Về độ sâu của vành Noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

























L
L

Ê
Ê


M
M
I
I
N
N
H
H


A
A
N
N

VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER
ĐỊA PHƯƠNG




LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

















THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






















L
L
Ê
Ê


M
M

I
I
N
N
H
H


A
A
N
N







VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER
ĐỊA PHƯƠNG

Chun ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số : 60.46.01.04




LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG














THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />




Xác nhận luận văn đã được chỉnh sửa lại theo u cầu của hội đồng chấm
luận văn.


Khoa Tốn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục

Lời mở đầu 1
1 Độ sâu của mơđun trên vành Noether địa phương 3
1.1 Dãy chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Độ sâu của mơđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Đồng điều Koszul 19
2.1 Phức Koszul và đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Đặc trưng độ sâu qua đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . 24
3 Vành và mơđun Cohen - Macaulay 29
3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ sở . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Một số đặc trưng vành Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . 33
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời mở đầu
Sau chiều thì độ sâu là bất biến cơ bản nhất của vành Noether địa
phương A hoặc A−mơđun hữu hạn sinh M. Độ sâu có thể được nghiên cứu
bằng các cơng cụ nội tại của đại số giao hốn, nhưng cũng có thể nghiên
cứu bằng các các đối tượng của đại số đồng điều. Chính vì thế, chúng
tơi đã lựa chọn đề tài "Về độ sâu của vành Noether địa phương"
làm luận văn tốt nghiệp. Luận văn trình bày các kết quả về độ sâu chủ
yếu thơng qua các đối tượng của đại số đồng điều như mơđun Ext hay
đồng điều Koszul, từ đó bước đầu tìm hiểu về vành và mơđun Cohen -
Macaulay, một lớp vành quan trọng trong đại số giao hốn.
Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 trình bày khái niệm
và một số tính chất cơ sở của dãy chính quy, sự tồn tại của dãy chính
quy thơng qua tính triệt tiêu của mơđun Ext, từ đó trình bày định nghĩa
và các kết quả về độ sâu của mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa
phương. Chương 2, trình bày về phức Koszul và đặc trưng độ sâu thơng
qua tính triệt tiêu của đồng điều Koszul. Trên cơ sở các tính chất về độ
sâu được trình bày ở Chương 1 và Chương 2, Chương 3 trình bày sơ lược

về khái niệm, tính chất cơ sở và một vài đặc trưng của vành và mơđun
Cohen - Macaulay.
Các nội dung trong luận văn được trình bày dựa theo Chương 6 trong
tài liệu [5] và [6] của Hydeyuki Matsumura. Với mong muốn lại hệ thống
lại một số nội dung quan trọng về độ sâu và vành Cohen - Macaulay, tác
giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kết quả này. Khi
trình bày luận văn, tác giả cũng đã cố gắng trình bày chi tiết lại các chứng
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />minh, bổ sung thêm một số ví dụ và kết quả trong các tài liệu tham khảo
khác. Bên cạnh đó, tác giả cũng đưa ra một vài chứng minh đơn giản
khơng được trình bày trong tài liệu.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy đã tạo điều kiện để tơi
có cơ hội được tiếp xúc với mơi trường nghiên cứu hiện đại và chun
nghiệp, để từ đó tơi đã bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu tốn
một cách nghiêm túc. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới thầy.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn PGS. TS. Lê Thanh Nhàn, TS. Đồn
Trung Cường, TS. Trần Ngun An, những thầy cơ đã tận tình giảng dạy
cho tơi những kiến thức cơ sở và giúp đỡ tơi giải quyết những vướng mắc
tơi gặp phải khi đọc tài liệu cũng như khi trình bày luận văn.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động viên
tơi để tơi có thể hồn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.
Thái Ngun, tháng 04 năm 2014
Tác giả luận văn
Lê Minh An
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
Độ sâu của mơđun trên vành
Noether địa phương

Khái niệm dãy chính quy và độ sâu rất quan trọng cho lý thuyết
vành Cohen - Macaulay. Độ sâu của vành Noether địa phương A hoặc
A−mơđun hữu hạn sinh được định nghĩa bằng số phần tử trong dãy
chính quy cực đại, và có thể được đặc trưng thơng qua tính triệt tiêu của
mơđun Ext. Trong tồn bộ luận văn, khi nói đến một vành, ta quy ước là
vành giao hốn có đơn vị.
1.1 Dãy chính quy
Trong tiết này trình bày định nghĩa, ví dụ và một vài tính chất cơ
bản của dãy chính quy.
Định nghĩa 1.1.1. Cho A là vành Noether, M là một A−mơđun. Phần
tử a ∈ A được gọi là phần tử M−chính quy nếu ax = 0 với mọi 0 = x ∈ M.
Dãy a
1
, , a
n
các phần tử của A là một M−dãy chính quy (hoặc M−dãy)
nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(i) M = (a
1
, , a
n
)M, và
(ii) Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, a
i
là M/(a
1
, , a
i−1
)M− chính quy. Tức là với mỗi

1 ≤ i ≤ n,
M/(a
1
, , a
i−1
)M
a
i
−−→ M/(a
1
, , a
i−1
)M
là một đơn ánh.
Khi tất cả các a
i
nằm trong một iđêan I của A ta nói a
1
, , a
n
là
một M−dãy chính quy trong I.
Khi M = A thì a
1
, , a
n
là A−dãy nếu và chỉ nếu (a
1
, , a
n

) là iđêan
thực sự của A, và với mỗi i = 1, , n thì a
i
khơng phải ước của khơng
trên A/(a
1
, , a
i−1
).
Với mỗi A−mơđun M ta kí hiệu
ZD
A
(M) = {a ∈ A |tồn tại 0 = x ∈ M sao cho ax = 0}
là tập các ước của 0 trên M. Nếu khơng gây nhầm lẫn ta sẽ kí hiệu tập
này là ZD(M).
Ví dụ 1.1.2. (i) Cho A là vành, đặt S := A[x
1
, , x
n
] là vành đa thức
n biến x
1
, , x
n
. Ta có đẳng cấu S/(x
1
, , x
i−1
)
∼

