cấp số cộng cấp số nhân 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.74 KB, 19 trang )
11
Tiết:
Ngày sọan: Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Mở đầu:
Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh
những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n
¥
.
Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực
tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như
sau:
II. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan
học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:
III. Một số ví dụ:
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
1, ta có:
n n 1
1 2 3 n 1
2
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
VT 1
1 1 1
VP
2
(1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k
1, tức là:
k k 1
1 2 3 k 1'
2
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:
+ GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học.
+ Kiểm tra với n nào?
+ Cách kiểm tra?
+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k
0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta hãy chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n = k+1.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiện n
p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự
nhiên n = k
p.
22
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
k 1 k 2
1 2 3 k k 1 1"
2
Cm:
k k 1
VT 1 2 3 k k 1 k 1
2
k 1 k 2
k
k 1 . 1 VP
2 2
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n
1
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
2, ta có:
n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b a b a a b ab b 2
Giải:
+ Khi n = 2:
2 2
2 2
VT a b
VP a b a b a b
(2) đúng với n = 2
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k
2, tức là:
k k k 1 k 2 k 2 k 1
a b a b a a b ab b 2'
Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
k 1 k 1 k k 1 k 1 k
a b a b a a b ab b 2"
Cm:
k 1 k 1 k 1 k k k 1 k k k
k k 1 k 2 k 2 k 1
k k 1 k 1 k
a b a a b a b b a a b b a b
a a b b a b a a ab b
a b a a b ab b VP
Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n
2
IV. Bài tập:
Chứng minh rằng với
*
n ¥
, ta có:
2 2 3 2
n n 1 2n 1
1 2 3 n
6
(*)
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
VT 1
1 1 1 2 1
VP 1
6
(*) đúng với n = 1
+ Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là:
2 2 3 2
k k 1 2k 1
1 2 3 k
6
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
2 2 3 2 2
k 1 k 2 2k 3
1 2 3 k k 1
6
Cm:
2 2
2 2 3 2
2
k k 1 2k 1
VT 1 2 3 k k 1 k 1
6
k 2k 1 6 k 1
2k 7k 6
k 1 . k 1 .
6 6
k 1 k 2 2k 3
VP
6
B4. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?
B5. Dặn dò: BTVN trang 88
+ Phải chứng minh điều gì?
+ Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu
tiên.
+ Kiểm tra với n = 2.
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Mệnh đề phải chứng minh?
+ Hướng dẫn chứng minh.
+ Kiểm tra (*) với n = 1
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Cách chứng minh?
+ Kết luận.
33
Tiết:
Ngày sọan:
C. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Định nghĩa dãy số.
- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số.
- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,
- Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
D. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Định nghĩa:
1. Định nghĩa 1: Cho tập hợp M = {0; 1; 2; …; m}
- Một hàm số u xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Tập giá trị của dãy này là {u(1); u(2);…; u(m)}. Ký hiệu là:
1 2 m
u 1 u ;u 2 u ; ;u m u
- Viết dãy số như sau:
1 2 m
u ;u ; ;u
• u
1
là số hạng thứ nhất (số hạng đầu)
• u
2
là sồ hạng thứ hai,…
• u
m
là số hạng cuối (số hạng thứ m)
2. Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập
*¥
được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)
- Tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử được ký hiệu là:
1 2 n
u ;u ; ;u ;
Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số.
- u
1
là số hạng thứ nhất,…
- u
n
là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số u.
II. Cách cho dãy số
1. Cho số hạng tổng quát bằng công thức:
Ví dụ: Cho dãy số (u
n
), với
n
n
2
1
u
n
Viết dưới dạng khai triển, ta có:
n
2
1
1;1; 1;1; ; ;
n
2. Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó:
3. Cho bằng phương pháp truy hồi:
Cách cho:
Ví dụ: Cho dãy số
1 2
n n 2 n 1
u 1,u 2
u u u n 3
Ta có:
+ Giới thiệu định nghĩa.
+ Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn 2; 4; 6 ;8 ;10
Ta có:
- Dãy số có 5 số hạng.
- Số hạng đầu: 2
- Số hạng cuối: 10
+ Ví dụ: Cho dãy số (u
n
), với
n
1
u
n
, ta có dạng
khai triển của nó là:
1 1 1
1; ; ; ; ;
2 3 n
+ Thay các giá trị của n vào.
DÃY SỐ
- Cho một hay vài số hạng đầu của dãy.
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng
thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước nó.
44
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến về điểm 0
(nhưng không bằng 0)
+ Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu của dãy số ta
tính u
n+1
rồi xét hiệu u
n+1
– u
n
(
n * ¥
). Nếu:
• u
n+1
– u
n
< 0 thì dãy số giảm
• u
n+1
– u
n >
>0 thì dãy số tăng
+ Cách chứng minh?
+ Lập hiệu u
n+1
– u
n
(
n * ¥
).
+ Cách chứng minh dãy số bị chặn dưới, bị chặn
trên, bị chặn?
1 2 3 1 2 4 2 3 5 3 4
u 1,u 1,u u u 2,u u u 3,u u u 5
Dãy số này được gọi là dãy Phibônaci.
III. Biểu diễn hình học của dãy số:
Người ta có thể biểu diễn hình học của dãy số trên trục số.
Ví dụ: Biểu diễn hình học của dãy số
1
n
trên trục số
O
1
4
u
4
1
3
u
3
1
u
1?
1
2
u
2
IV. Dãy số tăng, dãy số giảm:
1. Các định nghĩa :
2. Ví dụ: Chứng minh dãy số (u
n
) với
n
n 1
u
n
giảm.
Giải:
Với
n * ¥
, ta có:
n 1
n 1 1
n 2
u
n 1 n 1
, do đó:
2 2
n 1 n
n 2n n 2n 1
n 2 n 1 1
u u 0
n 1 n n n 1 n n 1
Vậy dãy số đã cho giảm (đpcm)
V. Dãy số bị chặn:
1. Các định nghĩa:
2. Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số
1
n
bị chặn.
Giải: Với
n * ¥
, ta có:
1
0 1
n
nên dãy số đã cho bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0
Vậy dãy số đã cho bị chặn.
B4. Củng cố: Các định nghĩa.
B5. Dặn dò: BTVN trang 94 – 95
a) ĐN1:
2
u
là dãy số tăng
n n 1
n *: u u
¥
b) ĐN2:
2
u
là dãy số giảm
n n 1
n *: u u
¥
c) ĐN3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy
số đơn điệu.
Chú ý:
Không phải mọi dãy số đều đơn điệu.
Nếu mọi số hạng của dãy đều dương thì:
n
u
tăng
n 1
n
u
n *, 1
u
¥
n
u
giảm
n 1
n
u
n *, 1
u
¥
a) ĐN1:
n
u
bị chặn trên
n
M : n *, u M ¡ ¥
b) ĐN2:
n
u
bị chặn dưới
n
m : n *, u m ¡ ¥
c) ĐN3:
n
u
bị chặn
n
m,M : n *, m u M ¡ ¥
55
Tit:
Ngy san:
E. Mc ớch yờu cu:
1. Kin thc: Hc sinh nm vng:
- nh ngha dóy s.
- Cỏch cho dóy s, biu din hỡnh hc ca dóy s.
- Dóy s n iu, dóy s b chn.
2. K nng: Hc sinh cú k nng:
- Gii cỏc bi túan v dóy s nh: Tớnh n iu, tớnh b chn,
- Rốn luyn k nng tớnh túan.
F. Lờn lp:
B1. n nh v im danh:
B2. Bi c:
B3. Bi mi: Trng tõm: nh ngha, dóy n iu, dóy s b chn.
Phng phỏp: Vn ỏp Minh ha
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
Ơ
NI DUNG TG PHNG PHP
Gii:
a) Ta cú:
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
u ;u ;u ;u ;u
2 2 8 16 32
b) Ta cú:
1 2 3 4 5
u 1;u 4;u 6;u 8;u 10
c) Ta cú:
1 2 3 4 5
1 2 1 4
u 0;u ;u ;u ;u
2 3 4 5
Gii:
7 12
7 12
2n 2n 1
2n 2n 1
1 1 1 1
1
u 0, u
7 12 6
1 1 1 1
1 1 1
u ,u 0
2n n 2n 1 2n 1
Gii:
a) Ta cú:
2 1
3 2
u 2u 2.3
u 2u 2.2.3
D úan :
n 1
n
u 3.2
(
n * Ơ
) (1)
+ Ln lt cho n = 1; 2; 3; 4; 5 vo cụng thc ó
cho, tớnh cỏc giỏ tr tng ng.
+ Chỳ ý n chn, n l chn du ỳng.
Bi tp: DY S
Bi 1: Vớt 5 s hng u ca cỏc dóy s sau:
n
n n
n
n
1
a) u b) u 1 2n
2
1
neỏu n chaỹn
n
c) u
n 1
neỏu n leỷ
n
Bi 2: Cho
n
n
1 1
u
n
. Tớnh u
7
, u
12
, u
2n
, u
2n+1
.
