sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến 5_2

74

Chương 3
KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA
TOÁN TỬ KIRCHHOFF – CARRIER
3.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc
dạng

),,,,,())((
2
0 txxxxtt
uuutxfuuBbu =+−


,0 ),1,0( Ttx <<=Ω∈
(3.1.1)

,0),1(),0( == tutu
(3.1.2)

),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t

==
(3.1.3)
trong đó
0
0
>b
là hằng số cho trước,
fB,
là các hàm cho trước và
)(
2
x
uB
phụ
thuộc vào tích phân

.),(
2
2
∫
Ω
∂
∂
= dxtx
x
u
u
x
(3.1.4)
Phương tình (3.1.1) là phương trình được tổng quát hóa từ phương trình mô

tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi như đã được trình bày trong phần mở
đầu. Đầu tiên, chúng tôi kết hợp bài toán (3.1.1) – (3.1.3) với một dãy quy nạp
tuyến tính bò chận trong một không gian hàm thích hợp. Sự tồn tại nghiệm đòa
phương được chứng minh bằng phương pháp compact thông dụng. Trường hợp
,1
0
=
b
0≡B
và điều kiện biên Dirichlet thuần nhất thay bởi điều kiện biên hỗn
hợp thuần nhất, chúng tôi cũng đã thu được một số kết quả trong [9]. Tuy nhiên,
kết quả ở trong chương nầy cũng không dùng đến giả thiết
),),0[(
30
IRC
t
f
×∞×Ω∈
∂
∂
tức là không sử dụng đến điều kiện


75

).),0[(
31
IRCf ×∞×Ω∈
Nếu
),(

2
+
∈ IRCB ),(
1
1
+
∈ IRCB )),0[(
32
IRCf ×∞×Ω∈
và
),),0[(
31
1
IRCf ×∞×Ω∈
chúng tôi chứng minh rằng nghiệm của phương trình
xxxxtt
uuBuBbu )]()([
2
1
2
0
ε
++−
),,,,,(),,,,(
1
txtx
uuutxfuuutxf
ε
+=
liên kết với

(3.1.2), (3.1.3) có một khai triển tiệm cận đến cấp hai theo
ε
khi
ε
đủ bé. Kết
quả của chương này đã được công bố trong [D1].
3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Chúng tôi thành lập các giả thiết sau

)(
1
H

,
~
,
~
1
01
21
00
HuHHu ∈∩∈


)(
2
H

,0
0

>b


)(
3
H

,0),(
1
≥∈
+
BIRCB


)(
4
H

)),0[(
30
IRCf ×∞×Ω∈
thỏa mãn

)(
/
4
H

,0,t ,0)0,,0,,1()0,,0,,0( IRvvtfvtf ∈∀≥∀==

)(
//
4
H

).),0[(,,,
30
IRC
u
f
u
f
u
f
x
f
tx
×∞×Ω∈
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

Cho
,0,0 >> TM

ta đặt

,),,,,(sup),,(
00 tx
uuutxffTMKK ==
(3.2.1)

),,,,,)(sup(),,(
////
11 txwvux
uuutxfffffTMKK +++==
(3.2.2)
trong đó sup được lấy trên miền
. ,0 ,10 MwvuTtx ≤++≤≤≤≤


),(sup),(
~~
2
0
00
sBBMKK
Ms
≤≤
==
(3.2.3)

.)(sup),(
~
),(

~~
/
0
/
011
2
sBBMKBMKK
Ms
≤≤
===
(3.2.4)
Với mỗi
0>M
và
,0>T
ta đặt

),(),;,0(:);,0({),(
21
0
21
0
Tttt
QLvHTLvHHTLvTMW ∈∈∩∈=
∞∞


},,,
)();,0();,0(
21

0
21
0
MvMvMv
T
QL
tt
HTL
t
HHTL
≤≤≤
∞∞
∩
(3.2.5)

)},;,0(:),({),(
2
1
LTLvTMWvTMW
tt
∞
∈∈=
(3.2.6)


76

với
).,0( TQ
T

×Ω=

Bây giờ ta sẽ xây dựng dãy quy nạp
}{
m
u
theo lược đồ như sau. Ta chọn số hạng
đầu
.
~
00
uu =
Giả sử rằng

).,(
11
TMWu
m
∈
−
(3.2.7)
Ta liên kết bài toán (3.1.1) – (3.1.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau:
Tìm
),(
1
TMWu
m
∈
thỏa mãn bài toán

,),(,))((),(
0
〉〈=〉∇〈∇++〉〈 vtFvutBbvtu
mmmm
&&

1
0
Hv
∈∀
(3.2.8)

,
~
)0( ,
~
)0(
10
uuuu
mm
==
&
(3.2.9)
ở đây

),)(()(
2
1
tuBtB
mm −

∇=
(3.2.10)

)).(),(),(,,()(
111
tutututxftF
mmmm −−−
∇=
&
(3.2.11)
Khi đó ta có đònh lý sau:
Đònh lý 3.1. G
iả sử
)()(
41
HH
−
đúng
.
Khi đó tồn tại các hằng số dương
TM,
và
một dãy quy nạp tuyến tính
),(}{
1
TMWu
m
⊂
đònh nghóa bởi
(3.2.8) – (3.2.11).

Chứng minh. Chứng minh được chia làm hai bước.
Bước
1:
Xấp xỉ Galerkin
.
Ta chọn một cơ sở đặc biệt của
1
0
H
gồm các hàm riêng
j
w
của toán tử
:
22
x
∂∂−=Δ−


,
jjj
ww
λ
=Δ−

.
21
0
HHw
j

∩∈
(3.2.12)
Đặt

,)()(
1
)()(
∑
=
=
k
j
j
k
mj
k
m
wtctu
(3.2.13)
trong đó
)(
)(
tc
k
mj
thỏa mãn hệ phương trình

,),(),())((),(
)(
0

)(
〉〈=〉∇〈∇++〉〈
jmj
k
mmj
k
m
wtFwtutBbwtu
&&
,1 kj ≤≤
(3.2.14)


77


,
~
)0( ,
~
)0(
1
)(
0
)(
k
k
mk
k
m

uuuu ==
&
(3.2.15)
với

, trong
~~
21
000
HHuu
k
∩→
mạnh, (3.2.16)

, trong
~~
1
11
Huu
k
→
mạnh. (3.2.17)
Ta giả sử rằng
1
−
m
u
thỏa mãn (3.2.7). Khi đó hệ (3.2.14), (3.2.15) có duy nhất
nghiệm
)(

)(
tu
k
m
trên
.0
)(
TTt
k
m
≤≤≤
Đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy
,
)(
TT
k
m
=
với mọi
m

và
.
k

Bước
2:
Đánh giá tiên nghiệm
.
Nhân (3.2.14) với

)(
)(
tc
k
mj
&
sau đó lấy tổng theo
j
ta có

.)(),()())((
2
1
)(
2
1
)(
2
)(
0
2
)(
〉〈=∇++ tutFtu
dt
d
tBbtu
dt
d
k
mm

k
mm
k
m
&&
(3.2.18)
Thay
j
j
j
ww Δ
−
=
λ
1
vào (3.2.14), sau đó nhân với
)(
)(
tc
k
mj
&
và lấy tổng theo
j
ta được

.)(),(
)())((
2
1

)(
2
1
)(
2
)(
0
2
)(
〉∇〈∇=
Δ++∇
tutF
tu
dt
d
tBbtu
dt
d
k
mm
k
mm
k
m
&
&
(3.2.19)
Đặt

,)()()()(

0
2
)()()()(
∫
++=
t
k
m
k
m
k
m
k
m
dssutqtptS
&&
(3.2.20)
với

,)())(()()(
2
)(
0
2
)()(
tutBbtutp
k
mm
k
m

k
m
∇++=
&
(3.2.21)

.)())(()()(
2
)(
0
2
)()(
tutBbtutq
k
mm
k
m
k
m
Δ++∇=
&
(3.2.22)
Tích phân (3.2.18), (3.2.19) theo
,
t
ta suy ra rằng


78

.)(
)(),(2)(),(2
)()()()0()0()(
0
2
)(
0
)(
0
)(
0
2
)(
2
)(/)()()(
∫
∫∫
∫
+
〉∇〈∇+〉〈+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ+∇++=
t
k

m
t
k
mm
t
k
mm
t
k
m
k
mm
k
m
k
m
k
m
dssu
dssusFdssusF
dssususBqptS
&&
&&
(3.2.23)
Tiếp theo ta sẽ đánh giá các tích phân ở vế phải của (3.2.23).
•
Tích phân thứ nhất
:

.)(

~
)()()(
0
)(
0
1
0
2
)(
2
)(/
∫∫
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ+∇
t
k
m
t
k
m
k
mm
dssS
b

K
dssususB
(3.2.24)
•
Tích phân thứ hai
:
Từ (3.2.1) và (3.2.7) ta có

.)(2
)()(2)(),(2
0
)(
0
0
)(
0
)(
∫
∫∫
≤
≤〉〈
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm

dsspK
dssusFdssusF
&&
(3.2.25)
•
Tích phân thứ ba
:
Ta suy ra từ (3.2.2) và (3.2.7) rằng:

).31(4)(
22
1
2
MKsF
m
+≤∇
(3.2.26)
Vì vậy, từ (3.2.22) và (3.2.26) ta thu được

.)(314
)())(()()),((2
0
)(2
1
0
)(
0
)(
∫
∫∫

+≤
∇∇≤〉∇〈∇
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm
dssqMK
dssusFdssusF
&&
(3.2.27)
•
Tích phân thứ tư
:
Phương trình (3.2.14) có thể viết lại như sau

,),(),())((),(
)(
0
)(
〉〈=〉Δ〈+−〉〈
jmj
k
mmj
k
m

wtFwtutBbwtu
&&

.1 kj ≤≤
(3.2.28)
Nhân (3.2.28) với
),(
)(
tc
k
mj
&&
lấy tổng theo
j
ta có


79


.)()()()())(()(
)()()(
0
2
)(
tutFtusutBbtu
k
mm
k
m

k
mm
k
m
&&&&&&
+Δ+≤

Ta thu được sau khi lấy tích phân t

.)(2)())((2)(
0
2
0
2
)(2
0
0
2
)(
∫∫∫
+Δ+≤
t
m
t
k
mm
t
k
m
dssFdssusBbdssu

&&
(3.2.29)
Từ (3.2.1), (3.2.3), (3.2.21) và (3.2.29) ta rút ra

.2)()
~
(2)(
2
0
0
)(2
00
0
2
)(
TKdssqKbdssu
t
k
m
t
k
m
++≤
∫∫
&&
(3.2.30)
Kết hợp (3.2.23) – (3.2.25), (3.2.27) và (3.2.30) ta có

,)(),(),()0()0(
0

21
∫
+++≤
t
(k)
m
(k)
m
(k)
m
(k)
m
dssSTMCTMCqp(t)S
(3.2.31)
với

),31(43),(
22
1
2
01
MTKTKTMC ++=
(3.2.32)

.
~
)
~
(21)(
0

1
2
002
b
K
KbMC +++=
(3.2.33)
Bây giờ ta cần đánh giá
).0()0(
)()(
k
m
k
m
qp +
Ta có

).
~~
))(
~
((
~~
)0()0(
2
0
2
0
2
00

2
1
2
1
)()(
kkk
kk
k
m
k
m
uuuBb
uuqp
Δ+∇∇++
∇+=+
(3.2.34)
Dựa vào (3.2.7), (3.2.10), (3.2.16), (3.2.17) và (3.2.34) ta suy ra tồn tại một hằng
số
,0>M
độc lập với
k
và
,m
sao cho

,
2
)0()0(
2
)()(

M
qp
k
m
k
m
≤+
với mọi
k
và
.m
(3.2.35)
Lưu ý rằng, với giả thiết
),(
4
H
ta có

.1,0 ,0),,(lim
0
==
+
→
ifTMKT
i
T
(3.2.36)
Khi đó, từ (3.2.32), (3.2.33), (3.2.36) ta luôn luôn chọn được một hằng số
,0
>

T

sao cho


80


,)),(
2
(
2
1
2
2
MeTMC
M
TC
≤+
(3.2.37)
và

.1)
~
(2)
1
1(
]
~
)

1
1([
1
2
1
0
1
2
0
1
<++=
++ KM
b
KT
T
eKMKT
b
k
(3.2.38)
Cuối cùng ta có từ (3.2.31), (3.2.35), (3.2.37)

.0 ,)()()(
)(
0
)(
2
)(
2)(
2
TTtdssSMCeMtS

k
m
t
k
m
MTC
k
m
≤≤≤+≤
∫
−
(3.2.39)
Sử dụng bổ đề Gronwall ta suy ra từ (3.2.39)

,0 ,)(
2
)()(
2)(
22
TtMeeMtS
tMCMTC
k
m
≤≤≤≤
−
(3.2.40)
nghóa là
.
)(k
m

TT =
Vì thế ta có

),,(
)(
TMWu
k
m
∈
với mọi
.,km
(3.2.41)
Từ (3.2.41) ta rút ra một dãy con của
}{
)(k
m
u
vẫn gọi là
}{
)(k
m
u
sao cho

),;,0( trong
21
0
)(
HHTLuu
m

k
m
∩→
∞
yếu*, (3.2.42)

),;,0( trong
1
0
)(
HTLuu
m
k
m
∞
→
&&
yếu*, (3.2.43)

),( trong
2)(
Tm
k
m
QLuu
&&&&
→
yếu, (3.2.44)

).,( TMWu

m
∈
(3.2.45)
Dựa vào (3.2.42) – (3.2.45), qua giới hạn trong (3.2.14), (3.2.15) ta suy ra
m
u
là
nghiệm yếu của (3.2.8) – (3.2.11). Mặt khác từ (3.2.7), (3.2.8) và (3.2.42) ta suy ra

),;,0(),,,,())((
2
111
2
10
LTLuuutxfuuBbu
mmmmmm
∞
−−−−
∈∇+Δ∇+=
&&&

và do đó ta có
).,(
1
TMWu
m
∈

Đònh lý 3.1 đã chứng minh xong.
Đònh lý 3.2.

Giả sử
)()(
41
HH −
được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số
,0
>
M
0>
T
thỏa
(3.2.35), (3.2.37), (3.2.38)
sao cho bài toán
(3.1.1) – (3.1.3)
có
duy nhất nghiệm yếu
),(
1
TMWu
∈
.



81


Mặt khác, dãy quy nạp
}{
m

u
xác đònh bởi
(3.2.8) – (3.2.11)
hội tụ mạnh về
nghiệm
u
trong không gian

)}.;,0(:);,0({)(
21
01
LTLvHTLvTW
∞∞
∈∈=
&

(3.2.46)

Hơn nữa ta có ước lượng

,
);,0();,0(
22
m
T
LTL
m
LTL
m
Ckuuuu ≤−+∇−∇

∞∞
&&
với mọi
.m

(3.2.47)
với
T
k
xác đònh bởi
(3.2.38)
và
C
là hằng số chỉ phụ thuộc vào
10
,, uuT
và
.
T
k

Chứng minh.
a/ Sự tồn tại nghiệm.
Trước hết ta để ý rằng
)(
1
TW
là không gian Banach với chuẩn (xem [19]).

.

);,0();,0()(
22
1
LTLLTLTW
vvv
∞∞
+∇=
&
(3.2.48)
Ta sẽ chứng minh rằng
}{
m
u
là dãy Cauchy trong không gian
).(
1
TW

Lấy
.
1
mmm
uuv −=
+
Khi đó
m
v
thỏa mãn bài toán biến phân sau

⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
==
∈〉−〈=
〉Δ〈−−〉∇〈∇++〉〈
+
++
.0)0()0(
,,),()(
),())()((),())((),(
1
01
110
mm
mm
mmmmmm
vv
HwwtFtF
wtutBtBwtvtBbwtv
&
&&
mọi với
(3.2.49)
Thay
m
vw
&
=

trong (3.2.49), sau khi lấy tích phân theo
,t

ta được

,)(),()(
)(),())()((
)()()(
0
1
0
1
0
2
/
1
∫
∫
∫
〉−〈+
〉Δ〈−+
∇=
+
+
+
t
mmm
t
mmmm
t

mmm
dssvsFsF
dssvsvsBsB
dssvsBtp
&
&
(3.2.50)
ở đây

.)())(()()(
2
10
2
tvtBbtvtp
mmmm
∇++=
+
&
(3.2.51)
Mặt khác, từ (3.2.2), (3.2.4), (3.2.7) ta rút ra

,
~
2)(
2
1
/
MKtB
m
≤

(3.2.52)


82


,)(
~
2)()(
2
111
tvMKtBtB
mmm
−+
∇≤−
(3.2.53)

( )
.)()(2)()(
1111
tvtvKtFtF
mmmm
−−+
+∇≤−
&
(3.2.54)
Ta suy từ (3.2.50) – (3.2.54) rằng

()
.)()()(22

)()(
~
4
)(
~
2)()(
0
111
0
1
2
1
0
2
2
1
2
0
2
∫
∫
∫
−−
−
+∇+
∇+
∇≤∇+
t
mmm
t

mm
t
mmm
dssvtvsvK
dssvsvMK
dssvMKtvbtv
&&
&
&
(3.2.55)
Mặt khác, ta cũng có các đánh giá từng số hạng ở vế phải của (3.2.55) như sau
,))()((
~
2
)(
~
2)(
0
2
0
2
0
2
1
0
2
2
1
∫∫
∇+≤∇

t
mm
t
m
dssvbsv
b
MK
dssvMKi
&
(3.2.56)
,))()((
~
2
~
2)()(
~
4)(
0
2
0
2
2
1
2
)(
1
2
1
0
1

2
1
1
∫
∫
∇++
≤∇
−−
t
mm
TW
m
t
mm
dssvbsvMK
vTMKdssvsvMKii
&
&
(3.2.57)
.))()((2
2)())()(2(2)(
0
2
0
2
1
2
11
0
111

)(
1
∫
∫
∇++
≤+∇
−−−
t
mm
m
t
mmm
dssvbsvK
vTKdssvtvsvKiii
TW
&
&&
(3.2.58)
Từ (3.2.55) – (3.2.58) ta được

.))()((])
1
1(
~
[2
)
~
(2)()(
0
2

0
2
1
0
2
1
2
)(
11
2
1
2
0
2
1
∫
∇++++
+≤∇+
−
t
mm
TW
mmm
dssvbsvK
b
MK
vKMKTtvbtv
&
&

p dụng bổ đề Gronwall ta có

,)
~
(2)()(
])
1
1(
~
[2
2
)(
11
2
1
2
0
2
1
0
2
1
1
K
b
MKt
TW
mmm
evKMKTtvbtv
++

−
+≤∇+
&

do đó