=
A[x
i
, , x
n
], mà x
i
là
A[x
i
, , x
n
]−chính quy nên x
1
, , x
n
là S−dãy.
(ii) Chú ý rằng khái niệm M−dãy chính quy phụ thuộc vào vị trí các
phần tử trong dãy, chẳng hạn xét trong trường K và A = K[x
1
, x
2
, x
3
]
thì x
1
, x
2
(1 − x

1
), x
3
(1 − x
1
) là A−dãy. Nhưng x
2
(1 − x
1
), x
3
(1 − x
1
), x
1
lại khơng phải A−dãy. Thật vậy, trước hết ta thấy rằng x
1
/∈ ZD(A) và
(x
1
), (x
1
, x
2
(1 −x
1
)) = (x
1
, x
2

) là các iđêan ngun tố của A. Khi đó nếu
h · x
2
(1 − x
1
) ∈ (x
1
), do x
2
(1 − x
1
) /∈ (x
1
) nên h ∈ (x
1
) tức là x
2
(1 − x
1
)
là A/(x
1
)−chính quy. Tương tự, nếu h · x
3
(1 − x
1
) ∈ (x
1
, x
2

(1 − x
1
)), do
x
3
(1 −x
1
) /∈ (x
1
, x
2
(1 −x
1
)) nên h ∈ (x
1
, x
2
(1 −x
1
)), tức là x
3
(1 −x
1
) là
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />A/(x
1
, x
2
(1 −x

1
))−chính quy. Từ đó x
1
, x
2
(1 −x
1
), x
3
(1 −x
1
) là A−dãy.
Nhưng x
2
(1 −x
1
), x
3
(1 −x
1
), x
1
khơng phải A−dãy. Vì x
2
/∈ (x
2
(1 −x
1
))
nhưng x

2
(1−x
1
)x
3
∈ (x
2
(1−x
1
)) tức là x
3
(1−x
1
) ∈ ZD(A/(x
2
(1−x
1
))).
Định nghĩa 1.1.3. Cho A là vành Noether và 0 = M là A−mơđun hữu
hạn sinh. I là iđêan của A thỏa mãn IM = M. Lấy a
1
, , a
n
là M−dãy
các phần tử trong I. Ta nói a
1
, , a
n
là M−dãy cực đại trong I nếu khơng
có phần tử b ∈ I nào thỏa mãn a

1
, , a
n
, b là M−dãy có n + 1 phần tử.
Nhận xét 1.1.4. Cho A là vành Noether và 0 = M là A−mơđun hữu
hạn sinh.
(i) Khơng tồn tại một dãy vơ hạn (a
i
)
∞
i=1
các phần tử của A thỏa mãn,
với mọi n ∈ N, dãy hữu hạn (a
i
)
n
i=1
là một M−dãy. Từ đó, mọi M−dãy
trong I đều có thể mở rộng thành M−dãy cực đại trong I. Thật vậy,
giả sử có một dãy (a
i
)
∞
i=1
thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó ta ln có
(a
1
, , a
n
)  (a

1
, , a
n
, a
n+1
) (do a
n+1
/∈ (a
1
, , a
n
)). Tức là là ta có dãy
(a
1
)  (a
1
, a
2
)   (a
1
, , a
n
) 
là dãy tăng vơ hạn các iđêan trong A. Mâu thuẫn với giả thiết A là
Noether.
(ii) Gọi a = a
1
, , a
n
là M−dãy, a là M−dãy cực đại trong I khi và chỉ

khi I ⊆ ZD(M/(a)M). Mà
ZD(M/(a)M) =

p∈Ass(M/(a)M)
p,
và Ass(M/(a)M) là tập hữu hạn, nên theo định lý tránh ngun tố thì I
nằm trong một iđêan ngun tố liên kết nào đó của M/(a)M.
(iii) Nhắc lại rằng, với (A, m) là vành Noether địa phương chiều d, theo
([6], Th. 13.4) ln tồn tại một iđêan m−ngun sơ sinh bởi d phần tử,
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />nhưng khơng sinh bởi ít hơn d phần tử. Nếu x = x
1
, , x
d
là hệ sinh của
một iđêan m−ngun sơ thì x được gọi là một hệ tham số của A, theo
([6], Th. 14.1) hệ tham số x có tính chất dim A/(x
1
, , x
i
) = d −i với mọi
0 ≤ i ≤ d. Đặc biệt, nếu x là hệ sinh của m thì A được gọi là vành địa
phương chính quy và x là hệ tham số chính quy của A. Theo ([6], Th. 14.3)
vành địa phương chính quy là miền ngun. Từ đó, hệ tham số chính quy
x của vành địa phương chính quy (A, m) là một A−dãy. Thật vậy, ta có
A = A/(x
1
, , x
i
) là vành địa phương chiều d − i với mọi 0 ≤ i < d và

m/(x
1
, , x
i
) là iđêan cực đại của A sinh bởi d −i phần tử x
i+1
, , x
d
(là
ảnh chính tắc của x
i+1
, , x
d
trong A). Suy ra A cũng là vành địa phương
chính quy, do đó cũng là miền ngun. Rõ ràng x
i+1
/∈ (x
1
, , x
i
) nên x
i+1
là A/(x
1
, , x
i
)− chính quy.
(iv) Từ Ví dụ 1.1.2,(ii) ta thấy dãy chính quy phụ thuộc vào vị trí các
phần tử trong dãy. Tuy nhiên, ta chứng minh được nếu các phần tử của
dãy chính quy nằm trong căn Jacobson thì mọi hốn vị của nó cũng là

