giới hạn dãy số hay đầy đủ

Giới hạn dãy số
Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012
1


1) Tính các giới hạn
a)
2
2
3 2 5
lim
2 5 3
n n
n n
 
 
b)
3
4 2
2
lim
3 1
n
n n
 
c)
2 2
3n 1 - n - 1
lim
n


b) lim
2
4 3
n 3n 5
3n - n 1
 

lim
5 2
5
2n 3n - 7
n - 6n

lim
7 2
7 5
n 3n -2
4n - n 1



c) lim
1n2n
3n2
3 3



(2 1)( 3)

lim
( 1)( 2)
n n n
n n
 
 
lim
13n
1n3nnn
2
3
23



2) Tính các giới hạn
a)
2 4
lim(1 3 1)
n n n
   
lim(
2 2
n 5 - n 1
 
)


3
3 2

lim n - 2n - n

b) Lim(
nn2n
3 23

)


lim n 1 - n




lim n 1 n 2 - n
 

c)
2
2
n 1 n
lim
n n - n
 


3
2 6
4 2
1

lim
1
n n
n n
 
 



3
3 2
limn n n - n


3) Tính các giới hạn
a)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n



b)
1
2 2
lim
2 5.3

n n
n n



c)
2
2
1
lim ( 1, 1)
1
n
n
a a a
a b
b b b
   
 
   

b) lim
n n
n 1 n 1
3.2 3
2 3
 


lim
n n

n 1 n 1
(- 2) 3
(-2) 3
 



4) Tính các giới hạn

lim
2
3 2
n 3cos3n - 1
2n - 6n 1



2
2n.sinn
lim
n 1


3
3
sin 4
lim
n n
n




   


2 2
lim sin 1 1
n n n cos n    

a)
1 1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)
n n
 
  
 

 

b) lim
1 1 1
. . .
1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2)
 
  
 
 
 

c)
2 2 2
1 1 1
lim(1 )(1 ) (1 )
2 3
n
  

d)
2 2 2 2
1 3 5 2 1
lim
n
n n n n

 
   
 
 

e) lim
2 3 n
1 3 5 2n - 1
. . . .
2 2 2 2
   
f)
2 2 2 2
3
1 2 3 . . . n

lim
5n n 1
   
 

g)
2
n 1 2 3 . . . 2n
lim
3n n - 2
   


h)
1 - 2 3 - 4 . . . (2n - 1) - 2n
lim .
2n 1
  


i)
2 2 2
1 1 1
lim
1 2
n n n n
 
  
 
  

 

j)
1 1 1
lim
2 1 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1
n n n n
 
  
 
    
 

k)
1.3.5.7 (2 1)
lim
2.4.6 (2 )
n
n


l)
2 2 2
4
2.1 3.2 ( 1).
lim
n n
n
   

m)
2 3
1 2 3
lim
n
n
n
n
   

Giới hạn dãy số
Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 2

5) Cho dãy số xác định bởi:
1
1
1
3
2
n
n
u
u
u





 



. (n > 1 ) Tìm lim u
n
.

6) Cho dãy số xác định bởi:
1
1
3
4
3
n
n
u
u
u





 


. (n > 1 ) Tìm lim u
n
.

7) Cho dãy xác định bởi: .

2
u
u u

4
1
u
n
2
n1n
1











CMR: với mọi n thì :
;
4
3

u
u

và
4
1
u 0
n
1n
n


Tìm lim u
n
ĐS: lim u
n
= 0
8) Cho dãy xác định bởi:
.

1 n
u
u

2
1
u
n
1n
1













CMR: với mọi n thì
;
2
1

u
u
vàu 0
n
1n
n


Tìm lim u
n
ĐS: lim u
n
= 0.
9) Cho dãy xác định bởi: .
u u
10 u

n1n
1









CMR: với mọi n thì 1; - u
2
1 - u
và1 u
1n
n
n 
 Tìm limu
n
.
10) Cho dãy số:
    
1
1 2 2008
n
u
n n n n

  

Tính
1
lim
n
i
i
u


ĐS: 1/2008.2008!
11) CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:





















n
1k
2
n
n1n
1
n
n
1n
1
2 2 . . . 2 2 2 d) ;
k
1
u c) ;
u 2 u
2 u
b) ;
u 2
u
u
1 u
a)

