Chuyên đề đa thức

trang 1
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
1. Định nghĩa
Biểu thức đại số là một tập hợp các số hoặc viết rõ hẳn hoặc biểu thị bằng chữ được nối liền
với nhau bởi dấu của các phép tính, ( cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa).
Chẳng hạn : 9 hoặc 9a hoặc
2
9 2a b−
hoặc
2
9 2a x by c− +
...
 Các chữ đại diện cho một số xác định được gọi là hằng số.
 Các chữ đại diện cho một số không xác định được gọi là biến số.
2. Giá trị của biểu thức
Giá trị của biểu thức đại số là kết quả khi thay các chữ trong biểu thức đại số bằng giá trị cụ
thể và thực hiện các phép tính.
Chẳng hạn :
Biểu thức 9a khi
1a
=
thì
9 9.1 9a
= =
.
Biểu thức
2
9 2a b−
khi
2a
= −

,
3b =
thì
( )
2
2
9 2 9. 2 2.3 9.4 6 36 6 30a b− = − − = − = − =
Biểu thức
2
9 2a x by c− +
khi
1a
= −
,
2b =
,
3c
= −
,
3x
=
,
5y =
thì
( ) ( )
2
2
9 2 9. 1 .3 2.2.5 3 27 20 3 4a x by c− + = − − + − = − − =
ĐƠN THỨC
1. Định nghĩa : Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích giữa

các số và các biến.
Chẳng hạn : 3 hoặc
3a
hoặc
2
3a x
hoặc
3
3a xy
...
 Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức.
 Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.
 Số 0 được gọi là đơn thức không, không có bậc.
2. Đơn thức đồng dạng : Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0, có cùng
phần biến và mỗi biến có cùng phần số mũ.
Chẳng hạn :
3ax
và
5ax−
;
2 3
2a y
và
2 3
7
2
a y−
...
Muốn cộng ( trừ ) các đơn thức đồng dạng ta cộng ( trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên
phần biến.

Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
2 2 2
3 2a x a x a x− +
c)
2 3 2 3 2 3
5 4 3a m x a m x a m x− −
b)
1 1 5
2 3 6
xy xy xy− +
d)
2 2 2
4 3 5
3 2 6
ax y ax y ax y− +
Bài giải
a)
( )
2 2 2 2 2
3 2 3 2 1 2a x a x a x a x a x− + = − + =
b)
1 1 5 1 1 5 3 2 5
2 3 6 2 3 6 6
xy xy xy xy xy xy
− +
 
− + = − + = =
 ÷
 

c)
( )
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
5 4 3 5 4 3 2a m x a m x a m x a m x a m x− − = − − = −

trang 2
d)
2 2 2 2 2
4 3 5 4 3 5 2
3 2 6 3 2 6 3
ax y ax y ax y ax y ax y
 
− + = − + =
 ÷
 
Ví dụ 2 : Tìm đơn thức
A
biết
a)
4 3
5 2
xy xy A= +
b)
2 2 2
5 7 4a xy A a xy a xy− = +
c)
3 2 3 2 3 2
5 2 11 9
7 3 21 7
x y A x y x y− = −

d)
2 3 2 3 2 3
2 3 5
3 4 2
am y am y A am y− = +
Bài giải
a)
4 3
5 2
xy xy A= +
⇔
4 3 7
5 2 10
A xy xy
−
 
= − =
 ÷
 
b)
2 2 2
5 7 4a xy A a xy a xy− = +
⇔
( )
2 2
7 4 5 6A a xy a xy= + − =
c)
3 2 3 2 3 2
5 2 11 9
7 3 21 7

x y A x y x y− = −
⇔
3 2
2 5 11 9
3 7 21 7
A x y
 
= − +
 ÷
 
⇔
3 2 3 2
3 31 31
.
2 21 14
A x y x y= =
d)
2 3 2 3 2 3
2 3 5
3 4 2
am y am y A am y− = +
⇔
2 3
3 2 5
1
4 3 2
A am y
 
= − −
 ÷

 
⇔
2 3 2 3
4 6 4 15 26
.
3 6 9
A am y am y
− − −
= =
Ví dụ 3 : Rút gọn rồi tính trị của biểu thức
A
biết
a)
3 5 6x x x A= − +
với
3x =
b)
4 3 2
5 2 3
xy A xy xy− = −
với
1
2
x =
,
1
3
y = −
c)
2 2 2

7 2 14 9
5 3 15 5
a x A a x a x− = −
với
2a = −
,
1
3
x =
d)
2 3 2 3 2 3
1 3 5
3
2 4 3
am y am y A am y− = −
với
2
3
a =
,
3m = −
,
2y = −
.
Bài giải
a)
3 5 6x x x A
= − +
⇔ với
3x

