Một số vấn đề về không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số là hằng số

1

Mục lục

Lời nói đầu
Chơng 1. kiến thức chuẩn bị
1.1. Dãy số
1.2. Không gian vectơ
1.3. Không gian Mêtric
1.4. Không gian Banach
1.5. Không gian Hilbert
Chơng 2. Không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ
số là hằng số
2.1. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các
dãy truy hồi tuyến tính cấp một D(a)
2.2. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các
dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a, b)
2.3. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các
dãy truy hồi tuyến tính cấp ba D(a, b, c)
2.4. Một số bài tập áp dụng
2.5. Các bài tập tham khảo
Chơng 3. Tôpô trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
D(a,b)
3.1. Mêtric trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
D(a, b)
3.2. Chuẩn trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
D(a, b)
3.3. Tích vô hớng trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai D(a, b)
Kết luận

Tài liệu tham khảo


2

Lời
Lời Lời
Lời

nói
nói nói
nói

đầu
đầuđầu
đầu



Giải tích Toán học là một trong những môn học cơ bản của chơng trình
Toán, đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán. Lý thuyết giới hạn
là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích Toán học có thể nói về tầm quan
trọng của lý thuyết giới hạn đối với Giải tích một cách ngắn gọn Không có giới
hạn thì Giải Tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của Giải Tích đều là giới hạn
theo một nghĩa nào đó. Do đó lý thuyết giới hạn đóng vai trò nền móng của
môn học này. Trong lý thuyết giới hạn vấn đề quan trọng cần thiết đợc quan
tâm đến là lý thuyết giới hạn dãy số, vấn dề này xuyên suốt toàn bộ học phần
Giải Tích Toán học nên đối với sinh viên học toán cần thiết phải quan tâm đến
vấn đề này.
Lý thuyết giới hạn dãy số không chỉ đợc đề cập trong chơng trình học ở

bậc cao đẳng, đại học mà còn đợc đề cập trong chơng trình Toán trung học
phổ thông. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi ở phổ thông, các kỳ thi
Olympic giữa các trờng đại học và cao đẳng cả nớc- mảng sinh hoạt sôi động
hiện nay. Ngay từ lớp 11 trong chơng trình Toán học của bậc trung học phổ
thông học sinh đã đợc tìm hiểu khá sớm những khái niệm cơ bản của dãy số:
Định nghĩa, tính đơn điệu, bị chặn, giới hạn các em cũng đã đợc học về hai
loại dãy số đơn giản dãy số cộng và dãy số nhân. Trong chơng trình giải tích
của bậc Đại học sinh viên tiếp tục nghiên cứu một cách kĩ lỡng hơn những khái
niệm đó của dãy số. Mặc dù vậy cũng không đi sâu nghiên cứu những loại dãy
cụ thể mà chỉ xét những khái niệm chung của dãy tổng quát.
Với nhiều bài toán liên quan đến dãy số việc tìm công thức số hạng tổng
quát của dãy số nhìn chung là rất cần thiết. Việc này cho phép chúng ta dễ dàng
hơn trong việc xem xét các tính chất khác của chúng. Tuy nhiên đối với một dãy
bất kì việc tìm công thức tổng quát của dãy số rồi từ đó xem xét các tính chất
khác của nó nh: tính bị chặn, hội tụ không đơn giản.

3

Chính vì thế trong đề tài này tôi trình bày về một cách thiết lập công thức số
hạng tổng quát của không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số
không đổi cấp một, cấp hai, cấp ba. Trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai chúng tôi trang bị cho các không gian này một Mêtric, một chuẩn, một
tích vô hớng và tìm hiểu tính đầy đủ của nó.
Ngoài phần mở đầu, phần mục lục, tài liệu tham khảo và phần kết luận khoá
luận gồm ba chơng:
Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chơng 2. Không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số là hằng
số.
Chơng 3. Tôpô trên không gian dãy truy hồi tuyến tính cấp hai.

4

Chơng 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1. Dãy số
1.1.1. Định nghĩa 1
Một dãy số là một ánh xạ từ N vào K (K = R hoặc K = C ).
Thay cho kí hiệu
( )
:
n u n
u N K



ta thờng kí hiệu
{
}
n
n N
u


hay

{
}
0
n
n
u


hay
{
}
n
n
u

Một dãy thực (Tơng ứng: phức ) là một dãy số sao cho:
,
n
n N u R


(Tơng ứng: C).
Với mỗi
,
n
n N u

đợc gọi là số hạng thứ n của dãy.
Mỗi ánh xạ từ
{

}
0
,
n N n n

vào K, với
0
n K

cố định cũng đợc gọi là
một dãy số; Phần lớn các khái niệm đợc khảo sát chỉ đề cập đến các
n
u
(từ một
thứ tự nào đó).
1.1.2. Định nghĩa 2
1. Ta nói là dãy
{
}
n
n N
u

hội tụ đến
l K

khi và chỉ khi với
0

>

,
0
n N

sao cho với
n N

,
0
n n


n
u l


.
2. Ta nói dãy số
{
}
n
n N
u

hội tụ khi và chỉ khi tồn tại
l K

sao cho
{
}

n
n N
u

hội tụ đến l, nghĩa là
l K

sao cho
0

>
,
0
n N

,
n N

,
0
n n


n
u l


.
3. Ta nói dãy số
{

}
n
n N
u

phân kì
khi và chỉ khi nó không hội tụ nghĩa là:
0 0
, 0, , , ( )
n
l K n N n N n n u l


>
.
Chú ý rằng
{
}
n
n N
u

hội tụ đến l khi và chỉ khi dãy
(
)
n
n N
u l

hội tụ đến 0.
1.1.3. Định nghĩa 3
1. Ta nói một số thực A là một chặn trên của một dãy thực
{
}
n
n N
u

khi và

5

chỉ khi:
,
n
A
n N u


.
Ta nói một số thực A là một chặn dới của một dãy thực
{
}
n
n N
u

khi và
chỉ khi:

