Cách giải điện AC bằng số phức wá hay!

1 – Biểu diễn dao động điện bằng số phức.


BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỆN BẰNG
SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBER)


I. CÁCH BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Trong mặt phẳng toạ độ phức, một số phức C, ký hiệu Ċ được biểu diễn dưới 3 dạng: đại số (Descartes),
lượng giác, hàm mũ (Euler).

DẠNG
DESCARTES (ĐẠI SỐ)
LƯỢNG GIÁC
EULER (HÀM MŨ)
Ċ = a + jb
Ċ = C(cosθ + jsinθ)
Ċ = [C,θ]
.
j
C Ce



.
C C  


Với j
2
= -1 (

1j  
): đơn vị ảo; a: phần thực; jb: phần ảo;

2 2
C a b 
: module của số phức;
b
arctan
a
 
: argument (góc). (
a
os = ;sin
C
b
c
C
  
)
Y
X
a
b
O

C
.
C a jb 

II. MỐI LIÊN HỆ PHỔ BIẾN GIỮA DẠNG EULER VÀ DESCARTES

0
0
0
0
30
45
60
1
3 1
2 2
2 2
2 2
1 3
2 2
i
i
i
i
e
e i
e i
e i




 
 

 

0
0
0
90
120
135
1 3
2 2
2 2
2 2
i
i
i
e i
e i
e i



 
  
  


III. MỘT SỐ PHÉP TÍNH SỐ PHỨC
Hai số phức bằng nhau:
Khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

Cộng và trừ:
.
. .
1
2
1
.
2
( ) ( )
A a jb
A A a c j b d
A c jd

 

     


 


Liên hợp phức: Ký hiệu
.
*
A

2 – Biểu diễn dao động điện bằng số phức.

.
.

*j j
A a jb Ae A a jb Ae
 
      

Chú ý: Tích số phức và liên hợp của nó cho ta số thực.
.
.
* 2 2 2
. .
j j
A A Ae Ae A a b
 
   

Nhân và chia:
Cho
1
2
.
1 1
.
2 2
j
j
A a jb A e
A c jd A e


  

  

1 2
1 2
. .
( )
1 2 1 2
.
( )
1 1
.
2
2
.
j
j
A A A A e
A A
e
A
A
 
 


 
 

Cách khác dạng đại số:
2 2 2 2

( )( ) ( ) ( )
( )( )
a jb a jb c jd ac jad jbc bd ac bd j bc ad
c jd c jd c jd c d c d
        
  
    

Lưu ý:
2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
a jb a jb c jd ac jad jbc bd ac bd j bc ad
c jd c jd c jd c d c d
        
  
    


Tích số phức với
j
e

:
Cho số phức:
j
Ae


Có:

( )
.
j j j
Ae e Ae
    


Dấu (+): quay vector biểu diễn số phức ngược chiều kim đồng hồ một góc θ.
Dấu (-): quay vector biểu diễn số phức cùng chiều kim đồng hồ một góc θ.

Tích số phức với ±j:
Cho số phức:
j
Ae


Có:
0 0
90 ( 90 )
.
j j j
Ae e Ae
  


Dấu (+): quay vector biểu diễn số phức ngược chiều kim đồng hồ một góc 90
0
.
Dấu (-): quay vector biểu diễn số phức cùng chiều kim đồng hồ một góc 90
0

.

IV. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỆN (TỪ) BẰNG SỐ PHỨC
R L C
u
i
u
R
u
L
u
C

Biểu diễn i, u và Z:
Một cách tương ứng, ví dụ hàm dao động i được biểu diễn phức là
.
I
.
i
2 os( t+ )i I c  
→ Dòng điện phức:
.
i
j
i
I Ie I

  

u

2 os( t+ )u U c  
→ Điện áp phức:
.
u
j
u
U Ue U

  

Tổng trở phức của mạch RLC nối tiếp, ký hiệu
_
Z
(dấu gạch ngang trên đầu để phân biệt với Z)
Có:
_
os +jZsin ( )
j
L C
Z Ze Zc R j X X R jX

       

3 – Biểu diễn dao động điện bằng số phức.

Với X
L
= Lω: cảm kháng;
1
C

X
C

: dung kháng; X = X
L
– X
C
: điện kháng;

2 2
Z R X 
;
X
arctan
R
 
. (
R
os = ;sin
Z
X
c
Z
  
)
Y
X
O R
X
Z


_
Z R jX 

Biểu diễn
di
dt
:
Cho
0
.
0
2 os t I
2 ( sin ) 2 os( t+ )
2
j
i I c Ie I
di
I t I c
dt


   
   
   

Biểu diễn
di
dt
dạng phức:

0
.
.
' 90j
I I e jI j I    


Biểu diễn
0
t
idt

:
Cho
0
.
0
t
0 0
2 os t I
2
2 os t.dt sin 2 os( t- )
2
j
t
i I c Ie I
I I
idt I c t c



  
 
   
   
 

Biểu diễn
0
t
idt

dạng phức:
0
.
.
'' 90j
I I I
I e j j
  

    


V. BIỂU DIỄN CÁC ĐỊNH LUẬT MẠCH ĐIỆN DƯỚI DẠNG PHỨC
Định luật Ohm:

Định luật Kirchhoff 1 (cho một nút):




“Tổng đại số các dòng điện (phức) tại một nút bằng 0.”
(Các dòng điện tới nút mang dấu dương thì các dòng điện rời khỏi nút mang dấu âm hoặc ngược lại)

Định luật Kirchhoff 2 (cho mạch vòng kín):

.
.
_
U
I
Z


.
0
nut
I 

4 – Biểu diễn dao động điện bằng số phức.

0
.
_
. . . . .
1

1
( )
t
R L C
di q di
u u u u Ri L Ri L idt
dt C dt C
I
U R I jL I j R j L I Z I
C C
 
 
        
 
       
 
 

(vì
0
t
dq
i q idt
dt
  

)

Vậy:

“Đi theo một vòng khép kín theo một chiều tuỳ ý, tổng đại số các điện áp rơi trên các phần tử bằng tổng đại số
các sức điện động trong vòng.”
(Những sức điện động và dòng điện có chiều trùng với chiều đi vòng sẽ mang dấu dương, ngược lại mang dấu
âm)
Tổng trở phức tương đương
_
td
Z
:
Các tổng trở mắc nối tiếp:



Các tổng trở mắc song song:





VI. CÔNG SUẤT MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
Cho:
. .
;
i u
j j
I Ie U Ue
 

 
. Ta định nghĩa công suất phức:
.
. .
( )
*
. . os +jUIsin =P+jQ
u i u i
j j j
j
S U I Ue Ie UIe UIe UIc
   

 
 
    

Với: P = RI
2
= UIcosφ (W): công suất tác dụng (tiêu thụ).
Q = XI
2
= UIsinφ (VAr): công suất phản kháng.

2 2
S UI P Q  
(VA): công suất biểu kiến (toàn phần).
S
P
Q




VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
Dưới đây trị số góc được ghi theo đơn vị độ (
0
) cho thuận tiện.
1. Trên một phần tử có
.
0
200 37U  
(V) và
.
0
4 23I   
(A).
Viết biểu thức tức thời của điện áp và dòng điện. Tính các thông số sơ đồ thay thế của phần tử. Tính công suất
tác dụng, công suất phản kháng và công suất biểu kiến.

Có:
0
200 2 os( t+37 )u c 
(V)

0
4 2 os( t - 23 )i c 
(A)
_
. .
. .m vong m vong

Z I E  

_ _ _ _
1 2

td n
Z Z Z Z   

_ _ _ _
1 2
1 1 1 1

td n
Z Z Z Z
   

5 – Biểu diễn dao động điện bằng số phức.

Tổng trở phức:
.
0
_
0
.
0
200 37
50 60 25 43,3
4 23
U
Z j

I

     
 
(Ω).
Thấy phần tử này gồm điện trở thuần R = 25 (Ω) nối tiếp với điện kháng X = 43,3 (Ω).
Công suất tác dụng: P = RI
2
= 25.4
2
= 400 (W).
Công suất phản kháng: Q = XI
2
= 43,3.4
2
= 692,8 (VAr).
Công suất biểu kiến: S = UI = 200.4 = 800 (VA).

2. Cho U = 100 (V); R
1
= 5 (Ω); X
L
= 5 (Ω); R
2
=
5 3
(Ω); X
C
= 5 (Ω). Tính dòng điện I
1

, I
2
, I và điện áp
U
CD
(xem hình).
U
A
B
C D
U
CD
R
1
R
2
X
L
X
C
I
1
I
2
I

Tổng trở phức nhánh (1):
_
1 1
5 5

L
Z R jX j   

Dòng điện phức nhánh (1):
.
.
1
_
1
100 0
10 10
5 5
U j
I j
j
Z

   



2 2
1
10 10 10 2 14I    
(A).
Tổng trở phức nhánh (2):
_
2 2
5 3 5
C

Z R jX j   

Dòng điện phức nhánh (2):
.
.
2
_
2
100 0
5 3 5
5 3 5
U j
I j
j
Z

   



2 2
2
(5 3) 5 10I   
(A).
Theo định luật Kirchhoff 1, ta có:
. . .
1 2
(10 5 3) 5I I I j    

2 2
(10 5 3) 5 19,3I    
(A).
Điện áp phức
. . . . .
1 1 2 2
5(10 10) 5 3(5 3 5) 25 (50 25 3)
CD CA AD
U U U R I R I j j j            


2 2
25 (50 25 3) 96,6
CD
U    
(V).

3. Cho mạch như hình.
1 3
120 2 os te e c  
(V);
_ _ _
1 2 3
2 2Z Z Z j   
(Ω). Tìm dòng điện I
1
, I
2
, I
3

chạy
trong các nhánh.
a b
A
B
_
1
Z
_
2
Z
_
3
Z
.
1
E
.
3
E
I
1
I
2
I
3

6 – Biểu diễn dao động điện bằng số phức.

Lưu ý tổng quát:
Gọi m: số nhánh trên mạch
n: số nút của mạch
→ Số phương trình cần thành lập của mạch: m, trong đó:
¤ Số phương trình Kirchhoff 1: n-1
¤ Số phương trình Kirchhoff 2 (số mạch vòng độc lập, số mắt lưới): m-n+1

Định luật Kirchhoff 1 (nút A):
. . .
1 2 3
0I I I  
(1)
Định luật Kirchhoff 2 (vòng a, vòng b):
_ _
. . .
1 1 2 2 1
_ _
. . .
2 2 3 3 3
Z I Z I E
Z I Z I E
 
   

0
0
. .
0
1 2
. .

0
2 3
(2 2) (2 2) 120 120
(2 2) (2 2) 120 120
j
j
j I j I e
j I j I e
     
       
(2,3)
Giải 3 phương trình (1), (2), (3) ta được:
.
2 2
1 1
10 10 10 10 10 2 14I j I      
(A)
.
2 2
2 2
20 20 20 20 20 2 28I j I      
(A)
.
2 2
3 3
10 10 10 10 10 2 14I j I       
(A)