NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Bài 1. NGUYÊN HÀM
I. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
 
 
1
ax b
1
ax b dx . C
a 1



  
 


dx 1
ln ax b C
ax b a
  



ax b ax b
1
e dx e C
a

 
 


   
1
sin ax b dx cos ax b C
a
    


 
 
2
dx 1 1
. C
a ax b
ax b
  




2
dx 1
C
x x
  


   
1
cos ax b dx sin ax b C
a
   


dx 2
ax b C
a
ax b
  



dx
2 x C
x
 


 
 
2
dx 1
tan ax b C
cos ax b a
  



 
 
2
dx 1
cot ax b C
sin ax b a
   



Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
 
5
2 1
x dx



b)
 
3
1
dx
2x 1

c)
3 3
x dx



d)
25 3
dx
x



Bài giải:
a)
 
 
6
5
2x 1
2x 1 dx C
12

  


b)
 
 
3
3
1
dx 2x 1 dx
2x 1


 

 

 
 
2
2
2x 1
1
C C
4
4 2x 1


     


c)
 
1
2
3x 3dx 3x 3 dx
  
 

 
1
2

2 3x 3
2
C C
3
3 3x 3


     


d)
dx 2
25 3x C
3
25 3x
   



Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
1
3 2
dx
x



b)
x

2
e dx


c)


2 os3 3sin 2
c x x dx


d)
2
dx
cos 3x


Bài giải:
a)
ln 3x 2
1
dx C
3x 2 3

 



b)
x x

2 2
e dx 2e C
 
  


c)
 
2sin3x 3cos2x
2cos3x 3sin 2x dx C
3 2
   


d)
2
dx tan3x
C
cos 3x 3
 


Hai ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp sử dụng các phép biến đổi đại số, các phép biến đổi lượng
giác để đưa nguyên hàm cần tìm về những nguyên hàm đơn giản hơn.
2
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2

3
x 2x
dx
x



b) 1
x xdx


c)
1
1 1
dx
x x  

d)
2

 

x x
e e dx

Bài giải:
a)
2
3 2
x 2x 1 2 2

dx dx ln x C
x x x x

 
    
 
 
 

b)
   
1
2
x 1 xdx 1 1 x 1 x dx
 
    
 
 

   
1 3
2 2
2
1 x dx 1 x dx 2 1 x C
1 x
        

 

c)

1 x 1 x 1
dx dx
2
x 1 x 1
  

  
 

   
1 1
2 2
1 1 1
x 1 x 1 dx C
2
x 1 x 1
 
       
 
 
 


d)
x
x x
x
e 1
e e 2dx dx
e



  
 
x x
2 2
e e dx

 
 
 
 


Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau:
a) os3 cos5
c x xdx


b)
2
sin
xdx

c)
4
os
c xdx

d)

1 sin 2 os2
sinx cos
x c x
dx
x
 



Bài giải:
a)
 
1
cos3x cos5xdx cos8x cos2x dx
2
 
 


sin8x sin 2x
C
16 4
  


b)
2
1 cos2x x sin 2x
sin xdx dx C
2 2 4


   
 

c)
2
4
1 cos2x
cos xdx dx
2

 

 
 
 

2
1 2cos2x cos 2x 3x sin 2x sin 4x
dx C
4 8 4 32
 
    


d)
2
1 sin 2x cos2x 2sinxcosx 2sin x
dx dx
sinx cosx sinx cosx

  

 
 

2sin xdx 2cosx C
   


Các ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm.
Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
1 x
e xdx



b)
cos
sin
x
e xdx

c)
2
1
x x
x
e e

dx
e



d)
x
x x
e
dx
e e




Bài giải:
a)
 
2
2 2
1 x
1 x 1 x 2
1 e
e xdx e d 1 x C
2 2

 
     
 

d)


2x
x 2x
x x 2x
ln e 1
e e
dx dx C
e e e 1 2


  
 
 

b)


cosx cosx cosx
e sin xdx e d cos x e C
    
 

c)


x
x 2x
x

x x
2 1 e
e e
dx e dx
1 e 1 e
 


 
 



x x
2ln 1 e e C
   



3
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 6. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
5
sin cos
x xdx


b)

sinx
1 3cos
dx
x


c)


sin ln x
dx
x

d)
1
1 ln
dx
x x



Bài giải:
a)
 
6
5 5
sin x
sin xcosxdx sin xd sinx C
6
  

 

d)


d 1 ln x
1
dx 2 1 ln x C
x 1 ln x 1 ln x

   
 
 

b)




d 1 3cosx ln 1 3cosx
1
C
3 1 3cosx 3
  
   



c)



   
sin ln x
dx sin ln x dln x cos ln x C
x
   
 

Ví dụ 7. Tìm các nguyên hàm sau:
a)


3
sinx cos
sinx cos
x
dx
x



b)
3
2
1
x
dx
x



c)
2
sin 2
cos 1
x
dx
x



d)
2 2
sin
os 1 os
x
dx
c x c x



Bài giải:
a)




3 3
sinx cos x d sinx cosx
dx
sinx cosx sinx cosx

 

 
 

   
1
3
sinx cosx d sinx cosx

  


 
2
3
3 sinx cos x
C
2

 

b)




2 2
2 2
d x 1 ln x 1

x 1
dx C
x 1 2 x 1 2
 
  
 
 

c)


 
2
2
2
d cos x 1
ln cos x 1 C
cos x 1

     



d)


2 2
2
tan xd tan x
sin x

dx
1
cos x 1 cos x
1
cos x



 

 


2
2
2 2
d 2 tan x
tan xd tan x
2 tan x C
2 tan x 2 2 tan x

    
 
 

II. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Dạng 1.
  
mx n
I dx

ax b cx d


 

.
Viết
  
mx n A B
ax b cx d ax b cx d

 
   
và tìm các hệ số A, B.
Dạng 2.
 
2
mx n
I dx
ax b




.
Viết
   
2 2
mx n A B
ax b

ax b ax b

 

 
và tìm các hệ số A, B.

Dạng 3.


   
ax cx

 

m n
f x
I dx
b d
. Sử dụng phương pháp hệ số bất định tương tự hai dạng trên.
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những ví dụ cụ thể.
4
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
1
3 2
 


dx
x x

b)
2
2 3
2 5 3

 

x
dx
x x
c)
2
2
5 12
5 6
x x
dx
x x
 
 



Bài giải:
a)
2

1
3 2
 

dx
x x
  




  
x 1 x 2
dx
dx
x 1 x 2 x 1 x 2
  
 
   
 
x 2
ln C
x 1

 


b) Ta có:
  
2x 3 A B

x 1 2x 3 x 1 2x 3

 
   
 
2A B 2 A 5
2x 3 2A B x 3A B
3A B 3 B 12
   
 
       
 
   
 

Do đó,
I 5ln x 1 6ln 2x 1 C
     

Có thể giải theo cách khác như sau:


2
2 2 2
ln 2x 5x 3
2x 3 1 4x 5 11 dx 11 x 1
I dx dx ln C
2x 5x 3 2 2x 5x 3 2 2x 5x 3 2 2 2x 3
 
  

     
      
  

c) Ta có:
2
2 2
x 5x 12 10x 6
dx 1 dx x 26ln x 2 36ln x 3 C
x 5x 6 x 5x 6
  
 
       
 
   
 
 

Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
1
4 4 1
 

dx
x x

b)
2

3 4
2 1

 

x
dx
x x
c)
 
2
2
x 5x 12
dx
1 x
 




Bài giải:
a)
 
 
2
2
1 dx 1
dx C
4x 4x 1 2 2x 1
2x 1

   
  

 

b) Ta có:
   
 
2 2
A 3
3x 4 A B
3x 4 A x 1 B
B 7
x 1
x 1 x 1



       



 


. Do đó,
7
I 3ln x 1 C
x 1
   



Có thể giải theo cách khác như sau:
 
2
2 2
3x 4 3 2x 2 dx 7
I dx dx 7 3ln x 1 C
x 2x 1 2 x 2x 1 x 1
x 1
 
      
    

  

c) Ta có:
   
2
2 2
x 5x 12 7x 11 18
dx 1 dx x 7ln 1 x C
x 1
1 x 1 x
 
  
 
      
 


 
 
 

5
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
3 2
6x 7x 5
dx
x 3x 2x
 
 

b)
  
2
1
3 1 

dx
x x

c)
3
7 4
3 2


 

x
dx
x x
d)
3 2
4 3
4 1
  


x x x
dx
x x


Bài giải:
a)
2
3 2
6x 7x 5 A B C
A 1,B 2,C 3
x 3x 2x x x 1 x 2
 
      
   
. Do đó,
I ln x 2ln x 1 3ln x 2 C

     

b)
    
2 2
1 A B C 3 3 1
A ,B ,C
x 3 x 1 4 4 2
x 3 x 1 x 1
       
 
  
.
c)
 
2
3
7x 4 A B C
A 2,B 1,C 2
x 3x 2 x 1 x 2
x 1

       
   


d)
3 2
4 3 2 3
x x 4x 1 A B C D

A 2,B 3,C 1,D 1
x x x x x x 1
  
           
 

Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
 
3
2
8
x
dx
x 4

b)
2
4
1
1



x
dx
x
c)
3
1

3


dx
x x

d)
2
4 3 2
1
5 4 5 1

   

x
dx
x x x x

Bài giải:
a)
 
3
2
8
x
dx
x 4

. Đặt
4

u x

đưa về
 
2
2
1 du
4
u 4



b)
   


 
2
3
2 2 2 2 2
d x
1 dx xdx 1
dx
x 3x 2
x x 3 x x 3 x x 3
  

  
   
. Đặt

2
u x

đưa về
 
1 du 1 u
ln C
2 u u 3 6 u 3
 
 


c)

2
2
2
4
2
2
1
1
d x
1
x 1
x
x
dx dx
1
x 1

1
x
x 2
x
x
 


 

 
 

 

 
 
 
  
. Đặt
1
u x
x
 
đưa về
2
du 1 u 2
ln C
u 2
2 2 u 2


 




d)
2
2
2
4 3 2
2
2
1
1
d x
1
x 1
x
x
dx dx
5 1
x 5x 4x 5x 1
1 1
x 5x 4
x 5 x 6
x x
x x
 



 

 
 
   
   
   
   
   
   
  


6
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Bài 2. TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1. Đổi biến u =

f(x)

. Khi đó, u

= 
(

)
⇒ n.u


du = f′
(
x
)
dx
Phương pháp này thường dùng với tích phân của hàm số chứa căn thức.
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
a)


7/3
3
0
x 1 dx
3x 1



b)
2
2
2/ 3
dx
x x 1


c)

2

1
x
dx
1 x 1
 

d)
4
0
4x 1
dx
2x 1 2

 


Bài giải
a) Đặt
3 2
3
u 3x 1 u 3x 1 u du dx
      

Đổi cận:
x 0 u 1
  
và
7
x u 2
3

  

Khi đó,


 
3 2
2 2
4
1 1
u 3 u du
1 1
I u 3u
3 u 3

  
 

2
5 2
1
1 u 3u 107
3 5 2 30
 
  
 
 

c) Đặt
2

u x 1 u x 1 2udu dx
      

Đổi cận:
x 1 u 0
  
và
x 2 u 1
  

Khi đó,


2
1 1
2
0 0
u 1 udu
2
I 2 2 u u 2 du
u 1 u 1

 
    
 
 
 
 

1

3 2
0
u u 11
2 2u 2ln u 1 4ln 2
3 2 3
 
      
 
 

b) Đặt
2 2 2
u x 1 u x 1 udu xdx
      

Đổi cận:
2 1
x u
3 3
  
và
x 2 u 3
  
Khi đó,
3
3
1
3
1
3

du
I ln u 1 ln 3
u 1
   



d) Đặt
2
u 2x 1 u 2x 1 udu dx
      

Đổi cận:
x 0 u 1
  
và
x 4 u 3
  

Khi đó,


2
3 3
2
1 1
2u 3 udu
10
I 2u 4u 5 du
u 2 u 2


 
    
 
 
 
 

3
3
2
1
2u 34 3
2u 5u 10ln x 2 10ln
3 3 5
 
     
 
 

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
a)
/2
2 2
0
sin xcos xdx
2cos x 5sin x




b)
/2
2
/3
cosxdx
sinx 1 cos x




c)
/2
6 3 5
0
1 cos x sin xcos xdx




d)


/2
0
sin 2x sin x dx
3cosx 1





a) Đặt
2 2 2 2 2
u 2cos x 5sin x u 2cos x 5sin x
    



2udu 4cosxsin x 10sinxcosx dx
   

udu 3sin x cosxdx
 

Đổi cận:
x 0 u 2
   và
x u 5
2

  
5
2
1 5 2
I du
3 3

 


b) Đặt
2 2 2
u 1 cos x u 1 cos x
    


udu cosxsin xdx
  

Đổi cận:
5
x u
3 2

   và
x u 1
2

  

Khi đó,
1
1
2
5
5
2
2

du 1 u 2
I ln
u 2
2 2 u 2

 





1
ln 10 5 2 2 4
2
   

7
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
c) Đặt
6
3 6 3
u 1 cos x u 1 cos x
    

5 2
2u du cos xsinxdx
 

Đổi cận:

x 0 u 0
  
và
x u 1
2

  

Khi đó,
   
1 1
2 6 2 8
0 0
I 2 u 1 u du 2 u u du
   
 

1
3 9
0
u u 4
2
3 9 9
 
  
 
 

d) Đặt
2

u 3cosx 1 u 3cosx 1
    


2udu 3sinxdx
  

Đổi cận:
x 0 u 2
  
và
x u 1
2

  

Khi đó,


 
2
2 2
2
1 1
2u 1 udu
2 2
I 2u 1 du
9 u 9

  

 

2
3
1
2 2u 34
u
9 3 27
 
  
 
 

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
a)
3
e
2
1
ln xdx
x 1 ln x


b)
e
1
3 2ln x
dx
x 2ln x 1




c)
e
1
1 3ln x.ln x
dx
x


d)
e
3 2
1
ln x 2 ln x
dx
x



Bài giải
a) Đặt
2
u 1 ln x u 1 ln x
    
dx
2udu
x
 

Đổi cận:
x 1 u 1
  
và
3
x e u 2
  
   
2 2
2
2 4 2
1 1
I 2 u 1 du 2 u 2u 1 du
    
 
2
5 3
1
u 2u 76
2 u
5 3 15
 
   
 
 

b) Đặt
2
u 2ln x 1 u 2lnx 1
    

dx
udu
x
 

Đổi cận:
x 1 u 1
  
và
x e u 2
  


 
2
2
3
2
1
1
u
I 4 u du 4u 3 2 4
3
 
     
 
 


c) Đặt

2
3dx
u 1 3ln x u 1 3ln x 2udu
x
      

Đổi cận:
x 1 u 1
  
và
x e u 2
  
   
2 2
2 2 4 2
1 1
2
I u 1 u du 2 u u du
9
   
 
2
5 3
1
2 u u 96
9 5 3 135
 
  
 
 

d) Đặt
3
2 3 2
u 2 ln x u 2 ln x
    

2
dx
3u du 2ln x
x
 
Đổi cận:
3
x 1 u 2
   và
3
x e u 3
  
 
3
3
3
3
3
3
4
3
33
2

2
3 3u 3
I u du 3 3 2 2
2 8 8
   


Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
a)
 
ln 2
x
3
x
0
e dx
e 1


b)
ln8
x 2x
ln3
e 1.e dx



a) Đặt
   
3 3

x 2 x
u e 1 u e 1
    


2
x x
2udu 3 e 1 e dx
   .
Đổi cận:
x 0 u 2 2
   và
x ln2 u 3 3
  

ĐS
5
I
72
 

b) ĐS
1076
I
15

8
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Dạng 2. Đổi biến:  = . Đây là phương pháp sử dụng cho các tích phân có dạng phân thức và tử số chứa

đạo hàm của mẫu số.

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a)
 
4
0
xsin x x 1 cosx
dx
xsin x cosx

 


b)
ln2
0
5
x
dx
e


c)
3
2
2
0
sin cos
1 cos

x x
dx
x


d)
4
0
cos 2
sin cos 2
x
dx
x x 



Bài giải
a) Ta có:
4
1
0
xcosx
I 1 dx I
xsin x cosx 4


 
   
 


 


Với
4
1
0
xcosx
I dx
xsin x cosx





Đặt
u xsinx cosx du x cos xdx
   

Đổi cận:
x 0 u 1
  
và
2
x u 1
4 2 4
 
 
   
 

 
2
1
2 4
2
1
2 4
1
1
1
du 2
I ln u ln 1
u 2 4

 

 
 

 

 
 
 

 
   
 
 
 

 


Vậy
2
I ln 1
4 2 4
 
 
 
  
 
 
 
 

b) Đặt
x x
u e 5 du e dx
   
Đổi cận:
x 0 u 6
  
và
x ln 2 u 7
  

Biến đổi:
 
ln2

x
x x
0
e dx
I
e e 5



Do đó,
 
7
7
6
6
du 1 u 5 1 12
I ln ln
u u 5 5 u 5 7

  




c) Đặt
2
u 1 cos x du 2cos xsin xdx
    

Đổi cận:

x 0 u 2
  
và
x u 1
2

  

Biến đổi:
2
2
2
0
sin xcosx.cos x
I dx
1 cos x




 
2 2
2
1
1 1
u 1 1
I du 1 du u ln u 1 ln 2
u u

 

      
 
 
 

d) Đặt


u sinx cos x 2 du cos x sinx dx
     

Đổi cận:
x 0 u 3
  
và
x u 2 2
4

   

Biến đổi:
  
4
0
cosx sinx cosx sinx
I dx
sinx cosx 2

 


 

2 2 2 2
3 3
u 2 2
I du 1 du
u u
 

 
  
 
 
 
 
2 2
3
3
u 2ln u 2 1 2ln
2 2

    



Dạng 3. Đổi biến: u =f
(
x
)
. Khi đó,  = ′

(

)

Ở đây 
(

)
có thể là hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số siêu việt (mũ – logarit) .
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau:
a)
 
4
0
xsin x x 1 cosx
dx
xsin x cosx

 


b)
ln2
0
5
x
dx
e



c)
3
2
2
0
sin cos
1 cos
x x
dx
x


d)
4
0
cos 2
sin cos 2
x
dx
x x 



Bài giải
9
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Dạng 4. + Đổi biến
x a.sin t


, t
2 2
 
  
. Khi đó, dx =acostdt
+ Đổi biến
x a.cos t

, 0 t
  
⇒ dx =−asintdt
+ Đổi biến
x a.tant

, t
2 2
 
  
2
a
dx dt
cos t
 
Chú ý:
2 2
1 sin t cos t
 
,
2 2
1 cos t sin t

 
,
2
2
1
1 tan t
cos t
 
Phương pháp này thường dùng với tích phân của hàm số chứa các căn thức dạng:
2 2
a x

,
2 2
a x

.
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
1
2
2
0
x
dx
4 x

b)
1
2 2

0
x 4 3x dx


c)
4
23
3
2
3
3x 4
dx
x




a) Đặt
x 2sin t

, t
2 2
 
  
. Suy ra,
dx 2cost.dt

. Đổi cận:
x 0 t 0
  

và x 1 t
6

  
.
Khi đó,
   
26 6 6
2
6
0
2
0 0 0
8sin tcos tdt 2 3 3
I 4sin tdt 2 1 cos2t dt 2t sin 2t
6
4 4sin t
  

 
      

  

b) Đặt
3x 2sin t
 , t
2 2
 
  

. Suy ra,
3dx 2cos t.dt
 . Đổi cận:
x 0 t 0
  
và x 1 t
3

  
.
Khi đó,
 
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
0
8 4 2 2 sin4t 2 3
I sin t 4 4sin t cos tdt sin 2tdt 1 cos4t dt t
4 3 8
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
  

 

 
        
 
 
 

 
 
  

c) Ta có:
4
3
2
2
2
3
4
3
x
I dx
x




Đặt
2
3sin t
x
 , t
2 2
 
  
. Suy ra
2

2
dx 3cos t.dt
x
  . Đổi cận:
2
x t
2
3

  
và
4
x t
3 3

  
.
Khi đó,
 
2 2 2
2
2 2
3
3 3 3
3 3 3 3 sin 2t 2 3 3
I 3 3sin t costdt cos tdt 1 cos2t dt t
2 2 4 4 2 16
  



  
 
 
       
 
 
  

10
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
3
2 2
1
dx
x 1 x


b)




1
1
22
)1( x
dx

c)

1
2
0
dx
x x 1
 



Bài giải
a) Đặt
x tan t

, t
2 2
 
  
. Suy ra,
2
dt
dx
cos t
 . Đổi cận: x 1 t
4

  
và x 3 t
3


  
.
Khi đó,
3 3 3
3
2 2
2 2
4
4 4 4
dt cos tdt dsin t 1 2
I 2
sin t sin t sin t
3
sin t 1 tan t
  


  
      

  

b) Đặt
x tan t

, t
2 2
 
  

. Suy ra,
2
dt
dx
cos t
 . Đổi cận: x 1 t
4

    
và x 1 t
4

  
.
Khi đó,
 
4 4 4
4
2
2
2 2
4
4 4 4
dt 1 cos2t t sin 2t 2
I cos tdt dt
2 2 4 4
cos t 1 tan t
  



  

 
  
 
     
 
 

  

c) Ta có:
1
2
2
0
dx
I
1 3
x
2 2

 
 
 
 
 
 
 


Đặt
1 3
x tan t
2 2
  , t
2 2
 
  
. Suy ra,
2
3 dt
dx
2 cos t
 . Đổi cận: x 0 t
6

  
và x 1 t
3

  
.
Khi đó,
3 3
3
2 2
6
6 6
dt 4 4 2

I dt t
3 3
3 3 9
cos t tan t
4 4
 


 

   
 

 
 
 

Dạng 5. Đổi biến:  =  − . Khi đó,  = −.
+ Đổi biến  =  −  hoặc  =


− .
Phương pháp nay thường sử dụng cho các tích phân của hàm số lượng giác
+ Đổi biến  = −. Khi đó,  = −.
Phương pháp này sử dụng cho các tích phân có cận đối xứng
 
a
a
I f x dx





Chú ý. sin
(
 − 
)
= sin,cos
(
 − 
)
= − và sin


−  = cos,cos


−  = .
11
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
2
0
xsin x
dx
1 cos x




b)
4 3
0
cos sin
x x xdx


c)
2
0
1 sin
ln
1 cos
x
dx
x


 
 

 

d)
 
4
0
ln 1
tgx dx





Bài giải
a) Đặt
x t dx dt
    
. Đổi cận: x 0 t
   
và
x t 0
   
.
Khi đó,




 


2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
t sin t dt t sin tdt
sin tdt tsin tdt sin tdt sin tdt
I I I
1+cos t 1+cos t 1+cos t 1+cos t 1+cos t 2 1+cos t
     
    


       
 
     

Ta tính:


1
1
2 2 2
0 0 1
d cos t
sin tdt du
I
1+cos t 1+cos t 1 u 2
  

    

  
. Do đó,
2
I
4

 

b) Đặt
x t dx dt

    
. Đổi cận: x 0 t
   
và
x t 0
   
.
Khi đó,
 
4 3 4 3 4 3
0 0 0
I t cos t sin tdt cos tsin tdt I I cos tsin tdt
2
  

      
  

Ta tính:
 
 
 
7 5
4 3 4 2 4 2
1
0 0 0
0
cos t cos t 4
I cos tsin tdt cos tsin td cos t cos t 1 cos t d cost
7 5 45


  
 
        
 
 
  
.
Do đó,
2
I
45


c) Đặt
x t dx dt
2

    
. Đổi cận: x 0 t
2

  
và
x t 0
2

  
.
Khi đó,

2 2
0 0
1 cost 1 sin t
I ln dt ln dt I I 0
1 sin t 1 cost
 
 
   
      
   
 
   
 

d) Đặt
x t dx dt
4

    
. Đổi cận: x 0 t
4

  
và
x t 0
4

  
.
Khi đó,

4 4 4 4
0 0 0 0
1 tan t 2 ln2
I ln 1 tan t dt ln 1 dt ln dt ln 2 dt I I
4 1 tan t 1 tan t 8
   
    
     
         
     
 
 
     
 
   

Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1
sin


x
e xdx
b)
2
2
cos

2012 1



x
x
dx


c)



1
2011 2
1
ln 1

 

x x dx
d)
2
2
2
cos
4 sin
x x
dx
x








12
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Bài giải
a) Đặt
x t dx dt
    
. Đổi cận:
x 1 t 1
   
và
x 1 t 1
   
. Khi đó,
 
2
1
t
1
I e sin t dt I I 0

     


b) Đặt
x t dx dt
    
. Đổi cận: x t
2 2
 
   
và x t
2 2
 
   
. Khi đó,
t
2 2 2
2
t t
2
2 2 2
cost 2012 cost
I dt dt 2I costdt sin t 2 I 1
2012 1 2012 1
  




  
  
       

 
  

c) Đặt
x t dx dt
    
. Đổi cận:
x 1 t 1
   
và
x 1 t 1
   
. Khi đó,
 
1 1
2011 2 2011
2
1 1
1
I ln t t 1 dt ln dt I I 0
t t 1
 
 
        
 
 
 
 

d) Ta có:

2 2
2 2
2 2
x cosx
I dx dx
4 sin x 4 sin x
 
 
 
 
 
 

* Tính
 
2
2
1
2
2
2
d sinx
1 2 sinx ln3
I ln
4 sin x 4 2 sinx 2








  
 


* Tính
2
2
2
2
x
I dx
4 sin x






. Đặt
x t dx dt
    
. Đổi cận: x t
2 2
 
   
và x t
2 2
 

   
. Khi đó,
2
2 2 2
2
2
t
I dt I I 0
4 sin t




    


. Do đó,
1 2
ln3
I I I
2
  
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT.
Để tính tích phân I ta có thể sử dụng tích phân liên kết J. Ta tính  +  và  −  rồi từ đó suy ra tích phân I.
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
I sin xdx




b)
4
2
4 4
0
cos xdx
sin x cos x



c)
26
0
sin xdx
sinx 3cosx




Bài giải
13
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
a) Xét
2
2
0

J cos xdx



. Ta có:
2
0
I J dx
2


  

và
2
2
0
0
sin 2x
I J cos2xdx 0
2


     

. Từ đó, I
4


.

b) Xét
4
2
4 4
0
sin x
J dx
sin x cos x




.
Ta có:
2
0
I J dx
2


  

và
 
2
2 2
4 4 2
0 0
0
d sin 2x

cos2x 1 2 sin 2x
I J dx ln 0
sin x cos x 2 sin 2x
2 2 2 sin 2x
 

    
 

 
. Từ đó, I
4


.
c) Xét
26
0
cos x
J dx
sin x 3cosx




.
Ta có:
6
6 6 6 6
2 2

0 0 0 0
0
dcos x dcos x 1 cos x
dx 1 dx 1 1 1 ln3
3 3 3
I J ln
2 2 2 4 4
sinx 3cosx
sin x sin x 1 cos x 1 cos x
3 3 3 3

   
  
     
   
     
     
         
   
       

     
       
       
   
và
   
6
6
0

0
I 3J sinx 3cos x dx cos x 3sinx 1 3


       

. Từ đó,
1 4 3ln3
I
4 16

  .
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
e
1
3
2x lnxdx
x
 

 
 

b)
2
3
1
lnx

dx
x

c)

e
3 2
1
x ln xdx

d)
 
e
2
1
xln x dx


Bài giải
a) Ta có:
e e e e
1
1 1 1 1
ln x 3
I 2xln xdx 3 dx 2x ln xdx 3 ln xdln x I
x 2
     
   
. Tính:
e

1
1
I 2x ln xdx


.
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv 2xdx
v x






 





. Ta có:
e
e
2 2

e
2 2
1
1
1
1
x e 1
I x ln x xdx e
2 2

    

. Vậy
2
e 4
I
2


b) Đặt
3
2
dx
u ln x
du
x
dx
1
dv
v

x
2x





 

 

 
 



. Ta có:
2 2
2
2 3 2
1 1
1
lnx 1 dx ln2 1 3 3ln2
I
2x 2 x 8 6x 24

      

.
14

GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
c) Đặt
2
4
3
2ln xdx
du
u ln x
x
x
dv x dx
v
4





 

 







. Ta có:

e
e
4 2 4
3
1
1
1
x ln x 1 e 1
I x ln xdx I
4 2 4 2
   

. Tính
e
3
1
1
I x ln xdx


.
Đặt
3 4
dx
du
u ln x
x
dv x dx x
v
4








 






. Ta có:
e e
e
4 4 4 4
3
1
1
1 1
x ln x 1 e x 3e 1
I x dx
4 4 4 16 16

    

. Vậy
2

5e 1
I
32


d) Làm tương tự câu c)
3
3e 2
I
27
 

Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
 
1
2x
0
x 2 e dx


b)
 
0
2x
3
1
x e x 1 dx

 


c)
2
1
3 x
0
x e dx


d)
x
2
2
0
x.e dx



Bài giải
a) Đặt
2x
2x
du dx
u x 2
e
dv e dx
v
2



 



 





. Ta có:
 
1 1
1
2x 2x 2 2x 2
0
0 0
e e e e 5 6e
I x 2 dx 1
2 2 2 4 4

      

.
b) Ta có:
 
0 0
1
2x
3

1 2
1 1
I xe dx x x 1 dx I I
 
    
 
.
Tính
1
I
tương tự câu a)
2
1
2
3 e
I
4e

 và
   
0
1
3
2
1
9
I x 1 1 x 1 dx
28

     

 
 
ta được
2
2
12 7e
I
28e


c) Ta có:
2
2 2 2 2
1
1
1 1 1
x
2 x 2 x x x 2
0
0 0 0
0
1 1 e 1 e e 1
I x de x e xe dx e dx
2 2 2 2 2 2 2
       
  
.
d) Ta có:
2 2
2 2

x x x x
2 2 2 2
0 0
0 0
4 8
I 2 xde 2xe 2 e dx 4e 4
e e
   
         
 
.
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
a)
/2
x 2
0
e cos xdx


b)
2
0
x.sin xdx


c)
4
2
0
xtan xdx





Bài giải
15
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
a) Ta có:
x x
2 2 2
2
2
x x
1 1
0 0 0
0
1 cos2x e 1 e 1 e 1 1
I e dx dx e cos2xdx I I
2 2 2 2 2 2 2
  


 
      
  
. Tính:
2
x
1

0
I e cos2xdx



.
Đặt
x x
u cos2x du 2sin 2xdx
dv e dx v e
  
 

 
 
 
. Ta có:
2
x x
2
2
1 2
0
0
I e cos2x 2 e sin 2xdx e 1 2I



     


.
Tính
2
x
2
0
I e sin 2xdx



. Đặt
x x
u sin 2x du 2cos2xdx
dv e dx v e
 
 

 
 
 
. Ta có:
2
x x
2
2 1
0
0
I e sin 2x 2 e cos2xdx 2I



   

.
Do đó,
2
1
e 1
I
5

 
 . Suy ra
2 2 2
e 1 e 1 4e 7
I
2 10 10
  
  
  
b) Đặt
2
u x u x 2udu dx
    
. Đổi cận:
x 0 u 0
  
và
2
x u
    

.
Ta có:
2 2 2 2
0
0 0 0 0
I 2 u sin udu 2 u dcosu 2u cosu 4 u cosudu 2 4 udsin u
   

        
   


2 2 2
0 0
0
2 4usin u 4 sin udu 2 4cos u 2 8

 
         


c) Ta có:
 
24 4 4 4
4
2
4
0
0 0 0 0
0

x
I x 1 tan x 1 dx xd t anx xdx x tan x tan xdx
2
   


 
       
 
   


2 2
4
0
ln cosx ln 2
4 32 4 32

   
     






16
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
BÀI TẬP TÍCH PHÂN

1
2
1
dx
1 x 1 x

  


2
2 3
2
1
x ln(x 4) 4x
dx
x 4

 



e
2
1
1
x ln x dx
(x 2)
 

 


 


4
3
2
1
(5 ) . 5
ln x x x
dx
x
  


1
2
0
dx
x 1 x
 


3
2
1
ln(x 1)
dx
x




 
2
2
1
ln
dx
1

x
x

4
3
cot
dx
sinx.sin
4
 

 
 

x
x




 
1
2
1
0
2
dx
2 9 3 2

 

x
x x

2
0
1 sinx.dx




2
2
0
sin xdx
1 cos x




1
2
2
0
( 1) 1 2
x x dx
 


1
ln 2
dx
ln



e
x
x x x

4
3
4
1
1
( 1)
dx
x x 


 
2
4 4
0
cos2 sin cos

x x x dx


1
2
0
3


dx
x

 
2
2
0
cos sin

x x xdx


1
0
2

1

xdx
x

2
0
sin2 cos
1 cos
x x
dx
x




1
3
0
xdx
x 1





 
1
2
0

ln x 1 dx
x 2




 
2
3
0
sinxdx
sinx 3cosx




2
3
4
x.cosx
dx
sin x




1
4
2
4 2

0
2
2 1
 

x
dx
x x

 
3ln2
2
3 x
0
dx
e 2



26
0
1 sin x
dx
cos x




1
2

2
2
0
dx
4
 

 

 

x
x
x e
x



3 3 3 2
2
1
8 6 4 ln
dx
  

x x x x x
x

2
3

2
3
( sin )sin
(1 sin )sin
 


x x x x
dx
x x


dx
x
xx



2
0
2
2sin1
)sin(


3 2
1
ln 2 ln
dx



e
x x
x



2
3
2
1
ln 3
dx


x
x

2
2
1
1
dx
1

 

x
x x

3
3 54
4

sin . os

dx
x c x



4
2
4
.sinx

os


x
dx
c x



1
4
0
1
dx

1
 


x x
x

 
1
6
5
5
0
1

dx
x
 
1
7
5
2
0
1

x dx
x

4
2

0
2
1 tan

 

 

 

x
x
e
e x dx
x


4
2
0
sinx
2cos 5sinx. os

dx
x c x


 
2
2

0
2sinx cos

dx
x













e
dxxx
xx
x
1
2
ln3
ln1
ln

3
4

2
0
tan 1
cos . 1 os



x
dx
x c x


8
5
9 ln
.ln


e
e
x
dx
x x

1
4
6
0
1
1




x
dx
x

3
0
2sin 2 3sin
6cos 2



x x
dx
x


3
2
2
0
os
1 sin

c x
dx
x





5
1
2
13
1
dx
xx
x

2
2
1
1
ln
4 ln
 

 

 

e
x dx
x x

17

GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
dx
x
x
e


1
2
)ln1ln(

7
2
1
3 2 2

  

x
dx
x x

 
4
3
0
sin 2 cos
sinx+cos



x x
dx
x


2
sin cos
sinx cos

x x
dx
x



2
sin cos
sinx cos

x x
dx
x



2
0
sin 2
3 4sinx os2 


x
dx
c x


2
cos
0
( sinx).sin 2 .
x
e xdx




4
2
0
sin 4
1 cos

x
dx
x


 
1
2

2
2
0
1
1



x
dx
x

 
2
0
2
4



x
x dx
x



4
1
ln 9


x
dx
x

1
2
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x

 


6
0
tan( )
4
os2x


x
dx
c





1
0
2
)1ln( dxxxx


4
2
3
121 xx
dx

4
0
tan .ln(cos )
cos
x x
dx
x



   
1
3
0
1 3 1

 

dx
x x

 
3
2011
3 2
1
3 2

 

x x dx



ln2
0
2 3
2 3


 

x
x x
e dx
e e

 
 
3
2
0
4 4 s cos sin 2
1 cos

  
 
 


x
xe x x dx
x
inx

2
3
2
0
3



x x dx
x

6
0
sin3
cos os2


x
dx
xc x

 
1
3
8
2
4
0
1

x
dx
x

2
6
0
3sin x s cosxdx
s cos x





inx
inx

2
4
sin cos
1 sin 2
x x
dx
x






 
2
3
2
0
sin 2
1 2sin
x
dx
x





4
4 4
0
(sin cos )
x x dx




1
2
0
ln(1 )
x x dx



 
2
2
0
sin 2
2 sin
x
dx
x





7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x




2
1
x x 1
dx
x 5




 
1 cosx
2
0
1 s
ln dx

1 cosx





inx

  
2
2
2 2
1
x 1
dx
x x 1 x 3x 1

   




5
1
x 2 x 1 x 2 x 1 dx
    


4
2

0
x
dx
1 x x


2
3
dx
s 2sinx




in2x

 
e
1
ln x
dx
x 2 ln x 2 ln x  


 
0
2
3
1
1

x
x e x dx

 


 
2
0
1 sin 2
x xdx



18
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
2
1
1
ln
e
x
xdx
x



2
1

3
0
x
x e dx


4
0
1 cos2
x
dx
x




 
3
2
2
ln
x x dx



 
1
0
2
x

x e dx



2
cos
0
sin 2
x
e xdx



2
1
ln
e
x xdx


2
ln 2
5
0
x
x e dx


2
3

0
sin5
x
e xdx



 
2
1
2 ln
x xdx



 
2
2
2
0
2
x
x e
dx
x 


 
4
0

1 cos
x xdx




 
1
2
0
ln 1
x x dx



 
1
2 2
0
4 2 1
x
x x e dx
 


4
2
0
cos
x

dx
x





2
2
1
ln 1
x
dx
x



 
1
2
0
1
x
x e dx



 
3
2

0
ln 5
x x dx



2
2
0
x
xe dx


 
2
2
0
2 1 cos
x xdx



1
2
2
0
1 1
ln
1 1
x

dx
x x

 


 
1
2
2
0
1
x
x e dx



2
4
0
cos
x xdx



1
ln
1
x
x dx

x




 
1
2
0
sin
x
e x dx



4
2
0
xtg xdx



 
2
1
ln
e
x x dx


2
1
ln
e
x
dx
x


3
2
0
sin
cos
x x
dx
x






2
3
2
0
ln 1
1
x x x

dx
x
 


1
cos(ln )
e
x dx



 
2
1
ln
1
e
e
x
dx
x 


2
0
2 cos4
x
xdx




 
2
0
cos ln 1 cos
x x dx




 
3
2
2
1
ln
1
x x
dx
x 

 
2
1
3
0
1 2
x x
x e dx





 
2
2
0
sin sin
x x dx




10
2
1
lg
x xdx


4
1
x
e dx


 
2
2

1
sin log
x dx


4
0
cos
xdx


2
0
1 sin
1 cos
x
x
e dx
x





3
ln
3
x
dx
 

 
 


 
2
3
2
1
x dx
x


3
3
cos 1
1
x
dx
x




1
0
1
1 2
x
dx










19
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH - CĐ
ĐH – 2011 A.
 
4
0
xsin x x 1 cosx
dx
xsin x cosx

 



B.
3
2
0
1 xsin x

dx
cos x




D.
4
0
4x 1
dx
2x 1 2

 



ĐH – 2010 A.
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
dx
1 2e
 



B.

 
e
2
1
ln x
dx
x 2 lnx


D.
e
1
3
2x lnxdx
x
 

 
 



ĐH – 2009 A.
 
2
3 2
0
c x 1 c xdx
os os





B.
 
3
2
1
3 lnx
dx
x 1




D.
3
x
1
dx
e 1




ĐH – 2008 A.
46
0
tan x
dx

cos2x



B.
 
4
0
sin x dx
4
sin2x 2 1 sin x cosx


 

 
 
  


D.
2
3
1
lnx
dx
x


ĐH – 2007 A.
1
x
0
xe dx
ex



B.
 
e
2
1
xln x dx


D.
e
3 2
1
x ln xdx



ĐH – 2006 A.
2
2 2
0
sin 2x

dx
c x 4sin x
os




B.
ln5
x x
ln3
dx
e 2e 3

 


D.
 
1
2x
0
x 2 e dx




ĐH – 2005 A.
2
0

sin2x sin x
dx
1 3cosx





B.
2
0
sin2xcosx
dx
1 cosx




D.
 
2
sinx
0
e cosx cosxdx





ĐH – 2004 A.

2
1
x
dx
1 x 1
 


B.
e
1
1 3lnx ln x
dx
x



D.
 
3
2
2
ln x x dx




ĐH – 2003 A.
2 3
2

5
dx
x x 4



B.
2
4
0
1 2sin x
dx
1 sin2x





D.
2
2
0
x xdx




ĐH – 2002 A.
 
5

2
0
x 3 x 4x 3 dx
   


B.
8
2 2
0
x x
4 dx
4
4 2
 
 
 
 
 



Thầy hi vọng qua chuyên đề các em sẽ có những định hướng tốt trong việc tìm lời giải khi đứng trước
một bài toán TÍCH PHÂN và từ đó giải quyết thành công lớp bài toán này. Chúc các em đậu Đại học năm nay!