BÀI TẬP (full): GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG)
LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu
a
âm thì ít nhất một trong các số cos
a
, sin
a
phải âm
b) Nếu
a
dương thì sin
2
1 cos= -a a
c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau
trùng sau:
7 13 71
; ; và
4 4 4 4
p p p p
-
d) Ba số sau bằng nhau:
2 0 0
cos 45 ;sin cos và sin210
3 3
æ ö
p p
÷
ç
-

÷
ç
÷
ç
è ø
e) Hai số sau khác nhau:
11 5
sin và sin 1505
6 6
æ ö
p p
÷
ç
+ p
÷
ç
÷
ç
è ø
g) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số
2 2
0; ; ; ; và
3 3 3 3
p p p p
- -p
là các đỉnh liên tiếp của một lúc giác đều
GIẢI:
a) Sai, vì giả sử
7
4

p
=-a
thì cả cos
a
và sin
a
đều dương
b) Sai, chẳng hạn
7
4
p
=a
thì sin
a
< 0
c) Sai, trên đường tròn lượng giác các điểm biểu diễn số
7 71
; và
4 4 4
- -p p p
trùng nhau
7 71
vì 2 và 18
4 4 4 4
æ ö
- -pp pp
÷
ç
= - = -p p
÷

ç
÷
ç
è ø
nhưng
không trùng điểm biểu diễn số
13
3
4 4
p p
= +p
d) Đúng, vì
*
2 0
1 1 1
cos 45 ;*sin cos sin . sin
2 3 3 3 2 6 2
æ ö æ ö
p p p p
÷ ÷
ç ç
= = = =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
*
0 0 0
1

sin 210 sin(180 30 ) sin
6 2
æ ö
p
÷
ç
- =- + = - =-
÷
ç
÷
ç
è ø
e) Sai, vì:
11 1
*sin sin 2 sin
6 6 6 2
ổ ử ổ ử
p p p
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + = - =-p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
*
5 1
sin 1505 sin 1506 sin
6 6 6 2

ổ ử ổ ử ổ ử
p p p
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ = - + = - =-p p
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
g) ỳng
Tỡm Cỏc im ca ng trũn lng giỏc xỏc nh bi s
a
trong
mi trng hp sau:
a)
2
cos 1 sin= -a a
b)
2
sin sin=a a
c)
2
1 cos
tan
cos
- a
=a
a
GII

a)
2
cos 1 sin= -a a
khi v ch khi
cos 0a
, khi ú M nm na
ng trũn lng giỏc bờn phi trc tung (bao gm c trc tung)
b)
2
sin sin=a a
khi v ch khi
sin 0a
, khi ú M nm na ng
trũn lng giỏc phớa trờn trc honh (bao gm c trc honh)
c)
2
1 cos
tan
cos
- a
a
a
khi v ch khi
sin 0
cos 0
ỡ
a
ù
ù
ớ

ù
a ạ
ù
ợ
, khi ú M nm na
ng trũn lng giỏc phớa trờn trc honh (bao gm c trc honh), nhng
M khụng nm trờn trc tung
Xỏc nh du ca cỏc s sau:
a)
0 0 0
17
sin156 ;cos( 80 );tan v tan556
8
ổ ử
p
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
b)
3
sin ;cos ,
4 2
ổ ử ổ ử
p p
ữ ữ

ỗ ỗ
+ -a a
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
bit rng
0
2
p
< <a
GII
a) *
0 0 0 0 0
sin156 .Do 0 156 180 , nờn sin156 0< < >
*
0 0 0 0 0
cos( 80 ).Do 90 80 90 , nờn cos( 80 ) 0- - < - < - >
*
17 17
tan tan 2 tan 0 tan 0
8 8 8 8
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
- = - - = - < - <p p ị
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ

ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
*
0 0 0 0
tan556 tan(360 196 ) tan196= + =
M
0 0 0 0
180 196 2710 nờn tan556 0< < >
b)*
3
sin .Do 0 nên , nên sin 0
4 2 4 4 4 4
æ ö æ ö
p p p p p p
÷ ÷
ç ç
+ < < < + < + >a a a a
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
*
3
cos
8
æ ö
p
÷

ç
-a
÷
ç
÷
ç
è ø
. Đặt
3
x
8
p
= -a
3
Do 0 nên x
2 8 8
-p p p
< < < <a
. Vậy,
3
cos 0
8
æ ö
p
÷
ç
- >a
÷
ç
÷

ç
è ø
*
tan . Do 0 0 nên tan 0
2 2 2 2 2
æ ö æ ö
p p p p p
÷ ÷
ç ç
- < < - < - < - <a a Û a a
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
(2k 1) ;
3
p
- + + p
b) k
p
c)
k
2
p
+ p
d)
k (k )

4
p
+ pÎ ¢
GIẢI
a) Ta có:
2
(2k 1) k2 (k )
3 3
p p
- + + = +p pÎ ¢
Vậy:
*
2 2 3 2 2 1
sin k2 sin ;cos k2 cos
3 3 2 3 3 2
æ ö æ ö
p p p p
÷ ÷
ç ç
+ = = + = =-p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
*
2 2 2 2 3
tan k2 tan 3;cot k2 cot
3 3 3 3 3
æ ö æ ö

-p p p p
÷ ÷
ç ç
+ = =- + = =p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
b) *
sin(k ) 0=p
*
k
cos(k ) ( 1)= -p
*
tan(k ) 0=p
*
cot(k ) :p
không xác định
(k )Î ¢
c) Với
k Î ¢
, ta có: (Xét k chẵn và k lẻ)
*
k
sin k ( 1)
2
æ ö
p
÷

ç
+ = -p
÷
ç
÷
ç
è ø
*
cos k 0
2
æ ö
p
÷
ç
+ =p
÷
ç
÷
ç
è ø
*
tan k :
2
æ ö
p
÷
ç
+ p
÷
ç

÷
ç
è ø
không xác định *
cot k 0 (k )
2
æ ö
p
÷
ç
+ =p Î
÷
ç
÷
ç
è ø
¢
d) Với
k Î ¢
, ta có: (Xét k chẳn và lẻ)
*
k
2
sin k ( 1) .
4 2
æ ö
p
÷
ç
+ = -p

÷
ç
÷
ç
è ø
*
k
2
cos k ( 1) .
4 2
æ ö
p
÷
ç
+ = -p
÷
ç
÷
ç
è ø
*
tan k tan 1
4 4
æ ö
p p
÷
ç
+ = =p
÷
ç

÷
ç
è ø
*
cot k cot 1(k )
4 4
æ ö
p p
÷
ç
+ = =p Î
÷
ç
÷
ç
è ø
¢
Tính các giá trị lượng giác của góc
a
trong mỗi trường hợp sau:
a)
1
cos ,sin 0;
4
= <a a
b)
1 3
sin ; ;
3 2 2
p p

=- < <a a
c)
1
tan , 0
2
= - < <a p a
GIẢI
a)
1
cos ,sin 0
4
= <a a
+
2
1 15 15
sin 1 cos 1
16 16 4
-
=- - =- - =- =a a
+
sin 15 4
tan . 15
cos 4 1
-a
= = =-a
a
+
cos 1 4 15
cot .
sin 4 15

15
-a
= = =a
a
-
b)
1 3
sin ;
3 2 2
p p
=- < <a a
3
Do nên cos 0
2 2
p p
< < <a a
+
2
1 8 2 2
cos 1 sin 1
9 9 3
-
=- - =- - =- =a a
+
sin 2
tan
cos 4
a
= =a
a

+
1
cot 2 2
tan
= =a
a
c)
1
tan ; 0
2
= - < <a p a
Vì
0 nên sin 0 cos 0- < < < <p a a Þa
Ta có
2
2
1
1 tan
cos
= + a
a
(công thức)
Nên
2
1 2 5
cos
5
1 tan
- -
= =a

+ a
*
5
sin cos .tan
5
-
= =a a a
*
1
cot 2
tan
= =a
a
19. Đơn giản các biểu thức
a)
4 2 2
sin sin cos+a a a
b)
2
1 cos 1
1 cos
sin
- a
-
+ a
a
(giả sử
sin 0a ¹
)
c)

2 2
2
2
1 sin cos
cos
cos
- aa
- a
a
(giả sử
cos 0a ¹
)
GIẢI:
a) Ta có:
4 2 2
sin sin cos+a a a
( )
2 2 2 2
sin sin cos sin |sin |= + = =aa a a a
b)
2 2
1 cos 1
sin cos
- a
-
a a
(giả sử
sin 0 và cos 0a ¹ a ¹
)
=

( ) ( )
2
1 cos 1 1 cos 1
0
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
- -a a
= - = - =
+ - + +a a a a
- a
c)
2 2
2
2
1 sin cos
cos
cos
- aa
- a
a
(giả sử
cos 0a ¹
)
=
2 2 2 2
2
2
1 sin cos sin cos
cos
cos

- -aa aa
- a
a
( )
2 2
2
2
2 2
cos 1 sin
sin
cos tan
cos cos
2
-a a
a
= + - =a a
a a
Cách khác:
2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 sin cos 1 1
cos sin cos 1 tan
cos cos cos
- aa
- = - - = - =a a a a
a a a
LUYỆN TẬP
20. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
0 0 0 0

5 11 10 17
225 , 225 ,750 , 510 , ; , ,
3 6 3 3
p p p p
- - - -
GIẢI
* Vì
0 0 0
225 45 180 nên= +
0 0
2
sin 225 sin45
2
-
=- =
0 0
2
cos225 cos45
2
-
=- =
0 0
tan 225 tan 45 1= =
0
0
1
cot 225 1
tan 225
= =
* Vì

0 0 0
225 45 180 nên- =- -
( ) ( )
0 0
2
sin 225 sin 45
2
- =- - =
( ) ( )
0 0
2
cos 225 cos 45
2
-
- =- - =
( )
0 0
tan 225 tan 45 1- =- =-
( )
0
cot 225 1- =-
* Vì
0 0 0
750 30 720 nên= +
( )
0 0
1
sin 750 sin30
2
= =

( )
0 0
3
cos 750 cos30
2
= =
( )
0 0
3
tan 750 tan30
3
= =
( )
0
cot 750 3=
* Vì
0 0 0
510 360 150 nên- =- -
0 0
1
sin( 150 ) sin30
2
- =- =-
( )
0 0
3
cos 150 cos30
2
- =- =-
( )

0 0
3
tan 150 tan30
3
- = =
( )
0
cot 150 3- =
* Vì
5
2 nên
3 3
p p
=- + p
5 3
sin sin
3 3 2
æ ö
p p
÷
ç
=- =-p
÷
ç
÷
ç
è ø
5 1
cos cos
3 3 2

æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
= + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
5
tan tan 3
3 3
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
= - =-
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
5 3
cot
3 3
æ ö
p
÷
ç

=-
÷
ç
÷
ç
è ø
* Vì
11
2 nên
6 6
p p
=- +
11 1
sin sin
6 6 2
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
= - =-
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
11 3
cos cos
6 6 2
æ ö æ ö
p p

