chuyên đề căn thức

CHUYÊNĐỀ:RÚT GỌNBIỂU THỨC
ĐỖTRUNGTHÀNH –GIÁOVIÊNTHCS Trang1

ĐỀBÀI
Bài1:
Chobiểuthức:
2
M y 5x y 6x = - +
a)Phântích Mthànhnhântử;
b)Tìm cáccặpsố(x,y)thỏamãn:
x y 1 0
M 0
ì
- + =
ï
í
=
ï
î

Bài2:
Chobiểuthức: A x 2 x 1 x 2 x 1 = + - + - - .
a)Tìm điềukiện củax đểAcónghĩa.Rútgọn A.
b)Tìm x ứngvới giátrị nhỏnhấtcủaA.

Bài3:
Chobiểuthức:
2
P x 3x y 2y = - + .
a)Phântích Pthành nhântử.
b)Tính giátrị củaPkhi:

1
x=
5 2 -
;
1
y
9 4 5
=
+
.

Bài4:
 Chobiểuthức: M 2 3 5 13 48 = + - + .Chứngminh: M 6 2 = + .

Bài5:
Chobiểuthức:
2
(x 2) 8x
A
2
x
x
+ -
=
-
.Tìm điềukiện đểAcónghĩa.Rútgọn A.

Bài6:
Chobiểuthức:
3

1 1 x x
M
x 1 x x 1 x x 1
-
= + +
- - - + -
.
a)Tìm điềukiện tồn tại vàrútgọn M.
b)Tìm giátrị củaxkhichoM=2.
c)Tìm cácgiátrị nguyêndươngcủax đểMcógiátrị nguyên.

Bài7:
Chocácbiểuthức:
x x x 2x 2
A
x 2
- + -
=
+
;
2x 3 x 2
B
x 2
- -
=
-
.
a)Rútgọn AvàB.
b)Tìm x đểA=B.


Bài8:
Chobiểuthức:
2
3
1 1 a 2
B
1 a
2(1 a) 2(1 a )
+
= + -
-
+ -
.Rútgọn vàtìm giátrị nhỏnhấtcủaB.

Bài9:
Chobiểuthức
2 x 9 x 3 2 x 1
A
x 5 x 6 x 2 3 x
- + +
= - -
- + - -
.
a)Tìm x đểAcónghĩa.
b)Rútgọn A.Tìm xnguyên đểAnguyên.

Bài10:
Cho
3a 9a 3 a 1 a 2
A

a a 2 a 2 1 a
+ - + -
= - +
+ - + -
.
a)Rútgọn A.
b)Tính giátrị củaAvới a= 4 2 3 -
c)Tìm anguyên đểAnguyên.

Bài11:
Cho
3x 9x 3 x 1 x 2 1
P :
x 1
x x 2 x 2 1 x
æ ö
+ - + -
= - +
ç ÷
ç ÷
-
+ - + -
è ø
.
a)Rútgọn P.
b)Tính giátrị củaPvới a= 4 2 3 -
c)Tìm cácsốtựnhiênA để
1
P
làmộtsốtự nhiên.

CHUYÊNĐỀ:RÚT GỌNBIỂU THỨC
ĐỖTRUNGTHÀNH –GIÁOVIÊNTHCS Trang2

Bài12:
Cho
1+ 1 x 1 1 x 1
A=
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
- - +
+ +
- + - + - + +
. Rútgọn A.SosánhAvà
2
2
.

Bài13:
Cho
x 1 1 8 x 3 x 2
A : 1
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
æ ö æ ö
- -
= - + -
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
-
- + +
è ø è ø

a)Rútgọn A.
b)Tìm x để
6
A
5
= .

Bài14:
 Cho
x 3 x 9 x x 3 x 2
A 1 :
x 9
x x 6 x 2 x 3
æ ö æ ö
- - - -
= - + -
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
-
+ - - +
è ø è ø
.
a)Rútgọn A.
b)Tìm x đểA>1.

