Chương III Tích phân bội

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
32
Ch-ơng III:
tích phân bội

tích phân trên hình hộp

Tiết: 31 - 33 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Bài toán tính thể tích hình trụ



Hình trụ

V
có phía trên là mặt

:,S z f x y
với

,f x y
liên tục và

,0f x y
, phía d-ới hình

D
là hình chiếu của

S
lên mặt phẳng toạ
độ
Oxy
. Hình

D
có diện tích là
S
, khi đó ng-ời ta tính thể tích hình trụ

V
theo ph-ơng pháp sau:
+/. Gọi phân hoạch
P
là một phép chia

D

thành
n
hình nhỏ

1 2 3
; ; ; ;
n
S S S S
sao cho
12

n
S S S S

+/. Đ-ờng kính của tập
n
AR
là số


:,d A A Sup x y x y A

Khi đó đ-ờng kính của phân hoạch
P
là

: 1,
i
P max S i n

+/. Dựng hình trụ

i
V
t-ơng ứng vói mỗi
i
và có đáy

i
S
Gọi
i
V
là
thể tích hình trụ

i
V
. Ta có
1
n
i
VV


+/. Lấy

,
i i i
x y S

khi đó thể tích hình trụ có đáy

i
S
, chiều cao

,
ii
f x y
là

,
i i i
f x y S
Ta có:

11
,
nn
i i i i
V V f x y S


Nếu
0P
thì sai số dần tới
0
Vậy

0

1
lim ,
n
i i i
P
V f x y S




V
không phụ thuộc vào phân hoạch
P
và cách chọn điểm

,
i i i
x y S


2
Định nghĩa

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
33


- Cho hàm

,z f x y
xác định trên miền

D
bị chặn.
- Phân hoạch
P
chia

D
thành
n
miền

1 2 3
; ; ; ;
n
S S S S
có
diện tích t-ơng ứng
1 2 3
; ; ; ;
n
S S S S
Thực hiện phép chọn
C
các điểm

,
i i i

x y S
Khi đó

1
, , ,
n
i i i
I f P C f x y S

là tổng tích phân của
hàm

,f x y
ứng với phân hoạch
P
và phép chọn
C
của
P

- Nếu tồn tại

0
lim , ,
P
I f P C I


không phụ thuộc vào phân hoạch
P

và
phép chọn
C
, tức là
0, 0


sao cho với mọi phân hoạch
P
và mọi
phép chọn
C
nếu

,,P I I f P C


thì
I
gọi là tích phân của
hàm

,f x y
trên miền

D
. Ký hiệu:

0
1
, lim ,
n
i i i
P
D
f x y dS f x y S





- Khi chia

D
thành các miền nhỏ bởi các đ-ờng thẳng song song
,Ox Oy

thì
i i i
S x y
Khi đó
S dxdy
và




,,

DD
f x y dS f x y dxdy


- Nếu


,
D
f x y dxdy

tồn tại thì hàm

,f x y
gọi là khả tích trên

D

* Định lý: Nếu hàm

,f x y
liên tục trên miền đóng, bị chặn

D
thì

,f x y
khả tích trên

D

3
Tính chất

a
Nếu

, 1; ,f x y x y D
và miền

D
có bằng diện tích
S
thì


,
DD
f x y dxdy dxdy S



b
Nếu

,f x y
khả tích trên miền

D

và
R


thì

,f x y

cũng khả tích
trên

D
và




,,
DD
f x y dxdy f x y dxdy





c
Nếu

,f x y
và

,g x y
khả tích trên miền

D
thì

,,f x y g x y
khả
tích trên

D
,






, , , ,
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy





d
Nếu

D
đ-ợc chia thành hai miền nhỏ

12
,DD
thì






12
, , ,
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy



e
Nếu

,f x y
và

,g x y
khả tích trên

D
và

,,f x y g x y
thì




,,
DD
f x y dxdy g x y dxdy


Đặc biệt:


, 0 , 0
D
f x y f x y dxdy



f
Nếu

,f x y
khả tích trên miền

D
và

,m f x y M
thì


,
D
mS f x y dxdy MS


Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
34

h
Nếu

,f x y
khả tích trên miền đóng, bị chặn, liên thông

D
thì

00
,x y D
sao cho



00
, , .

D
f x y dxdy f x y S



4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
35
bài tập

Tiết: 34 - 35 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Bài 1: Đánh giá các tích phân trong từng tr-ờng hợp

a

22
49
D
x y dxdy

trong đó

D
là hình tròn
22
4xy



H-ớng dẫn: Ta có

2 2 2 2 2
9 9 3 3 25x y x y y


b



2 2 2 2
22
D
x y x y dxdy

trong đó

02
:
02
x
D
y








Giải:
Ta có


2
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1x y x y x y
nên suy ra

2
2 2 2 2
1 2 2 8 1 1 2 5 2 2x y x y

Vậy

4 8 5 2 2I


2
Bài 2: CMR nếu

fx
là hàm số khả tích trên

,ab
thì

2
2
bb
aa
f x dx b a f x dx










Giả sử

,f x g x
là các hàm khả tích trên

,

Khi đó
R


ta có:



22
0 , 0
b
a
f x g x x f x g x dx







22
20
b b b
a a a
g x dx f x g x dx f x dx

Đặt

22
b b b
a a a
A g x dx B f x g x dx C f x dx


22
2 0 0A B C R B AC



Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
36
Tức là:

2
22
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx

(*)
Đặt:

1gx

2
2
2
bb
aa
f x dx b a f x dx









3
Bài 3: Xác định miền lấy tích phân
H-ớng dẫn
Sinh viên

a/.

1; 1; 0x y x y x

b/.
22
4; 0; 0x y y x


c/.
2 2 2 2
;1x y y x

d/.

22
1 2 1xy


4
Bài 4: CMR nếu

,f x g y
lần l-ợt là các hàm khả tích trên

,ab
và

,cd
thì

,,
bd
a b c d a c
f x g y dxdy f x dx g y dy






Giải:
Xét hàm

,F x y f x g y
Bằng phép phân hoạch
P
chia hình chữ nhật

,,a b c d
thành các hình chữ nhật nhỏ bởi các đ-ờng thẳng sau:
0 1 1 1 2 1
, , , ; , , ,
mn
x x x x y y y y



Xét tổng

,.
P i j i j i i j j
i j i j
F x y f x g y










Do

,0
ij
dP max x y

Ta đ-ợc


0
,,
lim
P
dP

a b c d
f x g y dxdy








0
0
lim lim .
i
j
bd
i i j j
max x
max y
ii
ac
f x g y f x dx g y dy

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
37
tích phân trên tập giới nội
Tiết: 36 - 38 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Định nghĩa


- Cho hàm ba biến

,,u f x y z

xác định trên miền bị chặn

V
trong
không gian
Oxyz
; Gọi
V
là thể tích của

V

Chia

V
thành
n
miền nhỏ là

12
, , ,
n
V V V
có thể tích lần l-ợt
nh- sau:
12
, , ,
n
V V V
sao cho

1
n
i
i
VV




Trên mỗi miền nhỏ

i
V
lấy điểm tuỳ ý

,,
i i i
x y z

Lập tổng

1
,,
n
i i i i
i
f x y z V

(*)
- Tổng (*) gọi là một tổng tích phân của hàm

,,f x y z
trên miền

V
, ký
hiệu

ii
d d V
là đ-ờng kính của miền

i
V
Đặt

1,
i
d max d i n

- Nếu tồn tại

1
lim , ,
n
i i i i
n
i

f x y z V




không phụ thuộc vào cách chia miền

V
và cách chọn điểm

,,
i i i i
x y z V
thì giới hạn đó gọi là tích phân
ba lớp của hàm

,,f x y z
trên miền

V

Ký hiệu:


,,
V
f x y z dV

Hoặc

,,
V
f x y z dxdydz


- Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói

,,f x y z
khả tích trên

V

- Định lý: Nếu hàm số

,,f x y z
liên tục trên miền đóng, bị chặn

V
thì

,,f x y z
khả tích trên

V


2
Tính chất
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008

Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
38

a

VV
dV dxdydz V



b





, , , ,
VV
f x y z dV f x y z dV R





c

, , , , , , , ,
V V V
f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV





d
Nếu

12
V V V
(

V
đ-ợc chia thành hai miền

1
V
&

2
V
) thì

12
, , , , , ,
V V V
f x y z dV f x y z dV f x y z dV



e
Nếu

, , , , , ,f x y z g x y z x y z V
Thì




, , , ,
VV
f x y z dV g x y z dV


* Đặc biệt:


, , 0 , , , , 0
V
f x y z x y z V f x y z dV

f
Nếu


, , , , , , ,
V
m f x y z M x y z V mV f x y z dV MV



g
Nếu

,,f x y z
liên tục trên một miền đóng, bị chặn và liên thông

V
thì



0 0 0 0 0 0
, , : , , , ,
V
x y z V f x y z dV f x y z V

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
39
Cách tính tích phân

Tiết: Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

I
Cách tính tích phân hai lớp

1
Định lý Fubini

- H-ớng dẫn
tính theo

12
DD








- H-ớng dẫn
Sinh viên vẽ
hình

- Cho hàm số

,f x y
liên tục trên

D
. Nếu miền

D
xác định với

12

;a x b x y x


trong đó

12
,xx

là các hàm số liên tục
trên

,ab
thì








22
11
, , ,
xx
bb
D a x a x
f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy

- Ví dụ 1: Tính

2
D
I x ydxdy

trong đó

D
là một tam giác có toạ độ các
đỉnh là

0,0 ; 1,0 ; 1,1O A B

Giải:
OB
có ph-ơng trình

:0 1;0y x D x y x



12

0&x x x



1
1 1 1
25
2 2 4
0 0 0 0
0
0
11
2 2 10 10
x
x
yx
I dx x ydy x dx x dx






- Ví dụ 2: Tính

D
I xydxdy

trong đó

D
đ-ợc xác định bởi
xy
; trục
hoành và
2xy

Giải:

01
:
2
y
D
y x x







( Hình vẽ )
2
1
0
7

24
y

y
I dy xydx




Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
40
- Ví dụ 2: Tính
2
24
2
00
4
x
y
xe
I dx dy
y





Giải:

2
4
y

D
xe
I dxdy
y



( Hình vẽ )
4
4
28
00

44
y
y
xe e
I dy dx
y






2
Đổi biến trong tích phân hai lớp

a
Công thức biến đổi tổng quát

- Định lý: Nếu hàm số

,f x y
liên tục trên miền

D
thì ta có







, , , , ,
D
f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv



;

,
xx
ux
J u v
yy
uv

- Ví dụ:
Tính

D
I xydxdy

trong đó

D
đ-ợc giới hạn bởi

22
: ; 3P y x y x
và
;2y x y x

Đặt


2
32
3
2 4 7
11

4
13
105
12
32
,
y
x
u
u u u dv
x
y I dudv u du
v v v v
y
v
u
J u v
x
v

b
Công thức biến đổi trong toạ độ cực


- Đặt

sin
; , 0
sin sin
x rcos cos r
J r r
y r rcos

, , sin
D
f x y dxdy f rcos r rdrd





- Ví dụ: Tính

22
4
D
dxdy
I
xy



với

D
là nửa trên hình

2

2
11xy


2
2
22
00
0
2
2
44
02
cos
rdrd rdr
Id
rr
r cos

II
Cách tính tích phân ba lớp

a
Định nghĩa


- Xét hai mặt cong có ph-ơng trình

12
, ; , ; ,z z x y z z x y x y D

với

D
là một miền trong mặt phẳng
Oxy
Nếu

12
;,z z x y D
thì

trong không gian có hình trụ nhận
12
,zz
làm mặt d-ới và mặt trên.
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
41
- Nếu

,,f x y z
xác định trên

V
có dạng trên, thì










2 2 2
1 1 1
,,
,,
, , , , , ,
z x y y x z x y

b
V D z x y a y x z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz dx dy f x y z dz

- Ví dụ: ( giáo trình )

b
Đổi biến trong tích phân ba lớp


- Giả sử

V
đóng, bị chặn trong không gian
Oxyz
và


là miền đóng, bị
chặn trong
Ouvw

Trong


các đạo hàm riêng

, , ; , , ; , ,x x u v w y y u v w z z u v w
là
liên tục sao cho

, , , ,u v w x y z
là một song ánh

V

Suy ra

, , , , 0
x x x
u v w
y y y
J u v w J u v w
u v w
z z z
u v w

, , , , , , , , , , , ,
V
f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdw



- Toạ độ trụ
Đặt

; sin ; , ,x rcos y r z z J r z r







, , , sin ,
V
f x y z dxdydzx f rcos r z rdrd dz





- Toạ độ cầu
Đặt

2
sin ; sin sin ; , , sinx r cos y r z rcos J r r

2
, , sin , sin sin , sin
V
f x y z dxdydzx f r cos r rcos r drd d





0;0 ;0 2r



- Ví dụ: ( giáo trình )

III
Bài tập

1
Dùng phép biến đổi trong toạ độ cực. Tính
a/.

22

1
D
x y dxdy

trong đó

22
:D x y x

b/.


1 2 3
D
x y dxdy

trong đó

22
:1D x y



a/. Đặt
2 2 2
sin
x cos
x y cos cos
y

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
42

2
2 2 2
0
2
14
11
33
cos
D
I x y dxdy d d

b/.

12
00
1 2 3 sinI dr rcos r rd






2
Tính


22
x y dxdydz



trong đó

2 2 2 2
: ; 0r x y R x

Đặt
sin
sin sin 0 2 ;0 ;0
2
x cos
yR
z cos

















2
2
2 2 2 2 5 5
00
4

sin
15
R
r
I d d cos d R r








4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
43
ứng dụng của tích phân bội
Tiết: Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
ứng dụng của tích phân hai lớp

a
Tính thể tích


- Nếu

V
là miền hình trụ, đáy

D Oxy
, mặt trên

S
có ph-ơng trình

,,z f x y x y D
thì


,
D
V f x y dxdy


- Ví dụ: Tính thể tích

V
giới hạn bởi các mặt
2 2 2 2
2; 4x y z x y

và
0z


V
là hình trụ có đáy

D
là hình tròn
22
2xy
mặt trên
22
4z x y



22
4
D
V x y dxdy


Đặt

22
4
22
00
2
4 2 2 6
4
2 sin
x cos
r
V d r rdr r
y

b
Tính diện tích hình phẳng


- Hình

D
có diện tích

D
S dxdy


- Ví dụ: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đ-ờng

2
2
11xy

;

2
2
24xy
và
;0y x y


D

xác định nh- sau( trong hệ toạ độ cực )
24cos r cos


;
0
4






4
4
02
32

4
cos
D cos
S dxdy d rdr

c
Tính diện tích mặt cong
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
44


- Định lý:
Nếu mặt

S
có ph-ơng trình

,,z f x y x y D
và các đạo
hàm riêng

''
, ; ,
xy
f x y f x y
tồn tại, liên tục trong

D
thì diện tích của
mặt

S

là


22
''
1 , ,
xy
D
S f x y f x y dxdy





- Ví dụ: Tính diện tích phần mặt của paraboloit

22
,z x y x y D

giới hạn bởi mặt trụ
22
1xy


22
,z x y x y D
với

D
là hình tròn tâm

O
bán kính 1 suy
ra
''
;
xy
zz


21
2 2 2
00
1 4 4 1 4
D
S x y dxdy S d r rdr







1
3
2
2
0
1
2 1 4 5 5 1
12 6

r





d
ứng dụng trong cơ học


- Có

D
là một bản phẳng không đồng chất, khối l-ợng riêng tại

,x y D
là

,xy

thì


,
D
m x y dxdy



,

m
là khối l-ợng của

D
;




,,
;
DD
II
x x y dxdy y x y dxdy
xy
mm



, trong đó
I
là trọng tâm

D

- Ví dụ: ( giáo trình )

e
Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

+/.
;3y x y x
và
1x

1 3 1
00
21
x
x
S dx dy xdx


+/. Phần mặt cầu
2 2 2
4x y z
cắt bởi mặt trụ
22
1xy


22
22
2 2 2 2 2 ' '
1
4 4 2 1
xy
xy
z x y z x y S z z dxdy

2
ứng dụng của tích phân ba lớp

a
Tính thể tích


+/.

V
V dxdydz


+/. Ví dụ: ( giáo trình )

b
Tính khối l-ợng và toạ độ trọng tâm của một vật thể


+/.


,,
V
m x y z dxdydz

, trong đó

,,x y z

là khối l-ợng riêng của
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
45
vật thể tại điểm

,,x y z

+/.






1
,,
1
,,
1
,,
I
V

I
V
I
V
x x x y z dxdydz
m
y y x y z dxdydz
m
z z x y z dxdydz
m

, trong đó
I
là trọng tâm của vật thể.
+/. Ví dụ: ( giáo trình )

c
Bài tập áp dụng


Tìm
V
của vật thể giới hạn bởi

2 2 2 2 2 2
2 ; 3 0x y az x y z a z

2 2 2
2x y a


4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm