là tái tạo các lược đồ lôgic xác định,
mà còn phê phán mỗi giai đoạn của lý luận tương ứng với các nguyên tắc đã
tiếp thu được về tư duy toán học và về thực hành tính toán” [22, tr.12]. Trong

dạy học toán, việc cài đặt một số sai lầm có dụng ý sư phạm như sai lầm trong
ngôn ngữ diễn đạt, sai lầm trong suy luận, sai lầm trong xét trường hợp ngoại lệ, sai
lầm vì trực giác toán học, được ghi nhận là rất có tác dụng đối với người học
khi họ kiểm nghiệm khả năng diễn đạt kiến thức, kiểm nghiệm những hiểu biết
của bản thân về sự chính xác của kiến thức và cơ sở lôgic của chúng [22]. Đối
với toán học ứng dụng, một trong những đặc trưng cơ bản là nó sử dụng các khái

22

niệm hợp lý (khái niệm không có định nghĩa hình thức hoặc định nghĩa không
hoàn toàn chặt chẽ về mặt hình thức) và các khẳng định hợp lý (những khẳng
định có bao hàm khái niệm hợp lý) để đảm bảo được tính đúng đắn của vấn đề
là thực tiễn chấp nhận được và thoả mãn tính tối ưu [18]. Do đó, cách suy luận
trong toán học ứng dụng không hoàn toàn giống suy luận toán học [1]. Bởi lẽ
đó, có thể người học sẽ mắc sai lầm trong nhận thức, trong vận dụng lý thuyết
vào giải bài tập. Trong quá trình xây dựng hệ thống bài tập, chúng tôi cũng nhấn
mạnh đến việc đưa ra những bài tập có thể dẫn tới sai lầm.
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập
2.2.1. Một số bài tập loại 1: Các bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản,
gần gũi với thực tế
Bài 1.1. Bắn liên tiếp 3 viên đạn độc lập vào mục tiêu. Gọi X là số viên
đạn trúng đích trong 3 viên. Tính kỳ vọng của X biết rằng xác suất trúng đích
của mỗi viên là 0,5.
Bài 1.2. Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con). Gọi X là số con trai
trong 2 con. Tìm kỳ vọng của X. Biết xác suất sinh con trai là 0,51.
Bài 1.3. Trong một lô hàng có 500 đơn vị hàng hoá. Tỷ lệ hàng kém phẩm
chất là 5%. Lấy ngẫu nhiên 50 đơn vị hàng hoá. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
X chỉ số hàng hoá kém phẩm chất trong 50 đơn vị hàng được chọn ra.
Bài 1.4. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm xấu. Ta
lấy bất kì từ một lô hàng một mẫu ngẫu nhiên (để kiểm tra ngẫu nhiên) gồm 5

sản phẩm.
Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X chỉ số sản phẩm xấu trong mẫu.
Bài 1.5. Một nhóm có 7 người trong đó có 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu
nhiên ra 3 người. Gọi
X
là số nữ có trong nhóm được chọn. Lập bảng phân bố
xác suất của
X
. Tính
EX
và VX.
Bài 1.6. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một túi có 6 bi đen, 4 bi trắng. Xét hai
bài toán sau:
a) Nếu chọn được 1 bi trắng sẽ được thưởng 200 đô la. Gọi
Y
là số tiền
nhận được. Tính kỳ vọng của
Y
.

23

b) Nếu chọn được 1 bi trắng sẽ được thưởng 200 đô la và chọn được 1 bi
đen sẽ được thưởng 300 đô la. Gọi
Z
là số tiền nhận được. Tính kỳ vọng của
Z
.
Bài 1.7. Gieo 1000 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là p = 0,8.
Gọi X là số hạt nảy mầm trong 100 hạt. Tìm kỳ vọng, phương sai của X .

Bài 1.8. Một lô sản phẩm gồm 200 sản phẩm tỷ lệ phế phẩm là 0,05. Lấy
ngẫu nhiên liên tiếp (có hoàn lại) 30 sản phẩm. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Bài 1.9. Một xí nghiệp có hai ôtô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày
làm việc các ôtô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi
X
là số ôtô bị hỏng
trong thời gian làm việc. Lập bảng phân bố xác suất, tính kỳ vọng
EX
và
phương sai
VX
của
X
.
Bài 1.10. Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và 1 phế phẩm. Người
ta lấy ra lần lượt 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại).
a) Gọi
X
là “số phế phẩm có thể gặp phải”. Lập bảng phân bố xác suất của
X
. Tính kỳ vọng
EX
và phương sai
VX
.
b) Gọi
Y
là “số chính phẩm có thể nhận được”. Lập hệ thức cho biết mối
quan hệ giữa Y và
X

. Tính kỳ vọng
EY
và phương sai
VY
.
Bài 1.11. Tỷ lệ suy dinh dưỡng ở các tỉnh miền Tây Nguyên là 35,8%.
Khảo sát ngẫu nhiên 50 trẻ ở vùng này. Gọi X là số trẻ suy dinh dưỡng (SDD)
trong 50 trẻ nói trên. Hỏi:
a) X có phân phối gì?
b) Tính E(X), V(X).
c) Số trẻ SDD có khả năng xảy ra cao nhất là bao nhiêu?
d) Có khả năng xảy ra tình huống cả 50 trẻ bị suy dinh dưỡng hay không?
Bài 1.12. Hai xạ thủ A và B tập bắn. Mỗi người bắn hai phát. Xác suất
bắn trúng đích của A trong mỗi lần bắn là 0,4; còn của B là 0,5.
a) Gọi
X
là số phát bắn trúng của A trừ đi số phát bắn trúng của B. Tìm
phân bố xác suất của
X
, kỳ vọng
EX
và phương sai
VX
.
b) Tìm phân bố xác suất của
Y X=
và kỳ vọng
EY
.

24

Bài 1.13. Số ca cấp cứu của một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến
ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

25