12) Cho dãy số:


n
u
với n = 1, 2, 3….xác định như sau:

1
2
1
1
2008
n
n n
u
u
u u





 


Tìm giới hạn:
1 2
2 3 1
lim
n
n
n
u u u
u u u


 

 
 
 

NX: Bài toán trên có thể thay 2008 bằng số bất kỳ
13) Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
1 1 2
1
1
n n
u
u u u u




 

( n >1)
Đặt
1
1
n
n
k
k
S

u



. Tìm
lim
n
S


Giới hạn dãy số
Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 3













14) Tính các giới hạn của dãy (u
n
)
a)
2 2 2

n
u   

b)
1
1
0 1, (1 )
4
n n n
u u u

   

c)
0 1 1 1
1,
n n n
u u u u u
 
   
15) Chứng minh dãy
1
1
n
n
u
n
 
 
 

 
có giới hạn.
16) Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn
a)
1 1 1

1 2
n
u
n n n n
   
  

b)
1 1 1
1 2
2 3
n
u n
n
     
c)
2 2 2
1 1 1
1
2 3
n
u
n
    

d)
1 1 1

1! 2! !
n
u
n
   

e)
1 1
2, 2
n n
u u u

  

f)
1 1
1
0, 4
2
n n
u u u

  


17) Cho dãy (u
n

) xác định bởi công thức
2
1
1, 3
2
n
n
u
u u
  
. Chứng minh rằng (u
n
) có giới hạn và
tìm giới hạn đó.
18) Giả sử
0
x

và
1 1
(2 )
n n n
y y xy
 
 
. Chứng minh rằng , nếu mọi
0
i
y


thì dãy (y
n
) hội tụ và
1
lim
n
y
x


19) Cho dãy (x
n
) xác định như sau
0
1
1
1,
1
n
n
x x
x

 

.Tìm
1
1
lim
1

n
x


.
20) Xét dãy số nguyên dương (a
n
) thỏa điều kiện
*
1 1n n n
a a a n N
 
  
. Tính giới hạn
2
1 2
1 1 1 1
lim
n
n a a a
 
  
 
 

21) Cho dãy (u
n
) thỏa điều kiện
1 1 0 1
, 1

n n n
u u u u u
 
   
. Chứng minh rằng dãy (u
n
) có giới
hạn . Tìm giới hạn đó.
Giới hạn dãy số
Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 4

22) Cho
2
cos
n
n
k
S k
k




. Tính
2
lim
n
S
n

23) Cho dãy số (x
n
) thỏa
0 1
2
1
( 0),
k k
k
x x x
x
 

    . Chứng minh rằng tồn tại 2 số dương
,
A

sao cho
lim
n
x
A
n



24) Cho dãy (x
n
) xác định theo công thức
1

( ) 2
n n
x f x n

  
. Giả sử
[ , ]
n
x a b


n N
 
và f là
hàm tăng trên [a.b]. Chứng minh rằng
a) Nếu x
1
≤ x
2
thì (x
n
) là dãy tăng.
b) Nếu x
1
≥ x
2
thì (x
n
) là dãy giảm.
c) Nếu f bị chặn thì (x

n
) hội tụ.
25) Cho (x
n
) được xác định như sau
1 1
1
1
, 2, 0, 0
2
n n
n
a
x x n a x
x


 
    
 
 
. Chứng minh rằng dãy
trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
26) Cho (x
n
) được xác định như sau
1 1
2
1
1

2 , 2, 0, 0
3
n n
n
a
x x n a x
x


 
    
 
 
. Chứng minh rằng
dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
27) Xác định x
1
để dãy (x
n
) xác định như sau là dãy hội tụ :
2
1 1
3 1 ( 2)
n n n
x x x n
 
   

28) Cho dãy (x
n

) với
0 1
n
x
 
và
1
1
(1 )
4
n n
x x

 
. Chứng minh rằng
1
lim
2
n
x


29) Cho dãy số (y
n
) xác định theo công thức
1
1
(1 )
n n
x

x
n
Ax
y x y
y


   với
0
0,0 1, 0
A x y
   
.
Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn và tìm giới hạn đó.
30) Cho a
1
= a, a
n+1
=a
n
(a
n
– 1). Hỏi với giá trị nào của a thì dãy (a
n
) hội tụ.
31) Cho
2 3
1
1 2 2 2
2

2 2 3
n
n
n
n
S
n

 

    
 
 
. Tính limS
n
.
32) Cho dãy (u
n
) và (v
n
) được xác định như sau u
1
= a, u
2
= b,
1 1 1
, ( 2)
2 2
n n n n
n n

u v u v
u v n
  
 
  

Chứng minh rằng
1
2 1
( )(1 )
3 4
n
n
u a b a

   
,
1
2 1
( )(1 )
3 2.4
n
n
v a b a

   

33) Cho dãy (a
n
) và (b

n
) được xác định như sau a
1
= a > 0, v
1
= b > 0,
1 1
2
n n
n
a b
a
 


,
1 1
2
( 2)
1 1
n
n n
b n
a b
 
 

. Chứng minh rằng
lim lim
n n

a b ab
 

34) Các dãy (x
n
) và (y
n
) được xác định như sau x
1
= a > 0, y
1
= b > 0,
1 1
,
2
n n
n
x y
x
 


1 1
( 2)
n n n
y x y n
 
 
.chứng tỏ rằng các giới hạn của chúng tồn tại và bằng nhau.
35) Cho các dãy số (x

n
) ,( y
n
) , (z
n
) xác định như sau x
1
=a, y
1
= b, z
1
= c,
1 1
2
n n
n
y z
x
 


,
1 1
2
n n
n
x x
y
 


 ,
1 1
2
n n
n
x y
z
 

 . Chứng minh rằng các dãy số này đều hội tụ và
lim lim lim
3
n n n
a b c
x y z
 
  
Giới hạn dãy số
Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 5

36) Cho các dãy số (x
n
) ,( y
n
) , (z
n
) xác định như sau x
1
= a > 0, y
1

= b > 0, z
1
= c > 0,
1 1
n n n
x y z
 

,
1 1
n n n
y z x
 
 ,
1 1
n n n
z x y
 
 . Chứng minh rằng
3
lim lim lim
n n n
x y z abc
  

37) Xét dãy số (x
n
) được xác định bởi
1
1

1
1
n
n
x
x

 

, x
0
= 1. Chứng minh rằng
lim 2
n
x 

38) Cho f là hàm dương,liên tục và nghịch biến trên [0,∞). Giả sử rằng hệ phương trình
( ), ( )
f f
   
 
có nghiệm duy nhất
l
 
 
. Chứng minh rằng dãy số dương
1
( )
n n
x f x



với x
0
> 0 cho trước hội tụ tới l.
39) Xét dãy số (x
n
) được xác định bởi
1 0
2
1 , 0
1
n
n
x x
x

  

.Khảo sát sự hội tụ của dãy (x
n
).
40) Cho a
≠ 1. Xét dãy (x
n
) được xác định bởi
2
1 0
2
( 3)

,
3 1
n n
n
n
x x
x x a
x


 

. Chứng minh rằng dãy (y
n
)
={(a – 1)x
n
} có giới hạn và xác định giới hạn đó.
41) Xét dãy (x
n
) được xác định bởi
1 0
2
2 3
, 1
n
n
n
x x
x

x

  
.Chứng minh rằng (x
n
) không có giới hạn
hữu hạn.
42) Cho dãy hàm


( )
n
f x
dương trên R
+
thỏa các điều kiện
0
( ) ,
f x x


2
1
( ) 6 ( ) ,
n n
f x x f x n N x R


    
. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất dãy số dương và đơn

điệu tăng (x
n
) thỏa mãn
( ) 2
n n n
f x x
 và
lim 4
n
x


43) Xét 2 dãy (a
n
) , (b
n
) xác định bởi a
1
= 3, b
1
= 2 và a
n+1
= a
n
2
+ 2b
n
2
, b
n+1

= 2a
n
b
n
. Tính
2
lim
n
n
b

và
2
1 2
lim
n
n
a a a

44)