dãy chính quy. Ta có thể chứng minh điều đó trực tiếp theo định nghĩa
bằng cách sử dụng bổ đề Nakayama, ở đây được trình bày trong Hệ quả
2.2.2 theo một cách khác.
(v) Ta cũng chứng minh được mọi dãy chính quy cực đại trong một iđêan
đều có cùng số phần tử, từ đó ta sẽ có khái niệm độ sâu của một mơđun.
Điều này sẽ được trình bày ở tiết sau.
Tiếp theo ta sẽ trình bày một số tính chất khác của M−dãy.
Định lý 1.1.5. Cho (A, m) là vành Noether địa phương, M là A−mơđun
hữu hạn sinh. Lấy a
1
, , a
n
là M−dãy. Khi đó
dim M/(a
1
, , a
n
)M = dim M −n.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chứng minh. Do a
i
là M/(a
1
, , a
i−1
)M−chính quy nên ta chỉ cần chứng
minh với trường hợp n = 1 tức là
dim M/aM = dim M − 1,
trong đó a là M−chính quy. Đặt M


= M/aM.
Trước hết giả sử dim M

= r. Theo ([6], Th. 13.4) suy ra r là số nhỏ
nhất sao cho có x
1
, , x
r
∈ m thỏa mãn
(M

/(x
1
, , x
r
)M

) < ∞ hay (M/(a, x
1
, , x
r
)M) < ∞.
Do đó dim M = δ(M) ≤ r + 1, hay dim(M/aM) = r ≥ dim M − 1.
Ngược lại, do a là M−chính quy nên a /∈ ZD(M) =

p∈Ass(M)
p
do đó a /∈ p với mọi p ∈ Ass(M). Mà Min Supp(M) ⊂ Ass(M), nên
a /∈ Min Supp(M). Lại có
Supp(M/aM) = V (Ann(M/aM)) = V (Ann(M) + (a)),

do đó Supp(M/aM) ⊂ V (Ann(M)) = Supp(M), hơn nữa
Supp(M/aM) ⊂ Supp(M) \ Min Supp(M).
Suy ra dim(M/aM) < dim(M), tức là dim(M/aM) ≤ dim(M) −1.
Bổ đề 1.1.6. Cho A là vành và M là A−mơđun hữu hạn sinh. Giả sử
a
1
, , a
r
là M−dãy các phần tử trong A và
a
1
ξ
1
+ + a
r
ξ
r
= 0, ξ
i
∈ M.
Khi đó ξ
i
∈ (a
1
, , a
r
)M với mọi i = 1, , r.
Chứng minh. Quy nạp theo r. Với r = 1, a
1
ξ

1
= 0, do a
1
, , a
r
là dãy
chính quy nên a
1
là M−chính quy, suy ra ξ
1
= 0. Với r > 1, ta có
−a
r
ξ
r
=
r−1

i=1
a
i
ξ
i
∈ (a
1
, , a
r−1
)M.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mà a

r
là M/(a
1
, , a
r−1
)M−chính quy, nên ξ
r
∈ (a
1
, , a
r−1
)M, tức là
ξ
r
=

r−1
i=1
a
i
η
i
và
−a
r
r−1

i=1
a
i

η
i
=
r−1

i=1
a
i
ξ
i
⇔
r−1

i=1
a
i
(ξ
i
+ a
r
η
i
) = 0.
Theo giả thiết quy nạp, với i < r ta có ξ
i
+ a
r
η
i
∈ (a

1
, , a
r−1
)M, do đó
ξ
i
∈ (a
1
, , a
r
)M.
Định lý 1.1.7. Cho A là vành Noether, M là A−mơđun hữu hạn sinh và
a
1
, , a
r
∈ A là một M−dãy chính quy. Khi đó với mọi υ
1
, , υ
r
là các số
ngun dương, dãy a
υ
1
1
, , a
υ
r
r
là M−dãy.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh a
υ
1
, a
2
, , a
r
là M−chính quy, bởi vì
khi đó a
2
, , a
r
sẽ là M/a
υ
1
M− chính quy và ta lặp lại lập luận trên.
Quy nạp theo υ (quy nạp 1), với trường hợp υ = 1 hiển nhiên đúng.
Với υ > 1 và giả sử rằng a
υ−1
1
, a
2
, , a
r
là M−chính quy, ta chứng minh
a
υ
1
, a
2

, , a
r
là M−dãy bằng quy nạp theo r (quy nạp 2).
Hiển nhiên a
υ
1
là M−chính quy. Với r > 1 và giả sử a
υ
1
, a
2
, , a
r−1
là
một M−dãy chính quy. Ta chứng minh nếu a
r
ω ∈ (a
υ
1
, a
2
, a
r−1
)M thì
ω ∈ (a
υ
1
, a
2
, , a

r−1
)M.
Thật vậy, a
r
ω ∈ (a
υ
1
, a
2
, a
r−1
)M nên
a
r
ω = a
υ
1
ξ
1
+ + a
r−1
ξ
r−1
= a
υ−1
1
(a
1
ξ
1

) + + a
r−1
ξ
r−1
,
từ đó a
r
ω cũng nằm trong (a
υ−1
1
, a
2
, , a
r−1
)M, theo giả thiết quy nạp 1
suy ra ω ∈ (a
υ−1
1
, , a
r−1
)M, tức là
ω = a
υ−1
1
η
1
+ + a
r−1
η
r−1

. (∗)
Từ đó a
r
(a
υ−1
1
η
1
+ + a
r−1
η
r−1
) = a
υ
1
ξ
1
+ + a
r−1
ξ
r−1
hay
a
υ−1
1
(a
r
η
1
− a

1
ξ
1
) + a
2
(a
r
η
2
− ξ
2
) + + a
r−1
(a
r
η
r−1
− ξ
r−1
) = 0.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Theo Bổ đề 1.1.6 a
r
η
1
− a
1
ξ
1
∈ (a