,
n
A
n N u


.
2. Một dãy thực
{
}
n
n N
u

đợc gọi bị chặn trên (Tơng ứng bị chặn dới)
khi và chỉ khi tồn tại một số thực A, sao cho A là một chặn trên (Tơng ứng một
chặn dới) của
{
}
n
n N
u

.
3. Một dãy phức đợc gọi là bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại
M R
+

sao cho:
,

n
n N u M

.
1.1.4. Định nghĩa 4
Cho dãy số
{
}
n
n N
u

,
{
}
k
n
u
là dãy con của nó thoả mãn
+ Tồn tại
lim
k
n
k
u l

=
.
+ Đối với mọi dãy con
{

}
k
m
u
khác mà
'
lim
k
m
k
u l

=
thì
'
l l

.
Khi đó l đợc gọi là giới hạn trên của dãy
{
}
n
n N
u

, kí hiệu là
lim
n
u
. Tơng tự

ý nghĩa cho giới hạn dới
lim
n
u
. Ta có:
a. Luôn tồn tại
lim
n
u
+
hơn nữa nếu
{
}
n
n N
u

không bị chặn trên thì
lim
n
u
= +
.
b. Nếu
{
}
n
n N
u

bị chặn trên bởi M thì
lim
n
u M

.
c.
lim lim lim
n n
n
l u u l

= = =
.
1.1.5. Định nghĩa 5
Dãy
{
}
n
n N
u

là dãy Cauchy nếu
0

>
,
*
0
n N

,
,
m

0
:
n n
>

n m
u u


.
Dãy số
{
}
n
n N
u

là dãy Cauchy


0

>
,
*

0
n N

,
0
:
n n
>

, 0.
n n p
u u p

+



6

Dãy
{
}
n
n N
u

là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ.
1.1.6. Mệnh đề
Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
1.2. Không gian vectơ

1.2.1. Định nghĩa 1
Tập hợp V mà các phần tử đợc kí hiệu bởi
, ,


đợc gọi là một
không gian vectơ trên một trờng số K, nếu trên V xác định phép cộng hai phần
tử của V và phép nhân một phần tử của V với một số thuộc K sao cho các điều
kiện sau đợc thoả mãn đối với mọi
, ,


của V, mọi số k và l của K:
1.

+ = +


;
2.
(
)
(
)

+ + = + +


;
3.

0


V sao cho
0
a a
+ =


;
4. Với mỗi


có một phần tử kí hiệu là



thoả mãn đẳng thức
(
)
0

+ =

;
5.
(
)

k k k

+ = +


;
6.
(
)
k l k l

+ = +


;
7.
(
)
(
)
;
kl k l

=


8.
1. ;

=

Mỗi phần tử
V



đợc gọi là một vectơ,
0

đợc gọi là vectơ không,




đợc gọi là vectơ đối của vectơ


.
1.2.2. Định nghĩa 2
Giả sử V là không gian vectơ trên trờng số K, W là tập con khác

của V
đợc gọi là không gian con của V nếu W cũng là không gian vectơ trên K đối
với hai phép toán đã cho trên V.
1.2.3. Định nghĩa 3

7

Cho m vectơ

1 2
, , ,
m


của không gian vectơ trên trờng K (m


1).
1. Nếu
1 1 2 2

m m
k k k

= + + +

,
, 1,
i
k K i m
=
thì ta nói


là tổ hợp
tuyến tính của m vectơ đã cho.
2. Hệ m vectơ
1 2
, , ,

m


đợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m
số
1 2
{ , , , }
m
k k k
không đồng thời bằng không sao cho:



1 1 2 2
0
m m
k k k

+ + + =


. (1)
3. Hệ m vectơ
1 2
, , ,
m


đợc gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức
(1) suy ra bắt buộc phải có

1 2
0
m
k k k
= = = =
.
1.2.4. Định nghĩa 4
1. Một không gian vectơ trên trờng K đợc gọi là không gian sinh bởi hệ
vectơ
{
}
1 2
( ) , , ,
m

=

. Nếu mỗi
V



đều là một tổ hợp tuyến tính của
hệ vectơ
( )

, khi đó hệ vectơ này đợc gọi là hệ sinh của không gian vectơ V.
2. Một hệ sinh độc lập tuyến tính của không gian vectơ đợc gọi là một cơ
sở của không gian vectơ V.
3. Số các vectơ của một cơ sở của không gian vectơ V đợc gọi là số chiều

của không gian vectơ V, kí hiệu: dimV.
Ta chỉ xét các vectơ trên trờng K sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ
4. Hệ quả : trong không gian vectơ n chiều (
1
n

) mọi hệ gồm n vectơ độc
lập tuyến tính đều là cơ sở.
1.2.5. Định lý
Giả sử V là không gian vectơ trên trờng số K, W là một tập con khác


của V các mệnh đề sau tơng đơng
i) W là không gian con của V;
ii) Với



,




W,

k

K, ta có:

+

W; k




W;
1.3. Không gian Mêtric
1.3.1. Định nghĩa 1

8

Giả sử X là một tập tuỳ ý khác

cho trớc. Ta gọi hàm số

: X
ì
X

R
là một Mêtric (hay là khoảng cách ) trên X nếu hàm số này thoả mãn 3 tiên đề
sau đây:
i)
( , ) 0
x y

, với
,
x y X

;
( , ) 0
x y

=
khi và chỉ khi
x y
=
.
ii)
(
)
(
)
, ,
x y y x

=
, với
,
x y X

.
iii)
( , ) ( , ) ( , )
x z x y y z

+
, với
, ,
x y z X

.
Khi đó tập X cùng với Mêtric

đã cho đợc gọi là không gian Mêtric kí
hiệu là (X,

).
1.3.2. Định nghĩa 2
1. Dãy
{ }
n
n N
x

trong không gian Mêtric X đợc gọi là dy cơ bản hay dãy
Cauchy nếu
,
lim ( , ) 0
m n
m n
x x


=

, nói cách khác
{ }
n
n N
x

là dãy cơ bản khi và chỉ
khi
0

>
,
0 0
,
: , ( )
m n
n m n n x x


<
.
* Tính chất: Trong không gian Mêtric mọi dãy hội tụ là giới nội.
2. Không gian Mêtric X đợc gọi là không gian Mêtric đầy đủ nếu mọi dãy
cơ bản của X đều hội tụ trong X.
1.4. Không gian Banach
1.4.1. Định nghĩa 1
Giả sử K là trờng số thực R hoặc trờng số phức C. Tập hợp X khác rỗng
cùng với hai ánh xạ ( gọi là phép cộng và phép nhân vô hớng):
Phép cộng xác định trên X
ì

X và lấy giá trị trong X, (x, y)

x + y với mọi
,
x y X

.
Phép nhân vô hớng xác định trên K
ì
X và lấy giá trị trong X,
( , ) .
x x



với mọi


K, mọi x

X.
Đợc gọi là không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) nếu các điều
kiện sau đây đợc thoả mãn:
1. X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là :
a) x + y = y + x với mọi x, y

X.
b) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y

X.

9

c) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho x + 0 = x với mọi x

X.
d) Với mỗi phần tử x của X, tồn tại một phần tử - x của X sao cho
x + (-x) = 0.
2.

(x + y) =

x+

y với mọi


K, mọi x, y

X.
3. (

+
à
) x =

x +
à
x với mọi

,
à

K, mọi x

X.
4. (

à
)x =

(
à
x) với mọi

,
à

K, mọi x

X.
5. 1.x = x với mọi x

X.
Nếu K = R thì X đợc gọi là không gian tuyến tính thực, nếu K = C thì X
đợc gọi là không gian tuyến tính phức.
1.4.2. Định nghĩa 2
Giả sử X là không gian tuyến tính thực hoặc phức, một hàm thực kí hiệu

. : ,

X R x x

đợc gọi là một chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các điều
kiện sau:
i)
0, ; 0 0
x x X x x
= =
.
ii)
, , .
x x K x X

=

iii)
, ,
x y x y x y X
+ +
.
Số
x
đợc gọi là chuẩn của phần tử x.
Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn trên X đợc gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn kí hiệu là (X,

.
).
1.4.3. Định nghĩa 3
Giả sử (X,

.
) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Dễ dàng thấy rằng
hàm số thực

xác định trên X
ì
X bởi công thức
( , )
x y x y

=
là một
Mêtric. Nh vậy không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian Mêtric, và

đợc gọi là không gian Mêtric sinh bởi chuẩn.
1.4.4. Định nghĩa 4
Giả sử (X,
.
) là một không gian tuyến tính định chuẩn

10

+ Dãy
{ }
n
n N
x X


đợc gọi là hội tụ về

x X

, nếu
0
,
n N


sao cho:
0
n n

thì
n
x x

<
, kí hiệu
n
x x

khi
n

hay
lim
n
n
x x

=
.
+ Dãy
{ }
n
n N
x X


đợc gọi là dy cơ bản hay dãy Cauchy nếu
0
,
n N



sao cho
0
,
m n n
>
ta có
n m
x x

<
hay
lim 0
n m
n

m
x x


=
.
1.4.5. Định nghĩa 5
Không gian tuyến tính định chuẩn (X,
.
) đầy đủ với Mêtric sinh bởi chuẩn
gọi là một không gian Banach.
1.5. Không gian Hilbert
1.5.1. Định nghĩa 1
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trờng K và
.,. :
X X K
< > ì
,
( , ) ,
x y x y
< >

là một hàm số (phức hoặc thực tuỳ theo X là không gian phức
hoặc thực), đợc gọi là tích vô hớng trên X nếu nó thoả mãn các điều kiện:
) , , , ,
) , , , , , ,
) , , , , , ,
4 ) , 0,
, 0 0
i x y x y x y X

ii x y z x z y z x y z X
iii x y x y x y z X K
i x x x X
x x x

< > = < >
< + > = < > + < >
< > = < >
< >
< > = =

Số
,
x y
< >
đợc gọi là tích vô hớng của hai phần tử x và y. Không gian X
cùng với một tích vô hớng đợc gọi là không gian Unita kí hiệu là (X,
.,.
< >
)
1.5.2. Định nghĩa 2
Nếu (X,
.,.
< >
) là một không gian Unita thì hàm số
,
x x x
= < >
,
x X

đợc gọi là một chuẩn trên X, ta gọi là một chuẩn sinh bởi tích vô hớng.
1.5.3. Định nghĩa 3
Không gian Unita đợc gọi là khôg gian Hilbert nếu với mỗi chuẩn sinh bởi
tích vô hớng thì
( , . )
X
là không gian Banach.

11

Kết luận chơng 1: Trong chơng này chúng tôi giới thiệu các định nghĩa,
định lí về dãy số, không gian vectơ, không gian Mêtric, không gian Banach,
không gian Hilbert, Những kiến thức vận dụng để chứng minh các phần sau.

12

Chơng 2
Không gian các dy truy hồi tuyến tính thuần nhất
với hệ số là hằng số

2.1. Công thức tổng quát trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp
một D(a)
1. Định nghĩa:
Gọi K là tập hợp các số thực R hoặc tập hợp những số phức C với
a K

, kí
hiệu D(a) là tập hợp các dãy
{ }
n
n N
u

trong K sao cho

1
,
n
n
u au n N
+
=
(*)
gọi là không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi.
2. Mệnh đề: D(a) là không gian vectơ có số chiều là 1.
a. D(a) là K - không gian vectơ
Thật vậy
+ D(a)


( dãy số 0 =( 0, 0, , 0 ) thuộc D(a))
(Lu ý: Không gian X là một K- không gian vectơ khi và chỉ khi
,
K
à

,
,
u v X

thì
u v X
à
+
).

+ Nếu
,
K
à

,
{ } , { } ( )
n n
n N n N
u v D a


thì:
(
)
(
)
(
)
1 1
n n n n
n n
u v au av a u v
à à à
+ +
+ = + = +
.
Suy ra
n n
u v

à
+
D(a).
Vậy D(a) là K - không gian vectơ .
b. D(a) có số chiều là một
+ Hiển nhiên dãy số thoả mãn (*) là dãy số nhân với số hạng đầu
0
u
và
công bội là
a
,
,
n
n o
u u a n N
=
.
+ Nếu
0
a
=
thì
1
0. 0,
n
n
u u n N
+
= =

với số hạng đầu là u
0
, khi đó D(a)
sinh bởi dãy số ( 1, 0, , 0 )
+ Nếu
0
a

thì
{ }
n
n N
a

là một cơ sở của không gian vectơ một chiều
D(a).