÷ ÷
ç ç
= - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
11 3
tan tan
6 6 3
æ ö æ ö
-p p
÷ ÷
ç ç
= - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
11
cot 3
6
æ ö
p
÷
ç
=-
÷

ç
÷
ç
è ø
* Vì
10
3 nên
3 3
- pp
=- - p
10 3
sin sin
3 3 2
æ ö æ ö
- -p p
÷ ÷
ç ç
=- =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
10 1
cos cos
3 3 2
æ ö æ ö
- -p p
÷ ÷
ç ç

=- =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
10
tan tan 3
3 3
æ ö æ ö
- -p p
÷ ÷
ç ç
= =-
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
10 3
cot
3 3
æ ö
- p
÷
ç
=-
÷
ç
÷

ç
è ø
* Vì
17
6 nên
3 3
p p
- = - p
17 3
sin sin
3 3 2
æ ö
- pp
÷
ç
= =
÷
ç
÷
ç
è ø
17 1
cos cos
3 3 2
æ ö
- pp
÷
ç
= =
÷

ç
÷
ç
è ø
17
tan tan 3
3 3
æ ö
- pp
÷
ç
= =
÷
ç
÷
ç
è ø
17 3
cot
3 3
æ ö
- p
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø

21. Xét góc lượng giác (OA, OM) =
a
, trong đó M là điểm không nằm
trên các trục tọa độ Ox, Oy. Hãy lập bảng dấu của sin
a
, cos
a
, tan
a
, theo vị
trí của M thuộc các góc phần tư I, II, III, IV trong hệ tọa độ Oxy. Hỏi M ở
trong góc phần tư nào thì:
a) của sin
a
, cos
a
cùng dấu? b) sin
a
, tan
a
khác dấu?
GIẢI
M thuộc góc phần tư thứ sin
a
cos
a
tan
a
I + + +
II + - -

III - - +
IV - + -
a) Khi M thuộc góc phần tư thứ I và thứ III thì
sina
và
cosa
cùng dấu
b) Khi M thuộc góc phần tư thứ II và III thì
sina
và
tana
khác dấu
22. Chứng minh các đẳng thứ sau:
a)
4 4 4
cos sin 2cos 1- = -a a a
b)
4
2 4
2 1
1 cot
sin sin
- = -a
a a
(nếu
sin 0a ¹
)
c)
2
2

2
1 sin
1 2tan
1 sin
+ a
= + a
- a
(nếu
sin 1±¹
)
GIẢI:
a) Chứng minh:
4 4 4
cos sin 2cos 1- = -a a a
Ta có:
( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin 2cos 1- = + - = -a a a a a a a
b) Chứng minh:
4
2 4
2 1
1 cot
sin sin
- = -a
a a
(nếu
sin 0a ¹
)
Ta có:

4 2 2 2
2
1
1 cot (1 cot )(1 cot ) (1 cot )
sin
- = + - = -a a a a
a
2 2
2 4 2 4 2 4
1 cos 1 1 sin 2 1
sin sin sin sin sin sin
-a a
= - = - = -
a a a a a a
(đpcm)
c) Chứng minh:
2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
+ a
= + a
- a
(nếu
sin 1±¹
)
Ta có:
2 2 2

2 2 2 2
1 sin 1 sin 1 sin
1 sin cos cos cos
+ +a aa
= = +
- aaaa
2 2 2
1 tan tan 1 2tan= + + = +a a a
(đpcm)
23. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc
a
:
a)
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin+ + +a a a a
b)
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin cos 3 cos sin+ - +a a a a
c)
2 cot 1
tan 1 cot 1
-a
+
- -a a
(nếu
tan 1a ¹
)
GIẢI:
a)

4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin+ + +a a a
Ta có:
*
( ) ( )
2
4 2 4 2 2 2
sin 4cos sin 4 1 sin sin 4sin 4+ = + - = - +a a a a a a
( )
2 2 2
2 sin 2 sin (vì sin 1) (1)= - = -a aa£
*
( )
4 2 4 2 4 2
cos 4sin cos 4 1 cos cos 4 4cos+ = + - = + -a a a a a a
( )
2 2 2
2 cos 2 cos (vì cos 1) (2)= - = -a aa£
Từ (1), (2) ta có:
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin+ + +a a a a
( )
2 2 2 2
2 sin 2 cos 4 sin cos 4 1 3= - + - = - + = - =a a a a
Vậy biểu thức không phụ thuộc
a
b)
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin cos 3 cos sin+ - +a a a a

( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2
2 2 2 2
2 sin cos 3 cos sin
é ù é ù
= + - +a a a a
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 cos sin 3sin cos 3 cos sin 2sin cos
é ù é ù
= + - - + -a a aa a a aa
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
2 2 2 2
2 6sin cos 3 6sin cos 1= - - + =-aa a
c)
2 cot 1
tan 1 cot 1
-a
+
- -a a
(nếu
tan 1a ¹
)
1

1
2
tan
1
tan 1
1
tan
+
a
= +
-a
-
a
2 1 tan 2 1 tan 1 tan
1
tan 1 1 tan tan 1 tan 1
+ - - -a a a
= + = = =-
- - - -a a a a
Vậy biểu thức không phụ thuộc
a
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦ CÁC GÓC (CUNG
CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
24. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) Khi
a
đổi dấu (tức thay
a
bởi -
a

) thì cos
a
và sin
a
đổi dấu tan
a

không đổi dấu
b) Với mọi
a
, sin2
a
= 2sin
a
c) Với mọi
a
,
( ) ( )
sin cos cos sin 0
2 2
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
- - + + - + - =a a p a a p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

d) Nếu
( )
cos 5
5
cos 0 thì 5
cos
- a
- a
= =-a ¹
a a
e)
2 2
3
cos cos 1
8 8
p p
+ =
g)
2
sin cos
10 5
p p
=
GIẢI:
a) Sai, vì khi
a
đổi dấu thì sin
a
và tan
a

đổi dấu, còn cos
a
thì không
đổi dấu
b) Sai, vì giả sử
2
p
=a
thì khi đó 2sin
a
= 2 còn sin2
a
= 0
c) Đúng, vì: *
sin cos ;
2
æ ö
p
÷
ç
- =-a a
÷
ç
÷
ç
è ø
*
( )
cos cos+ =-a p a
nên

( ) ( )
sin cos cos cos 0
2
æ ö
p
÷
ç
- - + = - - - =a a p a a
÷
ç
÷
ç
è ø
Tương tự:
( )
cos sin sin sin 0
2
æ ö
p
÷
ç
- - - = - =a a p a a Þ
÷
ç
÷
ç
è ø
đpcm
d) Sai, vì giả sử
( ) ( )

cos 5 cos 5
thì 1
cos cos
- -a p
= = =a p
a p
e) Đúng, vì:
3
cos cos sin
8 2 8 8
æ ö æ ö
p p p p
÷ ÷
ç ç
= - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
nên
2 2 2 2
3
cos cos cos sin 1
8 8 8 8
p p p p
+ = + =
g) Đúng, vì
2
cos cos sin

5 2 10 10
æ ö
p p p p
÷
ç
= - =
÷
ç
÷
ç
è ø
25. Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung
a

và
3
2
p
-
GIẢI:
Vì
3
2 nên
2 2
p p
- = + -a a p
*
3
sin sin cos
2 2

æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
- = + =a a a
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
*
3
cos cos sin
2 2
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
- = + =-a a a
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
*
3
tan tan cot ( k ,k )
2 2
æ ö æ ö
p p

÷ ÷
ç ç
- = + =-a a a a ¹ p Î
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
¢
*
3
cot cot tan ( k ,k )
2 2 2
æ ö æ ö
p p p
÷ ÷
ç ç
- = + =- +a a a a ¹ p Î
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
¢
26. Tính:
a)
2 0 2 2 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 sin 80+ + + +
(8 số hạng);
b)

0 0 0 0
cos10 cos20 cos30 cos180+ + + +
(18 số hạng);
c)
0 0 0 0
cos315 sin330 sin 250 160+ + -
GIẢI:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 60 sin 70 sin 80+ + + + + + +
Ta có:
2 0 2 0 2 0 2 0 0
sin 10 sin 80 sin 10 sin (90 10 )+ = + -
2 0 2 0
sin 10 cos 10 1= + =
Tương tự:
*
2 0 2 0
sin 20 sin 70 1+ =
*
2 0 2 0
sin 30 sin 60 1+ =
*
2 0 2 0
sin 40 sin 50 1+ =
Vậy tổng của đề bài là 4
b)
0 0 0 0
cos10 cos20 cos30 cos180+ + + +
Ta có:

0 0 0 0 0 0 0
cos10 cos170 cos10 cos(180 10 ) cos10 cos10 0+ = + - = - =
Mà
0
cos180 1=-
. Vậy tổng của đề bài là -1
c)
0 0 0 0
cos315 sin330 sin 250 cos160+ + -
0 0 0 0 0 0 0 0
cos( 45 360 ) sin( 30 360 ) sin( 110 360 ) cos(180 20 )= - + + - + + - + - -
0 0 0 0 0
2 1
cos( 45 ) sin30 sin(90 20 ) cos20
2 2
= - - - + + = -
27. Dùng bảng tính sin, côsin (hoặc dùng máy tính bỏ túi) để tính
các giá trị sau (chính xác đến hàng phần nghìn):
0 0
11
coss( 250 );sin520 và sin
10
p
-
GIẢI:
*
0 0 0 0 0
cos( 250 ) cos250 cos(180 70 ) sin20 0,342- = = + =- » -
*
0 0 0 0 0

sin(520 ) sin(360 160 ) sin160 sin 20 0,342= + = = »
*
0
11
sin sin sin sin18 0,309
10 10 10
æ ö æ ö
p p p
÷ ÷
ç ç
= + =- =- » -p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
28. Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác.
Kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ
4 3
;
5 5
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø

nằm trên đường tròn
lượng giác đó. Giả sử điểm M xác định bởi số
a
. Tìm tọa độ các điểm xác
định bởi các số:
; ; và
2 2
p p
- + - +p a p a a a
GIẢI
Điểm
4 3
M ;
5 5
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
nằm trên đường tròn lượng giác vì
2 2
4 3
1
5 5
æ ö æö
-

÷ ÷
ç ç
+ =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
M xác định bởi số
4 3
thì cos và sin
5 5
=- =a a a
Vậy:
+ Tọa độ điểm xác định bởi số
1
4 3
là :M ;
5 5
æ ö
÷
ç
-p a
÷
ç
÷
ç
è ø
+ Tọa độ điểm xác định bởi số
2

4 3
là :M ;
5 5
æ ö
-
÷
ç
+p a
÷
ç
÷
ç
è ø
+ Tọa độ điểm xác định bởi số
3
3 4
là :M ;
2 5 5
æ ö
-p
÷
ç
- a
÷
ç
÷
ç
è ø
+ Tọa độ điểm xác định bởi số
4

3 4
là :M ;
2 5 5
æ ö
- -p
÷
ç
+ a
÷
ç
÷
ç
è ø
29. Biết
0
tan 2 3= -
, hãy tính các giá trị lượng giác của góc -75
0
GIẢI:
( )
0 2 0
1 2 3
tan15 2 3 suy ra cos 15
4
1 2 3
+
= - = =
+ +
0
2 3 3 1

cos15
2
2 2
+ +
= =Þ
2 0 2 0 0
4 2 3 3 1
sin 15 1 cos 15 1 sin15
8
2 2
+ -
= - = - =Þ
Do
( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0
3 1
75 90 15 nên cos 75 cos75 cos 90 15 sin15
2 2
-
= - - = = - = =
*
0 0 0 0 0
3 1
sin( 75 ) sin 75 sin(90 15 ) cos15
2 2
æ ö
-
÷
ç
÷

- =- =- - - =-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
*
0 0 0
tan( 75 ) tan75 cot15 (2 3)- =- =- =- +
*
0 0
cot( 75 ) tan15 3 2- =- = -
LUYỆN TẬP
30. Hỏi các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo như sau:
0 0 0 0
2954 646 ; 2446 và 74- -
thì có cùng tia cuối không ?
GIẢI
Các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo
0 0 0 0
2594 ; 646 ; 2446 và 74- -
đều có cùng tia cuối vì:
*
0 0 0
2594 7.360 74= +
*
0 0 0
646 2.360 74- =- +
*

0 0 0
2446 7.360 74- =- +
31. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
0 0 0
1 16
cos250 ;tan( 672 );tan ;sin( 1050 ) và cos
3 5
p p
- -
GIẢI
*
0 0 0 0
cos250 0 vì180 250 270< < <
*
0 0 0 0 0 0 0
tan( 672 ) tan( 720 48 ) tan 48 0 vì 0 48 90- = - + = > < <
*
11 2 2 2
tan tan 3 tan 0 vì
3 3 3 2 3
æ ö æ ö
p p p p p
÷ ÷
ç ç
= + = < < <p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

*
0 0 0 0 0 0 0
sin( 1050 ) sin( 3.360 30 ) sin30 0 vì 0 30 90- = - + = > < <
*
16
cos cos 3 cos 0 vì 0
5 5 5 5 2
æ ö
p p p p p
÷
ç
= + =- < < <p
÷
ç
÷
ç
è ø
32. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc
a
trong mỗi trường hợp
sau:
a)
4
sin và cos 0;
5
= <a a
b)
8
cos và
17 2

p
=- < <a a p
c)
3
tan 3 và
2
p
= < <a p a
GIẢI:
a)
4
sin và cos 0
5
= <a a
Ta có:
2
16 3
cos 1 sin 1
25 5
-
=- - =- - =a a
sin 4 5 4 1 3
tan . ;cot
cos 5 3 3 tan 4
- - -a
= = = = =a a
a a
b)
8
cos và

17 2
p
=- < <a a p
2
64 15
sin 1 cos 1
289 17
= ± - = ± - =±a a
Do
15
nên sin 0 sin
2 17
p
< < > =a pa Þa
sin 15 1 8
tan ;cot
cos 8 tan 15
- -a
= = = =a a
a a
c)
3
tan 3 và
2
p
= < <a p a
Ta có:
2
2
1

cos
1 tan
=a
+ a
Mà
3
nên cos 0
2
p
< < <p a a
Do đó:
2
1 1 1
cos
2
1 3
1 tan
- - -
= = =a
+
+ a
1 3 1 1 3
sin cos .tan =- . 3 ;cot
2 2 tan 3
3
-
= = = = =a a a a
a
33. a) Tính
25 25 25

sin cos tan
6 3 4
æ ö
p p p
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
ç
è ø
b) Biết
( ) ( ) ( )
1 3
sin ,tính cos 2 ,tan 7 vàsin
3 2
æ ö
p
÷
ç
+ =- - - -p a p a a p a
÷
ç
÷
ç
è ø
GIẢI:
a)
25 25 25

sin cos tan
6 3 4
æ ö
p p p
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
ç
è ø
sin 4 cos 8 tan 6
6 3 4
æ ö æ ö æ ö
-p p p
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + + + -p p p
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
sin cos tan 0
6 3 4
p p p
= + - =
b)
( )

1 1
sin sin
3 3
+ =- =p a Þ a
( ) ( )
2
1 2 2
cos 2 cos cos 1 sin 1
9 3
- = - = = ± - = ± - = ±p a a a a
( )
sin 1 3
tan 7 tan .
cos 3
2 2 2 2
± ±a
- = = = =a p a
a
3 2 2
sin sin sin
2 2 2 3
æ ö æ ö æ ö
p p p
÷ ÷ ÷
ç ç ç
- = + - =- - =±a p a a
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç

è ø è ø è ø
34. Chứng minh rằng:
a)
2 2
1 2sin cos 1 tan
1 tan
cos sin
- -aa a
=
+ a
-a a
(khi các biểu thức đã có nghĩa)
b)
2 2 2 2
tan sin tan sin- =a a a a
c)
2
2(1 sin )(1 cos ) (1 sin cos )- + = - +a a a a
GIẢI:
a) Chứng minh:
2 2
1 2sin cos 1 tan
1 tan
cos sin
- -aa a
=
+ a
-a a
. Ta có:
( )

( ) ( )
2
2 2
cos sin
sin 2sin cos cos
VT
(cos -sin )(cos sin ) cos sin cos sin
-a a
- +a a a a
= =
+ - +a a a a a a a a
sin
1
cos sin 1 tan
cos
sin
cos sin 1 tan
1
cos
a
-
- -a a a
a
= = =
a
+ +a a a
+
a
(đpcm)
b) Chứng minh:

2 2 2 2
tan sin tan sin- =a a a a
Ta có:
2 2 2 2 2
tan sin tan tan .cos- = -a a a a a
2 2
tan .sin= aa
(đpcm)
c)
2
2(1 sin )(1 cos ) (1 sin cos )- + = - +a a a a
Ta có:
( )
2
1 sin cos- +a a
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 sin cos
2 1 sin cos 1 sin
2 1 sin 1 cos (dpcm)
= + +a a
é ù
= - + -a a a
ë û
é ù
= - +a a
ë û

35. Biết
sin cos m- =a a
, hãy tính
3 3
sin cos-a a
GIẢI:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3
3 3 2 2
3
3
3 2
3 3 3 2
sin cos sin cos 3sin cos 3sin .cos
sin cos 3sin cos sin cos
1 1
sin cos 3 .2sin cos sin cos m 3. 1 m .m
2 2
3 3 1 3 m
m m m m m 3 m
2 2 2 2 2
- = - + -a a a a a a a a
= - + -a a aaa a
= - + - - = + -a a aa a a
= + - =- + = -
36. Với

,0
2
p
< <a a
, Xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định
bởi số 2
a
rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đói xứng với A qua tâm O của
đường tròn)
a) Tính AM
2
bằng hai cách khác nhau để suy ra
2 2
cos 1 2sin= -a a
b) Tính diện tích của tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy
ra
sin 2 2sin 2 cos=a a a
c) Chứng minh
1 1
sin 2 2,cos 2 2
8 2 8 2
p p
= - = +
rồi tính các giá
trị lượng giác của các góc
3 5
và
8 8
p p
GIẢI

a)Gọi H là chiếu của M lên AA’
Xét tam giác vuông AMA’ ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
AM AH.AA' AO OH .AA'
1 cos2 2 2 1 cos2
= = +
= - + - = -a a
Ta lại có:
·
( )
2 2
AM AA' .sin AA'M= =aa
2 2 2 2
nên AM AA' .sin 4sin= =a a
Vậy,
2 2 2
4sin 2(1 cos2 ) 2sin 1 cos2 cos2 1 2sin= - = - = -a a Û a a Û a a
(HÌNH VẼ)
b) Ta có:
AMA '
1 1
S AA.MH .2.MH MH sin 2
2 2
D
= = = = a
Lại có
AMA '
1 1

S A'M.MA .AA'.cos .AA'.sin
2 2
D
= = aa
1
.4.sin .cos 2sin .cos .
2
= =aa aa
Vậy
sin 2 2sin .cos=a a a
c) Ta có:
2
cos 1 2sin
4 8
p p
= -
nên
2
2
1 cos 1
2 2
4 2
sin sin (do 0 )
8 2 2 8 2 8 2
p
- -
-p p p p
= = = < <Þ
*
2

cos 2cos 1
4 8
p p
= -
2
2
cos 1 1
2 2 2 2
4 2
cos .Vây cos (do 0 )
8 2 2 4 8 2 8 2
p
+ +
+ +p p p p
= = = = < <
* Vì
3
nên
8 2 8
p p p
= -
3 2 2
cos sin
8 8 2
-p p
= =
3 2 2
sin cos
8 8 2
+p p

= =
sin
3 2 2
8
tan
8
2 2
cos
8
p
+p
= =
p
-
3 1 2 2
cot
8
2 2
tan
8
-p
= =
p
+
* Vì
5
nên
8 2 8
p p p
= +

5 2 2
cos sin
8 8 2
-p p
=- =-
5 2 2
sin cos
8 8 2
+p p
= =
5
sin
5 2 2
8
tan
5
8
2 2
cos
8
p
+p
= =-
p
-
5 1 2 2
cot
5
8
2 2

tan
8
-p
= =-
p
+
37. Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với một đường tròn lượng giác,
cho điểm P có tọa đô (2; -3)
a) Chứng tỏ rằng điểm M sao cho
OP
OM
| OP |
=
uur
uuur
uur
là giao điểm của tia OP
với đường tròn lượng giác đó.
b) Tính tọa độ của điểm M và từ đó suy ra cô sin, sin của góc lượng
giác (Ox, OP)
GIẢI
a)
OP
OM (gt)
| OP |
=
uur
uuur
uur
Gọi

m m
(x ;y )
là tọa độ M
p p
(x ;y )
là tọa độ P
Ta có
2 2
M P
M P
2
2 2
M P M P
2
1
1
x .x
x x
| OP |
OP
1 1
y .y y .y
OP
| OP |
ì
ï
ì
ï
ï
=

ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Þ
í í
ï ï
ï ï
= =
ï ï
ï ï
ï
î
ï
î
uur
uur
Mà
2 2 2 2
P P
| OP | x y nên OM 1= + =
uur
Vậy, M thuộc đường tròn lượng giác gắn với Oxy
Cách khác:
Từ
2

2
2
OP OP
OM (gt).Ta có :OM
| OP | | OP |
= =
uur uur
uuur
uur uur
Mà
2 2
2
OP | OP | nên OM 1= =
uur uur uuur
Suy ra
| OM | 1=
uuur
, nghĩa là M thuộc đường tròn tâm O, bán kính 1.
Vậy, M la giao điểm của OP và đường tròn lượng giác.
b) Vì
2 2
OP 2 3
OP 2 ( 3 ) 13 nên OM OM ;
13 13
| OP |
æ ö
-
÷
ç
= + - = = =Þ

÷
ç
÷
ç
è ø
uur
uur uuur uuur
uur
hay M có tọa độ
2 3
13; 13
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Vậy,
( )
2 3
cos Ox;OP và sin(Ox;OP)
13 13
-
= =
4. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

38. Hỏi mỗi khẳng định sau có đúng không?
Với mọi
,a b
ta có
a)
cos( ) cos cos+ = +a b a b
b)
sin( ) sin sin- = -a b a b
c)
sin( ) sin cos cos sin+ = +a b a b a b
d)
cos( ) cos cos sin sin- = -a b a b a b
e)
sin 4
tan 2
cos2
a
= a
a
(khi các biểu thức có nghĩa)
g)
2
sin sin 2=a a
GIẢI
a) Sai, vì nếu
0=b
thì
cos( ) cos+ =a b a
nhưng
cos cos cos 1+ = +a b a

b) Sai, vì giả sử nếu
a và
2 2
p p
= =-b
thì ta có:
sin( ) sin 0- = =a b p
sin sin sin sin 1 1 2
2 2
æ ö
p p
÷
ç
- = - - = + =a b
÷
ç
÷
ç
è ø
c) Đúng
d) Sai, vì chẳng hạn nếu
4
p
= =a b
thì:
cos( ) cos0 1- = =a b
2 2 2 2
cos .cos sin .sin . . 0
2 2 2 2
- = - =a b a b

e) Sai, vì giả sử
8
p
=a
thì
sin
sin 4 1
2
2
cos2
2
cos
4
2
p
a
= = =
p
a
tg2 tg 1
4
p
= =a
g) Sai, vì giả sử
2
sin 1
thì
2
sin 2 0
ì

ï
=p a
ï
=a
í
ï
=a
ï
î
39. Sử dụng
0 0 0
75 45 30= +
, hãy ntinhs các giá trị lượng giác của góc
0
75
. Sử dụng
0 0 0
15 45 30= -
, hãy tính các giá trị lượng giác góc
0
15
(đối chiếu với kết quả bài tập 29)
GIẢI
0 0 0 0 0 0 0
cos75 cos(45 30 ) cos45 .cos30 sin 45 .sin30= + = -
2 3 2 1 2
. . ( 3 1)
2 2 2 2 4
= - = -
0 0 0 0 0 0 0

sin 75 sin(45 30 ) sin45 .cos30 sin30 .cos45= + = +
2 3 2 1 2
. . ( 3 1)
2 2 2 2 4
= + = +
0
0 0 0
0 0
3
1
tan30 tan45 3 1
3
tan75 tan(30 45 ) 2 3
1 tan30 .tan 45 3 3 1
1
3
0
+
+ +
= + = = = = +
- -
-
0
0
1
cot75 2 3
tan75
= = -
Học sinh tính tương tự như
0

15
40. Chứng minh rằng:
a)
sin cos 2 sin
4
æ ö
p
÷
ç
+ = +a a a
÷
ç
÷
ç
è ø
b)
sin cos 2 sin
4
æ ö
p
÷
ç
- = -a a a
÷
ç
÷
ç
è ø
c)
1 tan 3

tan ( k , k )
4 1 tan 2 4
æ ö
-p a p p
÷
ç
- = + +a a¹ pa¹ p
÷
ç
÷
ç
è ø
+ a
d)
1 tan
tan ( k , k )
4 1 tan 2 4
æ ö
+p a p p
÷
ç
+ = + +a a¹ pa¹ p
÷
ç
÷
ç
è ø
- a
GIẢI:
a) Chứng minh:

sin cos = 2sin
4
æ ö
p
÷
ç
+ +a a a
÷
ç
÷
ç
è ø
VP 2 sin
4
2 2
2 sin .cos sin .cos 2. sin 2. cos
4 4 2 2
æ ö
p
÷
ç
= +a
÷
ç
÷
ç
è ø
é ù
p p
ê ú

= + = +a a a a
ê ú
ë û
sin cos VT= + =a a
(đpcm)
b) Chứng minh:
sin cos 2 sin
4
æ ö
p
÷
ç
- = -a a a
÷
ç
÷
ç
è ø
VP 2 sin
4
æ ö
p
÷
ç
= -a
÷
ç
÷
ç
è ø

Ta có:
sin .sin .cos
4 4
sin cos sin tan .cos
4
cos
4
p p
a a
p
- = - =a a a a
p
2 sin
4
æ ö
p
÷
ç
= -a
÷
ç
÷
ç
è ø
(đpcm)
c) Chứng minh:
1 tan
tan
4 1 tan
æ ö

-p a
÷
ç
- =a
÷
ç
÷
ç
è ø
+ a
tan tan
1 tan
4
VT tan 4 VP
4 1 tan
1 tan .tan
4
p
- a
æ ö
-p a
÷
ç
= + = = =
÷
ç
÷
ç
p
è ø

+ a
+ a
(đpcm)
d)
tan tan
1 tan
4
tan VP
4 1 tan
1 tan .tan
4
p
+ a
æ ö
-p a
÷
ç
+ = = =a
÷
ç
÷
ç
p
è ø
+ a
- a
(đpcm)
41. a) Biết
1
sin và ;

3 2
æ ö
p
÷
ç
=a a Î p
÷
ç
÷
ç
è ø
, hãy tính các giá trị lượng giác của
góc
2 và góc
2
a
a
b) Sử dụng
0
0
30
15 ,
2
=
hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.
GIẢI:
a)
2 2
1 1 8
Do sin nên cos 1 sin 1

3 9 9
= = - = - =a a a
Mà
2 2
nên cos 0 cos
2 3
p
< < < =-a pa Þa
*
1 2 2 4 2
sin 2sin .cos 2.
3 3 9
æ ö
÷
ç
÷
= = - =-a a a
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
*
2
1 7
cos2 1 2sin 1 2.
9 9
= - = - =a
*

sin 2 4 2
tan 2
cos2 7
a
= =-a
a
*
1 7
cotg2
tan 2
4 2
= =-a
a
Do
nên sin và cos
2 4 2 2 2 2
p p a p a a
< < < <a p Þ
đều dương
Ta có: *
2
cos 2cos 1
2
a
= -a
2 2
3 2 2
2cos cos 1 cos
2 2 6
-a a

