Chuyen de Dang Thuc BDHSG

Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 8
Bài tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:
.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ).
Bài tập 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ( x + a ) ( x + b ) = x
2
+ ( a + b ) x + ab;
b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x
3
+ ( a + b + c ) x
2
+ (ab + bc + ca) x + abc.
Bài tập 3: Cho a + b + c = 2p.
Chứng minh đẳng thức: 2bc + b
2
+ c
2
a
2
= 4p ( p q )
Bài tập 4:
Cho biểu thức: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x
2
Tính M theo a,b,c biết rằng x =
2
1
a +
2
1
b +
2

1
c.
Bài tập 5. Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chứng minh rằng: x =y = z

Bài tập 6. Cho x + y = a + b, x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
;
Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
= a
3
+ b
3
.
Bài tập 7. Cho a + b = m, a b = n ; Tính ab và a
3
- b
3
theo m và n.
Bài tập 8. Cho x+ y = 3.
Tính giá trị của biểu thức: A = x
2

+ 2xy + y
2
-4x - 4y + 1.
Bài tập 9. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m:
A = ( 2a + 2b - c )
2
+ ( 2b + 2c - a )
2
+ ( 2c + 2a - b )
2
.
Bài tập10. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) ( a + b + c )
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= ( a + b)
2
+ ( b + c)
2

+ ( c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ ( x + y )
4
= 2 ( x
2
+_xy + y
2
)
2
.
Bài tập 11.
Cho a
2
- b
2
= 4c. Chứng minh hằng đẳng thức
( 5a 3b + 8c ) ( 5a 3b 8c ) = ( 3a 5b )
2
.
Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu: ( a
2
+ b
2
) ( x

2
+ y
2
) = ( a x + by )
2
Với x,y khác 0 thì
x
a
=
y
b
Bài tập 13.
Chứng minh rằng nếu: ( a
2
+ b
2
+ c
2
) ( x
2
+ y
2
+ z
2
) = ( a x + by + cz )
2
Với x,y,z khác 0 thì
x
a
=

y
b
=
z
c
Bài tập 14. Cho ( a + b )
2
= 2( a
2
+ b
2
). Chứng minh rằng: a = b.
Bài tập 15. Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca; b) ( a + b + c )
2
= 3 ( a
2
+ b
2
+ c
2
);
c) ( a + b + c )
2

= 3 (ab + bc + ca ).
Bài tập 16. Tính giá trị biểu thức: a
4
+ b
4
+ c
4
, biết rằng a + b + c = 0 và:
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
1
a) a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 ; b) a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Bài tập 17. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a
4
+ b
4
+ c
4

bằng mỗi biểu thức:
a)2 ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
); b) 2(ab + bc + ca )
2
; c)
2
)(
2222
cba
++
.
Bài tập 18.Chứng minh các hằng đẳng thức:
a)
( ) ( )( )( )
accbbacbacba
+++=++
3
333
3

;
b)
( )
( )
cabcabcbacbaabccba
++++=++
222333
3
;
Bài tập 19. Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng
abccba 3
333
=++
.
Bài tập 20. Cho x + y = 0, x. y = b tính giá trị của biểu thức sau theo a, b.
a) x
2
+ y
2
b) x
3
+ y
3
c) x
4
+ y
4
d) x
5
+ y

5
Bài tập 21.
a)Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x
3
+ y
3
+3xy;
b)Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x
3
- y
3
-3xy;
c)Cho x + y = 2 và x
2
+ y
2
= 10 . Tính giá trị của biểu thức: x
3
+ y
3
;
d) Cho x + y = a và x
2
+ y
2
= b . Tính giá trị của biểu thức: x
3
+ y
3
theo a, b.

Bài tập 22. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a
3
+ b
3
+3ab(a
2
+ b
2
) + 6 a
2
b
2
(a + b) .
Bài tập 23. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: B= a
3
+ b
3
+ c(a
2
+ b
2
) - abc .
Bài tập 24. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau nếu;

)()()(
222
bacacbcba
++
.
Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a

2
+ b
2
= 2ab thì a = b.
Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a
2
+ b
2
= 2ab thì a = b.
Bài tập 26. Chứng minh rằng nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và a, b, c là các số dơng thì a = b = c.
Bài tập 27. Chứng minh rằng nếu a
4
+ b
4
+ c
4
+ d
4
= 4abcd và a, b, c, d là các số dơng thì a = b = c = d.
Bài tập 28. Chứng minh rằng nếu
cbam
++=
thì
222

)()()())()(( accbbaabcmacbmbcam
+++=+++
Bài tập 29. Cho
1
22
=+
ba
,
1
22
=+
dc
,
0
=+
bdac
, chứng minh rằng:
0=+ cdab
.
Bài tập 30. Cho biết x, y, z # 0, và
( )
222
222
2
cba
zyx
czbyax
++=
++
++

.Chứng minh rằng:
z
c
y
b
x
a
==
.
Bài tập 31. Cho biết
0
=++
czbyax
tính
222
222
)()()(
czbyax
yxabxzcazybc
A
++
++
=
.
Bài tập 32. Cho biết
0
=++
cba
, a, b, c # 0. Tính
222222222

bac
ca
acb
bc
cba
ab
B
+
+
+
+
+
=
.
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
2
Bài tập 33. Cho biết
2
111
;2
111
222
=++=++
cba
cba
. Chứng minh rằng:
abccba
=++
.