13

c. Thiết lập công thức số hạng tổng quát của không gian D(a)
+ Do
{ }
n
n N
a

là một cơ sở của không gian D(a) nên
{ }
n
n N

x


D(a),


,
{ } { } ,
n
n
n N n N
x a n N


=
.
+
0
n
=
suy ra
0
x a

=
.
Vậy
0
,
n

n
x x a n N
=
hay
0
{ } { }
n
n
n N n N
x x a

=
.
Trong phần này tôi bổ xung thêm về dãy truy hồi tuyến tính cấp một không
thuần nhất với hệ số là hằng số:
Với mỗi phần tử
a K

, kí hiệu
'
( )
D a
là tập hợp các dãy số
{
}
n
n N
u

trong

K sao cho
1
n
n
u au b
+
= +
, với
n N


Dãy số
{
}
n
n N
u

đợc gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần
nhất với hệ số không đổi
Cách tìm số hạng tổng quát:
Nếu
1
a
=
thì
1
n
n
u au b

+
= +
là cấp số cộng. Giả sử
1
a

cho
K



(sẽ
chọn sau) và dãy
{
}
n
n N
v

xác định bởi:
, .
n n
n N v u

= +

Ta có:
1 1
, .
n

n n
n N v u au b

+ +
= + = + +

( ) ((1 ) ).
n n
a v b a v a b

= + + = + +

Khi chọn
1
b
a

=

,
ta thấy
{
}
n
n N
v

là một dãy nhân với công bội là a, vậy:
0
, .

n
n
n N v a v
=

Từ đó
0
,
1 1
n
n
b b
n N u a u
a a



= +

.
2.2. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi
tuyến tính cấp hai D(a,b)
1. Định nghĩa:
Gọi K là tập hợp các số thực R, hoặc tập hợp các số phức C. Với
(
)
2
,
a b K

,
kí hiệu D(a,b) là tập hợp các dãy
{ }
n
n N
u

trong K sao cho:
2 1
n
n n
u au bu
+ +
= +
,
n N

(**)

14

đợc gọi là không gian dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số
không đổi.
2. Mệnh đề: D(a,b) là một K - không gian vectơ và có số chiều là hai
a. D(a,b) là một K - không gian vectơ
+ D(a,b)


( dãy số không 0 =( 0, 0, , 0, ) thuộc D(a,b))
+ Nếu

,
K
à

,
{ } ( , ), { } ( , )
n n
n N n N
u D a b v D a b


thì
n N

ta có:
(
)
(
)
2 2 1 1
n n
n n n n
u v au bu a v bv
à à
+ + + +
+ = + + +

(
)
(

)
1 1
n n
n n
a u v b u v
à à
+ +
= + + +

Suy ra
(
)
{ } ,
n n
n N
u v D a b
à

+

Vậy D(a,b) là không gian vectơ.
b. D(a,b) có số chiều là hai
+ Kí hiệu
{ }
n
n N
U

,
{ }

n
n N
V

là hai phần tử của D(a,b) xác định bởi:
0 1
0 1
1, 0
0, 1
U U
V V





= =
= =

+ Cho
(
)
2
,
K


sao cho
{ } { } 0
n n

n N n N
U V


+ =
đặc biệt là
0
1 1
0
0
o
U V
U V







+ =
+ =

Vậy
0

= =
.
Điều này chỉ ra rằng (
{ }

n
n N
U

,
{ }
n
n N
V

) độc lập tuyến tính trong D(a,b) (1)
Cho
{
}
n
n N
u


( , )
D a b

ta chứng tỏ bằng quy nạp hai bớc theo n rằng
n N

,
0 1
.
n n n
u u U u V

= +

+ Hệ thức hiển nhiên đợc thoả mãn với
0
n
=
và
1
n
=
.
+ Giả sử với một
n N

cố định :
0 1
1 0 1 1 1
n n n
n n n
u u U u V
u u U u V
+ + +





= +
= +

Thế thì:
(
)
(
)
2 1 0 1 1 1 0 1
n n n
n n n n
u au bu a u U u V b u U u V
+ + + +
= + = + + +


(
)
(
)
0 1 1 1 0 2 1 2
n n
n n n n
u aU bU u aV bV u U u V
+ + + +
= + + + = +
.
Điều này chứng tỏ rằng (
{ }
n
n N
U

,
{ }
n
n N
V

) sinh ra
(
)
,
D a b
(2)

15

Từ (1) và (2) suy ra (
{ }
n
n N
U

,
{ }
n
n N
V

) là một cơ sở của
(
)

,
D a b

Vậy
(
)
dim ( , ) 2
D a b
=
.
3. Các phần tử đặc biệt của
(
)
,
D a b
:
Ta xét xem
(
)
,
D a b
có chứa dãy nhân hay không. Cho
r K

; Dãy
{
}
n
n N
r

thuộc
(
)
,
D a b
khi và chỉ khi:
2 1
,
n n n
n N r a r br
+ +
= +
nghĩa là
2
0
r ar b
=
.
Phơng trình
2
0
r ar b
=
đợc gọi là phơng trình đặc trng (của các
dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thoả mãn thoả mãn:
2 1
,
n

n n
n N u au bu
+ +
= +
).
Kí hiệu biệt thức của phơng trình là
2
4
a b
= +
.
Trờng hợp 1: Phơng trình đặc trng có hai nghiệm trong K kí hiệu là r
1
, r
2

(xảy ra khi ( K = C và
0

) hay ( K = R và
0
>
)).
Họ
1 2
({ } , { } )
n n
n N n N
r r

là độc lập trong
(
)
,
D a b

Thật vậy :
Xét tổ hợp tuyến tính
{
}
{
}
1 1 2 2
0
n n
n N n N
k r k r

+ =
với
0; 1
n n
= =
suy ra:
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2
0
0 0 ( ) 0
k k k k k k
k r k r k r k r k r r

+ = = =

+ = = =
1
0
k

=

Mặt khác
1 2
r r

do đó
2
0
k
=


1 2
({ } , { } )
n n
n N n N
r r

độc lập tuyến tính, mà hệ
1 2
({ } , { } )
n n
n N n N
r r

có số phần
tử bằng 2, vậy đó là một cơ sở của
( , )
D a b
.
Do đó dãy
{
}
n
n N
r

thuộc
(
)
,
D a b
khi và chỉ khi tồn tại
(
)
1 2
,

sao cho:
1 1 2 2
, .
n n
n
n N u r r

= +

Trong đó
1 2
,

đợc tính theo
0 1 1 2
, , ,
u u r r
bởi hệ
0 1 2
1 1 1 2 2
u
u r r

= +
= +

với
0, 1
n n
= =

Trờng hợp 2: Phơng trình đặc trng có một và chỉ một nghiệm trong K kí hiệu
là r
0
(trờng hợp
0
=
).
Khi đó ta thấy là hai đãy
0
{ }
n
n N
r

và
1
0
{ }
n
n N
n r

độc lập trong
( , )
D a b
.

16

Thật vậy :
+ Nếu
0
0
r
=
thì phơng trình đặc trng là r
2
= 0
0
a b

= =

2 1
0. 0. 0,
n n n
u u u n N
+ +
= + =
.

Với các số hạng đầu là u
0
, u
1
, khi đó:
(
)
(
)
{
}
1, 0, ,0, , 0, 1, ,0,

là một cơ sở của
( , )
D a b
.
+ Nếu
0
0
r

ta xét tổ hợp tuyến tính
1
1 0 2 0
{ } { } 0
n n
n N n N
k r k n r

+ =
với
1; 2
n n
= =
suy ra:
1 0 2
1 0 2 1 0 2
2
2
1 0 2 0 1 0 2 1
1 0 2 0
0
0 0
0
( 2 ) 0 2 0 1
2 0
k r k
k r k k r k
k
k r k r k r k k
k r k r

+ =
+ = + =
=

+ = + = =
+ =


(
)
1
0 0
{ } , { }
n n
n N n N
r nr


độc lập tuyến tính, mà hệ
(
)
1
0 0
{ } , { }
n n
n N n N
r n r

có số
phần tử là 2. Vậy đó là một cơ sở của
( , )
D a b
.
Dãy
{
}
n
n N
u

thuộc
(
)
,
D a b
khi và chỉ khi tồn tại
2
1 2
( , )
R


sao cho:
1
1 0 2 0
,

n n
n
n N u r n r


= +
.
Trờng hợp 3: Phơng trình đặc trng không có nghiệm (nghĩa là K = R và
0
<
).
Kí hiệu
'
( , )
D a b
là tập các dãy phức
{ }
n
n N
u

thoả mãn giả thiết truy hồi
2 1
,
n
n n
n N u au bu
+ +
= +
;

( , )
D a b
là tập các dãy thực cũng thoả mãn giả thiết
truy hồi đó, thế thì
'
( , ) ( , )
N
D a b D a b R
=
.
Theo sự khảo sát ở trờng hợp 1, khi kí hiệu
1
r
và
2 1
r r
=
là các nghiệm
của phơng trình đặc trng, ta có:
' 2
1 1 2 2 1 2
( , ) {( ) ; ( , ) }
n n
n N
D a b r r C


= +

Ta sẽ chứng minh rằng:

1 1 1 1 1
( , ) {( ) ; }
n n
n N
D a b r r C


= +
.
+ Với mọi
1
C


, dãy
1 1 1 1
( )
n n
n N
r r


+
là phần tử của
'
( , )
D a b
với các số
hạng thực, nên thuộc
( , )

D a b
.
+ Ngợc lại, cho
{ } ( , )
n
n N
u D a b


, vì
'
( , ) ( , )
D a b D a b

nên tồn tại
2
1 2
( , )
C


sao cho :
1 1 2 2
,
n n
n
n N u r r

= +
.

17

Nhng
{ }
n
n N
u

( , )
D a b


1 2
0
1
1 1 2 1
R
u R
u R
r r R

+




+

1 2 1 2
1 1 2 1 1 1 2 1
r r r r







+ = +

+ = +
( ) ( )
2 1 2 1
2 1 1 2 1 1
r r

=

=


( )
2 1
2 1 1
R
r R











2 1
0


=
(vì
1

r R

)
Vậy
( , )
D a b
1 1 1 1 1
{( ) ; }
n n
n N
r r C


= +
.
Ta có thể tiếp tục biến đổi biểu thức vừa thu đợc.
Đặt
2
1
1 1
1
( ), ( , )
2
, ( )
A iB A B R
r Arg r

=
= =

Ta có:
1 1
2Re( ) Re(( ) (cos sin ))
n n
r A iB n n

= +


( cos sin ).
n
A n B n

= +

Cuối cùng:
2
( , ) {( ( cos sin ) ; ( , ) )
n
n N
D a b A n B n A B R


= +

Với
1 1
, ( )
r Arg r

= =
.
2.3. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi
tuyến tính cấp ba D(a,b,c)
1. Định nghĩa
K là tập hợp các số thực R, hoặc tập hợp các số phức C, với
(
)
3
, ,
a b c K


; kí
hiệu
( , , )
D a b c
là tập hợp các dãy
{ }
n
n N
u

trong K sao cho:

3 2 1
,
n
n n n
u au bu cu n N
+ + +
= + +
(***)
Đợc gọi là không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất cấp ba với hệ số
không đổi.
2. Mệnh đề:
( , , )
D a b c
là một K- không gian vectơ có số chiều là 3
a.
( , , )
D a b c
là một K - không gian vectơ
+
( , , )
D a b c


( dãy số không 0 = ( 0, 0, , 0 , ) thuộc
( , , )
D a b c
)

18

+
, , { } ( , , ), { } ( , , )
n n
n N n N
K u D a b c v D a b c
à


, với
n N


(
)
(
)
3 3 2 1 2 1
n n
n n n n n n
u v a u bu cu av bv cu
à à
+ + + + + +
+ = + + + + +


(
)
(
)
(

)
3 3 2 2
n n
n n n n
a u v b u u c u v
à à à
+ + + +
= + + + + +



(
)
{ } , ,
n n
n N
u v D a b c
à

+
.
Vậy
( , , )
D a b c
là không gian vectơ.
b.
( , , )
D a b c
có số chiều là 3
Kí hiệu

{ }
n
n N
U

,
{ }
n
n N
V

,
{ }
n
n N
T

là ba phần tử của
( , , )
D a b c
xác định bởi:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
U U U
V V V
T T T

= = =
= = =
= = =

+ Cho
(
)
3
, ,
K


sao cho
( ) ( ) ( ) 0
n n n n n n
U V T

+ + =

Đặc biệt:
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0
0

0
U V T
U V T
U V T








+ + =
+ + =
+ + =

0
0
0








=
=
=

{ }
n
n N
U

,
{ }
n
n N
V

,
{ }
n
n N
T

độc lập trong
( , , )
D a b c
. (1)
+ Cho
{ }
n
n N
U

( , , )
D a b c
ta chứng tỏ bằng quy nạp hai bớc theo n rằng:

0 1 2
, .
n n n n
n N u u U u V u T
= + +

Hệ thức hiển nhiên đợc thoả mãn với
0
n
=
;
1
n
=
và
2
n
=
.
Giả sử với một
n N

cố định:
0 1 2

1 0 1 1 1 2 1
2 0 2 1 2 2 2
n n n n
n n n n
n n n n
u u U u V u T
u u U u V u T
u u U u V u T
+ + + +
+ + + +





= + +
= + +
= + +

Thế thì
3 2 1
n
n n n
u au bu cu
+ + +
= + +


0 2 1 2 2 2 0 1 1 1 2 1
( ) ( )

n n n n n n
a u U u V u T b u U u V u T
+ + + + + +
= + + + + +
0 1 2
( )
n n
c u U u V u T
+ + +


0 2 1 1 2 1 2 2 1
( ) ( ) ( )
n n n
n n n n n n
u aU bU cU u aV bV cV u aT bT cT
+ + + + + +
= + + + + + + + +
.
Suy ra
3
( , , )
n
u D a b c
+

. Điều này chứng tỏ rằng (
{ }
n
n N

U

,
{ }
n
n N
V

,
{ }
n
n N
T

)
sinh ra
( , , )
D a b c
(2)

19

Từ (1) và (2) suy ra (
{ }
n
n N
U

,
{ }

n
n N
V

,
{ }
n
n N
T

) là một cơ sở của
( , , )
D a b c
.
Vậy
(
)
(
)
dim , , 3
D a b c
=
.
3. Các phần tử đặc biệt trong
( , , )
D a b c

Ta xét xem
( , , )
D a b c

có chứa dãy nhân hay không. Cho
r K

; dãy
{ }
n
n N
u


thuộc
( , , )
D a b c
khi và chỉ khi:
3 2 1
,
n n n n
n N r a r br c r
+ + +
= + +
nghĩa là
3 2
0
r ar br c
=
.
Phơng trình
3 2
0
r ar br c

=
đợc gọi là phơng trình đặc trng
(của các dãy truy hồi tuyến tính cấp ba thoả mãn thoả mãn:
3 2 1
,
n
n n n
n N u au bu cu
+ + +
= + +
).
Trờng hợp 1: Phơng trình đặc trng có ba nghiệm trong K kí hiệu là r
1
, r
2
và r
3
.
Khi đó hệ
1 2 3
{{ } , { } , { } }
n n n
n N n N n N
r r r

là độc lập trong
( , , )
D a b c

Thật vậy:

Xét tổ hợp tuyến tính
1 1 2 2 3 3
{ } { } { } } 0
n n n
n N n N n N
k r k r k r

+ + =

Với n = 0, n = 1, n = 2 Suy ra hệ
1 2 3 1 1 2 1 3 1
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
0 0
0 0
0 0
k k k k r k r k r
k r k r k r k r k r k r
k r k r k r k r k r k r







+ + = + + =
+ + = + + =
+ + = + + =

( )
( )
2 2 2
1 1 2 1 3 1
2 1 2 3 1 3
2 2 2
1 1 2 2 3 3
0
0
0
k r k r k r
k r r k r r
k r k r k r







+ + =
+ =
+ + =
(
)
(
)
( ) ( )
2 1 2 3 1 3

2 2 2 2
2 1 2 3 1 3
0
0
k r r k r r
k r r k r r





+ =

+ =


(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 1 2 3 1 2 1 3
3 1 2 2 3
2 2 2 2
2 1 2 3 1 3

0
0
0
k r r k r r r r
k r r r r
k r r k r r





+ + =
+ =
+ =

3 2 1
0 0 0
k k k
= = =
(vì
1 2 3
k k k

)

Vậy
1 2 3
{{ } , { } , { } }
n n n
n N n N n N

r r r

độc lập tuyến tính. Mà hệ
1 2 3
{{ } , { } , { } }
n n n
n N n N n N
r r r

có số phần tử bằng 3 nên nó là một cơ sở của

20

( , , )
D a b c
. Do đó dãy
{ } ( , , )
n
n N
u D a b c


khi và chỉ khi tồn tại
(
)
1 2 3
, ,


sao

cho:
1 1 2 2 3 3
, .
n n n
n
n N u r r r

= + +

Trong đó
1 2 3
, ,

đợc tính theo
0 1 2 1 2 3
, , , , ,
u u u r r r
bởi hệ:
0 1 2 3
1 1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 1 1 2 2 3 3
u
u r r r
u r r r

= + +
= + +
= + +
với n = 0, n = 1, n = 2.
Trờng hợp 2: Phơng trình đặc trng có một và chỉ một nghiệm trong K kí hiệu
là r.
Khi đó hệ
1 2 2
({ } , { } , { } )
n n n
n N n N n N
r n r n r


là một cơ sở trong
( , , )
D a b c
.
Thật vậy :
+ Nếu r = 0 thì phơng trình đặc trng là r
3
= 0
0
a b c
= = =

3 2 1
0. 0. 0. 0
n
n n n
u u u u
+ + +

= + + =
.
Với các số hạng đầu tiên là u
0
, u
1
, u
2
, khi
đó
(
)
(
)
(
)
{
}
1, 0,0, ,0, , 0, 1,0, ,0, , 0,
0, 1, ,0,
là một cơ sở của
( , , )

D a b c
.
+ Nếu r

0 ta xét tổ hợp tuyến tính:
1 2 2
1 2 3
{ } { } { } 0
n n n
n N n N n N
k r k n r k n r


+ + =

Với n = 2, n = 3, n = 4 ta có hệ:
2 3 2
1 2 3 1 2 3
3 2 3 2
1 2 3 1 2 3
4 3 2 4 3 2
1 2 3 1 2 3
2 4 0 2 4 0
3 9 0 3 9 0
4 16 0 4 16 0
k r k r k k r k r k r
k r k r k r k r k r k r
k r k r k r k r k r k r

+ + = + + =
+ + =
+ + =
+ + = + + =

2 4 3 2
1 2 3 1 2 3
2 2
2 3 2 3
4 3 2 4 3 2
1 2 3 1 2 3
2 4 0 2 4 0
5 0 5 0
4 16 0 4 16 0
k r k r k k r k r k r
k r k r k r k r
k r k r k r k r k r k r

+ + = + + =
+ = + =
+ + = + + =

2 3 2
2 3 2 3
3 2 3 2
2 3 2 3
5 0 2 10 0
2 12 0 2 12 0
k r k r k r k r
k r k r k r k r





+ = + =

+ = + =


2
3 3 2 1
2 0 0 0 0
k r k k k

=

=

=

=
(vì r

0).

21

Vậy
1 2 2
({ } , { } , { } )
n n n
n N n N n N
r nr n r


độc lập tuyến tính, mà hệ
1 2 2
({ } , { } , { } )
n n n
n N n N n N
r n r n r


có số phần tử bằng 3 nên nó là một cơ sở của
( , , )
D a b c

.
Do đó dãy
{ }
n
n N
u


( , , )
D a b c

khi và chỉ khi tồn tại
(
)
1 2 3
, ,


sao cho:
1 2
1 2 3
, .
n n n
n
n N u r r r


= + +

Trờng hợp 3: Phơng trình đặc trng có 3 nghiệm là r

1
= r
2
= r và r
3
= r
0.

Khi đó hệ
1
0
({ } , { } , { } )
n n n
n N n N n N
r nr r


là một cơ sở trong
( , , )
D a b c
.
Thật vậy:
+ Nếu r = 0 thì phơng trình đặc trng là r
2
(r - a) = 0. Với các số hạng đầu
tiên là u
0
, u
1
, u

2
, khi đó
( ) ( )
{
}
1, 0,0, ,0, , 0, 1,0, ,0, ,
n
n N
a




là
một cơ sở của
( , , )
D a b c
.
+ Nếu
0
r


xét tổ hợp tuyến tính:
0
1
1 2 3
{ } { } { } 0
n
n n

n N n N n N
k r k nr k r


+ + =

Với n = 2, n = 3, n = 4 ta có hệ:


2
1 2 3 0 1 2 3 0
2 2 2 2
1 2 3 0 1 2 3 0
3 2 3 3 2 3
1 2 3 0 1 2 3 0
0 0
2 0 2 0
3 0 3 0
k r k k r k r k r k r r
k r k r k r k r k r k r
k r k r k r k r k r k r

+ + = + + =
+ + = + + =
+ + = + + =

( )
( )
( )
3 2 2
1 2 3 0
2 3 0 0
2 3 0 0
2 2 2
2 3 0 0
3 2 3
1 2 3 0
0
0
0
2 0
3 0
k r k r k r r
k r k r r r
k r k r r r
k r k r r r
k r k r k r

+ + =
+ =
+ =
+ =
+ + =

(
)
(
)
( )
( )
2 2
2 0 3 0 0
2 0
2 2 2
2 3 0 0
0
0
2 0
k r r r k r r r
k r r r
k r k r r r

+ + =

=
+ =

3
2 1
0
0 0
k k
k
=

= =


Vậy
1
0
({ } , { } , { } )
n n n
n N n N n N
r nr r


là một cơ sở trong

( , , )
D a b c
.
Do đó dãy
{ }
n
n N
u


( , , )
D a b c

khi và chỉ khi tồn tại
(
)
1 2 3
, ,


sao cho:

22

1
1 2 3 0
, .
n n n
n
n N u r n r r

= + +

Trờng hợp 4: Phơng trình đặc trng có 1 nghiệm thực r
1
và hai nghiệm phức
r
2
, r
3
nhng dy nhận các giá trị thực.
Gọi
'
( , , )
D a b c
là tập hợp các dãy phức
{ }
n
n N
u

thoả mãn (***) khi đó
( , , )
D a b c

'
( , , )
D a b c
,

'
( , , ) ( , , )
N
D a b c D a b c R
=
.
Theo sự khảo sát ở trờng hợp 1 kí hiệu
1 2
,
r r r
=
và
3
r r
=
là các nghiệm
của phơng trình đặc trng.
Ta có
'
1 1 2 2 3 3 1 2 3
( , , ) {{ } ; , , }.
n n n
n N
D a b c r r r C


= + +

Ta sẽ chứng minh rằng :
1 1 2 2 1 2

( , , ) {{ } ; , }
n n n
n N
D a b c r r r R C


= + +

+ Với
1 2
,
R C


, dãy
1 1 2 2
{ }
n n n
n N
r r r


+ +
là phần tử của
'
( , , )
D a b c
với các số hạng thực nên thuộc
( , , )
D a b c

.
+ Ngợc lại, cho
{ }
n
n N
U


( , , )
D a b c
, vì
( , , )
D a b c

'
( , , )
D a b c
nên tồn tại
1 2 3
, ,
R C


sao cho:
1 2
1 2 3
, .
n n n
n
n N u r r r

= + +

Nhng
{ }
n
n N
u

( , , )
D a b c


1 2 3
0
1
1 1 2 2 3 3
R
u R
u R
r r r R

+ +



+ +

1 3
2 3
R
r r R







+

+

2 3 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
r r r r
r r r r

+ = +
+ = +

+ = +
+ = +


2 3 2 3 2 3
2 3
2 3 2 3
( )
( ) ( )
R
r R
r r

=


=

2 3
0

=
mà
r R


3 2

=
.
Vậy
1 1 2 2 1 2
( , , ) {{ } ; , }.
n n n
n N
D a b c r r r R C

= + +

1 1 2 1 2
{{ 2Re( )} ; , }.
n n
n N
r r R C


= +

1
{{ ( cos sin )}
n n
Ar B n C n

= + +

( với
1 2
,
1
, , , , ( ), ( )
2
A B C R r Arg r A B iC


= = = =
)

23

2.4. Một số bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số đợc cho bởi:
1
1
3
0; , 2
2
n
n
u
u u n

+
= =
.
Giải
Đây là dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số là hằng
số. Nên
{
}
n
n N
u

có dạng
1
1
2

n
n
u A B




= +
.
Với
1; 2
n n
= =
ta có hệ
0
3
1 3
3
2 2
A B
A
B
A B

+ =
=

=
+ =

Vậy
1
1
3 3
2
n
n
u




= +
.
Bài tập 2: Với giá trị nào của
,
a b
thì dãy
{
}
n
n N
x

với
0
x a
=
;
1
1
n
n
x bx
+
= +
hội tụ
Giải
Đây là dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số là hằng
số.
Nếu b =1,
{
}
n
n N
x

là cấp số cộng với công sai d = 1, dãy phân kì ra
+
.
Nếu b

1, số hạng tổng quát của dãy có dạng

.
n
n
x A b B
= +
.
Với
1; 2
n n
= =
ta có hệ :
1
1
1
1
A a
A B a
b
Ab B ba
B
b

=
+ =


+ =
=


Vậy
1 1
1 1
n
n
x a b
b b



= +


Từ đó nếu
1
b
<
còn a tùy ý, hoặc
1
b

thì

1
lim
1
n
n
x
b

=

.
Các trờng hợp khác dãy phân kì.
Bài tập 3: Cho dãy xác định nh sau:
1 1 1
2
2; , 1
3
n n
x x x x
+ +



= =
.

24

Chứng minh rằng:
{

}
n
n N
x

có vô hạn các số chẵn vô hạn các số lẻ (kí hiệu
x


là
phần nguyên của x ).
Giải
+ Giả sử dãy
{
}
n
n N
x

chỉ có hữu hạn số chẵn, suy ra có ít nhất một n thuộc N
sao cho x
k
lẻ với
k n

.
Đặt
2 . 1
k
x

= +
(
1,


lẻ ),
,
N


, ta suy ra
1
1
2 .3 1
k
x



+
= +

2 2
2
2 .3 1, , 3 . 1
k k
x x

+ +
= + = +
, đây là số chẵn (vô lí)
Từ đó suy ra rằng dãy đã cho phải có vô hạn các số chẵn.
+ Giả sử dãy
{
}
n
n N
x

chỉ có hữu hạn các số hạng lẻ.
Suy ra
n N

sao cho x
k
chẵn với
k n

.
Đặt
1
2 .
k
x

+
=
(

lẻ
1


,
,
N


), ta suy ra:
1
1
32 .
k
x



+
=

2 2
2
3 2 . , , 3 .
k k

x x




+ +
= =
, đây là số lẻ ( vô lí )
Điều vô lí này chứng tỏ dãy đã cho phải có vô hạn các số lẻ.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy
{
}
n
n N
u

xác định bởi
1 2
,
u u N

,
( )
2 1
1
, 1
2
n
n n

u u u n
+ ++
= +
.
Giải
Phơng trình đặc trng :
1 2
2
1 1 1
0 1,
2 2 2
r r r r
= = =

Do đó:
1 2
1
2
n
n
u




= +
với
1, 2
n n
= =

ta có hệ:

0 1 2
1 1 2
1
2
u
u










= +
= +

( )
0 1
1
0 1
2
2
3
2
3

u u
u u









+
=


=


25

Vậy
(
)
0 1
0 1
2
2
1
3 3 2
n

n
u u
u u
u




+
= +

0 1 1 0
1
2
3
3.( 2)
n
u u u u

+
= +


Trong một số trờng hợp chúng ta dễ dàng suy ra đợc công thức cho số
hạng tổng quát vấn đề khi đó sẽ khá đơn giản
Cách 2:
( )
2 1 1
1
2

n
n n n
u u u u
+ + +
=
( ) ( )
2
2 1 1 1
1 1
2 2
n n
n n n n
u u u u u u
+ + +



= =

( )
2 1
1
, ( 1)
2
n
u u n



=

.
Vậy
2 1 2 1 3 2 2 1
( ) ( ) ( )
n n n
u u u u u u u u
+ + +
= + + + +


1 2
1 2 1
1 1 1
( ) 1
2 2 2
n
u u u







= + + + + +


1 2 2 1
2
3 3( 2)

n
u u u u
+
= +

.
Bài tập 5: Tìm các hàm số
:
f R R
+ +

thoả mãn điều kiện:
( ( )) 2 ( ) 2000.2001 ,
f f x f x x x R
+
+ =
.
Giải
Với mỗi
x R
+

, xét dãy
{ }
n
n N
u

xác định bởi:
0

u x
=
,
1
( )
u f x
=
,
1
( )
n
n
u f u
+
=
,
0
n

. Ta có
0,
n
u n N

.
Từ giả thiết ta lại có
( ( )) ( ) 2000.2001.
n n n
f f u f u u
+ =

hay
2 1
2000.2001.
n
n n
u u u
+ +
= +

Nh vậy
{ }
n
n N
u

là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai. Phơng trình đặc trng

2
2000.2001 0
k k
+ =
với nghiệm
1 2
2000, 2001
k k
= =
.
Từ đó
n
u

có dạng:
(2000) ( 2001) , 0.
n n
n
u A B n
= +

+ Trờng hợp 1:
0
B
<
. Khi đó