Một số phương pháp giải các bài toán biên Elliptic

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 6
1.1. Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . 6
1.1.1. Không gian C
k
(
¯
Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Không gian W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lí nhúng . 8
1.1.5. Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Lí thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc hai tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . 11
1.2.3. Các bài toán biên thường gặp . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . 14
1.3. Phương pháp lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Phương pháp lặp giải phương trình toán tử . . . . . . . . 20
Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN
BIÊN ELLIPTIC 23
2.1. Phương pháp chia miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Giới thiệu về phương pháp chia miền . . . . . . . . 23
2.1.2. Phương pháp chia miền Saito-Fujita . . . . . . . . 27

2.1.3. Phương pháp chia miền Dang Quang A-Vu Vinh
Quang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Tính nhất quán của lược đồ sai phân . . . . . . . . 41
2.2.2. Sự ổn định của lược đồ . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3. Các ứng dụng trong cơ học . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4. Sai phân hữu hạn cho phương trình elliptic . . . . 43
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3. Phương pháp Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
2.3.2. Giải bài toán Dirichlet trong mặt tròn bằng phương
pháp tách biến (phương pháp Fourier) . . . . . . . 60
2.3.3. Giải bài toán Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.4. Giải bài toán biên trên hình chữ nhật . . . . . . . 69
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kết luận 73
Tài liệu tham khảo 74
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, toán học
ngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, vào các nghành khoa học
khác như: Hóa học, sinh học, tin học, và đặc biệt là trong vật lí. Các
hiện tượng vật lí trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phải mô
tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Mỗi loại phương trình đạo hàm
riêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm
phù hợp với hiện tượng vật lí quan sát.
Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kĩ thuật thông qua mô
hình hóa toán học đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình

đạo hàm riêng.
Các bài toán biên thường được xét đến là các bài toán biên elliptic
gồm có: Bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toán biên hỗn hợp.
Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản (miền hình học là
miền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng, ) có thể tìm được
nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích, chẳng hạn như phương
pháp Fourier. Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh
không có hoặc rất phức tạp.
Hơn nữa, một số bài toán trong thực tế chỉ yêu cầu tìm nghiệm của bài
toán tại một số điểm rời rạc nào đó. Khi đó, chúng ta buộc phải sử dụng
các phương pháp giải gần đúng, chủ yếu là phương pháp số như phương
pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp đặc trưng.
Các phương pháp này rời rạc hóa bài toán và hầu hết đưa về việc giải
phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn, dẫn đến nhu cầu phát triển các
phương pháp hữu hiệu để giải các hệ phương trình lưới.
Tuy nhiên, khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ
số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp nào
đó cho cả miền sẽ gặp rất nhiều khó khăn.
Vì vậy trong nhiều năm qua, người ta đã và đang phát triển các phương
3
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
pháp với mục đích chính là đưa các bài toán biên trong miền hình học phức
tạp về một dãy các bài toán biên trong miền hình học đơn giản để có thể
sử dụng các thuật toán hữu hiệu đã được phát triển cho các miền đơn giản
này. Các phương pháp trên có tên gọi là các phương pháp chia miền.
Tóm lại, có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán biên elliptic,
việc có thể tìm được nghiệm tường minh hay chỉ có thể giải gần đúng
nghiệm của bài toán đó phụ thuộc vào các điều kiện biên tương ứng. Và
trong các trường hợp cụ thể khi giải các bài toán biên elliptic thì việc áp
dụng phương pháp nào là hợp lí, giúp ta tìm được nghiệm của bài toán với

độ chính xác cao nhất là một vấn đề cần nghiên cứu. Với lí do như vậy em
đã quyết định nghiên cứu đề tài: "Một số phương pháp giải các bài
toán biên elliptic".
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic. Việc
nghiên cứu sẽ giúp ta hiểu rõ hơn về các bài toán biên elliptic, các phương
pháp giải và một số ứng dụng của phương trình elliptic trong vật lí. Đồng
thời cũng chỉ ra rằng chỉ có một số ít các bài toán biên elliptic có thể tìm
được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích, còn đa số các bài
toán đó ta chỉ có thể tìm được nghiệm gần đúng bằng các phương pháp
số.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng chính mà khóa luận nghiên cứu là các kiến thức liên quan
đến phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic và một số phương
pháp giải các bài toán biên elliptic.
Phạm vi nghiên cứu là một số phương pháp giải các bài toán biên
elliptic.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương trình elliptic để hệ thống
lại các kiến thức về các bài toán biên elliptic.
Nghiên cứu ba phương pháp giải các bài toán biên elliptic, gồm:
Phương pháp chia miền, phương pháp sai phân và phương pháp Fourier
(phương pháp tách biến).
Lựa chọn, phân loại và đưa ra các ví dụ, bài tập áp dụng ba phương
pháp trên trong việc giải một số bài toán biên elliptic cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, các tài liệu có liên
4
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
quan đến phương trình elliptic, các bài toán biên và điều kiện biên elliptic,

một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic, gồm : Phương pháp chia
miền, phương pháp sai phân (phương pháp lặp) và phương pháp Fourier
(phương pháp tách biến) nắm được các khái niệm cơ bản về phương trình
elliptic và cơ sở của ba phương pháp trên.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các
kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Đề tài này hệ thống lại các kiến thức liên quan đến
phương trình elliptic, các bài toán biên elliptic và các phương pháp giải
các bài toán biên đó.
Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài giúp tôi hiểu rõ hơn về phương trình elliptic.
Đồng thời sản phẩm của đề tài có thể phần nào trợ giúp cho các bạn sinh
viên chuyên ngành toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trình
đạo hàm riêng và các ứng dụng của nó trong vật lí.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung
khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm, phương trình
elliptic, lí thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử, lí thuyết
về phương pháp sai phân, Đây là những kiến thức quan trọng làm nền
tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong chương sau.
Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic
Trình bày ba phương pháp giải các bài toán biên elliptic: Phương pháp
Fourier, phương pháp chia miền (phương pháp lặp), phương pháp sai phân
(phương pháp lưới) và một số ví dụ, bài tập áp dụng cho từng phương
pháp.
5
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm
1.1.1 Không gian C
k
(
¯
Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n
và
¯
Ω là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C
k
(
¯
Ω) (k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm
có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong biên Ω, liên tục trong
¯
Ω. Ta đưa vào
C
k
(
¯
Ω) chuẩn
||u||
C
k
(
¯
Ω)
=


|α|=k
max
x∈
¯
Ω
|D
α
u(x)|, (1.1)
trong đó α = (α
1
, , α
n
) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ
nguyên không âm, |α| = α
1
+ + α
n
,
D
α
u =
∂
α
1
+ +α
n
u
∂x
1

α
1
∂x
n
α
n
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong
¯
Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C
k
(
¯
Ω) với chuẩn
(1.1) là một không gian Banach.
1.1.2 Không gian L
p
(Ω)
Giả sử Ω là một miền trong R
n
và p là một số thực dương. Ta kí hiệu
L
p
(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

Ω
|f(x)|
p
dx < ∞, (1.2)
6

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Trong L
p
(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trong Ω. Như
vậy các phần tử của L
p
(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa
mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
|f(x) + g(x)|
p
≤ ( |f(x)| + |g(x)|)
p
≤ 2
p
( |f(x)|
p
+ |g(x)|
p
)
nên rõ ràng L
p
(Ω) là một không gian vectơ.
Với mỗi u ∈ L
p
(Ω), ta đưa vào L
p
(Ω) chuẩn ||.||
p
được xác định bởi

||u||
p
=


Ω
|u(x)|
p
dx

1/p
.
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Hoder)
Giả sử p và q là một cặp số mũ liên hợp, 1 < p < ∞. Khi đó, nếu
u ∈ L
p
(Ω), v ∈ L
q
(Ω) thì

Ω
|u(x)v(x)|dx ≤ ||u||
p
||v||
q
,
trong đó q = p/(p − 1), tức là
1
p
+

1
q
= 1, q được gọi là số mũ liên hợp đối
với p.
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Minkowski)
Giả sử 1 ≤ p < ∞. Nếu f, g ∈ L
p
(Ω) thì f + g ∈ L
p
(Ω), và
||f + g||
p
≤ ||f||
p
+ ||g||
p
.
Định lý 1.3. Không gian L
p
(Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach.
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω)
Định nghĩa 1.4. Cho Ω là miền trong R
n
. Hàm u(x) được gọi là khả tích
địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x
0
∈ Ω
đều tồn tại một lân cận ω của x

0
để u(x) khả tích trong Ω.
Định nghĩa 1.5. Cho Ω là miền trong R
n
. Giả sử u(x), v(x) là hai hàm
khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

Ω
u
∂
k
ϕ
∂x
1
k
1
∂x
n
k
n
dx = (−1)
k

Ω
vϕdx
7
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0

(Ω), k = k
1
+ + k
n
, k
i
≥ 0, k
i
∈ Z (i = 1, 2, ,
n). Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Kí hiệu
v(x) =
∂
k
u
∂x
1
k
1
∂x
n
k
n
.
Định nghĩa 1.6. Giả sử p là một số thực, 1≤ p < ∞, Ω là miền trong
R
n
. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như sau:

W
1,p
(Ω) =

u|u ∈ L
p
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
p
(Ω), i = 1, 2, , n

,
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2, ta kí hiệu W
1,2
(Ω) = H
1
(Ω), nghĩa là
H
1
(Ω) =

u|u ∈ L
2
(Ω),
∂u
∂x

i
∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n

.
Bổ đề 1.7.
i) Không gian W
1,p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
||u||
W
1,p
(Ω)
= ||u||
L
p
(Ω)
+
n

i=1




∂u
∂x
i





L
p
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
H
1
(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1

∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i


L
2
(Ω)
, ∀u, v ∈ H
1
(Ω).
1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lí nhúng
Định nghĩa 1.8. Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nó giới
nội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các hệ tọa độ
địa phương x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n
và m hàm a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1

), r = 1, 2, ,
m liên tục trong các khối (n - 1) chiều K
(r)
sao cho
i) Mỗi điểm x của biên ∂Ω có thể biểu diễn ít nhất một hệ tọa độ dạng
x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
, a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
))
ii) Các điểm x = (x
(r)
1
, x

(r)
2
, , x
(r)
n−1
, x
(r)
n
) thỏa mãn
|x
(r)
i
| < α, i = 1, 2, , n − 1
8
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
và
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) < x
(r)
n

< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) + β
hoặc
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) − β < x
(r)
n
< a
r
(x

(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
)
nằm trong hoặc nằm ngoài
¯
Ω.
iii) Mỗi hàm a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
), r = 1, 2, , m thỏa điều kiện Lips-
chitz trên khối K
(r)
, tức là với mọi (x
(r)
1
, x

(r)
2
, , x
(r)
n−1
), (y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
) ∈
K
(r)
, tồn tại hằng số dương L sao cho
|a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) − a

r
(y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
)| ≤
≤ L[(x
(r)
1
− y
(r)
1
)
2
+ + (x
(r)
n−1
− y
(r)
n−1
)
2
]
1/2
.

Định lý 1.9. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhúng liên tục với q = q
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
(Ω) ⊂ C

0
(
¯
Ω) là nhúng compact.
1.1.5 Khái niệm vết của hàm
Định nghĩa 1.10. Không gian Sobolev W
1,p
0
(Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W
1,p
(Ω).
Không gian H
1
0
(Ω) được định nghĩa bởi
H
1
0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
Định lý 1.11. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q

(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(
¯

Ω) là nhúng compact.
9
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Định lý 1.12. (Định lí vết)
Giả sử Ω là tập mở trong R
n
với biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó,
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H
1
(Ω) −→ L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kì u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(
¯
Ω) ta có γ(u) = u |
∂Ω
. Hàm γ(u) được
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.13. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H
1/2
(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là:
H
1/2
(∂Ω) = γ(H

1
(Ω)).
Định lý 1.14.
i) H
1/2
(∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
||u||
2
H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
|u(x)|
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
|u(x) − u(y)|
2
|x − y|
n+1
dS
x
dS

y
.
ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) sao cho:
||γ(u)||
H
1/2
(∂Ω)
≤ C
γ
(Ω)||u||
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
Khi đó, C
γ
(Ω) được gọi là hằng số của vết.
Bổ đề 1.15. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω)
có các tính chất sau:
i) Tập {u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R

n
)} trù mật trong H
1/2
(∂Ω).
ii) Nhúng H
1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1/2
(∂Ω) −→ u
g
∈ H
1
(Ω)
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho
||u
g
||
H
1
(Ω)
≤ C
1

(Ω)||g||
H
1/2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H
1/2
(∂Ω).
Bổ đề 1.16. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H
1
0
(Ω) = {u|u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
Định lý 1.17. (Bất đẳng thức Poincare)
Tồn tại hằng số C
Ω
sao cho:
||u||
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
||∇u||
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1

0
(Ω).
10
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
1.2 Lí thuyết về phương trình elliptic
1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc hai tuyến tính
Xét phương trình tuyến tính cấp hai:
a(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+ 2b(x, y)
∂
2
u
∂x∂y
+ c(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+ F (x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y

) = 0, (1.4)
ở đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận nào
đó U ⊂ R
2
. Xét phương trình sau:
det




a − λ b
b c − λ




= λ
2
− (a + c)λ + ac −b
2
= 0. (*)
Nếu b
2
− ac > 0, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu. Trong
trường hợp b
2
− ac = 0 phương trình (*) có một nghiệm bằng 0, còn khi
b
2
−ac < 0 phương trình (*) có hai nghiệm cùng dấu. Theo cách phân loại

ở trên ta có kết luận sau:
i) Phương trình (1.4) là phương trình hyperbolic nếu b
2
− ac > 0.
ii) Phương trình (1.4) là phương trình parabolic nếu b
2
− ac = 0.
iii) Phương trình (1.4) là phương trình elliptic nếu b
2
− ac < 0.
Các dạng phổ biến:
1) Phương trình Laplace (Elliptic) ∆u :=
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0.
2) Phương trình truyền nhiệt (Parabolic):
∂u
∂t
= a
2
∂

2
u
∂x
2
.
3) Phương trình dây rung (Hyperbolic):
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
.
1.2.2 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình:
−∆u = f. (1.5)
Giả sử u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.5) thỏa mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.5).
Lấy hàm ϕ bất kì thuộc D(Ω) = C
∞
0
(Ω) nhân với hai vế của (1.5) rồi

11
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
lấy tích phân ta được:
−

Ω
∆uϕdx =

Ω
fϕdx. (1.6)
Áp dụng công thức Green vào (1.6) và kết hợp với điều kiện ϕ |
∂Ω
= 0
ta có:

Ω
n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u
∂x
i
dx =

Ω
fϕdx, (1.7)
hay


Ω
∇u∇ϕdx =

Ω
fϕdx.
Như vậy, nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.5) thì có (1.7).
Nhưng nếu f ∈ C(Ω) thì phương trình (1.5) không có nghiệm cổ điển. Vậy,
ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L
2
(Ω).
Định nghĩa 1.18. Giả sử u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2
(Ω), u được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.5) nếu (1.7) được thỏa mãn.
Mệnh đề 1.19. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.5) và u ∈
C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −∆u = f.
Chứng minh
Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.5), tức là u ∈ H
1
(Ω) và
ta có (1.7) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C
2
(Ω) ta suy
ra


Ω
(∆u + f)ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Vì D(Ω) trù mật trong L
2
(Ω), ∆u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω)
nên ∆u + f = 0 trong L
2
(Ω). Nhưng vì ∆u liên tục nên ∆u + f ≡ 0 trong
C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.5).
1.2.3 Các bài toán biên thường gặp
• Bài toán Dirichlet
Xét bài toán:

−∆u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.8)
12
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
trong đó f ∈ L
2
(Ω).
Hàm u ∈ H
1
(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.8) nếu
u − w ∈ H
1
0
(Ω), (1.9)
trong đó w là hàm thuộc H
1

(Ω), có vết bằng ϕ và

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω). (1.10)
Nhận xét:
- Nghiệm yếu của bài toán (1.8) là nghiệm yếu của phương trình
−∆u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm
u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn (1.10) với mọi v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω).
- Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.8) và u, f, ϕ đủ trơn thì u là
nghiệm theo nghĩa cổ điển.
• Bài toán Neumann
Xét bài toán:



−∆u = f, x ∈ Ω,

∂u
∂v
= h, x ∈ ∂Ω,
(1.11)
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(
¯
Ω), u ∈ C
2
(
¯
Ω) là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình −∆u = f với v ∈ H
1
(Ω) rồi lấy tích
phân ta được:
−

Ω
v∆udx =

Ω
vfdx. (1.12)
Áp dụng công thức Green vào (1.12) ta có:
−

∂Ω
v
∂u
∂v
dS +


Ω
∇u∇vdx =

Ω
vfdx,
kết hợp với (1.11) ta suy ra

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx +

∂Ω
hvdS, ∀v ∈ H
1
(Ω). (1.13)
Định nghĩa 1.20. Nếu h ∈ L
2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.11) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn (1.13).
13
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Nhận xét:
Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ có một loại điều

kiện biên. Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn hợp. Xét bài toán
sau:







−∆u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ Γ
1
,
∂u
∂v
= h, x ∈ Γ
2
.
Trong trường hợp này, ta đưa vào không gian
V = {v ∈ H
1
(Ω), v |
Γ
1
= 0}.
Giả sử w ∈ H
1
(Ω) : w |
Γ
1

= ϕ. Khi đó, nghiệm yếu của phương trình
−∆u = f với các điều kiện biên trên là hàm u ∈ H
1
(Ω) sao cho u −w ∈ V
và

Ω
∇u∇vdx =

Ω
vfdx +

∂Ω
vhdS, ∀v ∈ V.
1.2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lý 1.21. (Lax-Milgram)
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (v, u). B(v, u) là
dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H, tức là tồn
tại k > 0 sao cho
|B(v, u)| ≤ k ||v||||u||, ∀u, v ∈ H
và tồn tại α > 0 sao cho
B(v, v) ≥ α||v||
2
, ∀v ∈ H.
Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn
trong dạng
F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,
trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và
||z|| ≤
1

α
||F ||.
(Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, z) = F(v)
có duy nhất nghiệm z ∈ H thỏa mãn ||z|| ≤
1
α
||F ||).
14
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
• Bài toán Dirichlet thuần nhất
Xét bài toán:

−∆u = f, x ∈ Ω,
u = 0, x ∈ ∂Ω,
(1.14)
trong đó f ∈ L
2
(Ω). Bài toán (1.14) có nghiệm yếu là hàm u ∈ H
1
0
(Ω) thỏa
mãn
B(u, v) = F (v), ∀v ∈ H
1
0
(Ω), (1.15)
trong đó
B(u, v) =

Ω

∇u∇vdx, F (v) =

Ω
fvdx.
Kiểm tra các điều kiện của định lí Lax-Milgram: Ta thấy B(u, v) là
dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục. Từ đẳng thức Fridrich
C

Ω
|∇v|
2
dx ≥

Ω
|v|
2
dx,
suy ra
(1 + C)

Ω
|∇v|
2
dx ≥ ||v||
2
H
1
(Ω)
.
Do đó

B(v, v) =

Ω
|∇v|
2
dx ≥
1
1 + C
||v||
2
H
1
(Ω)
.
Như vậy, B(u, v) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định
dương trên H.
Theo định lí Lax-Milgram, bài toán (1.15) có nghiệm duy nhất u ∈
H
1
0
(Ω) thỏa mãn
||u||
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)||F ||.
Vì ||v||
L
2
(Ω)

≤ ||v||
H
1
0
(Ω)
nên
||F || = sup
v=0
|F (v)|
||v||
H
1
0
(Ω)
≤ sup
v=0
||f||
L
2
(Ω)
||v||
L
2
(Ω)
||v||
H
1
0
(Ω)
≤ ||f||

L
2
(Ω)
.
Do đó
||u||
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)||f||
L
2
(Ω)
.
15
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
• Bài toán Dirichlet không thuần nhất
Xét bài toán:

−∆u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.16)
trong đó ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω).
Vì ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω) nên tồn tại w ∈ H

1
(Ω) sao cho w|
∂Ω
= ϕ.
Khi đó, nghiệm yếu của bài toán (1.16) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn
điều kiện u − w ∈ H
1
0
(Ω) và
B(u, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
, ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
trong đó
B(u, v) =

Ω
∇u∇vdx.
Theo định lí Lax-Milgram, tồn tại duy nhất z ∈ H
1
0
(Ω) sao cho
B(z, v) = (f, v)
L

2
(Ω)
− B(w, v). (1.17)
Khi đó, hàm u = w + z là nghiệm yếu của bài toán (1.16). Thật vậy,
ta có u − w ∈ H
1
0
(Ω) và
B(u, v) = B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v) =
= B(w, v) + (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
,
tức là tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.16).
Ta đi đánh giá nghiệm: Theo định lí Lax-Milgram, từ (1.17) ta có
||z||
H
1
0
(Ω)
≤
1
α

sup

v=0
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
||v||
H
1
0
(Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)
||v||
H
1
0
(Ω)

.
Ta thấy
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
||v||
H
1

0
(Ω)
≤ ||f||
L
2
(Ω)
,
B(w, v)
||v||
H
1
0
(Ω)
≤ k
||w||
H
1
0
(Ω)
||v||
H
1
0
(Ω)
||v||
H
1
0
(Ω)
= k||w||

H
1
0
(Ω)
.
16
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Từ đó suy ra
||z||
H
1
0
(Ω)
≤
1
α
(||f||
L
2
(Ω)
+ k||w||
H
1
0
(Ω)
).
Do đó
||u||
H
1

0
(Ω)
≤ ||z||
H
1
0
(Ω)
+ ||w||
H
1
0
(Ω)
≤
≤
1
α
||f||
L
2
(Ω)
+

1 +
k
α

||w||
H
1
0

(Ω)
.
Do ánh xạ vết liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho
||w||
H
1
0
(Ω)
≤ C||ϕ||
H
1/2
(∂Ω)
.
Kết hợp các điều kiện trên ta suy ra
||u||
H
1
0
(Ω)
≤ C
1
||f||
L
2
(Ω)
+ C
2
||ϕ||
H
1/2

(∂Ω)
.
1.3 Phương pháp lưới
Khi giải bài toán phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp lưới,
người ta thường phải thực hiện các công đoạn sau:
- Rời rạc hóa miền Ω. Sai phân hóa điều kiện bờ (biên).
- Thay toán tử vi phân bằng toán tử sai phân.
- Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thu được.
- Khảo sát sự hội tụ và ổn định của lược đồ sai phân.
Trước hết, ta chọn bước lưới theo x, y là h, l tương ứng. Kẻ trên miền
¯
Ω = Ω ∪ ∂Ω những đường thẳng x = x
m
:= mh, y = y
n
:= nl.
Giao điểm của các đường thẳng đó gọi là điểm lưới (m, n) := (x
m
, y
n
).
Điểm kề của (m, n) là các điểm (m ± 1, n) và (m, n ± 1).
Kí hiệu:
¯
Ω
h
là tập hợp {(m, n) : (m, n) ∈
¯
Ω}.
Tập các điểm trong Ω

h
:= {(m, n) ∈
¯
Ω : (m ± 1, n); (m, n ± 1) ∈
¯
Ω}.
Tập các điểm biên là Γ
h
:=
¯
Ω
h
\Ω
h
.
Ta sẽ tìm gần đúng nghiệm u tại các điểm của Ω
h
. Nếu lưới càng mau
thì nghiệm gần đúng cho ta hình dung nghiệm của bài toán liên tục càng
chính xác hơn.
Bây giờ chúng ta chuyển sang xấp xỉ các điều kiện biên (bờ).
17
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
1. Bài toán Dirichlet
Ta dùng phương pháp nội suy tuyến tính để biểu diễn u
A
qua u
C
và
u

B
1
= ϕ(B
1
):
u
A
− u
B
1
δ
=
u
C
− u
B
1
δ + h
=⇒ u
A
=
δ
δ + h
u
C
+
h
δ + h
u
B

1
=⇒ u
A
=
δ
δ + h
u
C
+
h
δ + h
ϕ(B
1
) + O(h
2
).
2. Bài toán Neumann
Kẻ pháp tuyến từ Q cắt Γ := ∂Ω tại Q
1
và cắt cạnh lưới gần nhất tại
R.
∂u
∂n
(Q) 
u(R) − u(Q)
RQ
=
u(R) − u(Q)
l/ cos α
.

Mặt khác
u
R
− u
M
RM
=
u
N
− u
M
h
,
trong đó RM = h − RN = h − l tan α.
Từ đây suy ra u
R
= ηu
M
+ vu
N
, trong đó
v =

1 −
l tan α
h

; η =
l tan α
h

.
Ta được một phương trình liên hệ giữa u
M
, u
N
và u
Q
:
∂u
∂n
(Q) = ϕ(Q
1
) =
ηu
M
+ vu
N
− u
Q
l/ cos α
.
Ta chuyển sang nghiên cứu bước tiếp theo: Thay toán tử vi phân bằng
toán tử sai phân. Từ công thức Taylor:
u
m±1,n
= u
mn
± h
∂u
mn

∂x
+
1
2!
h
2
∂
2
u
mn
∂x
2
±
±
h
3
3!
∂
3
u
mn
∂x
3
+
h
4
4!
∂
4
u

mn
∂x
4
+ O(h
5
),
ta suy ra:
∂
2
u
mn
∂x
2
=
u
m+1,n
− 2u
mn
+ u
m−1,n
h
2
+ O(h
2
),
18
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
∂u
mn
∂x

=
u
m+1,n
− u
m−1,n
2h
+ O(h
2
).
Tương tự
∂
2
u
mn
∂y
2
=
u
m,n+1
− 2u
mn
+ u
m,n−1
l
2
+ O(l
2
),
∂u
mn

∂y
=
u
m,n+1
− u
m,n−1
2l
+ O(l
2
).
Thay các đạo hàm trong công thức
L(u) := a
∂
2
u
∂x
2
+ b
∂
2
u
∂y
2
+ c
∂u
∂x
+ d
∂u
∂y
+ gu = f, (1.18)

bằng sai phân tương ứng, bỏ qua số hạng O(h
2
+ l
2
), ta được phương trình
sai phân sau:
L
h
(u
mn
) : = a
mn
u
m+1,n
− 2u
mn
+ u
m−1,n
h
2
+ b
mn
u
m,n+1
− 2u
mn
+ u
m,n−1
l
2

+
+ c
mn
u
m+1,n
− u
m−1,n
2h
+ d
mn
u
m,n+1
− u
m,n−1
2l
+ g
mn
u
mn
= f
mn
, (m, n) ∈ Ω
h
.
Người ta gọi đây là sơ đồ 5 điểm vì trong phương trình này có mặt
hàm u tính tại 5 điểm (m, n); (m ± 1, n); (m, n ± 1).
Gộp các số hạng đồng dạng trong phương trình trên, ta được:
L
h
(u

mn
) := A
mn
u
m+1,n
+B
mn
u
m−1,n
+C
mn
u
m,n+1
+D
mn
u
m,n−1
−E
mn
u
mn
= f
mn
,
trong đó:
A
mn
=
a
mn

h
2
+
c
mn
2h
; B
mn
=
a
mn
h
2
−
c
mn
2h
; C
mn
=
b
mn
l
2
+
d
mn
2l
;
D

mn
=
b
mn
l
2
−
d
mn
2l
; E
mn
=
2a
mn
h
2
+
2b
mn
l
2
− g
mn
.
Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) a, b > 0, ∀(x, y) ∈ Ω (điều kiện để L(u) là toán tử elliptic).
ii) g ≤ 0, ∀(x, y) ∈ Ω (điều kiện để (1.18) có nghiệm).
Dễ thấy nếu các điều kiện i), ii) thỏa mãn thì khi h, l > 0 đủ bé,
A

mn
, B
mn
, C
mn
, D
mn
, E
mn
> 0 trên
¯
Ω
h
.
Để chứng minh hệ phương trình sai phân

L
h
(u
mn
) = f
mn
,
u
mn
|
∂Ω
h
= ϕ
mn

,
19
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
giải được duy nhất, ta cần chứng tỏ hệ phương trình (tuyến tính) thuần
nhất tương ứng

L
h
(u
mn
) = 0,
u
mn
|
∂Ω
h
= 0,
chỉ có nghiệm tầm thường.
1.4 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử
• Lược đồ lặp hai lớp:
Xét bài toán:
Au = f, (1.19)
trong đó A : H −→ H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
n chiều H với tích vô hướng (,) và chuẩn ||y|| =

(y, y).
Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H là vectơ tùy ý.
Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y
0
∈ H, y

0
bất kì, người ta đưa ra
cách xác định nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2
, , y
k
, của phương trình (1.19). Các
xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2,
Bản chất của những phương pháp này là giá trị y
k+1
có thể được tính thông
qua các giá trị lặp trước: y
k
, y
k−1
,
Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước
nếu xấp xỉ y
k+1
có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị lặp trước
đó.
Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:
B
k
y
k+1
− y
k

θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.20)
trong đó θ
k+1
là các tham số lặp.
Giả thiết B
k
là toán tử tuyến tính từ H vào H, tồn tại toán tử ngược
B
−1
k
. Do đó từ (1.20) ta có:
y
k+1
= y
k
− θ
k+1
B
−1
k
(Ay
k
− f), (1.21)
hoặc dạng tương tự
y
k+1

= y
k
− θ
k+1
B
−1
k
r
k
= y
k
− θ
k+1
w
k
,
trong đó r
k
= Ay
k
− f và w
k
= B
−1
k
r
k
là phần hiệu chỉnh.
20
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Với y
k
đã biết, giá trị của y
k+1
có thể được tính từ (1.21). Biết y
0
ta
xác định được y
1
, y
2
, Tất nhiên nó chỉ có nghĩa khi phép lặp hội tụ, tức
là
||y
k
− u|| −→ 0 khi k −→ ∞.
Thông thường, nghiệm được tìm với độ chính xác ε

liên quan đến
độ chính xác
||y
k
− u||
||y
0
− u||

, có nghĩa là sự tính toán được dừng khi
||y
k

− u|| ≤ ε||y
0
− u||. (1.22)
Vì u chưa biết nên ta thay điều kiện (1.22) bằng bất đẳng thức:
||Ay
k
− f|| ≤ θ||Ay
0
− f||. (1.23)
Ta chấp nhận điều kiện dừng
||y
k
− u||
D
≤ θ||y
0
− u||
D
, (1.24)
trong đó, D là toán tử đối xứng, xác định dương. Với D = A
2
, từ (1.24) ta
suy ra được (1.23).
Bây giờ chúng ta xét phương trình liên quan đến phần dư: z
k
= y
k
−u.
Từ Au = f ta có
B

k
z
k+1
− z
k
θ
k+1
+ Az
k
, k = 0, 1, 2, (1.25)
trong đó z
0
∈ H được biết.
Từ (1.25) ta thấy
z
k+1
= S
k+1
z
k
, S
k+1
= E − θ
k+1
B
−1
k
A,
trong đó S
k+1

là toán tử chuyển tiếp từ lớp thứ k tới lớp thứ k + 1. Với
k = n −1 ta có:
z
n
= T
n
z
0
, T
n
= S
n
S
n−1
S
2
S
1
.
Ta có đánh giá
||z
n
||
D
= ||T
n
z
0
||
D

≤ ||T
n
||
D
||z
0
||
D
,
hay
||z
n
||
D
≤ q
n
||z
0
||
D
, q
n
= ||T
n
||
D
.
Từ đó ta suy ra điều kiện dừng là q
n
≤ ε. Từ đây dẫn đến vấn đề về

sự hội tụ của phép lặp theo ước lượng chuẩn của toán tử T
n
.
21
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Lược đồ (1.20) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình
Au = f với bất kì toán tử B
k
và cách chọn tham số θ
k+1
. Nhưng q
n
phụ
thuộc vào cả B
k
và θ
k+1
. Vấn đề ở đây là nên chọn B
k
và θ
k+1
như thế nào
để cực tiểu chuẩn ||T
n
||
D
= q
n
.
+ Nếu B

k
= E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ lặp hiển
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.26)
Trong trường hợp θ
k
= θ là hằng số, lược đồ (1.26) còn được gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
+ Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ ẩn.
• Lược đồ dừng:
Lược đồ lặp (1.20) với toán tử B
k
= B, tham số θ
k+1
= θ không đổi
(k = 0, 1, 2, ) còn gọi là lược đồ lặp dừng.
B
y
k+1
− y
k

θ
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.27)
Trong trường hợp này, phương trình (1.25) liên hệ với sai số xấp xỉ
z
k
= y
k
− u có dạng:
B
z
k+1
− z
k
θ
+ Az
k
= 0, z
0
= y
0
− u, k = 0, 1, 2, (1.28)
Toán tử B nói chung là không đối xứng, có toán tử ngược B
−1
.
22
Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC

2.1 Phương pháp chia miền
2.1.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền
Trong phần này, chúng tôi trình bày cơ sở toán học của phương pháp
chia miền bao gồm giới thiệu khái niệm về các điều kiện chuyển giao qua
biên chung, các công thức biến phân, các sơ đồ lặp ở mức vi phân và ứng
dụng của toán tử Steklov-Poincare đối với phương pháp chia miền.
Xét bài toán:

−∆u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(2.1.1)
trong đó Ω là miền d chiều (d = 2, 3) với biên ∂Ω liên tục Lipschitz, f là
hàm thuộc không gian L
2
(Ω), ϕ là hàm thuộc không gian H
1/2
(∂Ω).
Giả sử miền Ω được chia thành hai miền con không giao nhau Ω
1
, Ω
2
.
Ta kí hiệu: Γ =
¯
Ω
1
∩
¯
Ω
2

, Γ
1
= ∂Ω
1
\Γ, Γ
2
= ∂Ω
2
\Γ. Ta cũng giả sử Γ là biên
liện tục Lipschitz (d-1) chiều.
Kí hiệu u
i
là giá trị của nghiệm u của bài toán (2.1.1) trong miền
Ω
i
, n
i
là hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ω
i
∩ Γ(i = 1, 2).
23
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
Khi đó, bài toán (2.1.1) có thể viết lại dưới dạng đa miền như sau:
























−∆u
1
= f, x ∈ Ω
1
,
u
1
= ϕ, x ∈ Γ
1
,
u
1
= u
2

, x ∈ Γ,
∂u
2
∂n
2
= −
∂u
1
∂n
1
, x ∈ Γ,
u
2
= ϕ, x ∈ Γ
2
,
−∆u
2
= f, x ∈ Ω
2
.
(2.1.2)
Các phương trình ba và bốn trong (2.1.2) là các điều kiện chuyển tiếp
trên biên phân chia. Về mặt ý nghĩa vật lí, chúng mô tả điều kiện liên tục
của hàm và đạo hàm khi biến thiên qua biên chung Γ giữa hai miền con
Ω
1
và Ω
2
.

Như vậy, việc giải bài toán trong miền Ω được đưa về việc giải bài
toán trong hai miền con. Nghiệm của bài toán trong hai miền con phải
đảm bảo điều kiện chuyển tiếp qua biên phân chia. Điểm mấu chốt là phải
xác định được điều kiện trên biên phân chia giữa hai miền con.
Kí hiệu g là giá trị chưa biết của u trên Γ. Với i = 1, 2, ta xét hai bài
toán biên Dirichlet:





−∆w
i
= f, x ∈ Ω
i
,
w
i
= ϕ, x ∈ Γ
i
,
w
i
= g, x ∈ Γ.
(2.1.3)
Ta có thể biểu diễn w
i
= u
0
i

+ u
∗
i
, trong đó u
0
i
và u
∗
i
là nghiệm của các
bài toán Dirichlet sau:





−∆u
0
i
= 0, x ∈ Ω
i
,
u
0
i
= 0, x ∈ Γ
i
= ∂Ω
i
\Γ,

u
0
i
= g, x ∈ Γ,
(2.1.4)





−∆u
∗
i
= f, x ∈ Ω
i
,
u
∗
i
= ϕ, x ∈ Γ
i
= ∂Ω
i
\Γ,
u
∗
i
= 0, x ∈ Γ.
(2.1.5)
Với mỗi i = 1, 2, u

0
i
xác định ở (2.1.4) được gọi là mở rộng điều hòa
của g vào Ω
i
và được kí hiệu là H
i
g. Ta kí hiệu G
i
f thay cho u
∗
i
.
24
Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An
So sánh (2.1.2) và (2.1.3) ta thấy: w
i
= u
i
(i = 1, 2) khi và chỉ khi:
∂w
1
∂n
1
=
∂w
2
∂n
1
, x ∈ Γ.

Phương trình trên tương đương với
∂H
1
g
∂n
1
+
∂G
1
f
∂n
1
=
∂G
2
f
∂n
1
+
∂H
2
g
∂n
1
, x ∈ Γ,
hay
∂H
1
g
∂n

1
+
∂H
2
g
∂n
2
= −
∂G
1
f
∂n
1
−
∂G
2
f
∂n
2
, x ∈ Γ.
Như vậy, giá trị g trên biên chung phải thỏa mãn phương trình:
Sg = χ, x ∈ Γ, (2.1.6)
trong đó χ =
∂G
2
f
∂n
1
−
∂G

1
f
∂n
1
= −

2
i=1
∂G
i
f
∂n
i
, S là toán tử được định nghĩa
bởi
Sη =
∂H
1
η
∂n
1
−
∂H
2
η
∂n
1
=
2


i=1
∂H
i
η
∂n
i
.
Toán tử S có thể tách thành S = S
1
+ S
2
, trong đó S
i
, i = 1, 2 là các
toán tử Steklov-Poincare tương ứng với miền Ω
i
, (i = 1, 2) được định nghĩa
như sau:
Định nghĩa 2.1. Toán tử S
i
được gọi là toán tử Steklov-Poincare tương
ứng với miền Ω
i
(i = 1, 2) nếu S
i
ξ =
∂H
i
ξ
∂n

i
, trong đó H
i
ξ là mở rộng điều
hòa của ξvào Ω
i
,
ξ ∈ H
1/2
00
(Γ) = {v|
Γ
: v ∈ H
1
0
(Ω)}.
Phương trình (2.1.6) được gọi là phương trình Steklov-Poincare. Ta
cũng sử dụng các toán tử S
−1
i
(i = 1, 2) và gọi là các toán tử Poincare-
Steklov.
Xuất phát từ công thức đa miền, phương tình Steklov- Poincare, các
toán tử Steklov- Poincare, một số nhà toán học trên thế giới đã đề xuất
các phương pháp lặp cơ sở để xét một dãy các bài toán trong miền con
Ω
1
, Ω
2
với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann tương ứng. Các

phương pháp đó được thực hiện bởi một trong các sơ đồ lặp sau đây:
* Các sơ đồ lặp cơ bản:
25