Bài15:
Chobiểuthức:
2 2 2
2 2 n 1 n
(a 2) a 3 a a 2

P .
4a 4 a a a 3a
+
æ ö
+ - + -
= -
ç ÷
- - -
è ø
.
a)Với giátrị nàocủaathì Pcónghĩa.
b)Chứngminh:
n 1
a 2
P
a
+
+
=

Bài16:
Tính
1 2x 1 2x
A
1 1 2x 1 1 2x
+ -
= +
+ + - -
.Với
3

x
4
= .

Bài17:
Chobiểuthức
x 2 x 2 x 1
M .
x 1
x 2 x 1 x
æ ö
+ - +
= -
ç ÷
ç ÷
-
+ +
è ø
.

Bài18:
Chobiểuthức:
2 x 2 x 4x x 3
A :
4 x
2 x 2 x 2 x x
æ ö
+ - -
= - +
ç ÷

ç ÷
-
- + -
è ø
.
a)Tìm điềukiện tồn tại củaA.Rútgọn A.
b)Tìm cácgiátrị củax đểA>0.

Bài19:
Chobiểuthức:
2
1 x 1
A :
x x x x x x
+
=
- + +
.
a)Tìm điềukiện củax đểAcónghĩa.Rútgọn A.
b)Giải phươngtrình ẩn x:
1
A x 1
3
= - .

Bài20:
Chobiểuthức:
2x 2 x x x 1
A x 1
x 1 x x 1

- +
= - + +
- - +
.
a)Tìm x đểAcónghĩa.Rútgọn A.
b)Tìm giátrị nhỏnhấtcủaA.

Bài21:
Chobiểuthức:
2x 1 x 2x x x x (x x)(1 x)
M 1 .
1 x
1 x x 2 x 1
é ù é ù
- + + - - -
= - +
ê ú ê ú
-
+ -
ë û ë û
.
a)Tìm cácgiátrị củax đểMcónghĩa.Rútgọn M.
b)Tìm giátrị nhỏnhấtcủabiểuthức:S=2000– Mkhix ≥4.
c)Tìm cácsốnguyênx đểgiátrị củaMcũnglàsốnguyên.

Bài22:
Chobiểuthức:
2x 2 x x 1 x x 1
P
x x x x x

+ - +
= + -
- +
a)Rútgọn P
b)Sosánh Pvới 5
c) "xlàm Pcónghĩa.Chứngminhbiểuthức8:P chỉnhận đúngmộtgiátrịnguyên.
CHUYÊNĐỀ:RÚT GỌNBIỂU THỨC
ĐỖTRUNGTHÀNH –GIÁOVIÊNTHCS Trang3

Bài23:
Chobiểuthức:P=
x 2 x 3 x 2 x
: 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
æ ö æ ö
+ + +
- - -
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
- + - - +
è ø è ø
a)Rútgọn biểuthứcP
b)Tìm x để
1 5
P 2
£

Bài24:
Cho
2 2

5x 1 2 x 1
A : .B 4 2 3 19 8 3
1 2x 1 2x
4x 1 1 4x 4x
-
æ ö
= + - = - + -
ç ÷
- +
- + +
è ø
.
a)Với giátrị nàocủax đểAcónghĩa?
b)Rútgọn AvàB
c)Tìm nhữnggiátrị củax đểA=B

Bài25:
Chobiểuthức:
x 1 x 2 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= - -
-
- + +
a)Rútgọn P
b)Tìm giátrị lớn nhấtcủabiểuthức
2
Q x

P
= +

Bài26:
Chobiểuthức
x 2 x 1 1
A
x x 1 x x 1 x 1
+ +
= + -
- + + -
a)Tìm x đểAcónghĩa.Rútgọn A
b)TínhAvới
x 33 8 2 = -
c)Chứngminhrằng
1
A
3
<

Bài27:
Chobiểuthức
2
x x 2x x 2(x 1)
P
x x 1 x x 1
- + -
= - +
+ + -
.

a)Rútgọn P
b)Tìm giátrị nhỏnhấtcủaP
c)Tìm x đểbiểuthức
2 x
Q
P
= nhận giátrị làsốnguyên

Bài28:
Chobiểuthức
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x 1
æ ö æ ö
= - -
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
+
- - -
è ø è ø
a)Tìm điềukiện xácđịnh củaP.Rútgọn P
b)Tìm xsaochoP<0

Bài29:
Chobiểuthức
2x x x x x x x 1 x
M .
x 1
x x 1 2x x 1 2 x 1

æ ö
+ - + -
= - +
ç ÷
ç ÷
-
- + - -
è ø
a)Tìm điềukiện xácđịnh củaM.Rútgọn M
b)Tìm giátrị nhỏnhấtcủaM

Bài30:
ChobiểuthứcP(x)=
2
2
2x x 1
3x 4x 1
- -
- +
a)Tìm điềukiện đểP(x)xácđịnh.Rútgọn P(x)
b)Chứngminhrằng:nếux>1thì P(x).P(−x)<0

Bài31:
Chobiểuthức
2 2
x x x x
M x 1
x x 1 x x 1
- +
= - + +

+ + - +
.Rútgọn M

Bài32:
Chobiểuthức
x x 1 x x 1 x 1
P
x x x x x
- - +
= - +
- +
.Rútgọn P.Tìmx để
9
P
2
=
CHUYÊNĐỀ:RÚT GỌNBIỂU THỨC
ĐỖTRUNGTHÀNH –GIÁOVIÊNTHCS Trang4

HƯỚNGDẪNGIẢI
Bài1:
a)
2
M y 3x y 2x y 6x y( y 3x) 2x( y 3x) ( y 3x)( y 2x) = - - + = - - - = - - .
b)
x y 1 0
M 0
ì
- + =
ï

í
=
ï
î
Û
x 1
x y 1 0
x 2x 1 0
y 4
y 2x 0 y 2x
1
x
x 3x 1 0
x y 1 0
2
9
y 3x
y 3x 0
y
4
é =
ì
é
ì
- + =
é - + =
í
ê ì
ï
ï

=
ê
î
í
ê
ê
í
ê
- = =
ï ï
ê
ê
î î
ì
ê Û Û
ê
=
ê
ï
- + =
ì ì
ê
ï
- + =
ï
ê
ï
ê
í
í

ê
í
ê
ê
=
ï ï
- =
î
ê
ë
= ï
î
ë ê
ï
î
ë

Bài2:
Chú ý: |x+y| £|x|+|y|.Dấu“=”xảyra Ûxy ≥0.
a)ĐK:x ≥1.Khiđó:
2Neu1 x<2
A | x 1 1| | x 1 1| =
2 x 1Neux 2
£
ì
ï
= - - + - +
í
- ³
ï

î
b) A | x 1 1| | x 1 1|   | x 1 1 x 1 1|  2 x 1 2 = - - + - + ³ - - + - + = - ³ Khix=2.

Bài3:
a)
2
P x x y 2x y 2y (x y)(x 2 y) = - - + = - -
b)
5 2
x 5 2
5 4
+
= = +
-
;
2
2
1
y ( 5 2)
(2 5)
= = -
+
.Khi đó: P 10 4 5 = + .

Bài4:
 M 2 3 5 13 2 12 2 3 5 12 1 2 3 4 2 3 2 2 3 = + - + = + - - = + - = +
=
( ) ( )
2 2
8 4 3 8 2 12 6 2 2 6. 2 6 2 + = + = + + = +


Bài5:
ĐK:x>0vàx ≠2.Khi đó:
x  x>2
x | x 2 |
A
(0<x<2)
x 2
x
ì
-
ï
= =
í
-
-
ï
î

Bài6:
a) ĐK:x>1.Khiđó:
2
x 1 x x 1 x x
M x 2 x 1 ( x 1 1)
1
- + + - - -
= = - - = - -
-
b)
2

x 1 1 2
M 2 ( x 1 1) 2 x 1 1 2 x 4 2 2
x 1 1 2(VN)
é
- - =
= Û - - = Û Û - = + Û = +
ê
- - = -
ê
ë
c)Mnguyên Û
2
( x 1 1) - - nguyên Ûx –1=n
2
(n Î Z) Û x=n
2
–1≥1 Û
n 2
n 2
é
£ -
ê
³
ê
ë
ÞMnguyên Ûx=n
2
–1với n Î Zsaocho:n<–1hoặcn>1.

Bài7:

a)
( x 2)(x 1)
A x 1
x 2
+ -
= = -
+
.
2x 4 x x 2 ( x 2)(2 x 1)
B 2 x 1
x 2 x 2
- + - - +
= = = +
- -
b)A=B Û
x 2 x 2 0 - - =
Û x 1 3 = + Ûx 4 2 3 = +

Bài8:
ĐKa≥0vàa≠1.Tacó:
2 2
3 3 2
1 1 a 2 1 a 2 1
B
1 a
1 a 1 a a a 1
2(1 a) 2(1 a )
+ + -
= + - = - =
-

- - + +
+ -
Tacó:a
2
+a+1≥
3
4
Û
2
1 4
3
a a 1
£
+ +
Û
2
1 4
3
a a 1
- -
³
+ +
ÛDấu“=”xảy ra Û
1
a
2
= -

Bài9:
a)Acónghĩa Ûx ≥0,x≠4vàx ≠9.

b)
2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 (x 9) (2 x 1)( x 2)
A
x 5 x 6 x 2 x 3 ( x 2)( x 3)
- + + - - - + + -
= - + =
- + - - - -
2 x 9 x 9 2x x 4 x 2 x x 2 ( x 1)( x 2) x 1
A
( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3
- - + + + - - - - + - +
= = = =
- - - - - - -
CHUYÊNĐỀ:RÚT GỌNBIỂU THỨC
ĐỖTRUNGTHÀNH –GIÁOVIÊNTHCS Trang5
Anguyên Û
x 1 x 3 4 4
A 1
x 3 x 3 x 3
+ - +
= = = +
- - -
nguyên Û ( x 3) \ 4 -
Û
{ }
x 3 1, 2, 4 - Î ± ± ± Ûx Î {1;4;16;25;49}

Bài10:
a)Với đka≠1vàa≥0:
3a 3 a 3 a 1 a 4 a 3 a 2 a 1

A
( a 1)( a 2) ( a 1)( a 2) a 1
+ - - + - + + + +
= = =
- + - + -
b)a=
2
4 2 3 ( 3 1) - = - .Khi đó:
3 3 2 3
A 3 2 3
1
3 2
+
= = = +
-
c)
a 1 2 2
A 1
a 1 a 1
- +
= = +
- -
Î Z Û a 1 \ 2 a {1; 2} - Û Î a Î {1;4}

Bài11:
Tươngtựbài 10

Bài12:
ĐK:−1≤x<1vàx ≠0.Khi đó:
1+ 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1

A=
1 x ( 1 x 1) 1 x ( 1 x 1) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
- - +
+ + = - + =
- - + + + - + - + + -
Vì −1≤x<1nên:1−x≤2 Û
1 1 2
1 x 2
2
1 x 2
- £ Û ³ =
-
.Vậy:
1 2
2
1 x
³
-

Bài13:
a)Với điềukiện:x ≥0,
1
x
9
¹ :
3(x x ) 3 x 1 x x
A .
9x 1 3
3 x 1
+ + +

= =
-
-
b)
6
A
5
= Û
1
x x 6
5x 13 x 6 0 x 4
5
3 x 1
+
= Û - + = Û =
-
,
2
9
x
25
=

Bài14:
 Họcsinhtựgiải

Bài15:
a)Pcónghĩa Ûa≠0,a≠±1.
b)Họcsinhtựgiải.


Bài16:
 ThayxvàobiểuthứcAsauđórútgọn.

Bài17:
Họcsinhtựgiải.

Bài18:
Họcsinhtựgiải

Bài19:
a) ĐK:a>0vàa≠1. ĐS:
1
A
x 1
=
-
. b)x=4.

Bài20:
a)Acónghĩa Ûx ≥0vàx ≠1.A=
x x 2 - +
. b)minA=
7
4
Ûx=
1
4
.

Bài21:

a) ĐK:x ≥0,x≠1vàx ≠
1
4
.M=
1
1 x x - +
.
b)S≥2000−
1 5999
3 3
= Ûx=4. c)Mnguyên ÛM=1 Ûx=0vì x=1(loại).

Bài22:
a) ĐKx>0vàx ≠1:
2x 2 x 2
P
x
+ +
=
b)XétP −5=
2x 3 x 2 1
2 x 3 2.2 3 0
x x
- + æ ö
= + - ³ - >
ç ÷
è ø
.Vậy:P>5
c)Dễ thấy P>0,mặtkhácP>5.Dođó:
8 8

0
p 5
< <
.Để
8
P
nguyênthì
8
P
=1 Û P=8
Û
2
3 5
x 3 x 1 0 x
2
æ ö
±
- + = Û =
ç ÷
ç ÷
è ø
.Vậy với mọi xlàmPcónghĩathì
8
P
=1(duynhất).
CHUYÊNĐỀ:RÚT GỌNBIỂU THỨC
ĐỖTRUNGTHÀNH –GIÁOVIÊNTHCS Trang6

Bài23:
a) ĐKx ≥0,x≠4vàx ≠9:

x 1
P
x 4
+
=
-
b)
1 5 (2 x 1)( x 3)
0 2 x 1 0
P 2
2 x 1
- +
£ Û £ Û - £
+
(vì
x 3 0 + >
,
2 x 1 0 + >
) Û 0≤x≤
1
4
.

Bài24:
a)Acónghĩa Û
1
x ,x 1
2
¹ ¹
b)ĐS:

1 2x
A
1 2x
+
=
-
,B=3.
c)A=B Û
1
x
4
=

Bài25:
a) ĐKx ≥0vàx ≠1:
x
P
x x 1
-
=
+ +
b)
x 2 x 2 2
Q x 2 (2 2 2) x 2
x x
+ + æ ö
= = - + + £ - + Û =
ç ÷
-
è ø


Bài26:
a)Acónghĩa Û
x 0
.
x 1
³
ì
í
¹
î
Khi đó:
x
A
x x 1
=
+ +
b)
2
4 2 1
x (4 2 1) : A
33 4 2
-
= - =
-
c)Xét
2
1 ( x 1) 1
A 0 A
3 3

3(x x 1)
- -
- = < Û <
+ +

Bài27:
a) Điềukiện x>0vàx ≠1.Kếtquả:
P x x 1 = - +
b)MinP=
3 1
x
4 4
Û =
c)
2 x
Q 0 x
x x 1
= > "
- +
nên:
2 1
Q 2(Do x 1 1) 0 Q 2
1
x
x 1
x
= £ + - ³ Û < £
+ -
.
Vì Q Î Znên:Q Î {1;2}.NếuQ=1 Û

2
3 5
x
2
æ ö
±
=
ç ÷
ç ÷
è ø
.Nếu Q=2 Û
2
( x 1) 0 - = (vônghiệm)

Bài28:
a) ĐKx ≥0vàx ≠1.Kếtquả
1
P
x 1
=
-
. b)P<0 Û 0≤x<1

Bài29:
a) ĐKx ≥0,x≠1vàx ≠
1
4
.Kếtquả:
x x
P

x x 1
+
=
+ +
b)Dox ≥0nên:P≥0 Ûx=0

Bài30:
a) ĐKx ≠0vàx ≠
1
3
.Khi đó:
1
(x 0)
2x | x | 1
3x 1
P(x)
1(3x 1)(x 1)
(x<0)
x 1
ì
³
ï
- -
ï
-
= =
í
- -
ï
ï

î -
b)Vì x>1nên
1
P
3x 1
=
-
.Khi đó:P(x).P(−x)=
2
2
1
0(Do9x 1 0)
9x 1
-
< - >
-

Bài31:
ĐK(0≤x≤1).KếtquảM=| x 1| 1 x (Do0 x 1) - = - £ £

Bài32:
ĐKx>0,x ≠1.Kếtquả:P=
2
( x 1)
x
+
,khi đó:
9
P x 4
2

= Û = hoặc
1
x
4
= .