Bi 3: Tỡm s hng tng quỏt ca cỏc dóy s sau:
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
Ơ
+ tỡm s hng tng quỏt ca dóy, ta cú th
lm nh sau:
- Cho n vi giỏ tr u tiờn.
- Xem th quy lut ca u
n
?
- D úan cụng thc u
n
.
- Chng minh cụng thc d úan l
ỳng bng phng phỏp quy np.
66
CCCC
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Nhắc lại cách chứng minh bằng phương pháp quy
nạp.
+ Thử với n = 1?
+ Biểu thức của giả thiết quy nạp?
+ Biểu thức cần chứng minh?
+ Kết luận công thức cần tìm?
b) Hướng dẫn học sinh giải.
+ Nhắc lại phương pháp xét tính đơn điệu của dãy
số?
a) Tính u
n+1
=?
+ Xét hiệu u
n+1
– u
n
= ?
+ Kết luận?
b) Tính u
n+1
=?
+ Xét hiệu u
n+1
– u
n
= ?
+ Kết luận?
+ Nhắc lại phương pháp xét tính bị chặn của dãy
số?
a) Vì sao u
n
không bị chặn trên?
b) Phân tích như thế nào?
+ Chú ý rằng
1 1 1
n n 1 n n 1
và
1 1 1
1, , n *
n n 1 2
¥
d) Phân tích như thế nào?
Chứng minh:
+ Khi n = 1:
1
1 1
VT u 3
VP 3.2 3
(1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k
1, tức là:
k 1
k
u 3.2
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
k
k 1
u 3.2
Ta có:
k 1 k 1 k
k 1 k
u 2u 2.3.2 3. 2.2 3.2 VP
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
n 1
n
u 3.2
(
n * ¥
)
b) Ta có: 10
n
+ n ,
n ¥
Bài 4: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
n
n
n n n
2 n
1 2 1 1
a) u b) u c) u
2n 1 2
Giải:
2 2
n 1 n
2 2
2 2
2 2
1 1 n 1 n 2n 2
a) u u
n 1
n 1 n 2n 2
n 1 1
2n 1
0, n *
n 1 n 2n 2
¥
Vây dãy số đã cho giảm.
b) Ta có:
n 1 n
n 1 n
n 1 n
n 1 n n 1 n 1
2 1 2 2 1
2 1 2 1 1
u u 0, n *
2 2 2 2
¥
Vây dãy số đã cho tăng.
Bài 5: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n n
n
2n 1
n n
1
a) u 2n 1 b) u
n n 1
1
c) u 3.2 d) u
3
Giải:
a) Với
n
n *: u 2n 1 1 ¥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 1.
b) Với
n
1 1 1
n *: 0 0 u
n n 1 2 2
¥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi
1
2
nên bị
chặn.
c) Với
2n 1
n *: 3.2 6
¥
n
u 6
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 6.
d) Với
n
n
1 1 1 1 1
n *: u
3 3 9 3 9
¥
b4. Củng cố: Các dạng.
b5. Dặn dó: Bài mới
77
Tiết:
Ngày sọan:
A. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i. Định nghĩa cấp số cộng.
ii. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
iii. Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Giải các bài tóan về cấp số cộng.
ii. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
¥
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Định nghĩa:
1. Định nghĩa:
(1)
Trong đó d là công sai của cấp số cộng. Ta có: d = u
n+1
– u
n
Nếu d = 0 thì CSC có tất cả các số hạng bằng nhau.
Ký hiệu CSC là
1 2 n
u ;u ; ;u ;
2. Ví dụ:
a) Xét dãy số tự nhiên lẻ:
1, 3, 5, 7, …, 2n + 1, …
là một CSC với số hạng đầu bằng 1, công sai d = 2.
b) Gọi (u
n
) là CSC có số hạng đầu u
1
= –1, công sai d = –2. Hãy viết
5 số hạng đầu của CSC này.
Giải:
u
1
= -1, u
2
= u
1
+ d = –1 +(–2) = –3, u
3
= –5, u
4
= –7, u
5
= –9
Vậy ta có cấp số cộng là:
1; 3; 5; 7; 9
II. Số hạng tổng quát:
1. Định lý:
(2)
Chứng minh:
+ Khi n = 1: Rõ ràng (2) đúng.
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k
1, tức là:
k 1
u u k 1 .d
Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n = k+1, tức là:
k 1 1
u u k.d
Cm: Ta có:
k 1 k 1 1
VT u u d u k 1 d d u kd VP
+ Học sinh nêu định nghĩa CSC.
+ GV tóm tắt công thức của định nghĩa.
+ Cách tìm công sai của CSC?
a) Tìm u
1
=?, d = ?
b) Cách tìm?
+ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
+ Thử với n = 1.
+ Thành lập mệnh đề quy nạp?
+ Phải chứng minh ?
CẤP SỐ CỘNG
(u
n
) là CSC
n 1 n
u u d
(n = 1, 2, …)
u
n
= u
1
+ (n – 1).d
88
k 1 k 1
k
u u
u k 2
2
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm u
1
và d như thế nào?
+ Công thức số hạng tổng quát của CSC?
+ HD: Áp dụng công thức (2) để biến đổi VP về
theo VT.
+ Học sinh tính u
k–1
, u
k+1
= ?
+ Cách giải?
+ Công thức (4) cho phép tính tổng n số hạng đầu
của CSC theo u
1
và d.
+ Công thức (5) cho phép tính tổng n số hạng đầu
của CSC theo u
1
và u
n
.
2. Ví dụ: Tính số hạng tổng quát u
n
của cấp số cộng:
1;4;7;10;
Giải:
Ta có u
1
= 1, d = 3. Vậy số hạng tổng quát là:
u
n
= u
1
+ (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
1. Định lý:
(3)
Chứng minh: Với
k 2
, ta có:
k 1 1
k 1 1
k 1 k 1 1
1 k
u u k 2 d
u u kd
u u 2u 2kd 2d
u k 1 d u
2 2
2. Ví dụ: Tìm x để các số sau lập thành một cấp số cộng theo thứ tự
đó: 2; x; 4
Giải: Để các số trên lập thành một CSC, ta phải có:
2 4
x 3
2
. Vậy CSC là 2; 3; 4.
IV. Tổng n số hạng của một cấp số cộng:
1. Định lý:
Hoặc:
2. Ví dụ:
a) Tính tổng n số lẻ đầu tiên.
b) Tính tổng n số chẵn đầu tiên.
Giải:
a) Ta có:
2
l
n
S 1 3 5 2n 1 1 2n 1 n
2
b) Ta có:
c
n
S 2 4 6 2n 2 2n n n 1
2
B4. Củng cố: - Định nghĩa CSC?
- Số hạng tổng quát của CSC? Tính chất của CSC
- Công thức tính tổng các số hạng của CSC?
B5. Dặn dò: BTVN trang 99 – 100
k 1 k 1
k
u u
u k 2
2
n 1
n
S 2u n 1 d
2
(4)
n 1 n
n
S u u
2
(5)
99
Tiết:
Ngày sọan:
C. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i. Định nghĩa cấp số cộng.
ii. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
iii. Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Giải các bài tóan về cấp số cộng.
ii. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
D. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
¥
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Tìm các yếu tố của một CSC
Áp dụng:
Bài 1: Trong các cấp số cộng sau, hãy tính số hạng u
n
đã chỉ ra:
17 10
a) 1;5;9; u ? b) 2 1;2;3 2; u ?
Giải:
a) Ta có:
n 1
17
1
u u n 1 d
u 1 17 1 .4 65
u 1,d 4,n 17
b) Ta có:
n 1
1
10
u u n 1 d
u 2 1,d 1 2,n 10
u 2 1 10 1 . 1 2 10 8 2
Bài 2: Tìm công sai d của CSC hữu hạn, biết số hạng đầu u
1
= 1, và
số hạng cuối u
15
= 43.
Giải:
Ta có:
n 1
1 n 15
u u n 1 d
43 1 14d d 3
u 1,u u 43,n 15
Bài 3: Trong các dãy số (u
n
) dưới đây, dãy số nào là CSC, khi đó
cho biết số hạng đầu và công sai của nó:
2
n n n
3n 2
a) u 3n 7 b) u c) u n
5
Giải:
a) Ta có:
k 1 k 1
k
3 k 1 7 3 k 1 7
u u
6k 14
3k 7 u
2 2 2
Vậy dãy số đã cho là một CSC với u
1
= –4, u
2
= –1
d = 3
+ Nhắc lại các công thức về CSC?
a) Công thức tổng quát của CSC?
+ Tìm u
1
, d, n = ?
b) Tìm u
1
, d, n = ?
+ Công thức áp dụng?
+ Tìm u
1
, u
n
, n = ?
+ Áp dụng tính chất của CSC. Học sinh phát biểu
tính chất của CSC?
+ Cách tính u
1
, d ?
Bài tập: CẤP SỐ CỘNG
+ Các yếu tố của một CSC gồm: Công sai, số hạng tổng quát,
tổng n số hạng đầu,…
+ Để làm được các dạng tóan này cần phải thuộc, vận dụng tốt
các công thức (1), (2), (4) và (5) của CSC.
1010
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
b) Ta có:
k 1 k 1
k
3 k 1 2 3 k 1 2
u u
6k 4 3k 2
5 5
u
2 2 10 5
Vậy dãy số đã cho là một CSC với u
1
= 1, u
2
=
8
5
3
d
5
c) Ta có:
2 2
2
2
k 1 k 1
k
k 1 k 1
u u
2k 2
k 1 u
2 2 2
Vậy dãy số đã cho không phải là một cấp số cộng.
Bài 4: Xác định số hạng đầu và công sai của CSC, biết:
7 3 2 3 5
2 7 1 6
u u 8 u u u 10
a) b)
u .u 75 u u 17
Giải:
1 1
7 3
1 1
2 7
1 1
u 6d u 2d 8
u u 8
d 2
a)
u 17 u 3
u .u 75
u d . u 6d 75
1 1 1
2 3 5
1 6
1 1
1
1
1
u d u 2d u 4d 10
u u u 10
b)
u u 17
u u 5d 17
u 3d 10
u 1
2u 5d 17
d 3
Bài 5: Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi CSC sau, biết:
1 1
10
2
u 5 u 1
a) b)
u 50
u 5
Giải:
a) Ta có:
n 1 n
10
1 n 10
n
S u u
10
S 5 50 275
2
2
n 10,u 5,u u 50
1
10 1
2
u 1
n 10
b) d 4 S 2u n 1 d 2 9.4 190
u 5
2 2
Dạng 2: Xác định các số hạng của một CSC:
c) Vì sao dãy số đã cho không phải là CSC?
+ Cách giải?
+ Áp dụng công thức: u
n
= u
1
+ (n – 1).d
a) Áp dụng công thức?
n = ?, u
1
= ?, u
10
= ?
b) Áp dụng công thức?
d = ?
Xác định một CSC (hay tìm các số hạng của nó) ta làm như
sau:
*Nếu CSC có số số hạng lẻ thì ta cần đặt số hạng ở giữa là
và công sai là d = r.
Khi đó, giả sử CSC có 3 số hạng thì có dạng:
- r;
;
+ r
*Nếu CSC có số số hạng chẵn thì ta cần đặt hai số hạng ở
giữa là
- r và
+ r và công sai là d = 2r.
Khi đó, giả sử CSC có 4 số hạng thì có dạng:
-3 r;
- r;
+ r;
- 3r
* Ngòai ra, để xác định các số hạng của một CSC, ta có thể
dùng tính chất của CSC.
1111
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng:
Bài 1: Một cấp số cộng có 4 số hạng. Tổng của chúng bằng 22.
Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm bốn số đó.
Giải:
Cấp số cộng cần tìm có dạng:
-3r, -r, r, 3r
Trong đó d = 2r là công sai. Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
-3r+ -r+ r 3r 16
-3r -r r 3r 84
4
4
r 1
4-3r 4-r 4 r 4 3r 84
Vậy có hai cấp số cộng là:
+ Với
4,r 1
ta có CSC
1,3,5,7
+ Với
4,r 1
ta có CSC
7,5,3,1
Bài 2: Một CSC có 11 số hạng. Tổng các số hạng bằng 176. Hiệu
giữa số hạng cuối và số hạng đàu là 30. Tìm CSC đó.
Giải:
1 11 11
1 11
11 1 1
11 1
n 1
11
11u 11u 352 u 16
u u 176
2
11u 11u 330 u 14
u u 30
u u n 1 d 16 14 10d d 3
14, 11, 8, 5, 2,1,4,7,10,13,16
+ Dạng của CSC cần tìm.
+ Từ giả thiết lập hệ phương trình như thế nào?
+ Giải hệ.
+ Tìm các CSC?
+ Cách tìm
1212
Tiết:
Ngày sọan:
E. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i. Định nghĩa cấp số nhân.
ii. Số hạng tổng quát của cấp số nhân.
iii. Tính chất của CSN, tổng n số hạng đầu của một CSN.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Giải các bài tóan về cấp số nhân.
ii. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
F. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSN.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
¥
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Định nghĩa:
1. Đinh nghĩa:
Trong đó:
• q là công bội. (1)
n 1
n
u
q
u
(1) là một hệ thức truy hồi.
• q = 0 thì CSN là dãy u
1
, 0, 0, 0, …,0, …
• q =1 thì CSN là dãy u
1
, u
1
, …,u
1
,…
• u
1
= 0 thì với mọi q, ta có CSN là dãy: 0, 0, …,0,…
Ta dùng ký hiệu
u
1
, u
2
, …,u
n
, …
2. Ví dụ:
1, 2, 4, 8, …, 2
n-1
, … là CSN vô hạn với công bội q = 2
II. Số hạng tổng quát:
1. Định lý:
Chứng minh:
+ Khi n = 1: (2) đúng.
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên n = k
1 bất kỳ, tức là:
k 1
k 1
u u .q
Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là:
k
k 1 1
u u .q
Cm: Ta có:
k 1 k k
k 1 k 1 1 k 1 1
VT u u .q u .q .q u .q u u .q VP
2. Ví dụ: Tìm số hạng thứ 11, biết rằng số hạng đầu u
1
= 1, công bội
q = 2.
Giải:
n 1 11 1 10
n 1 11
u u .q u 1.2 2 1024
III. Tính chất các số hạng của CSN:
1. Định lý:
+ Nêu định nghĩa.
+ Suy ra công bội q = ?
+ Nêu định lý?
+ Chứng minh định lý bằng phương pháp phản
chứng.
+ Theo định nghĩa u
k+1
= ?
CẤP SỐ NHÂN
n 1 n
u u .q
(n = 1, 2, …) (1)
n 1
n 1
u u .q
q 0
(2)
k k 1 k 1
u u .u
(
k 2
)
(3)
1313
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
Chứng minh:
k 2
2
k 1 1
k 2 k k 1
k 1 k 1 1 1 1
k
k 1 1
2
k 1 2
k 1 k 1 1 k k k 1 k 1
u u .q
u .u u .q .u .q u .q
u u .q
u .u u .q u . Suy ra : u u .u
2. Ví dụ: Tìm x để cho ba số
5
2x , x, 3
3
theo thứ tự đó lập thành
một cấp số nhân.
Giải:
Ba số đã cho lập thành một CSN khi và chỉ khi:
2 2
x 1
5
x 3 2x x 6x 5 0
x 5
3
+ Với x = 1, ta có CSN:
1
,1,3
3
+ Với x = 5, ta có CSN:
25
,5,3
3
IV. Tổng n số hạng đầu của một CSN:
1. Định lý:
q 1
(4)
Chứng minh:
n 1 2 3 n 1 n
n 1 2 3 n 1 n
n 2 3 n n
n n n 1 n n 1
n 1 n
n 1 1 n 1
n
n 1
S u u u u u 1
qS u q u q u q u q u q
qS u u u u q 2
qS S u q u S q 1 u q u
S q 1 u q q u S q 1 u q 1
q 1
S u
q 1
2. Ví dụ: Tính
2 n
n
a) S 1 2 2 2
n 1
n 1
n
2 1
S 2 1
2 1
n 1
n 1
n n
2 3 n 2
1
1
1 1 1 1 1 1
3
b)S S . 1
1
6 33 3 3 3
1
3
n
n 1 n
n n
1
1
1 1 1 2 1
2
c) S 1 S 1
1
2 4 2 3 2
1
2
B4. Củng cố: Định nghĩa và các công thức (1) đến (4)
B5. Dặn dò: BTVN trang 104.
+ Áp dụng công thức (2) để biến đổi VP về VT.
+ Áp dụng tính chất các số hạng của CSN.
+ Cách chứng minh công thức?
a) CSN gồm có bao nhiêu số hạng? Vì sao?
+ Áp dụng công thức nào?
+ Cách tìm q = ?
b) CSN gồm có mấy số hạng? Vì sao?
+ Áp dụng công thức nào?
+ Cách tìm q = ?
b) CSN gồm có mấy số hạng? Vì sao?
+ Áp dụng công thức nào?
+ Cách tìm q = ?
n
n 1
q 1
S u .
q 1
(đpcm)
1414
Tiết:
Ngày sọan:
G. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i. Định nghĩa cấp số nhân.
ii. Số hạng tổng quát của cấp số nhân.
iii. Tính chất của CSN, tổng n số hạng đầu của một CSN.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Giải các bài tóan về cấp số nhân.
ii. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
H. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSN.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
¥
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Tìm các yếu tố của một CSN
Bài 1: Trong các CSN sau, tìm số hạng u
n
đã chỉ ra:
8 11
1 1
a) 1, , , u , b) 2, 4,8, u
3 9
Giải:
a) Ta có:
n 1
7 7
n 1
8
1
u u q
1 1
u 1.
1
3 3
u 1,q ,n 8
3
b) Ta có: Tương tự.
Bài 2: Tìm công bội q của một CSN hữu hạn, biết số hạng đầu u
1
=
2, số hạng cuối u
11
= 64.
Giải:
Ta có:
n 1
n 1
u u .q
.
Suy ra:
n 1 11 1 10 5
n
1
u
64
q q 32 q 2 q 2
u 2
Bài 3: Trong các CSN sau đây, tìm số hạng đầu và công bội , nếu:
1 3 5
4 2
5 3
1 7
u u u 65
u u 72
a) b)
u u 144
u u 325
Giải:
2
3
1
4 2 1 1
4 2
2 2
5 3
1 1
1
u q q 1 72
u u 72 u q u q 72
a)
u u 144
u q u q 144
u q q 1 144
Vậy:
1
q 2
u 12
+ Học sinh nhắc lại các công thức đã học?
+ Áp dụng công thức nào?
+ Các số liệu của công thức?
+ Chú ý rằng đây là CSN hữu hạn.
+ Công thức? Các số liệu của công thức?
+ Công thức áp dụng?
Bài tập CẤP SỐ NHÂN
+ Các yếu tố của một CSN gồm: Công bội, số hạng tổng quát,
tổng n số hạng đầu,…
+ Để làm được các dạng tóan này cần phải thuộc, vận dụng tốt
các công thức (1), (2), (3), (4) của CSN.
1515
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
2 4
1 3 5
1 1 1
6
1 7
1 1
2 4 2 4
1 1
6 2 2 4
1 1
u u u 65 u u q u q 65
b)
u u 325
u u q 325
u 1 q q 65 u 1 q q 65
u 1 q 325 u 1 q 1 q q 325
Vậy:
2
1
q 5 q 5
u 125
Bài 4: Một CSN có 5 số hạng. Tìm số hạng cuối và tổng của 5 số
hạng đó, biết u
1
= 2 và q = 3.
Giải: Ta có:
4 4
5 1 5
n 5
1
u u q u 2.3 162
q 1 3 1 242
S u . 2. 2. 242
q 1 3 1 2
Dạng 2: Tìm các số hạng của một CSN hữu hạn:
Bài 5: Tìm ba số hạng của một CSN có công bội nguyên, tổng các
số hạng bằng 7, tích của chúng bằng 8.
Giải:
Gọi ba số hạng của CSN là
, , q
q
Ta có:
3 3
2
2
. . q 8
2
8 2
q
2q 5q 2 0
q q 7q
q 7
q
2
q 2
1
q 2 q , q
2
Z
Bài 6: Cho a, b, c theo thứ tự đó là một CSN và a, b, c > 0. CmR ba
số
3
1 1
a b c , ab bc ca , abc
3 3
cũng lập thành một CSN
Giải:
3
3
3
2
2
2
1
a b c . abc
1 1
a b c . b a b c .b
3
3 3
a, b, c CSN b ac
1 1 1
ab b bc ab bc ca ab bc ca
3 3 3
đpcm
B4. Củng cố: Cách giải.
B5. Dặn dò: Ôn tập chương III
+ Công thức tính số hạng đầu và công bội củ CSN?
+ Cách giải hệ phương trình?
+ Số hạng cuối là số hạng nào?
+Công thức tìm số hạng cuối?
+ Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN?
+ CSN có bao nhiêu số hạng?
+ Dạng của CSN là gì?
+ Từ giả thiết của bài tóan, lập hệ phương trình?
+ Cách giải hệ?
+ Chọn nghiệm cho q như thế nào?
+ Học sinh nhắc lại tính chất về số hạng của một
CSN?
+ Để chứng minh ba số lập thành một CSN, ta làm
như thế nào?
+ Nếu CSN có lẻ số hạng thì gọi số hạng ở giữa là
và công
bội q. Khi đó, CSC có ba số hạng có dạng:
, , q
q
+ Nếu CSN có chẵn số hạng và công bội q > 0 thì đặt q = r
2
.
Khi đó, CSN có 4 số hạng có dạng:
3
3
, , r, r
rr
1616
Tiết:
Ngày sọan:
I. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh hệ thống hóa các kiến thức đã học trong chương gồm:
i. Phương pháp quy nạp tóan học.
ii. Dãy số.
iii. Định nghĩa và tính chất của CSC và CSN.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
ii. Giải các bài tóan về CSC, CSN. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
J. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ: Học sinh nhắc lại các kiến thức trọng tâm đã học trong chương III.
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC, CSN.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
¥
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
Bài 1: Chứng minh rằng với
n * ¥
, ta có:
3
n
u n 11n
(1) chia
hết cho 3.
Giải:
+ Khi
1
n 1: u 12 3 M
(1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k
1, tức là:
3
k
u k 11k
chia hết cho 3
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
3
k 1
u (k 1) 11(k 1)
chia hết cho 3
Cm:
3 3 2
k 1
n *, u (k 1) 11(k 1) k 3k 3k 1 11k 11
¥
3
k 1
u k 11k 3k k 1 12
chia hết cho 3
Vậy
3
n
u n 11n
chia hết cho 3,
n * ¥
Bài 2: Xét tính đơn điệu của dãy số: u
n
= 2n
2
– n + 1.
Giải: Với
n * ¥
, ta có:
2
2
n 1 n
u u 2 n 1 n 1 1 2n n 1 4n 1 0
Vậy dãy số đã cho tăng với
n * ¥
.
Bài 3:Xét tính bị chặn của dãy số (u
n
) với
n
1
u 2sin
n
Giải: Với
n * ¥
, ta có:
1 1
1 sin 1 2 2sin 2
n n
Vậy dãy số đã cho bị chặn trên bởi 2, bị chặn dưới bởi –2 nên bị
chặn.
Bài 4: Tìm số hạng thứ 10 của CSC
3, 3,
Gỉai:
Ta có:
d 3 3
Áp dụng công thức u
n
= u
1
+ (n–1).d. Suy ra:
10
u 3 9 3 3 27 8 3
Bài 5: Tính tổng của 21 số hạng đầu của CSC có công sai nguyên,
biết rằng:
+ Học sinh nhắc lại các bước giải một bài tóan bằng
phương pháp phản chứng.
+ Chứng minh như thế nào?
+ Học sinh nhắc lại tính đơn điệu của dãy số?
+ Nhắc lại định nghĩa dãy số bị chặn?
+ Tập giá trị của hàm sin?
+ Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát?
+ Tính d = ?
Ôn tập CHƯƠNG III
1717
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Công thức tính tổng của CSN hữu hạn?
+ Tính u
1
và d như thế nào?
+ Giải hệ với chú ý rằng công sai d là số nguyên.
+ Công thức tính tổng các số hạng của một CSN
hữu hạn?
+ Cách tính công bội q?
+ Thay vào công thức.
+ Phát biểu tính chất về các số hạng của một CSN?
+ Giả thiết suy ra gì?
+ Để chứng minh ba số cosA, cosB, cosC lập thành
CSC, ta phải chứng minh như thế nào?
+ Học sinh nhắc lại một số công thức lượng giác:
• tga + tgb = ?
• cosa.cosb = ?
• cos
2
a – cos
2
b = ?
+ Với tam giác ABC, ta chú ý:
A C B
sin cos
2 2
(cung phụ)
7 15
2 2
4 12
u u 60
u u 1170
Giải:
1 1
7 15
2 2
2 2
4 12
1 1
1
1
2
21 1
u 6d u 14d 60
u u 60
u u 1170
u 3d u 11d 1170
u 30 10d
u 0
d 3
5d 36d 63 0 d
n 21
Suy ra : S u n 1 d 0 21 1 .3 630
2 2
¢
Bài 6: Trong CSN có 9 số hạng, biết u
1
= 5, u
9
= 1280. Tính tổng S
các số hạng đó.
Giải:
n 1 8 8
9
n 1 9 1
1
9
9
9
9
u
1280
u u .q u u .q q 256 q 2
u 5
2 1
q 2 S S 5. 2555
2 1
( 2) 1
q 2 S S 5. 855
2 1
g
g
Bài 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
ba số
A B C
tg , tg ,tg
2 2 2
lập thành CSC là ba số cosA, cosB, cosC lập
thành CSC.
Giải:
2
2
2
2 2
A C B
sin sin
A B C A C B
2 2
tg , tg ,tg tg tg 2tg 2
A C B
2 2 2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
B B
cos sin
B B A C
2 2
2 cos 2sin cos cos
A C B
2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
B B A C A C
cos sin cos cos
2 2 2 2
B B B A C
cos sin . sin cos
2 2 2 2
B B B
cos sin sin
2 2 2
A C A C A C
cos cosB cos cos
2 2 2
1
cos B cos A cosB cosA, cos B, cos C
2
B4. Củng cố: Cách giải một số dạng.
B5. Dặn dò: Bài mới.
1818
1919