υ−1
1
, a
2
, , a
r−1
)M ⊆ (a
1
, , a
r−1
)M, do
đó a
r
η
1
∈ (a
1
, , a
r−1
)M. Mà a
1
, , a
r
là M−dãy nên η
1
∈ (a
1
, , a
r−1
)M

và η
1
= a
1
γ
1
+ + a
r−1
γ
r−1
, từ đó thế vào (∗) ta được
ω =
=
a
υ−1
1
(a
1
γ
1
+ + a
r−1
γ
r−1
) + a
2
η
2
+ + a
r−1

η
r−1
a
υ
1
γ
1
+ a
2
(η
2
+ a
υ−1
1
γ
2
) + + a
r−1
(η
r−1
+ a
υ−1
1
γ
r−1
).
Suy ra ω ∈ (a
υ
1
, a

2
, , a
r−1
)M.
Từ đó a
r
là M/(a
υ
1
, a
2
, , a
r−1
)M−chính quy, theo giả thiết quy nạp
2 ta được a
υ
1
, a
2
, , a
r
là M−dãy.
1.2 Độ sâu của mơđun
Trước khi trình bày các kiến thức về độ sâu, phần đầu của tiết này
trình bày một số kiến thức cơ sở về mơđun Ext được sử dụng trong các
chứng minh kết quả sau đó.
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là vành, M, N là các A−mơđun. Xét hàm tử
F = Hom
A
(M, −) là hàm tử hiệp biến, tuyến tính và khớp trái trên phạm

trù các A−mơđun. Mơđun dẫn xuất phải thứ i của F đối với N được gọi
là mơđun mở rộng thứ i của M, N và được kí hiệu bởi Ext
i
A
(M, N).
Do mỗi A−mơđun đều có giải nội xạ nên ta có thể xây dựng mơđun
Ext
i
A
(M, N) như sau, lấy
0 −→ N
α
−→ E
0
d
0
−−→ E
1
d
1
−−→ E
2
d
2
−−→
là giải nội xạ của N. Tác động hàm tử Hom
A
(M, −) vào ta được đối phức
0 −→ Hom
A

(M, N)
α
∗
−−→ Hom
A
(M, E
0
)
d
∗
0
−−→ Hom
A
(M, E
1
)
d
∗
1
−−→ .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Do Hom
A
(M, −) là khớp trái nên α
∗
là đơn cấu và Im α
∗
= ker d
∗
0

. Do
đó Ext
0
A
(M, N) = ker d
∗
0
= Im α
∗
∼
=
Hom
A
(M, N). Với i > 0 ta có
Ext
i
A
(M, N) = ker d
∗
i
/ Im d
∗
i−1
.
Chú ý 1.2.2. Xét hàm tử F
1
= Hom
A
(−, N) là hàm tử phản biến, tuyến
tính và khớp trái trên phạm trù các A−mơđun. Khi đó mơđun dẫn suất

phải thứ i của F
1
đối với M đẳng cấu với Ext
i
A
(M, N).
Mệnh đề 1.2.3. Cho A là vành Noether, M, N là các A−mơđun hữu hạn
sinh. Khi đó Ext
i
A
(M, N) cũng là các mơđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. Do M là hữu hạn sinh nên tồn tại giải xạ ảnh của M

d
1
−−→ P
1
d
0
−−→ P
0
α
−→ M −→ 0,
trong đó P
i
là các mơđun tự do có hạng hữu hạn. Tác động hàm tử
Hom
A
(−, N) vào ta được đối phức
0 −→ Hom

R
(P
0
, N)
d
∗
0
−−→ Hom
A
(P
1
, N)
d
∗
1
−−→
và Ext
i
A
(M, N) = ker d
∗
i
/ Im d
∗
i−1
.
Do P
i
là mơđun tự do có hạng hữu hạn nên P
i

∼
=
A
n
i
= ⊕
n
i
j=1
A
j
với
n
j
∈ N. Khi đó
Hom
A
(P
i
, N)
∼
=
Hom
A
(A
n
i
, N)
∼
=

(Hom
A
(A, N))
n
i
∼
=
N
n
i
.
Mà N cũng là A−mơđun hữu hạn sinh nên Hom
A
(P
i
, N) là Noether, suy
ra ker d
∗
i
là hữu hạn sinh do đó Ext
i
A
(N, M) là hữu hạn sinh với mọi
i ≥ 0.
Mệnh đề 1.2.4. (Xem [6], Appendix B) Cho A là vành. Khi đó
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(i) Với M là A−mơđun và 0 −→ N

−→ N −→ N


là dãy khớp ngắn các
A−mơđun, ta có dãy khớp dài
0 −→ Ext
0
A
(M, N

) −→ Ext
0
A
(M, N) −→ Ext
0
A
(M, N

)
−→ Ext
1
A
(M, N

) −→ Ext
1
A
(M, N) −→ Ext
1
A
(M, N

)

−→ Ext
2
A
(M, N

) −→ ;
(ii) Với N là A−mơđun và 0 −→ M

−→ M −→ M

là dãy khớp ngắn
các A−mơđun, ta có dãy khớp dài
0 −→ Ext
0
A
(M

, N) −→ Ext
0
A
(M, N) −→ Ext
0
A
(M

, N)
−→ Ext
1
A
(M


, N) −→ Ext
1
A
(M, N) −→ Ext
1
A
(M

, N)
−→ Ext
2
A
(M

, N) −→ .
Mệnh đề 1.2.5. (Xem [7], Th. 7.16) Cho M, N là các mơđun trên vành
A và x là phần tử thuộc A. Xét ánh xạ ϕ : M
x
−→ M (hoặc N
x
−→ N), khi
đó ta có ánh xạ cảm sinh ϕ
∗
: Ext
i
A
(M, N)
x
−→ Ext

i
A
(M, N).
Phần tiếp theo là nội dung chính của tiết này, trình bày đặc trưng
sự tồn tại của dãy chính quy thơng qua tính triệt tiêu của mơđun Ext từ
đó định nghĩa và tính được độ sâu của mơđun hữu hạn sinh trên vành
Noether địa phương cũng thơng qua tính triệt tiêu ấy. Cuối tiết này trình
bày mối liên hệ giữa độ sâu với chiều của mơđun, độ sâu của mơđun trên
một iđêan với độ cao của iđêan đó.
Định lý 1.2.6. Cho A là vành Noether, M là A−mơđun hữu hạn sinh và
I là một iđêan của A sao cho IM = M; Với n ∈ N các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) Ext
i
A
(N, M) = 0 với mọi i < n và N là A−mơđun hữu hạn sinh thỏa
mãn Supp(N) ⊆ V (I);
(ii) Ext
i
A
(A/I, M) = 0 với mọi i < n;
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(iii) Tồn tại A−mơđun hữu hạn sinh N thỏa mãn Supp(N) = V (I), sao
cho Ext
i
A
(N, M) = 0 với mọi i < n;
(iv) Tồn tại một M−dãy có n phần tử trong I.
Chứng minh. Trước hết ta có Supp(N) = V (Ann(N)) và V (Ann(A/I)) =
V (I) nên ta có ngay (i)⇒(ii)⇒(iii).

(iii)⇒(iv) Ta chứng minh quy nạp theo n. Với n = 1, giả sử I khơng
chứa phần tử nào là M−chính quy, tức là
I ⊆ ZD(M) =

p∈Ass(M)
p.
Theo định lý tránh ngun tố thì tồn tại p = (0 :
M
x) ∈ Ass(M),
trong đó 0 = x ∈ M, thỏa mãn I ⊆ p. Khi đó ta có đơn ánh A/p −→
M, tức là Hom
A
(A/p, M) = 0. Từ ([7], Th. 3.84), (Hom
A
(A/p, M))
p
=
Hom
A
p
(k, M
p
) = 0 với k = A
p
/pA
p
. Lại có p ∈ V (I) = Supp(N) nên
N
p
= 0, theo bổ đề Nakayama suy ra N

p
/pA
p
N
p
= 0. Mà N
p
/pA
p
N
p
∼
=
N
p
⊗ k, nên N
p
⊗ k là k−khơng gian véc tơ và Hom(N
p
⊗ k, k) = 0.
Từ đó ta thấy tồn tại đồng cấu N
p
−→ N
p
⊗ k −→ k −→ M
p
khác 0
tức là Hom
A
p

(N
p
, M
p
) = 0. Nhưng Hom
A
(N, M)
∼
=
Ext
0
A
(N, M) = 0 và
(Hom
A
(N, M))
p
= Hom
A
p
(N
p
, M
p
) = 0 (Mâu thuẫn).
Với n > 1, gọi a
1
∈ I là phần tử M−chính quy, ta có dãy khớp
0 −→ M
a

1
−→ M −→ M/a
1
M −→ 0.
Từ đó, ta có dãy khớp dài
−→ Ext
i−1
A
(N, M) −→ Ext
i−1
A
(N, M/a
1
M) −→ Ext
i
A
(N, M) −→ .
Mà Ext
i
A
(N, M) = 0 với mọi i < n nên Ext
i
A
(N, M/a
1
M) = 0 với mọi
i < n − 1. Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại a
2
, , a
n

là M/a
1
M-dãy
trong I. Tức là a
1
, , a
n
là M−dãy trong I.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(iv)⇒(i) Ta chứng minh quy nạp theo n. Với n = 1, ta có
Ext
0
A
(N, M)
∼
=
Hom
A
(N, M).
Lấy ϕ ∈ Hom
A
(N, M), do V (Ann(N)) = Supp(N) ⊆ V (I) nên I ⊆

Ann(N), tức là tồn tại k ∈ N sao cho a
k
1
∈ Ann(N). Khi đó, với mọi
x ∈ N ta có a
k
1

ϕ(x) = ϕ(a
k
1
x) = ϕ(0) = 0 mà a
1
là M−chính quy nên
ϕ(x) = 0, suy ra ϕ = 0. Tức là Ext
0
A
(N, M) = 0.
Với n > 1, giả sử Ext
i
A
(N, M) = 0 với mọi i < n − 1, ta chứng minh
Ext
n−1
A
(N, M) = 0.
Do tồn tại k ∈ N sao cho a
k
1
∈ Ann(N) nên a
k
1
∈ Ann(Ext
i
A
(N, M)). Theo
Định lý 1.1.7, a
k

1
, a
2
, , a
n
cũng là M−dãy, do đó a
2
, , a
n
là M/a
k
1
M−dãy,
theo giả thiết quy nạp thì Ext
i
A
(N, M/a
k
1
M) = 0 với mọi i < n − 1. Mà
ta có dãy khớp ngắn
0 −→ M
a
k
1
−→ M −→ M/a
k
1
M −→ 0,
nên ta có dãy khớp

0 −→ Ext
n−1
A
(N, M)
ψ
−→ Ext
n−1
A
(N, M).
Theo Mệnh đề 1.2.5 ta có ψ(u) = a
k
1
u với mọi u ∈ Ext
n−1
A
(N, M).
Mà a
k
1
∈ Ann(Ext
n−1
A
(N, M)), nên Ext
n−1
A
(N, M) = 0.
Hệ quả 1.2.7. Cho A là vành Noether, I là một iđêan của A, M là
A−mơđun hữu hạn sinh và IM = M. a
1
, , a

n
∈ I là M−dãy, kí hiệu
M
i
:= M/(a
1
, , a
i
)M khi đó ta có
Ext
0
A
(A/I, M
n
)
∼
=
Ext
1
A
(A/I, M
n−1
)
∼
=

∼
=
Ext
n−1

A
(A/I, M
1
)
∼
=
Ext
n
A
(A/I, M).
Chứng minh. Ta có dãy khớp
0 −→ M
a
1
−→ M −→ M
1
−→ 0.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Theo Định lý 1.2.6, Ext
i
A
(A/I, M) = 0 với mọi i < n và Ext
j
A
(A/I, M
1
) =
0 với mọi j < n − 1. Từ đó ta có dãy khớp
0 −→ Ext
n−1

A
(A/I, M
1
)
ψ
−→ Ext
n
A
(A/I, M)
ϕ
−→ Ext
n
A
(A/I, M),
trong đó ϕ(u) = a
1
u, với mọi u ∈ Ext
n
A
(A/I, M). Mà a
1
∈ I = Ann(A/I)
nên a
1
∈ Ann(Ext
n
A
(A/I, M)), tức là ϕ = 0 hay ψ là đẳng cấu. Tiếp tục
như thế ta sẽ được dãy các đẳng cấu cần chứng minh.
Khi đó, nếu a

1
, , a
n
là M−dãy trong I và Ext
n
A
(A/I, M) = 0, suy
ra Ext
0
A
(A/I, M
n
) = 0. Tức là tồn tại a
n+1
∈ I là M
n
−chính quy, hay
a
1
, , a
n
, a
n+1
là M−dãy và ta có ngay định lý sau.
Định lý 1.2.8. (Rees) Cho A là một vành Noether, I là một iđêan của A
và M là A−mơđun hữu hạn sinh thỏa mãn IM = M; khi đó mọi M−dãy
cực đại trong I có cùng số phần tử, số phần tử đó là n ∈ N xác định bởi
Ext
i
A

(A/I, M) = 0 với mọi i < n và Ext
n
A
(A/I, M) = 0.
Định nghĩa 1.2.9. Cho A là một vành Noether, I là một iđêan của A
và M là A−mơđun hữu hạn sinh thỏa mãn IM = M. Số phần tử của
M−dãy cực đại trong I (số này xác định tốt do Nhận xét 1.1.4,(i)) được
gọi là độ sâu của M đối với iđêan I kí hiệu là depth
I
(M) hoặc depth(I, M)
(Nếu IM = M thì độ sâu của M đối với mơđun I quy ước là bằng ∞).
Và ta có
depth(I, M) = inf{i|Ext
i
A
(A/I, M) = 0}.
Đặc biệt với vành Noether địa phương (A, m), ta gọi depth(m, M) đơn
giản là độ sâu của M và viết là depth M hoặc depth
A
M:
depth M = inf{i|Ext
i
A
(A/m, M) = 0}.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Nhận xét 1.2.10. Cho A là vành Noether, I là iđêan thực sự của A và
M là A−mơđun hữu hạn sinh.
(i) Đặt A/ Ann(M) = A khi đó M cũng là A−mơđun. Ta viết x và I là
ảnh của x ∈ A và I qua đồng cấu tự nhiên A −→ A, rõ ràng x
1

, , x
k
là
M−dãy các phần tử trong A nếu và chỉ nếu x
1
, , x
k
là M−dãy. Do đó
depth(I, M) = depth(I, M), hay depth(I, M) = depth(I + Ann(M), M).
(ii) Nếu thêm (A, m) là vành địa phương thì depth M = 0 khi và chỉ khi
(0 :
M
m) = 0. Thật vậy, nếu depth M = 0 thì m ⊆ ZD(M) = ∪
p∈Ass(M)
p.
Theo định lý tránh ngun tố thì m ∈ Ass M, do đó tồn tại 0 = x ∈ M
sao cho m = (0 :
A
x) hay x ∈ (0 :
M
m), suy ra (0 :
M
m) = 0. Ngược lại,
nếu (0 :
M
m) = 0 thì tồn tại 0 = x ∈ M sao cho xm = 0 hay depth M = 0.
Kết quả tiếp theo sẽ làm rõ vai trò của điều kiện IM = M trong mối
quan hệ giữa tính triệt tiêu của mơđun Ext và depth(I, M), nếu khơng
thỏa mãn điều kiện này thì Ext
i

A
(A/I, M) = 0 với mọi i.
Mệnh đề 1.2.11. Cho A là vành Noether. M, N là các A−mơđun hữu
hạn sinh. Nếu Ann(M)+Ann(N) = A thì Ext
i
A
(N, M) = 0 với mọi i ≥ 0.
Đặc biệt, nếu IM = M thì Ext
i
A
(A/I, M) = 0 với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. Trước hết do Ann(M) + Ann(N) ⊆ Ann(Ext
i
A
(N, M)) nên
ta có ngay khẳng định đầu tiên.
Bây giờ, ta chứng minh Ann(M) + Ann(N) = A nếu và chỉ nếu
Ann(N) · M = M. Thật vậy, nếu Ann(N) + Ann(M) = A thì 1 = x + y
với x ∈ Ann(M), y ∈ Ann(N), khi đó y · M = (x + y) · M = M. Ngược
lại, theo ([1], Co. 2.5) tồn tại y ∈ Ann(N) sao cho (y + 1)M = 0, suy ra
1 = (y + 1) −y ∈ Ann(M) + Ann(N).
Khi đó, chỉ cần thay N bởi A/I trong khẳng định thứ nhất ta có
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ngay khẳng định còn lại của mệnh đề.
Trong các kết quả sau đây sẽ chỉ ra rằng độ sâu của một mơđun
khơng vượt q chiều của nó. Ta cũng chứng minh được độ sâu của vành
trên một iđêan (hay còn gọi là bậc của iđêan, grade I := depth(I, A))
khơng vượt q độ cao của iđêan đó.
Định lý 1.2.12. (Ischebeck) Cho (A, m) là vành Noether địa phương,
M, N là các A−mơđun hữu hạn sinh. Giả sử depth M = k, dim N = r.