=
b)
4 3 2
5 2 3
xy A xy xy− = −
với
1
2
x =
,
1
3
y = −
c)
2 2 2
7 2 14 9
5 3 15 5
a x A a x a x− = −
với
2a
= −
,
1
3
x =
d)
2 3 2 3 2 3
1 3 5
3
2 4 3

am y am y A am y− = −
với
2
3
a =
,
3m
= −
,
2y = −
.
3. Nhân đơn thức
Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau. ( với số mũ
bằng tổng các số mũ ).
Muốn chia hai đơn thức, ta nhân đơn thức bị chia với nghịch đảo đơn thức chia.
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
( )
2 2
3 . 2a x m x−
c)
( )
2 2 3
5 . . 3am x a mx amx−
b)
2
1 2 6
. .
2 3 5
xy xy

xy
 
−
 ÷
 
d)
2 2 2
4 3 5
. .
3 2 6
m y ax y a y
trang 3
Bài giải
a)
( )
2 2 2 2 2
3 . 2 6a x m x a m x− = −
b)
( )
2 2
2 2
1. 2 .6
1 2 6 2
. .
2 3 5 2.3.5 5
x y
x
xy xy
xy xy
−

 
− = = −
 ÷
 
c)
( )
2 2 3 4 4 5
5 . . 3 15am x a mx amx a m x− = −
d)
3 2 3
2 2 2 3 2 3
4 3 5 4.3.5 5
. .
3 2 6 3.2.6 3
a m y
m y ax y a y a m y= =
Ví dụ 2 : Tìm đơn thức
A
biết
a)
2
4 2
.
5 3
xy x y A=
b)
2 2 2
.5 7 4A ax y a xy a xy= +
c)
3 2 3 2 3 2

5 2 11 9
.
7 3 21 7
x y xy A x y x y− = +
d)
2 3 2 3 2 3
3 2 5
.
4 3 2
my A am y am y am y− + =
Bài giải
a)
2 2
2
4 2 4 2 4 3 6
. : .
5 3 5 3 5 2 5
xy x y A A xy x y xy
x y x
= ⇔ = = =

b)
2
2 2 2 2
2
11 11
.5 7 4 11
5 5
a xy a
A ax y a xy a xy a xy A

ax y x
= + = ⇔ = =
c)
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
5 2 11 9 2 5 11 9
. .
7 3 21 7 3 7 21 7
x y xy A x y x y xy A x y x y x y− = + ⇔ = − −

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 5 11 9 15 11 27 23
.
3 7 21 7 21 21
xy A x y x y x y x y x y
− −
⇔ = − − = =

⇔
3 2 2
23 2 23
:
21 3 14
A x y xy x y= =
.
d)
2 3 2 3 2 3
3 2 5
.
4 3 2
my A am y am y am y− + =

⇔
2 3 2 3 2 3
3 5 2
.
4 2 3
my A am y am y am y= − −
⇔
2 3 2 3 2 3
3 5 2 5 6 2 1
. 1
4 2 3 2.3 2
my A am y am y am y
− − −
 
= − − = =
 ÷
 
⇔
2 3 2 2
1 3 1.4 2
:
2 4 2.3 3
A am y my amy amy
− − −
= = =
.
Ví dụ 3 : Rút gọn rồi tính trị của biểu thức
A
biết
a)

3 5 6 .mx mx x A
= −
với
2m
= −
b)
2 3 2
.
5 2 3
xy A xy xy= −
với
1
2
x =
,
1
3
y = −
c)
2 2 2
7 2 14 9
: .
5 3 15 5
a x ax A a x a x= +
với
2a
= −
,
1
3

x =
d)
2 3 2 3 2 2 3
1 3 5
3 .
2 4 3
am y am y a my A am y− = +
với
2
3
a =
,
3m
= −
,
2y = −
.
Bài giải
a)
3 5 6 .mx mx x A
= −
⇔
6 . 5 3 2x A mx mx mx
= − =
trang 4
⇔
1
2 : 6
3
A mx x m= =

; với
2m
= −
thì
( )
1 2
. 2
3 3
A = − = −
.
b)
2 3 2
.
5 2 3
xy A xy xy= −
⇔
2 9 4 5
.
5 2.3 6
xy A xy xy
−
= =
⇔
5 2 25
:
6 5 12
A xy xy= =
với
1
2

x =
,
1
3
y = −
thì
25
12
A =
.
c)
2 2 2
7 2 14 9
: .
5 3 15 5
a x ax A a x a x= +
với
2a
= −
,
1
3
x =
d)
2 3 2 3 2 2 3
1 3 5
3 .
2 4 3
am y am y a my A am y− = +
⇔

2 2 3 2 3 2 3
3 1 5
. 3
4 2 3
a my A am y am y am y= − −
⇔
2 2 3 2 3 2 3
3 1 5 18 3 10 5
. 3
4 2 3 2.3 6
a my A am y am y am y
− −
 
= − − = =
 ÷
 
⇔
2
2 3 2
5 3 10
:
6 4 9
my
A am y a my
a
= =
với
2
3
a =

,
3m
= −
,
2y = −
thì
( ) ( ) ( )
2
2
10. 3 2 10. 3 .4
10
20
2
9 3.2
9.
3
my
A
a
− − −
= = = = −
.
trang 5
ĐA THỨC
1. Định nghĩa : Đa thức là tổng của nhiều đơn thức.
Chẳng hạn :
2
3ax
hoặc
2

2 3a x xy+
hoặc
2 3
2 3 5ax bx a y+ −
hoặc
3 2
2 3 5 7x x x+ − +
 Bản thân đơn thức cũng là một đa thức.
 Mỗi đơn thức trong đa thức gọi là một hạng tử của đa thức.
 Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó.
2. Cộng trừ đa thức
 Muốn cộng hai đa thức với nhau ta viết đa thức nọ sau đa thức kia với dấu của chúng.
 Muốn trừ hai đa thức với nhau ta viết đa thức bị trừ và đa thức trừ với dấu ngược lại.
3. Nhân đơn thức với đa thức
( )
a b c d ab ac ad
+ + = + +
Quy tắc : Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của
đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
( )
2 3 2
2 3 4 5 3x x x x− + −
b)
( ) ( )
2 2 2
8 3 4 3m x my y ny mxy− + − −

c)

2 3
1 3
6 1
3 2
xy xy x y
 
+ −
 ÷
 
d)
2 2 3
3 2 4
2
4 3 5
a x ax a x ax
 
− + −
 ÷
 
Bài giải
a)
( )
2 3 2 5 4 3 2
2 3 4 5 3 6 8 10 6x x x x x x x x− + − = − + −

b)
( ) ( )
2 2 2 3 2 2 2 3 4 3
8 3 4 3 24 9 3 12m x my y ny mxy m x y m xy mxy mnxy− + − − = − + − +

c)
2 3 2 3 4 3 2
1 3 1 1
6 1 2
3 2 2 3
xy xy x y x y x y xy
 
+ − = + −
 ÷
 
d)
2 2 3 3 3 5 2 3 2
3 2 4 1 3 3
2
4 3 5 2 5 2
a x ax a x ax a x a x a x
 
− + − = − − +
 ÷
 
Ví dụ 2 : Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức
a)
( ) ( )
A x x y x y x= + − −
với
3x = −
;
2y =
.
b)

( ) ( ) ( )
4 2 2 2 2B x x y y x y y y x= + + + − +
với
1
2
x =
;
3
4
y = −
.
c)
( ) ( )
( )
2
3 3 5 1 8 2C x x x x x x= − − + + − −
với
1x = −
.
Bài giải
a)
( ) ( )
2 2
0A x x y x y x x xy xy x= + − − = + − − =
với
3x
= −
;
2y =
thì

0A
=
.
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 2 2 2 2 8 4 4 2 2B x x y y x y y y x x xy xy y y xy= + + + − + = + + + − −

2 2
8 6B x xy y= + +
với
1
2
x =
;
3
4
y = −
thì
2 2
1 1 3 3 9 9 5
8 6 2
2 2 4 4 4 16 16
B
     
= + − + − = − + =
 ÷  ÷  ÷
     
c)
( ) ( )

( )
2 2 2 2
3 3 5 1 8 2 9 3 5 5 8 8 16C x x x x x x x x x x x x= − − + + − − = − − − + − −
2 2 2
9 3 5 5 8 8 16 4 16C x x x x x x x= − − − + − − = − −
, với
1x
= −
thì
( )
4 1 16 12C = − − − = −
.
trang 6
Ví dụ 3 : Tìm x biết
a)
( ) ( )
3 4 3 2 5 6 0x x x x− − − =
b)
( ) ( ) ( )
5 2 3 4 2 2 3 2 0x x x x x− + − + − =
c)
( ) ( ) ( )
3 2 2 1 5 3x x x x x x− + − = +
d)
( ) ( )
( )
2
3 1 5 3 6 2 3 0x x x x x x+ − − + + + =
Bài giải
a)

( ) ( )
3 4 3 2 6 5 0x x x x− − + =
⇔
2 2
12 9 12 10 0x x x x− − − =
⇔
19 0x
− =
⇔
0x
=
.
b)
( ) ( ) ( )
5 2 3 4 2 2 3 2 0x x x x x− + − + − =
⇔
2 2
10 15 4 8 6 4 0x x x x x− + − + − =
⇔
8 15 0x
− =
⇔
15
8
x =
.
c)
( ) ( ) ( )
3 2 2 1 5 3x x x x x x− + − = +
⇔

2 2 2
6 3 2 2 5 15x x x x x x− + − = +
⇔
2
6 11 0x x+ =
⇔
( )
6 11 0x x + =
⇔
1
0x =
;
2
11
6
x = −
.
d)
( ) ( )
( )
2
3 1 5 3 6 2 3 0x x x x x x+ − − + + + =
⇔
2 2 2
3 3 15 5 6 12 18 0x x x x x x+ − + + + + =
⇔
2
14 18 0x + =
⇔
2

7 9 0x + =
vô nghiệm
x
.
4. Nhân đa thức với đa thức
( ) ( )
a b c d e ac ad ae bc bd be
+ + + = + + + + +
Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
( ) ( )
2 2 2 2
8 3 4 2 3m x my y ny nx my− + − −
b)
2 3
1 3
2 3 6 1
3 2
ax ax ax a x
  
− + + −
 ÷ ÷
  

c)
1 1
2 2
2 2

x y x y
  
− +
 ÷ ÷
  
d)
( )
( )
2
2 3 4 5 1x x x− − +
Bài giải
a)
( ) ( )
2 2 2 2
8 3 4 2 3m x my y ny nx my− + − −
2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 3
16 6 2 8 24 9 3 12m nx mnx y nx y n x y m xy m y my mny= − + − − + − +
.
b)
2 3
1 3
2 3 6 1
3 2
ax ax ax a x
  
− + + −
 ÷ ÷
  
2 3 4 3 2 2 2 4 2 3
1 1 9

2 12 3 2 18 3
2 3 2
a x a x ax a x a x ax ax a x= + − − − + + + −
2 3 4 3 2 2 2 4 2 3
1 1 9
2 12 3 20 3
2 3 2
a x a x ax a x a x ax a x= + − − − + + −
.
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 4 4
2 2 4 4
x y x y x xy xy y x y
  
− + = + − − = −
 ÷ ÷
  
.
d)
( )
( )
2 3 2 2 3 2
2 3 4 5 1 8 10 2 12 15 3 8 22 17 3x x x x x x x x x x x− − + = − + − + − = − + −
.
Ví dụ 2 : Tìm x biết
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 2 3 2 4 1x x x x x+ − + + − = +

b)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 3 2 9 4x x x x x+ − + − − = −
c)
( )
( ) ( )
2 2
3 3 2 3 7 1x x x x x x+ − − + = −
d)
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 2 3 0x x x x− + + + − =
trang 7
Bài giải
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 2 3 2 4 1x x x x x+ − + + − = +

⇔
2 2
2 6 3 3 2 6 4 4 1x x x x x x x− + − + − + − = +
⇔
10 2x =
⇔
2 1
10 5
x = =
.
b)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 3 2 9 4x x x x x+ − + − − = −

⇔
2 2
2 3 6 3 2 3 2 9 4x x x x x x x− + − + − − + = −
⇔
2
3 12x =
⇔
2
4x =
⇔
1
2x = −
;
2
2x =
.
c)
( )
( ) ( )
2 2
3 3 2 3 7 1x x x x x x+ − − + = −
⇔
3 2 3 2
3 3 9 2 3 0x x x x x+ − − − =
⇔
3
9 0x x− =
⇔
( )
2

9 0x x − =
⇔
1
0x =
;
2
3x = −
;
3
3x =
.
d)
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 2 3 0x x x x− + + + − =
⇔
2 2
3 2 3 2 3 6 2 0x x x x x x+ − − + − + − =
⇔
2
2 6 0x + =
vô nghiệm
x
.
trang 8
HẰNG ĐẲNG THỨC “ ĐÁNG NHỚ ”
1. Bình phương của một tổng
Vì
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2

. 2a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + +
nên
( )
2
2 2
2a b a ab b
+ = + +
Bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích số thứ
nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
( )
2
x y+
b)
( )
2
2a b+
c)
( )
2
2 3a b+
d)
( )
2
3 2x +

e)
( )
2

5 3y+
f)
2
1
2
x
 
+
 ÷
 
g)
2
3 2
x y
 
+
 ÷
 
h)
( )
2
2 3
2a b+
Bài giải
a)
( )
2
2 2
2x y x xy y+ = + +
.

b)
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2.2 . 4 4a b a a b b a ab b+ = + + = + +
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 2 2.2 .3 3 4 12 9a b a a b b a ab b+ = + + = + +
d)
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 3 2.3 .2 2 9 12 4x x x x x+ = + + = + +
e)
( ) ( )
2 2
2 2
5 3 5 2.5.3 3 25 30 9y y y y y+ = + + = + +
f)
2 2
2 2
1 1 1 1
2. .
2 2 2 4
x x x x x
   