= + =Û a Û
3 2 2 2 1
cos
6
6
- -
= =Þ a
*
2
cos 1 2sin
2
a
= -a
2 2
3 2 2 2 1
2sin 1 cos sin sin
2 2 6 2
6
+ +a a a
= - = =Û a Û Þ
*
sin
2 1
2
tan 3 2 3
2
2 1
cos
2
a

+a
= = = +
a
-
*
1
cot 3 2 2
2
3 2 2
a
= = -
+
b)
2 0 0 0
3 2 3
2cos 15 1 cos30 1 nêncos15
2 2
+
= + = + =
*
2 0 0 0
3 2 3
2sin 15 1 cos30 1 nên sin15
2 2
-
= - = - =
*
0
2 3
tan15 2 3

2 3
-
= = -
+
*
0
0
1
cot15 2 3
tan15
= = +
42. Chứng minh rằng:
a)
11 5 1
sin cos (2 3)
12 12 4
p p
= -
b)
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 8
a a p
=-
(Hướng dẫn. Nhân hai vế với
sin
7
p
)
c)

0 0 0 0
1
sin 6 sin 42 sin 66 sin78
16
=
(Hướng dẫn. Nhân hai vế với
0
cos6
)
GIẢI:
a) Chứng minh:
11 5 1
sin cos (2 3)
12 12 4
p p
= -
2
11 5
VT sin cos sin .cos
12 12 12 2 12
1
sin .sin sin (1 cos )
12 12 12 2 6
1 3 1
(1 ) (2 3)
2 2 4
æ ö æ ö
p p p p p
÷ ÷
ç ç

= = - -p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
p p p p
= = = -
= - = -
b) Chứng minh:
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 8
a a p
=-
(1)
Nhân hai vế cho
sin
7
p
(1)
3 5 1
sin .cos .cos .cos sin
7 7 7 7 8 7
p p p p p
=-
1 2 4 2 1
sin .cos( ).cos( ) sin
2 7 7 7 8 7
1 2 4 2 1

sin . cos . cos sin
2 7 7 7 8 7
1 8 1 1 1
sin sin sin sin
8 7 8 7 8 7 8 7
1 1
sin sin
8 7 8 7
p p p p
- - =-Û p p
æ öæ ö
p p p p
÷ ÷
ç ç
- - - =-Û
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è øè ø
æ ö
p p p p
÷
ç
=- + =-Û Û p
÷
ç
÷
ç
è ø

p p
- =-Û
(đúng)
Vậy
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 8
p p p
=-
c) Chứng minh:
0 0 0 0
1
sin 6 sin 42 sin 66 sin78 (1)
16
=
Nhân hai vế với
0
cos6
(1)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
sin6 .cos6 .sin(90 48 ).sin(90 24 ).sin(90 12 ) cos6
16
- - - =Û
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1
sin12 .cos12 .cos24 .cos48 cos6
2 16
1 1 1 1

sin96 cos6 sin(90 ( 6 )) cos6
16 16 16 16
=Û
= - - =Û Û
0 0
1 1
cos6 cos6
16 16
=Û
(đúng)
Vậy
0 0 0 0
1
sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin78
16
=
43. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:
a)
0 0 0 0
1
cos75 cos15 sin75 sin15
4
= =
b)
0 0
2 3
cos75 .sin15
4
-
=

c)
0 0
2 3
sin 75 cos15
4
+
=
d)
cos sin( ) cos sin( ) cos sin( ) 0- + - + - =a b g b g a g a b
, với mọi
, ,a b g
GIẢI:
a)
0 0 0 0
1 1 1 1
cos75 cos15 (cos90 cos60 ) .
2 2 2 4
= + = =
0 0 0 0
1 1 1 1
sin 75 sin15 (cos 60 cos90 ) .
2 2 2 4
= + - = =
Vậy
0 0 0 0
1
cos75 cos15 sin75 sin15
4
= =
b)

0 0 0 0
1 1 3 2 3
cos75 .cos15 (sin90 sin( 60 )) 1
2 2 2 4
æ ö
-
÷
ç
÷
= + - = - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
c)
0 0 0 0
1 1 3 2 3
sin 75 cos15 (sin90 sin 60 ) 1
2 2 2 4
æ ö
+
÷
ç
÷
= + = + =
ç
÷
ç

÷
ç
è ø
d) Cách 1:
cos sin( ) cos sin( ) cos sin( ) 0- + - + - =a b g b g a g a b
cos (sin cos cos sin ) cos (sin cos sin cos )
cos (sin cos sin cos ) 0
cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos
cos sin cos cos sin cos 0
- + -Û a b g b g b g a a g
+ - =gab ba
- + -Û a b a b g a b g b a g
+ - =gab gb a
0 0=Û
(đúng) (đpcm)
Cách 2:
[ ]
1
cos sin( ) sin( ) sin( )
2
- = - + + - -a b g b g a b g a
(a)
[ ]
1
cos sin( ) sin( ) sin( )
2
- = + - - + -g g a b g a a b g
(b)
[ ]
1

cos sin( ) sin( ) sin( )
2
- = + - - + -g a b g a b b g a
(c)
Cộng (a), (b), (c) theo từng vế ta được:
cos sin( ) cos sin( ) cos sin( ) 0- + - + - =a b g b g a g a b
Nhận xét:
- Cách 1 gọn hơn, nhưng không đúng yêu cầu đề bài
- Cách 2 gọn hơn, nhưng theo đúng yêu cầu đề bài