TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ ĐI QUA MỘT ĐIỂM ĐÃ CHO

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – DĐ 0985128747


1



TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ y=f(x) (C) ĐI QUA MỘT ĐIỂM M
1
(x
1
;y
1
)

Các bước giải :
CÁCH GIẢI 1 :
1/ Tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) có phƣơng trình
y = f ’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
(1) , với y

0
= f(x
0
)
2/Tiếp tuyến (d) đi qua điểm M
1
(x
1
; y
1
) nên tọa độ điểm M
1
thỏa mãn phƣơng
trình của (d).Thay tọa độ của M
1
vào phƣơng trình của (d) ,ta đƣợc phƣơng trình :
y
1
= f ’(x
0
)(x
1
– x
0
) + y
0
(2) , ẩn x
0
(x
0

là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến).
Tìm đƣợc x
0
thay vào phƣơng trình (1) , ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến cần lập
- Phƣơng trình (2) có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y = f(x) đi qua điểm M
1
(x
1
; y
1
)

CÁCH GIẢI 2 :
1/Đƣờng thẳng (d) ,có hệ số góc k,đi qua M
1
(x
1
; y
1
) thì phƣơng trình của (d) là
y = g(x) = k(x – x
1
) + y
1
(d)
2/ Đƣờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) khi hệ phƣơng trình sau
đây có nghiệm :

Đây là hệ phƣơng trình 2 ẩn x, k (Với x là hoành độ tiếp điểm , k là hệ số góc của

tiếp tuyến .
- Hệ phƣơng trình trên có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ
thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M
1
(x
1
; y
1
)

Bài tập :
1/Cho hàm số y = f(x) = - 2x
2
- (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số ,biết tiếp tuyến đi qua
điểm M
1
(2 ; - 15)
2/Cho hàm số y = f(x) = 4x
3
+ x (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số ,biết tiếp tuyến đi qua
điểm M
1
(0 ; 8)
3/ Cho hàm số y = f(x) = x
4
– 2x
2
– 3 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số ,biết tiếp tuyến đi qua
điểm M
1
(2 ; 5)

Biến tướng của dạng bài tập trên có nhiều , dưới đây là một bài tập mẫu
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – DĐ 0985128747


2




Bài tập :Tìm trên trục Oy những điểm mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến với đồ thị
hàm số y = -x
4
+ 2x
2
+ 1 (C)
Lời giải : Hàm số : y = -x
4
+ 2x
2
+ 1 (C) TXĐ : R
- Gọi B(0;m) là điểm trên trục Oy mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến với đồ thị (C)
của hàm số y = -x
4
+ 2x
2

+ 1. Ta tìm giá trị m (Tức là tìm tọa độ điểm B)
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x
4
+ 2x
2
+ 1 tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) có phƣơng trình
là : y = f ’(x
0
)(x- x
0
) + y
0
Tức là : y = (-4 + 4 )(x - (d)
-Tiếp tuyến (d) đi qua điểm B(0 ; m) nên tọa độ của điểm B thỏa mãn phƣơng
trình của (d) : m = (-4 + 4 )(0 - m = 3 - (*)
-Để từ điểm B (0;m) kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến thì phƣơng trình (*) phải có đúng 3
nghiệm . (Tìm m để phƣơng trình (*) có đúng 3 nghiệm)
- Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x) = 3 - .Chú ý y = m là đƣờng
thẳng song song với trục Ox ,từ đó suy ra m = 1thì ph/trình (*) có đúng 3 nghiệm.
-Với m = 1 thì phƣơng trình (*) có 3 nghiệm là : x
01
= - ; x
02
= 0 ; x

03
=
Đây chính là 3 hoành độ của 3 tiếp điểm .
- Lần lƣợt thay các giá trị của x
0
vào phƣơng trình (d) ta đƣợc phƣơng trình 3 tiếp
tuyến
Trả lời : Điểm cần tìm là B(0 ; 1)