Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Nhiệt liệt chào mừng quý thầy cô
về dự tiết học hôm nay của lớp 10B3

Kiểm tra bài cũ : Cho hệ phương trình :
2x y 5
x 4y 7
+ =


− =

Hãy nêu các cách mà em biết để tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho ?
Hướng dẫn trả lời :
- Phương pháp thế.
- Phương pháp cộng đại số.
- Sử dụng định thức.
- Sử dụng đồ thị.
- Sử dụng máy tính cầm tay.
2x y 5
x 4y 7
+ =


− =

2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =



+ − =

2 2
x xy y 4
x y xy 2

+ + =

+ + =

2
2
x 3x 2y
y 3y 2x

− =


− =


Nếu ta thay một trong hai phương trình hoặc cả hai phương trình của hệ
bởi phương trình bậc hai của hai ẩn, chẳng
hạn :
ta được hệ phương trình bậc hai của hai ẩn.

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Hệ gồm một phương
trình bậc nhất và một

phương trình bậc hai
của hai ẩn.
Hệ phương trình
đối xứng của hai ẩn
Hệ phương trình
đối xứng loại 1
Hệ phương trình
đối xứng loại 2

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Hệ gồm một phương
trình bậc nhất và một
phương trình bậc hai
của hai ẩn.
1) Cách giải :
2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =


+ − =

- Phương pháp thế.
- Phương pháp cộng đại số.
- Sử dụng định thức.
- Sử dụng đồ thị.
- Sử dụng máy tính cầm tay.
2x y 5
x 4y 7

+ =


− =

Vậy từ các phương
pháp mà các em
biết ta có thể sử
dụng phương pháp
nào để giải hệ
trên ?
Nếu sử dụng
phương pháp thế
thì ta phải làm sao ?
-
Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn
rút một ẩn theo ẩn kia;
-
Thay vào phương trình bậc hai của
hai ẩn ta được phương trình bậc hai
theo một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn
tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc
nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :

-
Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn
rút một ẩn theo ẩn kia;
-
Thay vào phương trình bậc hai của
hai ẩn ta được phương trình bậc hai
theo một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn
tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc
nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =


+ − =

2) Ví dụ :
VD1 : Giải hệ phương trình sau :


2 2
y 5 2x
2x y 2xy 25
= −


⇔

+ − =

2 2
y 5 2x
2x (5 2x) 2x(5 2x) 25
= −

⇔

+ − − − =

2
y 5 2x
10x 30x 0
= −

⇔

− =

x 0
y 5 2x
y 5
x 0
x 3
x 3
y 1
 =


= −



=
 

⇔ ⇔
=



=



=

 

= −



Vậy hệ có hai nghiệm (x;y) là : (0;5) và (3;-1)
* Nhận xét : trong một hệ phương trình
hai ẩn nếu có một phương trình bậc nhất
thì ta có thể dùng phương pháp thế.
2 2

x y 3
a) (*)
x y 5
+ =


+ =

2 2
x xy y 4
b) (I)
x y xy 2

+ + =

+ + =

2
2
x 3x 2y
c) (A)
y 3y 2x

− =


− =



trở thành những hệ nào ?
Hoạt động nhóm :
Nếu thay x bởi y và thay y bởi x thì
3 hệ phương trình:

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :
-
Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn
rút một ẩn theo ẩn kia;
-
Thay vào phương trình bậc hai của
hai ẩn ta được phương trình bậc hai
theo một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn
tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc
nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =


+ − =

2) Ví dụ :
VD1 : Giải hệ phương trình sau :

2 2
x y 3
(*)
x y 5
+ =


+ =

2 2
x xy y 4
(I)
x y xy 2

+ + =

+ + =

2
2
x 3x 2y
(A)
y 3y 2x

− =


− =



2 2
y x 3
(**)
y x 5
+ =


+ =

2 2
y yx x 4
(II)
y x yx 2

+ + =

+ + =

2
2
y 3y 2x
(B)
x 3x 2y

− =


− =



Hoạt động nhóm :
Em có nhận xét gì về
hệ (*) và (**); hệ (I) và
(II); hệ (A) và (B) ?
Hệ đối
xứng loại 1
Hệ đối
xứng loại 2
F(x,y) 0

G(x,y) 0
=


=

II. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
1) Hệ đối xứng loại 1 :
a) Dạng :
trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x
thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
Mỗi phương trình
của hệ không thay
đổi

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :
-

Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn
rút một ẩn theo ẩn kia;
-
Thay vào phương trình bậc hai của
hai ẩn ta được phương trình bậc hai
theo một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn
tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc
nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =


+ − =

2) Ví dụ :
VD1 : Giải hệ phương trình sau :


II. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
1) Hệ đối xứng loại 1 :
a) Dạng :
2 2 2 2
2
x y 3 x y 3

x y 5 (x y 2xy) 2xy 5
x y 3
x y 3 S
xy 2 P
(x y) 2xy 5
+ = + =
 
⇔
 
+ = + + − =
 
+ =
+ = =


⇔ ⇔
 
= =
+ − =


2
X 1
X 3X 2 0
X 2
=

− + = ⇔

=


x 1 x 2
hay
y 2 y 1
= =
 
 
= =
 
x, y là nghiệm phương trình :
Vậy hệ có nghiệm :
S x y, P xy
= + =
2
S 4P 0− ≥
2
S 4P 0− ≥
b) Cách giải : Biến đổi hệ xuất hiện x + y, xy.
+ Đặt
( Điều kiện : )
và đưa hệ đã cho về hệ theo hai biến S, P.
+ Giải hệ tìm S, P thỏa điều kiện :
+ Từ S,P ta suy ra x,y là nghiệm phương trinh:
c) Ví dụ :
VD2: Giải hệ phương trình:
2 2
x xy y 4
(I)
x y xy 2


+ + =

+ + =

Hoạt động nhóm :
S x y, P xy= + =
Bằng cách
đặt
hãy đưa hệ
trên về theo hệ theo S, P ?
F(x, y) 0

G(x, y) 0
=


=

trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x
thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
2
X SX P 0
− + =
2 2 2
S 4P (x y) 4xy (x y) 0
− = + − = − ≥

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :
-

Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn
rút một ẩn theo ẩn kia;
-
Thay vào phương trình bậc hai của
hai ẩn ta được phương trình bậc hai
theo một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn
tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc
nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =


+ − =

2) Ví dụ :
VD1 : Giải hệ phương trình sau :


II. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
1) Hệ đối xứng loại 1 :
a) Dạng :
S x y, P xy
= + =
2

S 4P 0− ≥
2
S 4P 0− ≥
b) Cách giải : Biến đổi hệ xuất hiện x + y, xy
+ Đặt
( Điều kiện : )
và đưa hệ đã cho về hệ theo hai biến S, P.
+ Giải hệ tìm S, P thỏa điều kiện :
+ Từ S,P ta suy ra x,y là nghiệm phương trình:
c) Ví dụ :
VD2: Giải hệ phương trình:
2 2
x xy y 4
(I)
x y xy 2

+ + =

+ + =

Hoạt động nhóm :
2
S 4P 0− ≥
F(x, y) 0

G(x, y) 0
=


=


Trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x
thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
S x y, P xy= + =
Bằng cách
đặt
hãy đưa hệ
trên về theo hệ theo S, P ?
S x y, P xy
= + =
2 2 2 2
x xy y (x y) xy S P+ + = + − = −
2
S P 4
S P 2

− =

+ =

( Điều kiện : )
Khi đó :
nên (I) trở thành :
Đặt
2
X SX P 0
− + =

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :

-
Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn
rút một ẩn theo ẩn kia;
-
Sau đó thay vào phương trình bậc hai
của hai ẩn ta được phương trình bậc
hai theo một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn
tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc
nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2 2
2x y 5
2x y 2xy 25
+ =


+ − =

2) Ví dụ :
VD1 : Giải hệ phương trình sau :


II. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
1) Hệ đối xứng loại 1 :
a) Dạng :
S x y, P xy
= + =

2
S 4P 0− ≥
2
S 4P 0− ≥
b) Cách giải : Biến đổi hệ xuất hiện x + y, xy
+ Đặt
( Điều kiện : )
và đưa hệ đã cho về hệ theo hai biến S, P.
+ Giải hệ tìm S, P thỏa điều kiện :
+ Từ S,P ta suy ra x,y là nghiệm phương trình:
c) Ví dụ :
VD2: Giải hệ phương trình:
2 2
x xy y 4
(I)
x y xy 2

+ + =

+ + =

Hoạt động nhóm :
2
S 4P 0
− ≥
F(x, y) 0

G(x, y) 0
=



=

Trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x
thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
S x y, P xy
= + =
2 2 2 2
x xy y (x y) xy S P+ + = + − = −
2
S P 4
S P 2

− =

+ =

( Điều kiện : )
Khi đó :
nên (I) trở thành :
Đặt
Hãy giải tiếp hệ tìm S,P.
Sau đó tìm nghiệm của hệ (I) ?
2
X SX P 0− + =

VD2: Giải hệ phương trình :
2 2
x xy y 4
(I)

x y xy 2

+ + =

+ + =

S x y, P xy
= + =
2
S 4P 0− ≥
Bài giải :
2 2 2 2
x xy y (x y) xy S P+ + = + − = −
2
S P 4
S P 2

− =

+ =

Đặt
( Điều kiện : )
Khi đó :
nên (I) trở thành :
2
S S 6 0
P 2 S

+ − =

⇔

= −

S 2
S 2
P 0
S 3
S 3
P 2 S
P 5
 =

 =
 

=
 


⇔ ⇔
= −



= −



= −



=



( nhaän )
( loaïi )
S 2
P 0
=


=

2
X 0
X 2X 0
X 2
=

− = ⇔

=

Với
ta có :
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là :
(0;2) và (2;0)
2 2 2 2

3 3 2 2 2
x y (x y) 2xy S 2P
x y (x y)(x y xy) S(S 3P)
+ = + − = −
+ = + + − = −
* Chú ý :
?:Em hãy cho biết hệ phương trình sau
2 2
x xy y 4
x y xy 2

− + =

− − =

có phải hệ đối xứng loại 1 không ?
y t
= −
2 2
x xt t 4
x t xt 2

+ + =

+ + =

Đặt
hệ trở thành :
là hệ đối xứng của hai ẩn x,t
Bằng cách đặt ẩn phụ có thể chuyển

hệ trên thành hệ đối xứng loại 1 không ?
x y 2
xy 0
+ =


=

suy ra x, y là nghiệm của phương trình

TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2) Ví dụ :


II. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
1) Hệ đối xứng loại 1 :
a) Dạng :
b) Cách giải :
c) Ví dụ :
F(x, y) 0 (1)

G(x, y) 0 (2)
=


=


2) Hệ đối xứng loại 2 :
a) Dạng :
trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x
thì (1) trở thành (2) và (2) trở thành (1)
2 2
x y 3
(*)
x y 5
+ =


+ =

2 2
x xy y 4
(I)
x y xy 2

+ + =

+ + =

2
2
x 3x 2y
(A)
y 3y 2x

− =



− =


Hệ đối xứng
loại 1
Hệ đối xứng
loại 2
2
2
y 3y 2x
x 3x 2y

− =


− =


b) Cách giải :
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x y 3x 3y 2y 2x
(x 3x)(y 3y) 4xy
x y 5x 5y 0
x y 3x y 3xy 5xy 0

+ − − = +


⇔

− − =



+ − − =

⇔

− − + =



TIẾT 38 : MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1) Cách giải :
I. Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai của hai ẩn
2) Ví dụ :


II. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
1) Hệ đối xứng loại 1 :
a) Dạng :
b) Cách giải :
c) Ví dụ :
F(x, y) 0 (1)

G(x, y) 0 (2)

=


=

2) Hệ đối xứng loại 2 :
a) Dạng :
trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x
Thì (1) tở thành (2) và (2) trở thành (1)
b) Cách giải :
y x (a)
(x y).h(x, y) 0
h(x, y) 0 (b)
=

− = ⇔

=

y x (a)
F(x, y) 0 (1)
=


=

h(x, y) 0 (b)
F(x, y) 0 (1)
=



=

+ Lấy (1) trừ (2) ( hoặc (2) trừ (1) )
ta được phương trình :
+ i)
ii)
từ đó tìm x,y.
từ đó tìm x,y.
VD4: Giải hệ phương trình :
2
2
x 3x 2y (1)
(A)
y 3y 2x (2)

− =


− =


2 2
x y 3x 3y 2y 2x
(x y)(x y) (x y) 0
(x y)(x y 1) 0
y x (a)
y 1 x (b)
− − + = −
⇔ − + − − =

⇔ − + − =
=

⇔

= −

2
2
y x
(a1)
x 3x 2y
(A)
y 1 x
(b1)
x 3x 2y
 =



− =


⇔

= −





− =


Bài giải :
Lấy (1) trừ (2) ta đươc :
c) Ví dụ :

VD4: Giải hệ phương trình :
2
2
x 3x 2y (1)
(A)
y 3y 2x (2)

− =


− =


2 2
x y 3x 3y 2y 2x
(x y)(x y) (x y) 0
y x
(x y)(x y 1) 0
y 1 x
− − + = −
⇔ − + − − =
=


⇔ − + − = ⇔

= −

2
2
y x
(a1)
x 3x 2y
(A)
y 1 x
(b1)
x 3x 2y
 =



− =


⇔

= −




− =



Bài giải :
Lấy (1) trừ (2) ta đươc :
2 2
2
y x y x
(a1)
x 3x 2y x 3x 2x
x 0
y x
y 0
y x
x 0
x 5x 0
x 5
x 5
y 5
= =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 =

=



=
=


 

⇔ ⇔ ⇔
=

 

− =
=




=

 

=



Vậy hệ phương trình (A) có bốn nghiệm (x;y) là :
(0;0) , (5;5) , (-1;2) và (2;-1)
* Chú ý :
Nếu hệ phương trình đối xứng có nghiệm
là (a;b) thì cũng có nghiệm là (b;a).
2 2
2
y 1 x y x

(b1)
x 3x 2y x 3x 2(1 x)
x 1
y 1 x
y 2
y 1 x
x 1
x x 2 0
x 2
x 2
y 1
= − =
 
⇔ ⇔
 
− = − = −
 
 = −

= −



=
= −

 

⇔ ⇔ ⇔
= −


 

− − =
=




=

 

= −








=+
=+
5yx2y
5xy2x
2
2









−+
2
33
;
2
33
VD5: Cho hệ phương trình
Biết rằng hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm và
2 trong 4 nghiệm đó là (2;2) và .
Tìm các nghiệm còn lại mà
không cần giải hệ phương trình ?
Nghiệm còn lại là :
3 3 3 3
;
2 2
 
− +
 ÷
 
và (0;0)

-
Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn rút một ẩn theo ẩn kia;
-

Sau đó thay vào phương trình bậc hai của hai ẩn ta được phương trình bậc hai theo
một ẩn;
-
Giải phương trình bậc hai theo một ẩn tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc nhất
của hai ẩn tìm ẩn còn lại.
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai của hai ẩn :
Hệ phương trình đối xứng loại 1 của hai ẩn :
S x y, P xy
= + =
2
S 4P 0
− ≥
2
S 4P 0− ≥
+ Đặt
( Điều kiện : )
và đưa hệ đã cho về hệ theo hai biến S, P.
+ Giải hệ tìm S, P thỏa điều kiện :
+ Từ S,P ta suy ra x,y là nghiệm phương trình:
y x (a)
(x y).h(x, y) 0
h(x, y) 0 (b)
=

− = ⇔

=

y x (a)
F(x, y) 0 (1)

=


=

h(x, y) 0 (b)
F(x, y) 0 (1)
=


=

+ Lấy (1) trừ (2) ( hoặc (2) trừ (1) ) ta được phương trình :
+ i)
ii)
từ đó tìm x,y.
Hệ phương trình đối xứng loại 2 của hai ẩn :
từ đó tìm x,y.
Hệ phương trình
bậc hai của hai ẩn
Bài tập về nhà : + Giải lại các bài đã giải tại lớp và các bài tập trong sách giáo khoa
+ Tham khảo thêm các bài tập trong sách bài tập
2
X SX P 0− + =

Các em nhớ
học bài và làm
bài tập nhé !!!