Bài tập 34. Cho biết
0
=++
c
z
b
y
a
x
và
2
=++
z
c
y
b
x
a
. Tính giá trị biểu thức:
2
2
2
2
2
2
z
c
y
b
x

a
++
.
Bài tập 35. Cho
2222
)( cbacba
++=++
và a, b, c # 0. Chứng minh rằng:
abc
cba
3111
333
=++
.
Bài tập 36. Cho
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++=++
chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
Bài tập 37. Cho a, b, c khác nhau đôi một và

0
111
=++
cba
. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
abcacbbca
M
2
1
2
1
2
1
222
+
+
+
+
+
=
;
b)
abc
ab
acb
ca
bca
bc
M

222
222
+
+
+
+
+
=
;
c)
abc
c
acb
b
bca
a
M
222
22
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.

Bài tập 38. Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau và
b
ac
a
cb
c
ba
+
=
+
=
+
.
Tính giá trị biểu thức: M =






+






+

+
a
c
c
b
b
a
1.1.1
.
Bài tập 39.Cho a.b. c = 1, và
cba
cba
111
++=++
.Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại một số bằng 1.
Bài tập 40. Chứng minh rằng nếu
azyx
=++
và
azyx
1111
=++
thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a.
Bài tập 41. Các biểu thức
zyx
++

và
zyx
111
++
có thể cùng giá trị bằng 0 đợc hay không.
Bài tập 42. Tính giá trị của biểu thức
2
1
2
1
2
1
+
+
+
+
+
=
zyx
M
.
Biết rằng:
byaxcczaxbczbya
+=+=+=
2,2,2
và
0
=++
cba
.

Bài tập 43. a) cho a.b.c = 2. Rút gọn biểu thức:
22
2
12
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b
aab
a
M
;
b) cho a.b.c = 1. Rút gọn biểu thức:
111
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b

aab
a
N
.
Bài tập 44. Cho
cb
ba
c
a


=
, a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # 0. Chứng minh rằng:
ccbbaa
1111


=

+
.
Bài tập 45. Cho, a # 0, b # 0, c # 0. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
ab
c
ca
b
bc
a
A

222
++=
b)
222
2
222
2
222
2
bac
c
acb
b
cba
a
B

+

+

=
.
Bài tập 46. Tính giá trị biểu thức sau, biết rằng
0
=++
cba
.
=
A

+

+








+

+

ac
b
cb
a
ba
c
b
ac

a
cb
c
ba
.
.
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
3
Bài tập 47. Chứng minh rằng nếu
))(())((
22
abcaacbabcbbca
=
và các số a, b, c và a b khác 0
thì
cba
cba
111
++=++
.
Bài tập 48. Cho
0,0,0
=++=++=++
z
c
y
b
x
a

zyxcba
. Chứng minh rằng:
0
222
=++
cxbxax
.
Bài tập 49. Cho
x
xz
z
yz
y
xy
1
11
+
=
+
=
+
. Chứng minh rằng: x = y = z hoặc x
2
y
2
z
2
= 1.
Bài tập 50. Cho

=
+
+
+
+
+
1
ba
c
ac
b
cb
a
. Chứng minh rằng:








=
+
+

+
+
+
0
222
ba
c
ac
b
cb
a
.
Bài tập 51. Cho






=

+

+

0
ba
c
ac
b

cb
a
. Chứng minh rằng:








=

+

+

0
)()()(
2
2
2
2
2
2
ba
c
ac
b
cb

a
.
Bài tập 52. Cho
a
x
x
=+
1
.Tính giá trị các biểu thức sau theo a:
a)
2
2
1
x
x
+
; b)
3
3
1
x
x
+
; c)
4
4
1
x
x
+

; d)
5
5
1
x
x
+
.
Bài tập 53. Cho a, b, c thoả mãn a, b, c # 0, và
0
=++
cabcab
. Tính
abc
accbba
P
))()((
+++
=
.
Bài tập 54. Cho a, b, c thoả mãn
))()(( accbba
+++
# 0 và
ba
c
ac
b
cb
a

ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
222222
.
Chứng minh rằng: a = b = c.
Bài tập 55. Cho x, y, z # 0, và
xyzzyx
=++
và
3
111
=++
zyx
.
Tính giá trị của biểu thức:

222
111
zyx
P ++=
.
Bài tập 56.Rút gọn biểu thức.
a)
))((
1
))((
1
))((
1
bcaccbabcaba
A

+

+

=
b)
))((
1
))((
1
))((
1
bcacccbabbcabaa
B

+

+

=
c)
))(())(())(( bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
C

+

+

=
d)
))(())(())((
222
bcac
c
cbab
b
caba
a
D

+

+

=

Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
4