NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN(Bản Full)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (360.38 KB, 22 trang )
1
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài 1. NGUYÊN HÀM
I. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1
ax b
1
ax b dx . C
a 1
dx 1
ln ax b C
ax b a
ax b ax b
1
e dx e C
a
1
sin ax b dx cos ax b C
a
2
dx 1 1
. C
a ax b
ax b
2
dx 1
C
x x
1
cos ax b dx sin ax b C
a
dx 2
ax b C
a
ax b
dx
2 x C
x
2
dx 1
tan ax b C
cos ax b a
2
dx 1
cot ax b C
sin ax b a
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
5
2x 1 dx
b)
3
1
dx
2x 1
c)
3x 3dx
d)
dx
25 3x
Bài giải:
a)
6
5
2x 1
2x 1 dx C
12
b)
3
3
1
dx 2x 1 dx
2x 1
2
2
2x 1
1
C C
4
4 2x 1
c)
1
2
3x 3dx 3x 3 dx
1
2
2 3x 3
2
C C
3
3 3x 3
d)
dx 2
25 3x C
3
25 3x
Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
1
dx
3x 2
b)
x
2
e dx
c)
2cos3x 3sin 2x dx
d)
2
dx
cos 3x
Bài giải:
a)
ln 3x 2
1
dx C
3x 2 3
b)
x x
2 2
e dx 2e C
c)
2sin3x 3cos2x
2cos3x 3sin 2x dx C
3 2
d)
2
dx tan 3x
C
cos 3x 3
Hai ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp sử dụng các phép biến đổi đại số, các phép biến đổi lượng
giác để đưa nguyên hàm cần tìm về những nguyên hàm đơn giản hơn.
2
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
3
x 2x
dx
x
b)
x 1 xdx
c)
1
dx
x 1 x 1
d)
x x
e e 2dx
Bài giải:
a)
2
3 2
x 2x 1 2 2
dx dx ln x C
x x x x
b)
1
2
x 1 xdx 1 1 x 1 x dx
1 3
2 2
2
1 x dx 1 x dx 2 1 x C
1 x
c)
1 x 1 x 1
dx dx
2
x 1 x 1
1 1
2 2
1 1 1
x 1 x 1 dx C
2
x 1 x 1
d)
x
x x
x
e 1
e e 2dx dx
e
x x
2 2
e e dx
Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
cos3x cos5xdx
b)
2
sin xdx
c)
4
cos xdx
d)
1 sin 2x cos2x
dx
sinx cosx
Bài giải:
a)
1
cos3x cos5xdx cos8x cos2x dx
2
sin8x sin 2x
C
16 4
b)
2
1 cos2x x sin 2x
sin xdx dx C
2 2 4
c)
2
4
1 cos2x
cos xdx dx
2
2
1 2cos2x cos 2x 3x sin 2x sin 4x
dx C
4 8 4 32
d)
2
1 sin 2x cos2x 2sin x cosx 2sin x
dx dx
sinx cosx sinx cosx
2sin xdx 2cosx C
Các ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm.
Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
1 x
e xdx
b)
cosx
e sin xdx
c)
x 2x
x
e e
dx
1 e
d)
x
x x
e
dx
e e
Bài giải:
a)
2
2 2
1 x
1 x 1 x 2
1 e
e xdx e d 1 x C
2 2
d)
2x
x 2x
x x 2x
ln e 1
e e
dx dx C
e e e 1 2
b)
cosx cosx cosx
e sin xdx e d cosx e C
c)
x
x 2x
x
x x
2 1 e
e e
dx e dx
1 e 1 e
x x
2ln 1 e e C
3
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 6. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
5
sin xcosxdx
b)
sinx
dx
1 3cos x
c)
sin ln x
dx
x
d)
1
dx
x 1 ln x
Bài giải:
a)
6
5 5
sin x
sin xcosxdx sin xd sinx C
6
d)
d 1 ln x
1
dx 2 1 ln x C
x 1 ln x 1 ln x
b)
d 1 3cos x ln 1 3cos x
1
C
3 1 3cosx 3
c)
sin ln x
dx sin ln x dln x cos ln x C
x
Ví dụ 7. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
3
sinx cosx
dx
sinx cosx
b)
3
2
x
dx
x 1
c)
2
sin 2x
dx
cos x 1
d)
2 2
sin x
dx
cos x 1 cos x
Bài giải:
a)
3 3
sinx cos x d sinx cos x
dx
sinx cosx sinx cos x
1
3
sinx cosx d sinx cosx
2
3
3 sinx cos x
C
2
b)
2 2
2 2
d x 1 ln x 1
x 1
dx C
x 1 2 x 1 2
c)
2
2
2
d cos x 1
ln cos x 1 C
cos x 1
d)
2 2
2
tan xd tan x
sin x
dx
1
cos x 1 cos x
1
cos x
2
2
2 2
d 2 tan x
tan xd tan x
2 tan x C
2 tan x 2 2 tan x
II. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Dạng 1.
mx n
I dx
ax b cx d
.
Viết
mx n A B
ax b cx d ax b cx d
và tìm các hệ số A, B.
Dạng 2.
2
mx n
I dx
ax b
.
Viết
2 2
mx n A B
ax b
ax b ax b
và tìm các hệ số A, B.
Dạng 3.
m n
f x
I dx
ax b cx d
. Sử dụng phương pháp hệ số bất định tương tự hai dạng trên.
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những ví dụ cụ thể.
4
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
1
dx
x 3x 2
b)
2
2x 3
dx
2x 5x 3
c)
2
2
x 5x 12
dx
x 5x 6
Bài giải:
a)
2
1
dx
x 3x 2
x 1 x 2
dx
dx
x 1 x 2 x 1 x 2
x 2
ln C
x 1
b) Ta có:
2x 3 A B
x 1 2x 3 x 1 2x 3
2A B 2 A 5
2x 3 2A B x 3A B
3A B 3 B 12
Do đó,
I 5ln x 1 6ln 2x 1 C
Có thể giải theo cách khác như sau:
2
2 2 2
ln 2x 5x 3
2x 3 1 4x 5 11 dx 11 x 1
I dx dx ln C
2x 5x 3 2 2x 5x 3 2 2x 5x 3 2 2 2x 3
c) Ta có:
2
2 2
x 5x 12 10x 6
dx 1 dx x 26ln x 2 36ln x 3 C
x 5x 6 x 5x 6
Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
1
dx
4x 4x 1
b)
2
3x 4
dx
x 2x 1
c)
2
2
x 5x 12
dx
1 x
Bài giải:
a)
2
2
1 dx 1
dx C
4x 4x 1 2 2x 1
2x 1
b) Ta có:
2 2
A 3
3x 4 A B
3x 4 A x 1 B
B 7
x 1
x 1 x 1
. Do đó,
7
I 3ln x 1 C
x 1
Có thể giải theo cách khác như sau:
2
2 2
3x 4 3 2x 2 dx 7
I dx dx 7 3ln x 1 C
x 2x 1 2 x 2x 1 x 1
x 1
c) Ta có:
2
2 2
x 5x 12 7x 11 18
dx 1 dx x 7ln 1 x C
x 1
1 x 1 x
5
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
2
3 2
6x 7x 5
dx
x 3x 2x
b)
2
1
dx
x 3 x 1
c)
3
7x 4
dx
x 3x 2
d)
3 2
4 3
x x 4x 1
dx
x x
Bài giải:
a)
2
3 2
6x 7x 5 A B C
A 1,B 2,C 3
x 3x 2x x x 1 x 2
. Do đó,
I ln x 2ln x 1 3ln x 2 C
b)
2 2
1 A B C 3 3 1
A ,B ,C
x 3 x 1 4 4 2
x 3 x 1 x 1
.
c)
2
3
7x 4 A B C
A 2,B 1,C 2
x 3x 2 x 1 x 2
x 1
d)
3 2
4 3 2 3
x x 4x 1 A B C D
A 2,B 3,C 1,D 1
x x x x x x 1
Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
3
2
8
x
dx
x 4
b)
2
4
x 1
dx
x 1
c)
3
1
dx
x 3x
d)
2
4 3 2
x 1
dx
x 5x 4x 5x 1
Bài giải:
a)
3
2
8
x
dx
x 4
. Đặt
4
u x
đưa về
2
2
1 du
4
u 4
b)
2
3
2 2 2 2 2
d x
1 dx xdx 1
dx
x 3x 2
x x 3 x x 3 x x 3
. Đặt
2
u x
đưa về
1 du 1 u
ln C
2 u u 3 6 u 3
c)
2
2
2
4
2
2
1
1
d x
1
x 1
x
x
dx dx
1
x 1
1
x
x 2
x
x
. Đặt
1
u x
x
đưa về
2
du 1 u 2
ln C
u 2
2 2 u 2
d)
2
2
2
4 3 2
2
2
1
1
d x
1
x 1
x
x
dx dx
5 1
x 5x 4x 5x 1
1 1
x 5x 4
x 5 x 6
x x
x x
6
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Bài 2. TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1. Đổi biến u =
f(x)
. Khi đó, u
= f
(
x
)
⇒ n.u
du = f′
(
x
)
dx
Phương pháp này thường dùng với tích phân của hàm số chứa căn thức.
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
a)
7/3
3
0
x 1 dx
3x 1
b)
2
2
2/ 3
dx
x x 1
c)
2
1
x
dx
1 x 1
d)
4
0
4x 1
dx
2x 1 2
Bài giải
a) Đặt
3 2
3
u 3x 1 u 3x 1 u du dx
Đổi cận:
x 0 u 1
và
7
x u 2
3
Khi đó,
3 2
2 2
4
1 1
u 3 u du
1 1
I u 3u
3 u 3
2
5 2
1
1 u 3u 107
3 5 2 30
c) Đặt
2
u x 1 u x 1 2udu dx
Đổi cận:
x 1 u 0
và
x 2 u 1
Khi đó,
2
1 1
2
0 0
u 1 udu
2
I 2 2 u u 2 du
u 1 u 1
1
3 2
0
u u 11
2 2u 2ln u 1 4ln 2
3 2 3
b) Đặt
2 2 2
u x 1 u x 1 udu xdx
Đổi cận:
2 1
x u
3 3
và
x 2 u 3
Khi đó,
3
3
1
3
1
3
du
I ln u 1 ln 3
u 1
d) Đặt
2
u 2x 1 u 2x 1 udu dx
Đổi cận:
x 0 u 1
và
x 4 u 3
Khi đó,
2
3 3
2
1 1
2u 3 udu
10
I 2u 4u 5 du
u 2 u 2
3
3
2
1
2u 34 3
2u 5u 10ln x 2 10ln
3 3 5
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
a)
/2
2 2
0
sin x cos xdx
2cos x 5sin x
b)
/2
2
/3
cosxdx
sinx 1 cos x
c)
/2
6 3 5
0
1 cos x sin x cos xdx
d)
/2
0
sin 2x sin x dx
3cos x 1
a) Đặt
2 2 2 2 2
u 2cos x 5sin x u 2cos x 5sin x
2udu 4cosxsin x 10sin x cosx dx
udu 3sin x cosxdx
Đổi cận:
x 0 u 2
và
x u 5
2
5
2
1 5 2
I du
3 3
b) Đặt
2 2 2
u 1 cos x u 1 cos x
udu cosxsin xdx
Đổi cận:
5
x u
3 2
và
x u 1
2
Khi đó,
1
1
2
5
5
2
2
du 1 u 2
I ln
u 2
2 2 u 2
1
ln 10 5 2 2 4
2
7
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
c) Đặt
6
3 6 3
u 1 cos x u 1 cos x
5 2
2u du cos xsinxdx
Đổi cận:
x 0 u 0
và
x u 1
2
Khi đó,
1 1
2 6 2 8
0 0
I 2 u 1 u du 2 u u du
1
3 9
0
u u 4
2
3 9 9
d) Đặt
2
u 3cosx 1 u 3cosx 1
2udu 3sinxdx
Đổi cận:
x 0 u 2
và
x u 1
2
Khi đó,
2
2 2
2
1 1
2u 1 udu
2 2
I 2u 1 du
9 u 9
2
3
1
2 2u 34
u
9 3 27
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
a)
3
e
2
1
ln xdx
x 1 ln x
b)
e
1
3 2ln x
dx
x 2ln x 1
c)
e
1
1 3ln x.ln x
dx
x
d)
e
3 2
1
ln x 2 ln x
dx
x
Bài giải
a) Đặt
2
u 1 ln x u 1 lnx
dx
2udu
x
Đổi cận:
x 1 u 1
và
3
x e u 2
2 2
2
2 4 2
1 1
I 2 u 1 du 2 u 2u 1 du
2
5 3
1
u 2u 76
2 u
5 3 15
b) Đặt
2
u 2ln x 1 u 2lnx 1
dx
udu
x
Đổi cận:
x 1 u 1
và
x e u 2
2
2
3
2
1
1
u
I 4 u du 4u 3 2 4
3
c) Đặt
2
3dx
u 1 3ln x u 1 3ln x 2udu
x
Đổi cận:
x 1 u 1
và
x e u 2
2 2
2 2 4 2
1 1
2
I u 1 u du 2 u u du
9
2
5 3
1
2 u u 96
9 5 3 135
d) Đặt
3
2 3 2
u 2 ln x u 2 ln x
2
dx
3u du 2ln x
x
Đổi cận:
3
x 1 u 2
và
3
x e u 3
3
3
3
3
3
3
4
3
33
2
2
3 3u 3
I u du 3 3 2 2
2 8 8
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln 2
x
3
x
0
e dx
e 1
b)
ln8
x 2x
ln3
e 1.e dx
a) Đặt
3 3
x 2 x
u e 1 u e 1
2
x x
2udu 3 e 1 e dx
.
Đổi cận:
x 0 u 2 2
và
x ln2 u 3 3
ĐS
5
I
72
b) ĐS
1076
I
15
8
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Dạng 2. Đổi biến: u =MS. Đây là phương pháp sử dụng cho các tích phân có dạng phân thức và tử số chứa đạo
hàm của mẫu số.
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a)
4
0
xsin x x 1 cosx
dx
xsin x cosx
b)
ln2
x
0
dx
e 5
c)
3
2
2
0
sin xcos x
dx
1 cos x
d)
4
0
cos2x
dx
sin x cosx 2
Bài giải
a) Ta có:
4
1
0
xcosx
I 1 dx I
xsin x cosx 4
Với
4
1
0
xcosx
I dx
xsin x cosx
Đặt
u xsinx cosx du xcosxdx
Đổi cận:
x 0 u 1
và
2
x u 1
4 2 4
2
1
2 4
2
1
2 4
1
1
1
du 2
I ln u ln 1
u 2 4
Vậy
2
I ln 1
4 2 4
b) Đặt
x x
u e 5 du e dx
Đổi cận:
x 0 u 6
và
x ln 2 u 7
Biến đổi:
ln2
x
x x
0
e dx
I
e e 5
Do đó,
7
7
6
6
du 1 u 5 1 12
I ln ln
u u 5 5 u 5 7
c) Đặt
2
u 1 cos x du 2cos xsin xdx
Đổi cận:
x 0 u 2
và
x u 1
2
Biến đổi:
2
2
2
0
sin xcosx.cos x
I dx
1 cos x
2 2
2
1
1 1
u 1 1
I du 1 du u ln u 1 ln 2
u u
d) Đặt
u sinx cos x 2 du cos x sinx dx
Đổi cận:
x 0 u 3
và
x u 2 2
4
Biến đổi:
4
0
cosx sinx cosx sinx
I dx
sinx cosx 2
2 2 2 2
3 3
u 2 2
I du 1 du
u u
2 2
3
3
u 2ln u 2 1 2ln
2 2
Dạng 3. Đổi biến: u =f
(
x
)
. Khi đó, du =f′
(
x
)
dx
Ở đây f
(
x
)
có thể là hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số siêu việt (mũ – logarit) .
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
2
1
x ln(x 4)
dx
x 4
b)
1
2
2
2
1
x 1
dx
x 1
c)
1
9
0
2xdx
1 x
d)
1
7
5
2
0
x dx
1 x
Bài giải
9
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
a) Đặt
2
u x 4 du 2xdx
. Đổi cận:
x 1 u 5
và
x 2 u 8
.
Khi đó,
8
8 8
2 2 2
5 5
5
1 lnu 1 ln u ln 8 ln 5
I du ln ud ln u
2 u 2 4 4
Có thể giải theo cách khác như sau:
Đặt
2
2
2x
u ln x 4 du dx
x 4
. Đổi cận:
x 1 u ln5
và
x 2 u ln8
.
Khi đó,
ln8
ln8
2 2 2
ln5
ln5
1 u ln 8 ln 5
I udu
2 4 4
b) Ta có:
1 1
2
2
2 2
2
1 1
1
1
x 1
x
I dx dx
1
x 1
x
x
Đặt
2
1 1
u x du 1 dx
x x
. Đổi cận:
x 1 u 2
và
x 1 u 2
. Khi đó,
2
2
2
2
2
du 1
I 1
u u
c) Đặt
u 1 x du dx
. Đổi cận:
x 0 u 1
và
x 1 u 2
.
Khi đó,
2 2
2
2
1 1
2 u 1 du
1
I 2 1 du 2 u ln u 8
u u
d) Ta có:
3
2
1 1
7
5 5
2 2
0 0
x. x
x dx
I dx
1 x 1 x
Đặt
2
u 1 x du 2xdx
. Đổi cận:
x 0 u 1
và
x 1 u 2
.
Khi đó,
3
2 2 2
3 2
3 4 5
5 5 2
1 1 1
u 1 du
1 1 u 3u 3u 1 1 1
I du 3u 3u u du
2 u 2 u 2 u
2
2 3 4
1
1 1 3 1 1 31
2 u 2u u 4u 128
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau:
a)
2
0
sin2xcosx
dx
1 cosx
b)
3
2
2
0
cos x
dx
1 sin x
c)
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
d)
26
0
1 sin x
dx
cos x
Bài giải
10
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
a) Ta có:
2
2 2
0 0
sin 2x cos x 2sin x cos x
I dx dx
1 cosx 1 cos x
Đặt
u 1 cos x du sinxdx
. Đổi cận:
x 0 u 2
và
x u 1
2
.
Khi đó,
2
2
2 2 2
2 2
1 1 1
1
2 u 1 du
u 2u 1 1 u
I 2 du 2 u 2 du 2 2u ln u 2ln 2 1
u u u 2
b) Ta có:
2
2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
c x 1 sin x
c x c xcos x
I dx dx dx
1 sin x 1 sin x 1 sin x
3
os
os os
Đặt
u sinx du cosxdx
. Đổi cận:
x 0 u 0
và
x u 1
2
.
Khi đó,
1 1 1
2
1
2 2 2
0
0 0 0
1 u 2 du
I du 1 du 2 u 1
1 u 1 u 1 u 2
c) Ta có:
2
4 4
2 2
0 0
2sin 2x 2c x 1
2sin 2xc 2x
I dx dx
1 cos x 1 cos x
os
os
Đặt
2
u 1 cos x du 2cosxsinxdx sin 2xdx
. Đổi cận:
x 0 u 2
và
3
x u
4 2
.
Khi đó,
2 2
2
3
23 3
2 2
2 2u 3 du
3 3
I 2 2 du 2 2u 3ln u 2 6ln
u u 4
d) Ta có:
2 2
6 6 6
6
1 1
0
0 0 0
1 s 2 c 2 1
I dx dx cos x dx 2I s 2I
cosx cos x cosx 2
in x os x
inx
Tính
6 6 6
1
2 2
0 0 0
dx cosxdx cos xdx
I
cosx cos x 1 sin x
Đặt
u sinx du cosxdx
. Đổi cận:
x 0 u 0
và
1
x u
6 2
.
Khi đó,
1
1
2
2
1
2
0
0
du 1 1 u 1
I ln ln3
1 u 2 1 u 2
. Do đó,
1
I ln3
2
11
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 8. Tính các tích phân sau:
a)
3
4
2
0
tan x
dx
cosx. 1 cos x
b)
4
2
0
sinx
dx
2cosx 5sinx.cos x
c)
x
ln2
x x
0
2e 3 dx
e 2e 3
d)
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
dx
1 2e
a) Ta có:
3 3 34 4 4
2 2 2
0 0 0
2
2
tan x tan x tan x
I dx dx dx
1
cosx. 1 c x cos x. tan x 2
cos x. 1
c x
os
os
Đặt
2
dx
u tanx du
cos x
. Đổi cận:
x 0 u 0
và
x u 1
4
. Khi đó,
1
3
2
0
u
I du
u 2
.
Đặt
2 2 2
t u 2 t u 2 tdt udu
. Đổi cận:
u 0 t 2
và
u 1 t 3
.
Khi đó,
3
2
3 3
3
2
2 2
2
t 2 tdt
t 4 2 3 3
I t 2 dt 2t
t 3 3
b) Ta có:
4 4 4
2 2 2
3
0 0 0
2
s s tan dx
I dx dx
2
2cos x 5s .c x cos x 2 tan x 5t
cos x 5t
c x
inx inx x
inx os anx+2
anx
os
Đặt
2
dx
u tanx du
cos x
. Đổi cận:
x 0 u 0
và
x u 1
4
. Khi đó,
1
1 1 1
2
0 0 0
0
udu u u 2 1 ln3 2ln 2
I du du ln u 2 ln 2u 1
2u 5u 2 u 2 2u 1 u 2 2u 1 3 6 2 3
c) Ta có:
x x x x x
ln2 ln 2 ln2
x x 2x x x x
0 0 0
2e 3 dx 2e 3 e dx 2e 3 e dx
I
e 2e 3 e 3e 2 e 1 e 2
Đặt
x x
u e 1 du e dx
. Đổi cận:
x 0 u 2
và
x ln 2 u 3
.
Khi đó,
3
3
2
2
2u 1 du
I ln u u 1 ln2
u u 1
d) Ta có:
1 1
2 x 2 x x
2
1
x x
0 0
x e 2x e e 1
I dx x dx I
1 2e 1 2e 3
. Với
1
x
1
x
0
e dx
I
1 2e
Đặt
x x
u 1 2e du 2e dx
. Đổi cận:
x 0 u 3
và
x 1 u 1 2e
. Khi đó,
1 2e
1 2e
3
3
1 1 du 1 1 1 1 1 2e
I ln u ln
3 2 u 3 2 3 2 3
12
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Dạng 4. + Đổi biến
x a.sin t
, t
2 2
. Khi đó, dx =acostdt
+ Đổi biến
x a.cos t
, 0 t
⇒ dx =−asintdt
+ Đổi biến
x a.tant
, t
2 2
2
a
dx dt
cos t
Chú ý:
2 2
1 sin t cos t
,
2 2
1 cos t sin t
,
2
2
1
1 tan t
cos t
Phương pháp này thường dùng với tích phân của hàm số chứa các căn thức dạng:
2 2
a x
,
2 2
a x
.
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau:
a)
1
2
2
0
x
dx
4 x
b)
1
2 2
0
x 4 3x dx
c)
4
23
3
2
3
3x 4
dx
x
a) Đặt
x 2sin t
, t
2 2
. Suy ra,
dx 2cost.dt
. Đổi cận:
x 0 t 0
và x 1 t
6
.
Khi đó,
26 6 6
2
6
0
2
0 0 0
8sin tcos tdt 2 3 3
I 4sin tdt 2 1 cos2t dt 2t sin 2t
6
4 4sin t
b) Đặt
3x 2sin t
, t
2 2
. Suy ra,
3dx 2cos t.dt
. Đổi cận:
x 0 t 0
và x 1 t
3
.
Khi đó,
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
0
8 4 2 2 sin4t 2 3
I sin t 4 4sin t costdt sin 2tdt 1 cos4t dt t
4 3 8
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
c) Ta có:
4
3
2
2
2
3
4
3
x
I dx
x
Đặt
2
3sin t
x
, t
2 2
. Suy ra
2
2
dx 3cos t.dt
x
. Đổi cận:
2
x t
2
3
và
4
x t
3 3
.
Khi đó,
2 2 2
2
2 2
3
3 3 3
3 3 3 3 sin 2t 2 3 3
I 3 3sin t costdt cos tdt 1 cos2t dt t
2 2 4 4 2 16
13
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 10. Tính các tích phân sau:
a)
3
2 2
1
dx
x 1 x
b)
1
2
2
1
dx
I
1 x
c)
1
2
0
dx
x x 1
Bài giải
a) Đặt
x tan t
, t
2 2
. Suy ra,
2
dt
dx
cos t
. Đổi cận: x 1 t
4
và x 3 t
3
.
Khi đó,
3 3 3
3
2 2
2 2
4
4 4 4
dt cos tdt dsin t 1 2
I 2
sin t sin t sin t
3
sin t 1 tan t
b) Đặt
x tan t
, t
2 2
. Suy ra,
2
dt
dx
cos t
. Đổi cận: x 1 t
4
và x 1 t
4
.
Khi đó,
4 4 4
4
2
2
2 2
4
4 4 4
dt 1 cos2t t sin 2t 2
I cos tdt dt
2 2 4 4
cos t 1 tan t
c) Ta có:
1
2
2
0
dx
I
1 3
x
2 2
Đặt
1 3
x tan t
2 2
, t
2 2
. Suy ra,
2
3 dt
dx
2 cos t
. Đổi cận: x 0 t
6
và x 1 t
3
.
Khi đó,
3 3
3
2 2
6
6 6
dt 4 4 2
I dt t
3 3
3 3 9
cos t tan t
4 4
Dạng 5. Đổi biến: x = a − t. Khi đó, dx =−dt.
+ Đổi biến x =π − t hoặc x =
− t.
Phương pháp nay thường sử dụng cho các tích phân của hàm số lượng giác
+ Đổi biến x =−t. Khi đó, dx =−dt.
Phương pháp này sử dụng cho các tích phân có cận đối xứng
a
a
I f x dx
Chú ý. sin
(
π −t
)
= sint,cos
(
π −t
)
= −cost và sin
− t = cost,cos
− t = sint.
14
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Ví dụ 11. Tính các tích phân sau:
a)
2
0
xsin x
dx
1 cos x
b)
4 3
0
x cos xsin xdx
c)
2
0
1 sin x
ln dx
1 cosx
d)
4
0
ln 1 tgx dx
Bài giải
a) Đặt
x t dx dt
. Đổi cận: x 0 t
và
x t 0
.
Khi đó,
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
t sin t dt t sin tdt
sin tdt tsin tdt sin tdt sin tdt
I I I
1+cos t 1+cos t 1+cos t 1+cos t 1+cos t 2 1+cos t
Ta tính:
1
1
2 2 2
0 0 1
d cos t
sin tdt du
I
1+cos t 1+cos t 1 u 2
. Do đó,
2
I
4
b) Đặt
x t dx dt
. Đổi cận: x 0 t
và
x t 0
.
Khi đó,
4 3 4 3 4 3
0 0 0
I t cos tsin tdt cos tsin tdt I I cos tsin tdt
2
Ta tính:
7 5
4 3 4 2 4 2
1
0 0 0
0
cos t cos t 4
I cos tsin tdt cos tsin td cos t cos t 1 cos t d cos t
7 5 45
.
Do đó,
2
I
45
c) Đặt
x t dx dt
2
. Đổi cận: x 0 t
2
và
x t 0
2
.
Khi đó,
2 2
0 0
1 cost 1 sin t
I ln dt ln dt I I 0
1 sin t 1 cost
d) Đặt
x t dx dt
4
. Đổi cận: x 0 t
4
và
x t 0
4
.
Khi đó,
4 4 4 4
0 0 0 0
1 tan t 2 ln2
I ln 1 tan t dt ln 1 dt ln dt ln 2 dt I I
4 1 tan t 1 tan t 8
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
x
1
e sin xdx
b)
2
x
2
cosx
dx
2012 1
c)
1
2011 2
1
ln x x 1 dx
d)
2
2
2
x cosx
dx
4 sin x
15
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
Bài giải
a) Đặt
x t dx dt
. Đổi cận:
x 1 t 1
và
x 1 t 1
. Khi đó,
2
1
t
1
I e sin t dt I I 0
b) Đặt
x t dx dt
. Đổi cận: x t
2 2
và x t
2 2
. Khi đó,
t
2 2 2
2
t t
2
2 2 2
cost 2012 cost
I dt dt 2I costdt sin t 2 I 1
2012 1 2012 1
c) Đặt
x t dx dt
. Đổi cận:
x 1 t 1
và
x 1 t 1
. Khi đó,
1 1
2011 2 2011
2
1 1
1
I ln t t 1 dt ln dt I I 0
t t 1
d) Ta có:
2 2
2 2
2 2
x cosx
I dx dx
4 sin x 4 sin x
* Tính
2
2
1
2
2
2
d sinx
1 2 sinx ln3
I ln
4 sin x 4 2 sinx 2
* Tính
2
2
2
2
x
I dx
4 sin x
. Đặt
x t dx dt
. Đổi cận: x t
2 2
và x t
2 2
. Khi đó,
2
2 2 2
2
2
t
I dt I I 0
4 sin t
. Do đó,
1 2
ln3
I I I
2
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT.
Để tính tích phân I ta có thể sử dụng tích phân liên kết J. Ta tính + và − rồi từ đó suy ra tích phân I.
Ví dụ 13. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
I sin xdx
b)
4
2
4 4
0
cos xdx
sin x cos x
c)
26
0
sin xdx
sinx 3cosx
Bài giải
16
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
a) Xét
2
2
0
J cos xdx
. Ta có:
2
0
I J dx
2
và
2
2
0
0
sin 2x
I J cos2xdx 0
2
. Từ đó, I
4
.
b) Xét
4
2
4 4
0
sin x
J dx
sin x cos x
.
Ta có:
2
0
I J dx
2
và
2
2 2
4 4 2
0 0
0
d sin 2x
cos2x 1 2 sin 2x
I J dx ln 0
sin x cos x 2 sin 2x
2 2 2 sin2x
. Từ đó, I
4
.
c) Xét
26
0
cos x
J dx
sin x 3cosx
.
Ta có:
6
6 6 6 6
2 2
0 0 0 0
0
dcos x dcos x 1 cos x
dx 1 dx 1 1 1 ln3
3 3 3
I J ln
2 2 2 4 4
sinx 3cosx
sin x sin x 1 cos x 1 cos x
3 3 3 3
và
6
6
0
0
I 3J sinx 3cos x dx cosx 3sinx 1 3
. Từ đó,
1 4 3ln3
I
4 16
.
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
Ví dụ 14. Tính các tích phân sau:
a)
e
1
3
2x ln xdx
x
b)
2
3
1
lnx
dx
x
c)
e
3 2
1
x ln xdx
d)
e
2
1
xln x dx
Bài giải
a) Ta có:
e e e e
1
1 1 1 1
ln x 3
I 2xln xdx 3 dx 2x ln xdx 3 ln xdln x I
x 2
. Tính:
e
1
1
I 2x ln xdx
.
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv 2xdx
v x
. Ta có:
e
e
2 2
e
2 2
1
1
1
1
x e 1
I x ln x xdx e
2 2
. Vậy
2
e 4
I
2
b) Đặt
3
2
dx
u ln x
du
x
dx
1
dv
v
x
2x
. Ta có:
2 2
2
2 3 2
1 1
1
lnx 1 dx ln2 1 3 3ln 2
I
2x 2 x 8 6x 24
.
17
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
c) Đặt
2
4
3
2ln xdx
du
u ln x
x
x
dv x dx
v
4
. Ta có:
e
e
4 2 4
3
1
1
1
x ln x 1 e 1
I x ln xdx I
4 2 4 2
. Tính
e
3
1
1
I x ln xdx
.
Đặt
3 4
dx
du
u ln x
x
dv x dx x
v
4
. Ta có:
e e
e
4 4 4 4
3
1
1
1 1
x ln x 1 e x 3e 1
I x dx
4 4 4 16 16
. Vậy
2
5e 1
I
32
d) Làm tương tự câu c)
3
3e 2
I
27
Ví dụ 15. Tính các tích phân sau:
a)
1
2x
0
x 2 e dx
b)
0
2x
3
1
x e x 1 dx
c)
2
1
3 x
0
x e dx
d)
x
2
2
0
x.e dx
Bài giải
a) Đặt
2x
2x
du dx
u x 2
e
dv e dx
v
2
. Ta có:
1 1
1
2x 2x 2 2x 2
0
0 0
e e e e 5 6e
I x 2 dx 1
2 2 2 4 4
.
b) Ta có:
0 0
1
2x
3
1 2
1 1
I xe dx x x 1 dx I I
.
Tính
1
I
tương tự câu a)
2
1
2
3 e
I
4e
và
0
1
3
2
1
9
I x 1 1 x 1 dx
28
ta được
2
2
12 7e
I
28e
c) Ta có:
2
2 2 2 2
1
1
1 1 1
x
2 x 2 x x x 2
0
0 0 0
0
1 1 e 1 e e 1
I x de x e xe dx e dx
2 2 2 2 2 2 2
.
d) Ta có:
2 2
2 2
x x x x
2 2 2 2
0 0
0 0
4 8
I 2 xde 2xe 2 e dx 4e 4
e e
.
Ví dụ 16. Tính các tích phân sau:
a)
/2
x 2
0
e cos xdx
b)
2
0
x.sin xdx
c)
4
2
0
xtan xdx
Bài giải
18
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
a) Ta có:
x x
2 2 2
2
2
x x
1 1
0 0 0
0
1 cos2x e 1 e 1 e 1 1
I e dx dx e cos2xdx I I
2 2 2 2 2 2 2
. Tính:
2
x
1
0
I e cos2xdx
.
Đặt
x x
u cos2x du 2sin 2xdx
dv e dx v e
. Ta có:
2
x x
2
2
1 2
0
0
I e cos2x 2 e sin 2xdx e 1 2I
.
Tính
2
x
2
0
I e sin 2xdx
. Đặt
x x
u sin 2x du 2cos2xdx
dv e dx v e
. Ta có:
2
x x
2
2 1
0
0
I e sin 2x 2 e cos2xdx 2I
.
Do đó,
2
1
e 1
I
5
. Suy ra
2 2 2
e 1 e 1 4e 7
I
2 10 10
b) Đặt
2
u x u x 2udu dx
. Đổi cận:
x 0 u 0
và
2
x u
.
Ta có:
2 2 2 2
0
0 0 0 0
I 2 u sin udu 2 u dcosu 2u cosu 4 u cosudu 2 4 udsin u
2 2 2
0 0
0
2 4u sin u 4 sin udu 2 4cos u 2 8
c) Ta có:
2
4 4 4 4
4
2
4
0
0 0 0 0
0
x
I x 1 tan x 1 dx xd t anx xdx x tan x tan xdx
2
2 2
4
0
ln cosx ln 2
4 32 4 32
19
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1
2
1
dx
1 x 1 x
2
2 3
2
1
x ln(x 4) 4x
dx
x 4
e
2
1
1
x ln x dx
(x 2)
4
3
2
1
ln(5 x) x . 5 x
dx
x
1
2
0
dx
x 1 x
3
2
1
ln(x 1)
dx
x
2
2
1
ln
dx
1
x
x
4
3
cot
dx
sinx.sin
4
x
x
x
1
2
x 1 x
0
2
dx
2 9 3 2
2
0
1 sinx.dx
2
2
0
sin xdx
1 cos x
1
2
2
0
(x 1) 1 2x dx
e
1
ln x 2
dx
xln x x
4
3
4
1
1
dx
x(x 1)
2
4 4
0
cos2x sin x cos x dx
1
2
0
dx
x 3
2
2
0
x cos x sinxdx
1
0
2xdx
1 x
2
0
sin2xcosx
dx
1 cosx
1
3
0
xdx
x 1
1
2
0
ln x 1 dx
x 2
2
3
0
sinxdx
sinx 3cosx
2
3
4
x.cosx
dx
sin x
1
4
2
4 2
0
2x
dx
x 2x 1
3ln2
2
3 x
0
dx
e 2
26
0
1 sin x
dx
cos x
1
2
2
2
0
dx
4
x
x
x e
x
3 3 3 2
2
1
8 6 4 ln
dx
x x x x x
x
2
3
2
3
x (x sin x)sin x
dx
(1 sin x)sin x
dx
x
xx
2
0
2
2sin1
)sin(
3 2
1
ln 2 ln
dx
e
x x
x
2
3
2
1
ln 3
dx
x
x
2
2
1
x 1
dx
x x 1
3
3 54
4
dx
sin x.cos x
4
2
4
x.sinx
dx
cos x
1
4
0
x x 1
dx
1 x
1
6
5
5
0
dx
1 x
1
7
5
2
0
x dx
1 x
x
4
x
2
0
e
e 2x dx
1 tan x
4
2
0
sinx
dx
2cosx 5sinx.cos x
2
2
0
dx
2sinx cos x
e
dxxx
xx
x
1
2
ln3
ln1
ln
3
4
2
0
tan x 1
dx
cosx. 1 cos x
8
5
e
e
9 ln x
dx
x.ln x
1
4
6
0
x 1
dx
x 1
3
0
2sin 2x 3sin x
dx
6cos x 2
3
2
2
0
cos x
dx
1 sin x
5
1
2
13
1
dx
xx
x
e
2
2
1
1
ln x dx
x 4 ln x
20
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
dx
x
x
e
1
2
)ln1ln(
7
2
x 1
dx
3 x 2 x 2
4
3
0
sin x 2 cosx
dx
sinx+cos x
2
sin xcosx
dx
sinx cos x
2
sin xcosx
dx
sinx cos x
2
0
sin 2x
dx
3 4sinx cos2x
2
cos x
0
(e sinx).sin 2x.dx
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
1
2
2
2
0
x 1
dx
x 1
2
0
x
x 2 dx
4 x
4
1
ln 9 x
dx
x
2
1
x
x
1
2
1
(x 1 )e dx
x
6
0
tan(x )
4
dx
cos2x
1
0
2
)1ln( dxxxx
4
2
3
121 xx
dx
4
0
tan .ln(cos )
cos
x x
dx
x
1
3
0
dx
x 1 3x 1
3
2011
3 2
1
x 3x 2 dx
x
ln2
x x
0
2e 3 dx
e 2e 3
x
3
2
0
xe 4 4 s cos x sin 2x dx
1 cosx
inx
2
3
2
0
x x dx
x 3
6
0
sin3
cos os2
x
dx
xc x
1
3
8
2
4
0
x
dx
x 1
2
6
0
3sin x s cosxdx
s cos x
inx
inx
2
4
sin x cos x
dx
1 sin2x
2
3
2
0
sin 2x
dx
1 2sin x
4
4 4
0
(sin x cos x)dx
1
2
0
xln(1 x )dx
2
2
0
sin 2x
dx
2 sin x
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
2
1
x x 1
dx
x 5
1 cosx
2
0
1 s
ln dx
1 cosx
inx
2
2
2 2
1
x 1
dx
x x 1 x 3x 1
5
1
x 2 x 1 x 2 x 1 dx
4
2
0
x
dx
1 x x
2
3
dx
s 2sinx
in2x
e
1
ln x
dx
x 2 ln x 2 ln x
0
2x
3
1
x e x 1 dx
2
0
x 1 sin 2xdx
21
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
e
2
1
x 1
ln xdx
x
2
1
3 x
0
x e dx
4
0
x
dx
1 cos2x
3
2
2
ln x x dx
1
x
0
x 2 e dx
2
cosx
0
e sin 2xdx
e
2
1
x ln xdx
2
ln2
5 x
0
x e dx
2
3x
0
e sin5xdx
2
1
x 2 ln xdx
2
2 x
2
0
x e
dx
x 2
4
0
x 1 cos xdx
1
2
0
x ln 1 x dx
1
2 2x
0
4x 2x 1 e dx
4
2
0
x
dx
cos x
2
2
1
ln 1 x
dx
x
1
2 x
0
x 1 e dx
3
2
0
x ln x 5 dx
2
2x
0
xe dx
2
2
0
2x 1 cos xdx
1
2
2
0
1 1 x
ln dx
1 x 1 x
1
2
2x
0
x 1 e dx
2
4
0
x cos xdx
1 x
xln dx
1 x
1
x 2
0
e sin x dx
4
2
0
xtg xdx
e
2
1
xln x dx
e
2
1
ln x
dx
x
3
2
0
x sin x
dx
cos x
2
3
2
0
xln x x 1
dx
x 1
e
1
cos(ln x)dx
e
2
1
e
lnx
dx
x 1
2
x
0
2 cos4xdx
2
0
cosxln 1 cos x dx
3
2
2
1
xln x
dx
x 1
2
1
3
x x
0
1 2x e dx
2
2
0
sin x sin x dx
10
2
1
xlg xdx
4
x
1
e dx
2
2
1
sin log x dx
4
0
cos xdx
2
x
0
1 sin x
e dx
1 cos x
3
3
cos x 1
dx
x 1
1
x
0
1
dx
1 2
22
GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15
Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai!
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH - CĐ
ĐH – 2011 A.
4
0
xsin x x 1 cosx
dx
xsin x cosx
B.
3
2
0
1 xsin x
dx
cos x
D.
4
0
4x 1
dx
2x 1 2
ĐH – 2010 A.
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
dx
1 2e
B.
e
2
1
ln x
dx
x 2 lnx
D.
e
1
3
2x ln xdx
x
ĐH – 2009 A.
2
3 2
0
c x 1 c xdx
os os
B.
3
2
1
3 lnx
dx
x 1
D.
3
x
1
dx
e 1
ĐH – 2008 A.
46
0
tan x
dx
cos2x
B.
4
0
sin x dx
4
sin2x 2 1 sin x cosx
D.
2
3
1
lnx
dx
x
ĐH – 2007 A.
1
x
0
xe dx
ex
B.
e
2
1
xln x dx
D.
e
3 2
1
x ln xdx
ĐH – 2006 A.
2
2 2
0
sin 2x
dx
c x 4sin x
os
B.
ln5
x x
ln3
dx
e 2e 3
D.
1
2x
0
x 2 e dx
ĐH – 2005 A.
2
0
sin2x sin x
dx
1 3cosx
B.
2
0
sin2xcosx
dx
1 cosx
D.
2
sinx
0
e cosx cosxdx
ĐH – 2004 A.
2
1
x
dx
1 x 1
B.
e
1
1 3lnx lnx
dx
x
D.
3
2
2
ln x x dx
ĐH – 2003 A.
2 3
2
5
dx
x x 4
B.
2
4
0
1 2sin x
dx
1 sin2x
D.
2
2
0
x xdx
ĐH – 2002 A.
5
2
0
x 3 x 4x 3 dx
B.
8
2 2
0
x x
4 dx
4
4 2
Thầy hi vọng qua chuyên đề các em sẽ có những định hướng tốt trong việc tìm lời giải khi đứng trước
một bài toán TÍCH PHÂN và từ đó giải quyết thành công lớp bài toán này. Chúc các em đậu Đại học năm nay!