+ = + + = + +
 ÷  ÷

   
g)
2 2 2
2 2
2. .
3 2 3 3 2 2 9 3 4
x y x x y y x xy y
     
+ = + + = + +
 ÷  ÷  ÷
     
h)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 2 2 3 3 4 2 3 6
2 2 2.2 4 4a b a a b b a a b b+ = + + = + +
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
2 2
2x xy y+ +
b)
2 2
9 6a ab b+ +
c)
2 2
16 40 25a ab b+ +
d)
2
9 12 4x x+ +

e)
2
49 70 25y y+ +
f)
2
1 2
9 3
y
y+ +
g)
2 2
4 3 9
a ay y
+ +
h)
3 2 4
6
2
3 9
a y y
a + +
i)
( )
2 2
4 12 9 2. 2 3 1a ax x a x+ + + + +
Bài giải
a)
( )
2
2 2

2x xy y x y+ + = +
.
b)
( ) ( )
2 2
2 2 2
9 6 3 2.3 . 3a ab b a a b b a b+ + = + + = +
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
16 40 25 4 2.4 .5 5 4 5a ab b a a b b a b+ + = + + = +
d)
( ) ( )
2 2
2 2
9 12 4 3 2.3 .2 2 3 2x x x x x+ + = + + = +
e)
( ) ( )
2 2
2 2
49 70 25 7 2.7.5 5 7 5y y y y y+ + = + + = +
trang 9
f)
2 2
2 2
1 2 1 1 1
2. .
9 3 3 3 3
y

y y y y
   
+ + = + + = +
 ÷  ÷
   
g)
2 2 2
2 2
2. .
4 3 9 2 2 3 3 2 3
a ay y a a y y a y
     
+ + = + + = +
 ÷  ÷  ÷
     
h)
( )
2 2
3 2 4 2 2 2
2
6 3 3 3
2
2. .
3 9 3 3 3
a y y y y y
a a a a
   
+ + = + + = +
 ÷  ÷
   

i)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
4 12 9 2. 2 3 1 2 3 2. 2 3 1 2 3 1a ax x a x a x a x a x+ + + + + = + + + + = + +
Ví dụ 3 : Tính
( ) ( )
2 2
2 2
10 1 10 2.10 .1 1 .100 2 .10 1a a a a a+ = + + = + +
.
( )
2
2 2 2
51 50 1 50 2.50.1 1 2500 100 1 2601= + = + + = + + =
.
( )
2
2 2 2
301 300 1 300 2.300.1 1 90000 600 1 90601= + = + + = + + =
Ví dụ 4 : Tính
( ) ( ) ( )
2
2 2
10 5 100 2.10 .5 5 1 .100 25 1 25a a a a a a a+ = + + = + + = +
.
Muốn bình phương một số có tận cùng là 5 ta nhân số hàng chục với số tự nhiên kề sau nó,
được bao nhiêu gán thêm vào số 25.
2
15 1.2.100 25 225= + =

, ...,
2
35 3.4.100 25 1225= + =
, ...,
2
95 9.10.100 25 9025= + =
.
2. Bình phương của một hiệu
Mặt khác ta có thể tính
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2. . 2a b a b a a b b a ab b− =  + −  = + − + − = − +
 
.
Hoặc
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
. 2a b a b a b a ab ba b a ab b− = − − = − − + = − +
nên
( )
2
2 2
2a b a ab b
− = − +
Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích số thứ
nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính

a)
( )
2
m n−
b)
( )
2
3a b−
c)
( )
2
3 2a b−
d)
( )
2
5 3x −

e)
( )
2
4 3y−
f)
2
1
2
x
 
−
 ÷
 

g)
2
3 2
x y
 
−
 ÷
 
h)
( )
2
2 3
3a m−
Bài giải
a)
( )
2
2 2
2m n m mn n− = − +
b)
( ) ( )
2 2
2 2 2
3 2. .3 3 6 9a b a a b b a ab b− = − + = − +
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
3 2 3 2.3 .2 2 9 12 4a b a a b b a ab b− = − + = − +
d)

( ) ( )
2 2
2 2
5 3 5 2.5 .3 3 25 30 9x x x x x− = − + = − +
e)
( ) ( )
2 2
2 2
4 3 4 2.4.3 3 16 24 9y y y y y− = − + = − +
f)
2 2
2 2
1 1 1 1
2. .
2 2 2 4
x x x x x
   
− = − + = − +
 ÷  ÷
   
trang 10
g)
2 2 2
2 2
2. .
3 2 3 3 2 2 9 3 4
x y x x y y x xy y
     
− = − + = − +
 ÷  ÷  ÷

     
h)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 2 2 3 3 4 2 3 6
3 3 2.3 . 9 6a m a a m m a a m m− = − + = − +
.
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
2 2
2x xn n− +
b)
2 2
9 6a ay y− +
c)
2 2
9 12 4m am a− +
d)
2
16 40 25n n− +

e)
2
36 84 49y y− +
f)
2
1
2 4
4
m m− +

g)
2 2
25 10 16
x xy y
− +
h)
4 2 2
9 3 4
x x y y
− +
Bài giải
a)
( )
2
2 2
2x xn n x n− + = −
b)
( ) ( )
2 2
2 2 2
9 6 3 2.3 . 3a ay y a a y y a y− + = − + = −
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
9 12 4 3 2.3 .2 2 3 2m am a m m a a m a− + = − + = −
d)
( ) ( )
2 2
2 2

16 40 25 4 2.4 .5 5 4 5n n n n n− + = − + = −
e)
( ) ( )
2 2
2 2
36 84 49 6 2.6.7 7 6 7y y y y y− + = − + = −
f)
( )
2 2
2
2
1 1 1 1
2 4 2. .2 2 2
4 2 2 2
m m m m m
   
− + = − + = −
 ÷  ÷
   
g)
2 2 2
2 2
2. .
25 10 16 5 5 4 4 5 4
x xy y x x y y x y
     
− + = − + = −
 ÷  ÷  ÷
     
h)

2 2
2
4 2 2 2 2 2
2. .
9 3 4 3 3 2 2 3 2
x x y y x x y y x y
   
 
− + = − + = −
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Ví dụ 3 : Áp dụng tính
( )
2
2 2 2
99 100 1 100 2.100.1 1 10000 200 1 10801= − = − + = − + =
.
3. Hiệu các bình phương của hai số
Vì
( ) ( )
2 2 2 2
.a b a b a ab ba b a b− + = + − − = −
nên
( ) ( )
2 2
a b a b a b
− = − +
Hiệu các bình phương hai số bằng hiệu hai số đó nhân với tổng của chúng.

Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
2 2
x y−
b)
2 2
4a b−
c)
2 2
9 4a b−
d)
2
9 4x −

e)
2
25 16y−
f)
2
4
9
a −
g)
2 2
49 25
x y
−
h)
4 6
36 25a b−

Bài giải
a)
( ) ( )
2 2
.x y x y x y− = − +
b)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
4 2 2 . 2a b a b a b a b− = − = − +
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
9 4 3 2 3 2 . 3 2a b a b a b a b− = − = − +
d)
( ) ( ) ( )
2
2 2
9 4 3 2 3 2 . 3 2x x x x− = − = − +

trang 11
e)
( ) ( ) ( )
2
2 2
25 16 5 4 5 4 . 5 4y y y y− = − = − +
f)
2
2 2

4 2 2 2
.
9 3 3 3
a a a a
     
− = − = − +
 ÷  ÷  ÷
     
g)
2 2
2 2
.
49 25 7 5 7 5 7 5
x y x y x y x y
       
− = − = − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
h)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 6 2 3 2 3 2 3
36 25 6 5 6 5 . 6 5a b a b a b a b− = − = − +
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
( ) ( )
.x m x m− +
b)
( ) ( )
3 . 3a y a y− +

c)
( ) ( )
3 2 . 3 2x a x a− +
d)
( ) ( )
4 5 . 4 5m m− +
e)
( ) ( )
6 7 . 6 7y y− +
f)
1 1
2 . 2
3 3
m m
   
− +
 ÷  ÷
   
g)
3 2 3 2
.
7 5 7 5
n x n x
   
− +
 ÷  ÷
   
h)
2 3 2 3
.

3 2 3 2
y x y x
   
− +
 ÷  ÷
   
Bài giải
a)
( ) ( )
2 2
.x m x m x m− + = −
b)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
3 . 3 3 9a y a y a y a y− + = − = −
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3 2 . 3 2 3 2 9 4x a x a x a x a− + = − = −
d)
( ) ( ) ( )
2
2 2
4 5 . 4 5 4 5 16 25m m m m− + = − = −
e)
( ) ( ) ( )
2
2 2

6 7 . 6 7 6 7 36 49y y y y− + = − = −
f)
( )
2
2
2
1 1 1 1
2 . 2 2 4
3 3 3 9
m m m m
     
− + = − = −
 ÷  ÷  ÷
     
g)
2 2
2 2
3 2 3 2 3 2 9 4
.
7 5 7 5 7 5 49 25
n x n x n x n x
       
− + = − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
h)
2 2
2 3 2 3 2 3 4 6
.
3 2 3 2 3 2 9 4

y x y x y x y x
       
− + = − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
4. Lập phương của tổng hai số
Vì
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
2 2 3 2 2 2 2 3
. 2 2 2a b a b a b a ab b a b a a b ab a b ab b+ = + + = + + + = + + + + +


3 2 2 3
3 3a a b ab b= + + +
nên
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b
+ = + + +
Lập phương của tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất, cộng ba lần tích của bình
phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số
thứ hai, cộng lập phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
( )
3

x y+
b)
( )
3
3a b+
c)
( )
3
3 2a b+
d)
( )
3
2 3x +

trang 12
e)
( )
3
5 3a y+
f)
3
1
2
3
a
 
+
 ÷
 
g)

