Đáp án Toán KHTN lần 2, 2012

1

/>


Đ
Ạ
I H
Ọ
C KHOA H
Ọ
C T
Ự

NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Đ
Ề

THI TH
Ử

Đ
Ạ
I H
Ọ
C KH
Ố
I A, B L
Ầ

N 2
–

2012

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút


Câu I.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
2
1
( )
2
x x
y C
x
 



2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
C
đều không đi qua điểm
(2;3)
A

Câu II.

1) Giải phương trình:
1 4cos .cos3 tan5
x x x
 

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 4 4
3 2 3 2
y x x x
    


Câu III. Tính nguyên hàm:
9
10 10
cos
sin (sin cos )
x
dx
x x x




Câu IV. Cho
20
( ) 1
2
x
P x

 
 
 
 
. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển.

Câu V.
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng
4
, điểm
(1;0), (2;0)
A B . Gọi
I
là
giao điểm của AC và BD.
Biết
I
thuộc đường thẳng
0
x y
 
. Viết phương trình đường thẳng CD$.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
(1;2; 1), (2 2;2; 3)
A B
  
và đường thẳng
2
: 1
x

y t
z t



  




.
Tìm điểm
C
thuộc

sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

Câu VI. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a
, SA vuông góc với đáy. Góc nhị
diện cạnh SC bằng
0
120
. Tính thể tích khối chóp SABCD.

Câu VII. Cho các số thực
, , 1
x y z

thỏa mãn

1
xyz

. Chứng minh rằng.
2
2 2
1
1 1 1
x y z
x y z
 
   
  
 
   
  
   
 

2

/>


HƯỚNG DẪN

Câu I. (lonelyplanet)______________________________________________________________________
1. Tự giải
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
0 0

( ; )
M x y

 
 
2 2
0 0 0 0
0
2
0
0
1 4 3
2
2
x x x x
y x x
x
x
   
  



Để tiếp tuyến đi qua
(3;2)
A thì phương trình sau phải có nghiệm:
 
 
2 2
0 0 0 0

0
2
0
0
1 4 3
2 3
2
2
x x x x
x
x
x
   
  



Giải phương trình này thì thấy nó không có nghiệm khác 2 nên tiếp tuyến không đi qua A.
Câu II. 1 (can_hang2007)__________________________________________________________________
Ta có
2 2
2 2
4 2
1 4cos cos3 1 4cos (4cos 3)
1 4(1 sin ) 4(1 sin ) 3
16sin 20sin 5
x x x x
x x
x x
   

 
    
 
  

và
4 2
sin5 sin (16sin 20sin 5).
x x x x
  

Do đó, với điều kiện
cos5 0,
x

phương trình đã cho tương đương với
4 2
sin
(16sin 20sin 5) 1 0.
cos5
x
x x
x
 
   
 
 
Đến đây thì khá dễ rồi.
Câu II. 2 (can_hang2007)__________________________________________________________________
Miền xác định

3
0 .
2
x
 

Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức
4 44
, , 0.
a b a b a b
    

Cụ thể, ta có
44 4
4
2 (2 ) 2
x x x x     
và
4 4 4 4
4
2 3 2 16 (3 2 ) 14 3 3.
x x x x x       
Do đó,




4
4 4 4 4 4
2 2 3 2 2 3.

y x x x x       

Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi
0.
x

Vậy nên
4 4
min 2 3.
y  



Câu III._________________________________________________________________________________
Gợi ý. Đặt
t tanx

, bài toán đưa được về dạng tìm
 
10
1
dt
I
t t




là tích phân dạng phân thức.

Câu IV. (can_hang2007)___________________________________________________________________
3

/>


Từ giả thiết, sử dụng các lập luận đưa đến: Nếu hệ số của
k
x
là lớn nhất thì
1 19
k
 
và ta phải có
1 1
20 20 20 20
1 1
, .
2 2 2 2
k k k k
k k k k
C C C C
 
 
  Từ các bất phương trình này suy ra
6 7.
k
 
Mà
7 6

20 20
7 6
2 2
C C
 nên suy ra hệ số lớn
nhất trong khai triển là hệ số của
6
x
và
7
.
x



Câu V.1.________________________________________________________________________________
Cách 1. (F7T7)
Phương trình đường thẳng
AB
là
0
y

. Do đó phương trình CD song song với AB có dạng
y a


Suy ra
0
a


chính là chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh AB.
Ta có
. 4
a AB


Suy ra
4
a
 
. Vậy phương trình CD là
4
y

hoặc
4
y
 

Cách 2. (can_hang2007)
Giả sử
( , ).
I a a
Ta có
(1 , ), (2 , ).
IA a a IB a a
     
 
Suy ra

1 1
(1 )( ) (2 )( ) | |.
2 2
IAB
S a a a a a
      
Mặt khác, do tứ giác
ABCD
là hình bình hành nên
1
2
2
ABC ABCD
S S
 
và
1
1.
2
IAB ABC
S S
 
Vậy nên ta có
| | 2,
a

tức
2
a


hoặc
2.
a
 

[*] Với
2,
a

ta có
(2,2).
I Suy ra
(3,4)
C và
(2,4).
D Từ đó, ta tìm được phương trình đường thẳng
CD
là
4.
y


[*] Với
2,
a
 
ta có
( 2, 2).
I
 

Suy ra
( 5, 4)
C
 
và
( 6, 4).
D
 
Và như thế, ta tìm được phương trình đường
thẳng
CD
là
4.
y
 

Bài toán được giải quyết xong.

Câu V.2 (kienqb)________________________________________________________________________
Vì độ dài
AB
là không đổi. Ta có chu vi tam giác nhỏ nhất khi:
CA CB

nhỏ nhất
Gọi
(2;1 ; )
C t t

ta có:

2 2 2 2
1
2( 1) 1 2( 2) 4 ( 1) ( 2) 2
2
2
CA CB
CA CB t t t t

             

Đặt:
1
( 1; ), ( 2; 2)
2
u t v t   
 
. Ta có:
| | | | | |
u v u v
  
   
2
1
1 ( 2 )
2
  

Dấu bằng xảy ra khi
u kv


 
từ đó ta tính được
7 4
2; ;
3 3
C
 

 
 

Hoặc ta chọn:
1
( 1; ), ( 2; 2)
2
E F 
và điểm
( ; 0)
M t
sau đó dùng bất đẳng thức tam giác
ME MF EF
 

Dấu bằng xảy ra khi
, ,
M E F
thẳng hàng và
M
nằm trong đoạn
EF

.
Kết quả: Giá trị nhỏ nhất bằng
11
tại
7 4
(2; ; )
3 3
C


Câu VI. (jet_nguyen)______________________________________________________________________
4

/>



Ta có: góc nhị diện của SC bằng

0 0
120 ( ),( ) 60
SAC SBC 

Kẻ


0
, ( ) ( ),( ) 60
AM SB AN SD SC AMN SAC SBC MAN      

Mà
2
?
2
a
AM AN AMNd u AM AN MN      

Xét
SAB A
 
và
AM SB SA a
  

- Vì
3
1
( ) . .
3 3
SABCD ABCD
a
SA ABCD V SAS   


Câu VII. _______________________________________________________________________________
Cách 1. (can_hang2007)
Đặt ,
1 1
x y
a b

x y
 
 
và
.
1
z
c
z



Khi đó, ta thấy
1 1 1 1 1 1
1 , 1 , 1 .
x a y b z b
     

Mà
1
xyz

nên suy ra
( 1)( 1)( 1) ,
a b c abc
   
tức
1 0.
ab bc ca a b c
      

Mặt khác, cũng từ phép đặt, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
2 2 2
1,
a b c
  
hay
2 2 2
2( 1) 1.
a b c ab bc ca a b c
         

Sau khi thu gọn, ta có
2
( 1) 0,
a b c
   
hiển nhiên đúng nên bài toán được chứng minh xong.

Cách 2. (Lil.Tee)
Đổi biến như trên, và chúng ta luôn có:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 3 )
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b b c c a abc
a b b c c a a b b c c a
  
    

     

Do đó bài toán chứng minh xong


Lời giải được tổng hợp bởi
Từ lời giải các thành viên diễn đàn BoxMath.vn và Onluyentoan.vn