Khi đó
Ext
i
A
(N, M) = 0 với i < k − r.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Với r = 0 khi đó
Supp(N) = {m}, mà depth M = k nên Ext
i
A
(N, M) = 0 với i < k. Với
r > 0, theo ([6], Th. 6.4) ta có dãy các A−mơđun
N = N
n
⊃ N
n−1
⊃ ⊃ N
1
⊃ N
0
= 0,
trong đó, N
j
/N
j−1
∼
=
A/p
j
, p
j

∈ Spec (A).
Mặt khác, nếu Ext
i
A
(N
j
/N
j−1
, M) = 0 với mọi j thì Ext
i
A
(N, M) = 0, do
đó ta chỉ cần chứng minh với trường hợp N := A/p với p ∈ Spec(A) và
dim N = r. Lấy x ∈ m \p ta có dãy khớp
0 −→ N
x
−→ N −→ N

−→ 0,
trong đó N

:= (A/p)/x(A/p) = (A/p)/(Ax + p/p)
∼
=
A/Ax + p. Khi đó
dim N

< dim N = r nên Ext
i
A

(N

, M) = 0 với mọi i < k −(r −1), do đó
ta lại có dãy khớp
0 −→ Ext
i
A
(N, M)
x
−→ Ext
i
A
(N, M) −→ 0.
Tức là Ext
i
A
(N, M) = x Ext
i
A
(N, M) mà x ∈ m và N, M hữu hạn sinh nên
Ext
i
A
(N, M) hữu hạn sinh. Theo bổ đề Nakayama, Ext
i
A
(N, M) = 0.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 1.2.13. Cho A là vành Noether địa phương, M là A−mơđun hữu
hạn sinh và giả sử p ∈ Ass(M). Khi đó dim(A/p) ≥ depth M, từ đó suy

ra dim M ≥ depth M.
Chứng minh. Giả sử depth M > dim(A/p) thì Ext
0
A
(A/p, M) = 0 nhưng
p ∈ Ass(M) nên có đơn cấu A/p −→ M tức là Hom
A
(A/p, M) = 0. Mà
Ext
0
A
(A/p, M)
∼
=
Hom
A
(A/p, M) nên Ext
0
A
(A/p, M) = 0 (mâu thuẫn).
Mệnh đề 1.2.14. Cho A là vành Noether, M là A−mơđun hữu hạn sinh
và I, J là iđêan của A. Khi đó
(i) depth(I, M) = inf{depth
A
p
M
p
|p ∈ V (I)};
(ii) depth(I, M) = depth(
√

I, M);
(iii) depth(I ∩ J, M) = min{depth(I, M); depth(J, M)};
(iv) depth(I, M/xM) = depth(I, M)−1, trong đó x ∈ I là M−chính quy;
(v) depth(I, A) ≤ ht I;
(vi) Nếu I = (x) với x = x
1
, , x
n
là A−dãy thì depth(I, A) = ht I = n.
Chứng minh. (i) Với trường hợp depth(I, M) = ∞ tức là IM = M, khi
đó Supp(M) ∩ V (I) = Supp(M/IM) = ∅. Suy ra, với mọi p ∈ V (I) thì
M
p
= 0 hay depth M
p
= ∞.
Với trường hợp IM = M, trước hết, với mọi p ∈ V (I) thì depth(I, M) ≤
depth(p, M). Mà với mọi x là M−dãy trong p, do địa phương hóa bảo tồn
đơn ánh, nên ảnh của x trong A
p
cũng là M
p
−dãy. Suy ra depth(p, M) ≤
depth
A
p
M
p
. Bây giờ, giả sử x là M−dãy cực đại trong I, theo Nhận xét
1.1.4,(ii) tồn tại p ∈ Ass(M/xM) sao cho I ⊆ p. Mà pA

p
∈ Ass(M/xM)
p
và (M/xM)
p
∼
=
M
p
/xM
p
. Từ đó ảnh của x trong A
p
cũng là M
p
−dãy cực
đại, hay depth(I, M) = depth M
p
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(ii), (iii) Hiển nhiên theo (i).
(iv) Giả sử depth(I, M) = d, theo Hệ quả 1.2.7, Ext
i
A
(A/I, M/xM) =
0 với mọi i < d − 1 và Ext
d−1
A
(A/I, M/xM)
∼

=
Ext
d
A
(A/I, M) do đó
Ext
d−1
A
(A/I, M/xM) = 0 và depth(I, M/xM) = d −1.
(v) Ta có ht I = inf{dim A
p
|p ∈ V (I)}. Mà từ (i) ta lại có depth(I, A) =
inf{depth A
p
|p ∈ V (I)} và theo Định lý 1.2.13, depth A
p
≤ dim A
p
, suy
ra điều phải chứng minh.
(vi) Rõ ràng x là A−dãy cực đại trong I nên n = depth(I, A) ≤ ht I ≤ n
(theo [6], Th. 13.5). Suy ra depth(I, A) = ht I = n.
Chú ý 1.2.15. Tồn tại vành địa phương A thỏa mãn depth(A) < depth(A
p
).
Chẳng hạn, đặt R = k[X, Y, Z] là vành đa thức trên trường k, m =
(X, Y, Z), p = (Y, Z)R
m
, I = (XZ, Y Z, Z
2

) ⊂ J = (Z). Xét vành địa
phương
A = (R/I)
m
.
Khi đó, mọi phần tử của m đều bị triệt tiêu bởi Z = 0 nên depth A = 0.
Bây giờ, địa phương hóa A tại p thì với mọi Z/f ∈ JR
p
ta có Z/f =
ZX/fX ∈ IR
p
hay JR
p
⊆ IR
p
, và do đó JR
p
= IR
p
. Từ đó, theo ([6],
Co. 4 of Th. 4.3) ta có
A
p
= ((R/I)
m
)
p
= (R/I)
p
= R

p
/IR
p
= R
p
/JR
p
= (R/J)
p
= k[X, Y ]
(Y )
.
Do Y là k[X, Y ]
(Y )
−chính quy nên depth A
p
= 1.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2
Đồng điều Koszul
Trong chương trước, chúng tơi đã trình bày đặc trưng sự tồn tại của
dãy chính quy qua sự triệt tiêu của mơđun Ext, từ đó đưa ra định nghĩa
và cách tính độ sâu. Trong chương này, chúng tơi trình bày một lời giải
khác cho các vấn đề đó bằng cách sử dụng phức Koszul.
2.1 Phức Koszul và đồng điều Koszul
Trong tiết này trình bày về cấu trúc và một vài tính chất cơ bản của
phức Koszul. Trước hết ta cần khái niệm tích tenxơ của hai phức.
Định nghĩa 2.1.1. Cho vành A, K
•
và L