3
3 5
x y
 
+
 ÷
 
h)
( )
3
2 3
3a b+
Bài giải
a)
( )
3
3 2 2 3
3 3x y x x y xy y+ = + + +

b)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 3 2 2 3
3 3. .3 3. . 3 3 9 27 27a b a a b a b b a a b ab b+ = + + + = + + +
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 27 54 36 8a b a a b a b b a a b ab b+ = + + + = + + +
d)

( ) ( ) ( )
3 3 2
2 3 3 2
2 3 2 3. 2 .3 3.2 .3 3 8 36 54 27x x x x x x x+ = + + + = + + +

e)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
3 2 2 3
5 3 5 3. 5 .3 3.5 . 3 3 125 225 135 27a y a a y a y y a a y ay y+ = + + + = + + +
f)
( ) ( )
3 3 2
2 3
2 3
1 1 1 1 1 2
2 3. .2 3. . 2 2 4 8
3 3 3 3 27 3
a
a a a a a a
     
+ = + + + = + + +
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3. . 3. .
3 5 3 3 5 3 5 5 27 15 5 125
x y x x y x y y x x y xy y

         
+ = + + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
h)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
2 3 2 2 3 2 3 3 6 4 3 2 6 9
3 3 3. 3 . 3.3 27 27 9a b a a b a b b a a b a b b+ = + + + = + + +
.
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
3 2 2 3
3 3x x y xy y+ + +
b)
3 2 2 3
27 27 9m m n mn n+ + +
c)
3 2 2 3
64 240 300 125a a b ab b+ + +
d)
3 2
27 54 36 8x x x+ + +
e)
2 3
343 735 252 125y y y+ + +
f)
2 3
1
27 3

y
y y+ + +
g)
3 2 2 3
8 4 6 27
n an a n a
+ + +
h)
2 4 9
9 4 2
3 27
a y y
a a y+ + +
Bài giải
a)
( )
3
3 2 2 3
3 3x x y xy y x y+ + + = +
b)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3 2 3
27 27 9 3 3. 3 . 3.3 . 3m m n mn n m m n m n n m n+ + + = + + + = +
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 3 3
3 2 2 3
64 240 300 125 4 3. 4 .5 3.4 . 5 5 4 5a a b ab b a a b a b b a b+ + + = + + + = +
d)

( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3
27 54 36 8 3 3. 3 .2 3.3 .2 2 3 2x x x x x x x+ + + = + + + = +
e)
( ) ( ) ( )
2 3 3
2 3 3 2
343 735 252 125 7 3.7 .5 3.7. 5 5 7 5y y y y y y y+ + + = + + + = +
f)
3 2 3
2 3 2 3
1 1 1 1 1
3. . 3. .
27 3 3 3 3 3
y
y y y y y y
     
+ + + = + + + = +
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 2 2 3 3
3 2 2 3
3. 3. .
8 4 6 27 2 2 3 2 3 3 2 3
n an a n a n n a n a a n a
         
+ + + = + + + = +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷

         
h)
( ) ( )
2 3 3
2 4 9 2 2 2 2
3 2
9 4 2 3 2 2 3
3. . 3.
3 27 3 3 3 3
a y y y y y y
a a y a a a a
     
+ + + = + + + = +
 ÷  ÷  ÷
     
5. Lập phương của hiệu hai số
trang 13
Vì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2 3
3 2 3 2 2 3
3 3 3 3a b a b a a b a b b a a b ab b− =  + −  = + − + − + − = − + −
 
nên
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b
− = − + −

Lập phương của hiệu hai số bằng lập phương số thứ nhất, trừ ba lần tích của bình
phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số
thứ hai, trừ lập phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
( )
3
x m−
b)
( )
3
3m n−
c)
( )
3
3 2x a−
d)
( )
3
5 3x −
e)
( )
3
4 3y−
f)
3
1
3
x
 

−
 ÷
 
g)
3
3 2
a x
 
−
 ÷
 
h)
( )
3
2 3
3x n−
.
Bài giải
a)
( )
3
3 2 2 3
3 3x m x x m xm m− = − + −
b)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 3 2 2 3
3 3. .3 3. . 3 3 9 27 27m n m m n m n n m m n mn n− = − + + = − + +
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 27 54 36 8x a x x a x a a x x a ax a− = − + − = − + −
d)
( ) ( ) ( )
3 3 2
2 3 3 2
5 3 5 3. 5 .3 3.5 .3 3 125 225 240 27x x x x x x x− = − + − = − + −
e)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3
4 3 4 3.4 .3 3.4. 3 3 64 144 108 27y y y y y y y− = − + − = − + −
f)
3 3 2
2 3 2 3
1 1 1 1 1
3. . 3. .
3 3 3 3 27 3
x
x x x x x x
     
− = − + − = − + −
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3. . 3. .
3 2 3 3 2 3 2 2 27 6 4 8

a x a a x a x x x a x ax a
         
− = − + − = − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
h)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
2 3 2 2 3 2 3 3 6 4 3 2 6 9
3 3 3. 3 . 3.3 . 27 27 9x n x x n x n n x x n x n n− = − + − = − + −
.
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
3 2 2 3
3 3x x n xn n− + −
b)
3 2 2 3
27 27 9a a x ax x− + −
c)
3 2 2 3
27 54 36 8m am a m a− + −
d)
3 2
27 27 9 1n n n− + −
e)
2 3
216 756 1764 343y y y− + −
f)
2 3
1 3

6 8
8 2
m
m m− + −
g)
3 2 2 3
3 3
125 100 80 64
x x y xy y
− + −
h)
6 4 2 2 3
27 6 4 8
x x y x y y
− + −
Bài giải
a)
( )
3
3 2 2 3
3 3x x n xn n x n− + − = −
b)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3 2 3
27 27 9 3 3. 3 . 3.3 . 3a a x ax x a a x a x x a x− + − = − + − = −
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 3 3
3 2 2 3

27 54 36 8 3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 3 2m am a m a m m a m a a m a− + − = − + − = −
d)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 3
27 27 9 1 3 3. 3 .1 3.3 .1 1 3 1n n n n n n n− + − = − + − = −
e)
( ) ( ) ( )
2 3 3
2 3 3 2
216 756 1764 343 6 3.6 .7 3.6. 7 7 6 7y y y y y y y− + − = − + − = −
trang 14
f)
( ) ( )
3 2 3
2 3
2 3
1 3 1 1 1 1
6 8 3. .2 3. . 2 2 2
8 2 2 2 2 2
m
m m m m m m
     
− + − = − + − = −
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 2 2 3 3
3 2 2 3
3 3

3. . 3. .
125 100 80 64 5 5 4 5 4 4 5 4
x x y xy y x x y x y y x y
         
− + − = − + − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
h)
3 2 3
2 3
6 4 2 2 3 2 2 2 2
3. . 3. .
27 6 4 8 3 3 2 3 2 2 3 2
x x y x y y x x y x y y x y
     
   
− + − = − + − = −
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
   
     
6. Tổng các lập phương của hai số
Vì
( )
( )
2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
a b a ab b a a b ab a b ab b a b+ − + = − + + − + = +
nên
( )
( )

3 3 2 2
a b a b a ab b
+ = + − +
Tổng các lập phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của
hiệu.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
3 3
x y+
b)
3 3
8a b+
c)
3 3
27 8a b+
d)
3
27 8x +

e)
3
125 64y+
f)
3
8
27
a −
g)
3 3
64 125

x y
+
h)
6 9
216 125x b+
Bài giải
a)
( )
( )
3 3 2 2
.x y x y x xy y+ = + − +
b)
( ) ( )
( )
3
3 3 3 2 2
8 2 2 . 4 2a b a b a b a ab b+ = + = + − +
c)
( ) ( ) ( )
( )
3 3
3 3 2 2
27 8 3 2 3 2 . 9 6 4a b a b a b a ab b+ = + = + − +
d)
( ) ( )
( )
3
3 3 2
27 8 3 2 3 2 . 9 6 4x x x x x+ = + = + − +

e)
( ) ( )
( )
3
3 3 2
125 64 5 4 5 4 . 25 20 16y y y y y
+ = + = + − +
f)
3
3 3 2
8 2 2 2 4
.
27 3 3 3 9
a
a a a a
     
+ = + = + − +
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 3
3 3 2 2
.
64 125 4 5 4 5 16 20 25
x y x y x y x xy y
 
     
+ = + = + − +
 ÷
 ÷  ÷  ÷

     
 
h)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
6 9 2 3 2 3 4 2 3 6
216 125 6 5 6 5 . 36 30 25x b x b x b x x b b+ = + = + − +
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
( )
( )
2 2
.x m x xm m+ − +
b)
( )
( )
2 2
3 . 9 3a y a ay y+ − +
c)
( )
( )
2 2
3 2 . 9 6 4x a x ax a+ − +
d)
( )
( )
2
4 5 . 16 20 25m m m+ − +
e)
( )

( )
2
6 7 . 36 42 49y y y+ − +
f)
2
1 1 2
2 . 4
3 9 3
m
m m
   
+ − +
 ÷  ÷
   
g)
2 2
3 2 9 6 4
.
7 5 49 35 25
n x n nx x
 
 
+ − +
 ÷
 ÷
 
 
h)
2 3 4 2 3 6
.

3 2 9 6 4
y x y y x x
   
+ − +
 ÷  ÷
   