•
là hai phức các A−mơđun
K
•
: −→ K
p+1
d
p+1
−−−→ K
p
d
p
−−→ K
p−1
−→ ,
L
•
: −→ L
q+1
d

q+1
−−−→ L
q
d

q
−−→ L
q−1
−→ .

Tích tenxơ K
•
⊗
A
L
•
là phức
−→ (K ⊗L)
n+1
d
∗
n+1
−−−→ (K ⊗ L)
n
d
∗
n
−−→ (K ⊗ L)
n−1
−→ ,
được định nghĩa như sau
(K ⊗ L)
n
:= ⊕
p+q=n
K
p
⊗
A
L

q
,
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />và vi phân d
∗
cho bởi
d
∗
n
(x ⊗y) = d
p
(x) ⊗y + (−1)
p
x ⊗d

q
(y),
trong đó x ∈ K
p
và y ∈ L
q
.
Có đẳng cấu K
•
⊗ L
•
∼
=
L
•

⊗ K
•
cho bởi x ⊗ y → (−1)
pq
y ⊗ x với
x ⊗y ∈ K
p
⊗ L
q
.
Định nghĩa 2.1.2. Cho vành A và x
1
, , x
n
∈ A, ta định nghĩa phức
K
•
(x
1
, , x
n
) như sau, đặt K
0
:= A, và K
p
:= 0 nếu p khơng thỏa mãn
0 ≤ p ≤ n. Với 1 ≤ p ≤ n, đặt K
p
:= ⊕Ae
i

1
i
p
là A−mơđun tự do hạng


n
p


với cơ sở {e
i
1
i
p
|1 ≤ i
1
< < i
p
≤ n}. Vi phân d
p
: K
p
−→ K
p−1
cho bởi
d
p
(e
i

1
i
p
) =
p

r=1
(−1)
r+1
x
i
r
e
i
1

ˆ
i
r
i
p
;
(với p = 1, đặt d
1
(e
i
) = x
i
). Kiểm tra được rằng d
p−1

d
p
= 0. Phức này
được gọi là phức Koszul, và viết K
•
(x
1
, , x
n
) (hoặc K
•
(x)). Đặc biệt, khi
n = 1, phức K
•
(x) là
0 −→ A
x
−→ A −→ 0,
và kiểm tra được rằng K
•
(x
1
, , x
n
) = K
•
(x
1
)⊗ ⊗K
•

(x
n
). Do tích tenxơ
của hai phức thỏa mãn L
•
⊗M
•
∼
=
M
•
⊗L
•
, nên phức Koszul là bất biến
(sai khác đẳng cấu) với mọi hốn vị của x
1
, , x
n
.
Với A−mơđun M, ta đặt K
•
(x
, M) := K
•
(x) ⊗
A
M. Và với phức C
•
các A−mơđun ta đặt C
•

(x) := C
•
⊗K
•
(x). Phức Koszul K
•
(x, M) có các
đồng điều H
p
(x, M) := H
p
(K
•
(x, M)).
Mệnh đề 2.1.3. Cho A là vành, M là A−mơđun. Xét phức Koszul
K
•
(x, M), khi đó H
0
(x, M) = M/xM và H
n
(x, M) = (0 :
M
(x)).
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chứng minh. Xét phức Koszul
K
•
(x) : 0 −→ A
d

n
−−→ ⊕
n
i=0
Ae
1
ˆ
i n
−→ −→ ⊕
n
i=1
Ae
i
d
1
−−→ A −→ 0.
Do A ⊗
A
M
∼
=
M nên
K
•
(x, M) : 0 → M
d
∗
n
−−→ ⊕
n

i=1
Me
1
ˆ
i n
→ → ⊕
n
i=1
Me
i
d
∗
1
−−→ M → 0,
trong đó,
d
∗
n
: M
ξ
−→
→
⊕
n
i=1
Me
1
ˆ
i n
ξ


n
i=1
(−1)
i
x
i
e
1
ˆ
i n
.
Suy ra, H
n
(x, M) = ker d
∗
n
= {ξ ∈ M|ξx
1
= = ξx
n
= 0}.
d
∗
1
: ⊕
n
i=1
Me
i


n
i=1
ξ
i
e
i
−→
→
M

n
i=1
ξ
i
x
i
.
Rõ ràng, Im d
∗
1
= xM. Do đó, H
0
(x, M) = Coker d
∗
1
= M/ Im d
∗
1
= M/xM.

Mệnh đề 2.1.4. Cho A là vành, x = x
1
, , x
n
là các dãy các phần tử
trong A và 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 là dãy khớp các A−mơđun.
Khi đó ta có dãy khớp giữa các phức
0 −→ K
•
(x, M

) −→ K
•
(x, M) −→ K
•
(x, M

) −→ 0.
Từ đó ta có dãy khớp dài các đồng điều
−→ H
p
(x
, M

) −→ H
p

(x, M) −→
H
p
(x, M

) −→ H
p−1
(x, M

) −→ .
Định lý 2.1.5. Cho vành A, C
•
là phức các A−mơđun và x ∈ A. Khi đó
(i) Ta có dãy khớp các phức
0 −→ C
•
−→ C
•
(x) −→ C

•
−→ 0.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />